Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt phương (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt phương (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương pháp: 1) Để lập phương trình của một (P) ta cần tìm một điểm mà (P) đi qua và một VTPT của (P) . Khi tìm VTPT của (P) chúng ta cần lưu ý một số tính chất sau :  Nếu giá của hai véc tơ không cùng phương a, b có giá song   song hoặc nằm trên (P) thì n a, b là một VTPT của (P) . Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt phẳng này cũng là VTPT của mặt phẳng kia.  Nếu (P) chứa (hoặc song song) với AB thì giá của véc tơ AB sẽ nằm trên (hoặc song song) với (P) . Nếu (P)  (Q) thì VTPT của mặt phẳng này sẽ có giá nằm trên hoặc song song với mặt phẳng kia. Nếu (P)  AB thì AB là một VTPT của (P) . Thông thường để lập phương trình mặt phẳng ta thường đi tìm cặp véc tơ có giá song song hoặc nằm trên (P) , từ đó tìm được VTPT của (P) . 2) Các trường hợp đặc biệt Mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm không trùng với gốc tọa độ x y z A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình 1. a b c Các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x 0, (Ozx) : y 0, (Oxy) : z 0. Mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ Ax By Cz 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) hoặc chứa (D 0) trục Ox có dạng By Cz D 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) hoặc chứa (D 0) trục Oy có dạng Ax Cz D 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) hoặc chứa (D 0) trục Oz có dạng 107
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Ax By D 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là Cz D 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là Ax D 0. Mặt phẳng ( ) song song (D 0) với mặt phẳng (Ozx) có phương trình là By D 0. Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trọng tâm tam giác là G(3; 6; 1) và trung điểm của BC là M(4; 8; 1). Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng 2x y 2z 14 0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C. Lời giải. Gọi tọa độ A(x ; y ; z ).  A A A  Ta có: GA(xA 3; yA 6; zA 1), MG( 1; 2; 2). xA 3 2 xA 1   Vì GA 2MG nên yA 6 4 yA 2 A(1; 2; 5). zA 1 4 zA 5 Do B thuộc mặt phẳng 2x y 2z 14 0 B(a; 14 2a 2b; b).   Suy ra MB(a 4; 6 2a 2b; b 1), MA( 3; 6; 6). Tam giác ABC vuông cân tại A nên phải cĩ:   MA  MB MA.MB 0 3(a 4) 6(6 2a 2b) 6(b 1) 0   MA MB MA MB (a 4)2 (6 2a 2b)2 (b 1)2 81 a 2 2b a 2 2b 2 2 2 2 (2 2b) (2 2b) (b 1) 81 (b 1) 9 a 2 2b a 2 2b b 2; a 2 b 1 3 b 2 . b 4; a 10 b 1 3 b 4 Nếu a 2; b 2 thì B( 2; 14;2), C(10; 2; 4). Nếu a 10; b 4 thì B(10; 2; 4), C( 2; 14;2). Ví dụ 2.2.6 Trong không gian tọa độ Oxyz , 108
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. Cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c) , trong đó b, c dương và mặt phẳng (P) : y z 1 0 . Xác định b và c , biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ 1 điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng . 3 2. Cho các điểm A(5; 3; 1), C(2;3; 4) là các đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ điểm D biết điểm B nằm trên mặt phẳng có phương trình ( ) : x y z 6 0. Lời giải. x y z 1. Phương trình (ABC) : 1 1 b c 1 1 Vì (ABC)  (P) 0 b c (ABC) : bx y z b 0 . b c 1 b 1 1 Mà d(O, (ABC)) b (do b 0). 