Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt tròn xoay. Mặt cầu (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Mặt tròn xoay. Mặt cầu (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt MẶT TRÒN XOAY – MẶT CẦU Phương pháp: I. Mặt nón – hình nón và khối nón 1. Mặt nón: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng và l cắt nhau tại O và tạo với nhau một góc . Khi cho mặt phẳng (P) quay quanh đường thẳng , hình tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng l gọi là mặt nón tròn xoay hay còn gọi là mặt nón Đường thẳng gọi là trục của mặt nón . Đường thẳng l gọi là đường sinh của mặt nón. Giao điểm O của và l gọi đỉnh của mặt nón. Gọi là góc giữa đường thẳng và l khi đó 2 gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón: Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi tam giác vuông OAB quay quanh trục là cạnh góc vuông OA OB l là đường sinh hình nón . AB R gọi là bán kính hình nón. OA h là chiều cao hình nón . 3. Khối nón : Hình nón với phần không gian bên trong gọi là khối nón. 4. Thể tích và diện tích xung quanh : Diện tích xung quanh hình nón Sxq Rl Diện tích toàn phần của hình nón Stp Sxq Sd R(l R) . 1 Thể tích khối nón V R2h. 3 II. Mặt trụ – hình trụ và khối trụ 1. Mặt trụ: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng l và song song với nhau và cách nhau một khoảng R . Khi quay (P) quanh thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi mà mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng là trục của mặt trụ. Đường thẳng l là gọi là đường sinh của mặt trụ. 61
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Khoảng cách giữa hai đường sinh l và trục gọi là bán kính của mặt trụ. 2. Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng song song phân biệt và vuông góc với trục mặt trụ cùng với hai hình tròn thiết diện được gọi là hình trụ. Hai hình tròn (O; R), (O '; R) là hai đáy của hình trụ . Đoạn thẳng OO ' là trục của hình trụ , và cũng là chiều cao của hình trụ. Bán kính R của mặt trụ là bán kính hình trụ. 3. Hình trụ với phần không gian bên trong gọi là khối trụ . 4. Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ . Một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao h. a. Diện tích mặt xung quanh của hình trụ Sxq 2 Rh. b. Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp Ssq 2.Sd 2 R(R h) . c. Thể tích khối trụ : V R2h . III. Mặt cầu – Khối cầu 1. Khái niệm mặt cầu. Mặt cầu tâm O bán kính R ( ta kí hiệu S(O, R) ) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn S(O, R) {M |OM R} . Nếu AB là đường kính mặt cầu S(O, R) thì với mọi điểm M thuộc mặt cầu ( trừ A và B ) thì ·AMB 900 . Ngược lại với mọi điểm M nằm trong không gian thỏa mãn ·AMB 900 thì điểm M thuộc mặt cầu đường kính AB . 2. Vị trí tương đối của một điểm với mặt cầu. Cho mặt cầu S(O, R) và một điểm A bất kì trong không gian. Nếu OA R thì A ở ngoài mặt cầu Nếu OA R thì A ở trên mặt cầu Nếu OA R thì A ở trong mặt cầu 3. Vị trí tương đối của một hình phẳng với mặt cầu. Cho mặt cầu S(O, R) và một mặt phẳng (P) bất kì trong không gian. Gọi H là hình chiếu của O lên (P) . Nếu OH R thì (P) không cắt mặt cầu 62
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Nếu OH R thì (P) và (S) có một điểm chúng duy nhất là H . Khi đó ta nói: (P) tiếp xúc với mặt cầu và (P) gọi là mặt phẳng tiếp diện, H gọi là tiếp điểm. Nếu OH R thì (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C) có tâm H bán kính r R2 OH 2 . Nếu O nằm trên (P) thì (C) gọi là đường tròn lớn và có bán kính R . 4. Vị trí tương đối của một đường thẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) và một đường d bất kì trong không gian. Gọi H là hình chiếu của O lên d . Nếu OH R thì d và mặt cầu không có điểm chung. Nếu OH R thì d và mặt cầu (S) có một điểm chung duy nhất là H . Khi đó ta nói d tiếp xúc với mặt cầu và d gọi là tiếp tuyến cảu mặt cầu, H gọi là tiếp điểm. Nếu OH R thì d và mặt cầu có đúng hai điểm chung. Khi đó ta nói d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt . 5. Mặt cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình đa diện. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện. Mặt cầu nội tiếp hình đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Nhận xét. Một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp thì tất cả các mặt của đa diện đều có đường tròn ngoại tiếp. Nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp của đa diện thuộc một mặt của đa diện thì đường tròn ngoại tiếp của đa diện đó là đường tròn lớn. Khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp của đa diện đến các mặt đa diện bằng nhau và bằng bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện đó. 6. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Diện tích hình cầu bán kính R : S 4 R2 . 63