3 b2 2 3 2 1 Vậy b c là giá trị an tìm. 2 7 5 2. Tâm hình vuông I ; 3; . 2 2   Gọi B(x; y; z) thì AB(x 5; y 3; z 1), CB(x 2; y 3; z 4). B ( ) x y z 6 0 Ta có AB CB x z 1 0   2 AB.CB 0 (x 5)(x 2) (y 3) (z 1)(z 4) 0 Giải ra ta có B(2; 3; 1) hoặc B(3; 1; 2). Suy ra các điểm cần tìm tương ứng là D(5; 3; 4) hoặc D(4; 5; 3). Ví dụ 3.2.6 Trong không gian Oxyz 1. Cho 2 điểm A(2; 0;1), B(0; 2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x y z 4 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB 3 Đề thi ĐH Khối A – 2011 109
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 4x 4y 4z 0 và điểm A(4; 4; 0) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB) , biết B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Đề thi ĐH Khối A – 2011 Lời giải.  1. Gọi E là trung điểm AB ta có: E(1; 1; 2) , AB ( 2; 2; 2) Phương trình mặt phẳng trung trực (Q) của AB có phương trình: x y z 2 0 . Vì MA MB nên suy ra M (Q) M (P)  (Q) 3 c 3 a 2a b c 4 0 2 Gọi M(a; b; c) suy ra: a b c 2 0 1 b 1 a 2 2 2 2 2 1 3 Mặt khác: MA 9 (a 2) a 1 a 2 9 . 2 2 6 Giải ra ta được a 0, a 7 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là: 6 4 12 M 0;1; 3 , M ; ; . 7 7 7 2. Xét B(a; b; c) . Vì tam giác AOB đều nên ta có hệ: OA OB OA AB a2 b2 c2 32 a b 4 0 a 4 b 2 2 2 2 2 2 2 2 (a 4) (b 4) c 32 c 32 a b c 16 2b 8b Mà B (S) nên : a2 b2 c2 4a 4b 4c 0 (4 b)2 b2 16 2b2 8b 4(4 b) 4b 4c 0 Hay c 4 b2 4b 0 b 0, b 4 . Do đó B(4; 0; 4) hoặc B 0; 4; 4 .   · B 0; 4; 4 ta có OA, OB 16; 16;16 nên phương trình (OAB) : x y z 0. 110
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   · B(4; 0; 4) ta có OA, OB 16; 16; 16 nên phương trình (OAB) : x y z 0 . Ví dụ 4.2.6 Trong không gian Oxyz 1. Cho hai mặt phẳng (P) : x y z 3 0 và (Q) : x y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2 2. Cho ba điểm A(0;1; 2), B(2; 2;1), C( 2; 0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) : 2x 2y z 3 0 sao cho MA MB MC Lời giải.   1. Mặt phẳng (P) có nP (1;1;1) là VTPT, mp(Q) có nQ (1; 1;1) là VTPT.    (R)  (P) 1 Do mp(R) có nR nP , nQ (1; 0; 1) là VTPT (R)  (Q) 2 Suy ra (R) : x z m 0 m Ta có d(O; (R)) 2 2 m 2 1 0 1 Vậy (R) : x z 2 0 .     2. a) Ta có: AB (2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) AB, AC (2; 4; 8) là một VTPT của mp(ABC) . Phương trình mp(ABC) : x 2y 4z 6 0 . Gọi H(a; b; c) là trực tâm tam giác ABC H (ABC) a 2b 4c 6 0 (1)   Ta có: CH (a; b 1; c 2), BH (a 2; b 2; c 1) 111
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.   CH  AB AB.CH 0 2a 3b c 5 0 Vì   (2) BH  AC BH.AC 0 2a b c 3 0 Từ (1) và (2) suy ra a 0; b 1; c 2. Vậy H(0;1; 2) . b) Giả sử M(a; b; c) (P) 2a 2b c 3 0 (3) MA2 MB2 2b 4c 5 4a 4b 2c 9 2a 3b c 2 Do 2 2 4a 4b 2c 9 4a 2c 5 2a b 1 MB MC (4). Từ (3) và (4) ta tìm được: a 2; b 3; c 7 Vậy M(2; 3; 7) là điểm cần tìm. Ví dụ 5.2.6 Trong không gian Oxyz cho điểm A 2; 0; 0 , M 0; 3; 6 . 1. Chứng minh rằng mặt phẳng P : x 2y 9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO . Tìm toạ độ tiếp điểm ? 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho VOABC 3 Lời giải. 1. Ta có OM 3 5 2.( 3) 9 Do d M, (P) 3 5 OM , suy ra (P) tiếp xúc với mặt 12 22 cầu tâm bán kính OM . Gọi H(a; b; c) là tọa độ tiếp điểm H (P) a 2b 3 0 (1) a b   t a t; b 2t Mặt khác OH  (P) OH / /nP 1 2 c 0 c 0 3 3 6 Thay vào (1) ta được: t 4t 3 0 t . Vậy H ; ; 0 . 5 5 5 2. Giả sử B(0; b; 0), C(0; 0; c) . Vì mp(Q) đi qua A, B, C nên phương x y z trình của : (Q) : 1 . 2 b c 112