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 4 Thể tích khối cầu bán kính R : V R3 . 3 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN. Vấn đề 1. CHỨNG MINH HỆ ĐIỂM THUỘC MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. Phương pháp: Để chứng minh một hệ điểm nằm trên mặt nón, ta chứng minh đường thẳng đi qua điểm đó và đỉnh của mặt nón tạo với trục mặt nón một góc không đổi . Để chứng minh một hệ điểm thuộc mặt trụ, ta chứng minh khoảng cách từ các điểm đó đến trục của mặt trụ bằng bán kính của mặt trụ. Để chứng minh một hệ điểm nằm trên một mặt cầu, ta có thể sử dụng các cách sau: Cách 1: Chứng minh hệ điểm đó cách đều một điểm cố định cho trước Cách 2: Chứng minh hệ điểm đó cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông. Ví dụ 1.1.5 Cho tam giác ABC vuông tại B,BA BC a . Cho S là một di động trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A ( S không trùng A ). Một mặt phẳng P qua A và vuông góc với SC, P cắt SB,SC lần lượt tại H và K . Gọi I là giao điểm của HK và BC 1. Chứng minh rằng các điểm A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu .Tính diện tích của mặt cầu đó; 2. Khi thể tích của khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn nhất , tính thể tích của khối chóp S.ABC ; 3. Chứng minh rằng khi S di động trên d thì đường thẳng AI luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Lời giải. 1. Chứng minh rằng các điểm A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu .Tính diện tích của mặt cầu đó. 64
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt BC  BA BC  SAB BC  AH. BC  SA S AH  BC AH  SBC K AH  P AH  SC · 0 AH  SC AHC 90 · 0 AK  P AK  SC AKC 90 . H · · · 0 Ta có : AHC AKC ABC 90 5 A F C điểm A,B,C,H,K thuộc mặt cầu E đường kính AC . Tam giác ABC vuông cân tại B có d B BA BC a AC a 2. Diện tích của mặt cầu : I 2 2 AC a 2 2 Smc 4 4 2 a . 2 2 2.Khi thể tích của khối chóp K.ABC đạt giá trị lớn nhất , tính thể tích của khối chóp S.ABC . Gọi E là trung điểm của AC và F là hình chiếu vuông góc của K lên 1 a 2 AC , ta có : KF  ABC (do KF P SA ) và KF KC AC . 2 2 1 Thể tích của khối chóp K.ABC : V S .KF . 3 ABC Vì SABC không đổi nên V lớn nhất KF lớn nhất KF KC F  E K là trung điểm của SC . 1 1 a 2 a3 2 Khi đó : V S .KF AB.AC. . SABC 3 ABC 6 2 12 3.Chứng minh đường thẳng AI luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định . AI  ABC AI  SA AI  SAC AI  AC. AI  P AI  SC Suy ra AI luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định đường kính AC . Ví dụ 2.1.5 Lời giải. 65
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O cố định. Xét một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua O sao cho góc giữa l và mặt phẳng (P) luôn luôn bằng không đổi ( 900) . Chứng minh rằng l luôn nằm trên một mặt nón cố định. 2. Cho mặt phẳng ( ) . Gọi A là một điểm nằm trên mặt phẳng ( ) và B là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) sao cho hình chiếu H của B trên mặt phẳng ( ) không trùng với A . Một điểm M chạy trên mặt phẳng ( ) sao cho sao cho ·ABM B· MH . Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là AB . 3. Cho điểm A nằm ở ngoài mặt cầu (S) . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) luôn nằm trên một mặt nón cố định. 4. Trong không gian cho hai điểm A, B phân biệt cố định, và một điểm M bất kỳ trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB có diện tích S không đổi. Chứng minh điểm M thuộc một mặt trụ cố định, xác định bán kính mặt trụ đó. Bài 2 1. Cho tứ diện ABCD có AB  CD; AC  BD . Chứng minh rằng 6 trung điểm của 6 cạnh nằm trên một mặt cầu . 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Biết SA a, AB b, AD c. Chứng minh các điểm A, B, C, D, M, N, P thuộc một mặt cầu. Tính bán kính của mặt cầu đó. 3. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại K, L, M, N . Gọi P là một điểm bất kì trong không gian không nằm trên các mặt của tứ diện. Các đường thẳng PK, PL, PM, PN một lần nữa cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PAB, PBC, PCD, PDA lần lượt tại 66
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Q, R, S, T . Chứng minh rằng các điểm P, Q , R, S và T nằm trên một mặt cầu. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 3 1. Trong hình phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp (P) lấy một điểm S bất kỳ. Gọi (Q) là hình phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ', C ', D ' . Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, B ', C ', D ' cùng thuộc một hình cầu cố định. Xác định bán kính hình cầu đó. 2. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn (O1), (O1) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì các điểm nằm trên hai đường tròn đó nằm trên một mặt cầu. Bài 4 Cho tứ diện gần đều ABCD (tức là AB CD, BC AD, AC BD ). Chứng minh rằng bốn chân đường cao hạ xuống các mặt, bốn trung điểm của các đường cao và bốn trực tâm của bốn mặt là 12 điểm nằm trên mặt cầu. Vấn đề 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH VÀ THIẾT DIỆN CỦA KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ. Phương pháp: 1) Khối nón: Phải xác định được bán kính, đường cao hoặc đường sinh, hoặc góc ở đỉnh của hình nón. Thiết diện qua đỉnh hình nón là một tam giác cân. Thiết diện vuông góc với trục hình nón là một hình tròn. 2) Khối trụ Phải xác định được chiều cao h và bán kính R của hình trụ . 67
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Nếu thiết diện của hình trụ song song hoặc chứa trục của hình trụ thì thiết diện đó là hình chữ nhật. Nếu thiết diện của hình trụ vuông góc với trục hình trụ thì thiết diện đó là hình tròn. Ví dụ 1.2.5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao · 0 SO h,SAB 45 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Lời giải. Gọi O là tâm đường tròn S ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có SO  ABC . Trong mặt phẳng SOA E dựng đường trung trực d của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ABCD . I Thật vậy: I SO là trục của A C tam giác ABC SA SB SC . I d IA IS O IA IB IC IS B Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng ( E là trung điểm của SO SA SA.SE 1 SA2 AB ). Suy ra R SI . SE SI SO 2 SO · 0 Tam giác cân SAB có SAB 45 Tam giác này vuông cân tại S . AB 3 x 6 Đặt SA x , khi đó AB x 2 , OA . 3 3 6x2 Trong tam giác vuông SOA : SA2 OA2 SO2 x2 h2 9 1 3h2 3h x2 3h2 R . 2 h 2 Ví dụ 2.2.5 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC chứa trong hai · 0 · 0 mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết BC a,BAC 60 , BDC 30 . Tính bán kính và thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Lời giải. 68
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Gọi O1 ,O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ABC và E là trung điểm của BC , ta có O1E  BC O1E  ABC do ABC  BCD O2E  BC O2E  BCD Qua O1 dựng đường thẳng A d1 vuông góc với BCD thì d d1 là trục của tam giác 1 BCD và d1 P O2E . I Qua O2 dựng đường thẳng O 2 d2 d2 vuông góc với ABC thì d2 là trục của tam giác B D ABC và d2 P O1E . O Tâm I của mặt cầu là giao 1 E điểm của d1 ,d2 . Thật vậy : I d1 IB IC ID C I d2 IA IB IC IA IB IC ID I là tâm mặt cầu ABCD . 2 2 2 Tứ giác EO1IO2 là hình chữ nhật, suy ra: IE O1E O2E . Gọi R1 ,R2 lần lượt là bán kính các đường tròn BCD và ABC , ta có 2 2 2 2 2 2 2 BC 2 BC 2 2 2 2 BC O1E O1C EC R1 R1 ,O2E O2C EC R2 2 4 4 BC2 BC2 Suy ra : IE2 R2 R2 R2 IE2 EC2 R2 R2 . 1 2 2 1 2 4 Áp dụng định lí hàm số sin trong các tam giác BDC,BAC , ta có BC a 2R R R a. · 1 0 1 1 sin BDC 2sin 30 BC a a 2R R R . · 2 0 2 2 sin BAC 2sin60 3 a2 a2 13a2 13 a 39 Suy ra R2 a2 R a . 3 4 12 12 6 69
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 4 4 a 39 Thể tích của khối cầu : 3 ABCD V R . 3 3 6 Ví dụ 3.2.5 Cho hình chóp S.ABCD có SA SB SC SD , đáy ABCD là hình thang có AB P CD,AB 2a,BC CD DA a , khoảng cách giữa AB a 2 và SC bằng . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp 2 hình chóp đã cho. Lời giải. Hình thang ABCD là nửa S lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB chứa trong mặt phẳng E ABCD , gọi O là trung I điểm của AB , vì H SA SB SC SD nên A B O SO  ABCD . Trong mặt phẳng SAB , đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt D cầu ngoại tiếp hình chóp K C S.ABCD . Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng ( E là trung điểm của AB ). SO SA SA.SE 1 SA2 Suy ra R SI . SE SI SO 2 SO CD P AB SCD P AB d AB,SC d AB, SCD d O, SCD . Gọi K là trung điểm của CD,H là hình chiếu vuông góc của O lên SK , ta có CD  OK CD  SOK CD  OH. CD  SO OH  CD a 2 OH  SCD OH d AB,SC . OH  SK 2 Trong tam giác vuông SOK , 70