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 6 6b Vì M (Q) 1 c (2) b c b 3 1 1 Khi đó: V OA.OB.OC .2. bc 3 bc 9 (3) OABC 3 6 b 3 2b2 3b 9 0 Thay (2) vào (3) ta có: 2b2 3 b 3 . 3 2b2 3b 9 0 b 2 x y z b 3 c 3 (Q) : 1 3x 2y 2z 6 0. 2 3 3 3 b c 6 (Q) : 3x 4y z 6 0 . 2 Ví dụ 6.2.6 Viết phương trình mặt phẳng ( ) biết: 1. ( ) đi qua A(1; 1;1), B(2; 0; 3) và ( ) song song với Ox ; 2. ( ) đi qua M(3; 0;1), N(6; 2;1) và ( ) tạo với (Oyz) một góc 2 thỏa cos . 7 Lời giải. 1. Vì ( ) song song với Ox nên phương trình của ( ) có dạng: ay bz c 0 a b c 0 c 3b Do A, B ( ) nên ta có: , chọn 3b c 0 a 2b b 1 a 2, c 3 Vậy phương trình của ( ) : 2y z 3 0. 2. Vì M ( ) nên phương trình của ( ) có dạng: a(x 3) by c(x 1) 0 ax by cx 3a c 0 (1) 3 Do N ( ) 3a 2b 0 b a 2 2 Mặt khác cos và i (1; 0; 0) là VTPT của (Oyz) nên ta có: 7 a 2 2 2 9 2 2 2 2 49a 4 a a c 13a 4c c 3a a2 b2 c2 7 4 Ta chọn a 2 b 3, c 6 . Từ đó ta có phương trình của ( ) là: 113
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x 3y 6z 12 0 hoặc 2x 3y 6z 0 . CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: 1. (P) đi qua A(1; 2; 3), B(4; 2; 1), C(3; 1; 2) ; 2. (P) là mặt phẳng trung trực đoạn AC ( Với A, C ở câu 1); 3. (P) đi qua M(0; 0;1), N(0; 2; 0) và song song với AB ; 4. (P) đi qua các hình chiếu của A lên các mặt phẳng tọa độ. Bài 2 Cho hai mặt phẳng có phương trình ( ) :x y z 4 0 & () : 3x y z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), () và mặt phẳng (P) 1. Qua điểm A(1;8;2). 2. Vuông góc với mặt phẳng (Q) :x 8y z 2 0. 1 3. Tạo với (R) : x 2y 2z 1 0 góc với cos . 33 Bài 3 Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết: 1. ( ) đi qua M(2; 3;1) và song song với mp (P) : x 2y 3z 1 0; 2. ( ) đi qua A 2;1;1 , B 1; 2; 3 và ( ) vuông góc với () : x y z 0; 3. ( ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) : 2x 3y z 2 0. 4. ( ) qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3). 5. ( ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7), F(1;8;1). 6. ( ) qua D(2;3;5) và song song với mặt phẳng (Oyz). 7. ( ) qua G(1; 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng () : x 2y 5z 1 0, () : 2x 3y z 4 0. 8. ( ) qua các hình chiếu của điểm H( 2;1;5) trên các trục tọa độ. Bài 4 . Lập phương trình của P trong các trương hợp sau: 1. P đi qua A 1; 2;1 và song song với Q : x y 3z 1 0 ; 2. P đi qua M 0;1; 2 , N 0;1;1 , E 2; 0; 0 ; 3. P là mặt phẳng trung trực của đoạn MN ( M, N ở ý 2) ; 114
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4. P đi qua các hình chiếu của A(1; 2; 3) lên các trục tọa độ ; 5. P đi qua B 1; 2; 0 , C 0; 2; 0 và vuông góc với R : x y z 1 0 ; 6. P đi qua D 1; 2; 3 và vuông góc với hai mặt phẳng : : x 2 0 ;  : y z 1 0 . Bài 5 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), B(1; 2;1), C(2; 1; 2) . 1. Lập phương trình mặt phẳng qua A, B và cắt trục Oz tại 9 điểm M sao cho diện tích tam giác MAB bằng (đvdt). 2 2. Lập phương trình mặt phẳng qua C, A và cắt trục Oy tại điểm N sao cho thể tích khối tứ diện ABCN bằng 12 (đvtt). 3. Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm B, C và tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện OABC. Bài 6 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1; 2; 3), B( 2; 3; 1) , C(0;1;1) D( 4; 3;5) . Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết: 1. ( ) đi qua A và chứa Ox 2. ( ) đi qua A, B và cách đều hai điểm C, D . Bài 7 Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết: 1. ( ) đi qua A 1;1;1 , B(3; 0; 2) và khoảng cách từ C 1; 0; 2 đến ( ) bằng 2 ; 2. ( ) cách đều hai mặt phẳng (P) : 2x y 2z 1 0, (Q) : x 2y 2z 4 0 3. ( ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) , đồng thời ( ) vuông góc với mặt phẳng () : 3x 2y z 5 0 . Bài 8 Lập phương trình (P) biết (P) : 1. Song song với Q : 2x 3y 6z 14 0 và khoảng cách từ O đến (P) bằng 5. 115
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Đi qua giao tuyến của hai mp ( ) : x 3z 2 0 ; 1 7 () : y 2z 1 0 , khoảng cách từ M 0; 0; đến (P) bằng . 2 6 3 Bài 9 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết 1. ( ) đi qua A(1; 0; 2), B(2; 3; 3) và tạo với mặt phẳng () :4x y z 3 0 một góc 600 . 2. ( ) đi qua C(2; 3;5), vuông góc với (P) : x 5y z 1 0 và tạo với mặt phẳng (Q) :2x 2y z 3 0 góc 450 . Bài 10 Cho mặt phẳng (P) :2x y 2z 3 0 và ba điểm A(1;2; 1), B(0;1;2),C( 1; 1;0). 1. Tìm điểm M Ox sao cho d(M, (P)) 3. 2. Tìm điểm N Oy sao cho điểm N cách đều mặt phẳng (P) và điểm A. 3 3. Tìm điểm K (P) sao cho KB KC và KA . 2 4. Tìm điểm H (P) sao cho HA HB HC. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 11 1. Tìm m, n để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng: P : x my nz 2 0 , Q : x y 3z 1 0 và R : 2x 3y z 1 0 . Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng chung đó và tạo với (P) một góc sao 23 cho cos . 679 2. Cho ba mặt phẳng: ( 1) : x y z 3 0; ( 2) : 2x 3y 4z 1 0 và ( 3) : x 2y 2z 4 0 . a) Chứng minh các cặp mp ( 1) và ( 2) ; ( 1) và ( 3) cắt nhau; b) Viết phương trình (P) đi qua A 1; 0;1 và giao tuyến của ( 1) và ( 2) ; c) Viết phương trình (Q) đi qua giao tuyến của hai mp ( 1) và ( 2) và đồng thời vuông góc với mp ( 3) . 116
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Cho ba mặt phẳng (P) :(4 a)x (a 5)y az a 0 và (Q) :2x 3y bz 5 0; (R) :3x cy a(c a)z c 0. a) Biện luận vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q). b) Tìm a, c để (P) song song với (R). c) Tìm a, c để (P) qua điểm A(1; 3; 2) và (P) vuông góc với (R). Bài 12 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết 1. ( ) qua hai điểm A(1; 2; 1), B(0; 3; 2) và vuông góc với (P) : 2x y z 1 0. 2. ( ) cách đều hai mặt phẳng () : x 2y 2z 2 0, ( ) : 2x 2y z 3 0. 3. ( ) qua hai điểm C( 1; 0; 2), D(1; 2; 3) và khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng ( ) là 2. 11 4. ( ) đi qua E(0; 1; 1) và d(A, ( )) 2; d(B, ( )) , trong đó 7 A(1; 2; 1), B(0; 3; 2). 5. Qua hai điểm A(1;2;3), B(5; 2;3) và ( ) tạo với mặt phẳng () góc 450 , với () : 4x y z 2 0. 6. Qua C(1; 1; 1), ( ) tạo với mặt phẳng () : x y 2 0 góc 600 2 đồng thời d(O,( )) . 3 Bài 13 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết ( ) 1. Cách đều hai mặt phẳng ( 1 ) : 5x 2y 7z 8 0,( 2 ) : 5x 2y 7z 60 0. 2. Song song với ( 3 ) : 6x 3y 2z 1 0 và khoảng cách từ A(1; 2; 1) đến mặt phẳng ( ) là 1. 3. Qua hai điểm B( 5;0; 3), C(2; 5;0) đồng thời ( ) các đều hai điểm M(1; 2; 6) và N( 1; 4;2). 4. Qua D(1; 3; 1), vuông góc với mặt phẳng 3x 2y 2z 4 0 và d(E,( )) 3, với E(5; 2; 3). 7 5. Qua F(4;2;1) và d(I,( )) , d(J,( )) 1 trong đó I(1; 1;2) và 3 J(3; 4; 1). 117