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OH SO OK SO OH OK a 2 a 3 3a 2 2 5a2 a 6 3a2 5a2 1 5a SO , SA2 SO2 OA2 a2 R . 2 2 2 2 2 a 6 2 6. 2 Ví dụ 4.2.5 Cho hình chóp SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC 1. Nêu cách dựng tâm I và chứng minh ba điểm S,G,I thẳng GI hàng.Tính tỉ số GS 2. Cho SB SC góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là 600 , bán 3 kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC bằng a . Tính V của khối 2 chóp S.ABC Lời giải. 1. Nêu cách dựng tâm I và chứng minh ba điểm S,G,I thẳng GI hàng.Tính . GS Vì tam giác SBC vuông tại S , A gọi E là trung điểm của BC thì E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . Dựng đường thẳng d vuông M góc SBC tại E thì d là trục d I của tam giác SBC và d song G song với SA (do SA  SBC ). S C Trong mặt phẳng d,SA , từ trung điểm M của đoạn SA E dựng đường thẳng vuông góc B với SA và cắt d tại I thì MI là đường trung trực của đoạn 71
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. SA và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC . Thật vậy : * I d IS IB IC. * I đường trung trực của SA IA IS . Do đó IA IB IC IS , suy ra đpcm. Trong mặt phẳng SA,d , đoạn AE cắt đoạn SI tại G’ . Áp dụng định IE G'E G'I lí Ta-let ,ta có: (1) SA G'A G'S 1 Dễ thấy tứ giác SEIM là hình chữ nhật , do đó IE MS SA .Thay 2 G'E G'I 1 vào (1) ta được G'A G'S 2 G'E 1 AE là trung tuyến của tam giác ABC,G’ thuộc đoạn AE và G'A 2 nên G’ là trọng tâm của tam giác ABC , tức là G’  G . Vậy ba điểm GI 1 S,G,I thẳng hàng và cũng từ (1) ,ta có . GS 2 2. Tính V của khối chóp S.ABC . SB SC SBC vuông cân tại S BC  SE , lại có BC  SA · 0 BC  SAE SBC , SAE AE,SE SEA 60 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC là IS , theo giả thiết, ta 3 có : IS a . 2 GI 1 2 Theo kết quả câu 1) , SG SI a , GS 2 3 · 0 Đặt SE x x 0 . Tam giác vuông ASE (vuông tại S ) có SEA 60 nên là nửa tam giác đều, suy ra AS x 3 , AE 2x 1 2x G là trọng tâm của tam giác ABC nên EG AE . 3 3 Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SEG , ta có: 2 2 2 2 · 2 2 4x 2x 1 SG SE EG 2SE.EG.cosSEA a x 2x. 9 3 2 7x2 9a2 3a a2 x2 x SB SE 2 x 2 9 7 7 Thể tích của khối chóp S.ABC : 72
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 3 1 1 1 2 1 3 1 3a 9a 3 V SSBC.SA . SB .x 3 x 3 3 . 3 3 2 6 6 7 14 7 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón. b) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 . Tính diện tích thiết diện này. 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A , ·ABC 600 . Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r , góc giữa đường sinh và đáy hình nón là  . a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón . b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp. 3. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và S· AO 300, S· AB 600 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón. Bài 2 Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R . 1. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối trụ. 2. Tính thể tích khối trụ. 3. Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. Bài 3 1. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O ' , bán kính bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A . Trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B sao cho AB 2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO ' AB. Bài 4 Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng R , góc ở đỉnh là 2 với 450 900 . 73
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón. 2. Tìm diện tích thiết diện do mặt phẳng (P) cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với nhau. 3. Xét hai điểm M, N thay đổi trên đáy sao cho góc giữa mặt phẳng (SMN) và mặt đáy hình nón bằng  . Chứng minh rằng đường thẳng SI với I là trung điểm MN luôn thuộc một mặt nón cố định. Bài 5 Cho hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy tâm O. Tồn tại một hình chóp M.ABC có tam giác ABC với AB AC, B· AC 300 nội tiếp trong đường tròn (O), điểm M thuộc đường sinh và hình chiếu H của M trên mặt đáy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính tỉ số thể tích khối chóp và thể tích khối nón. Bài 6 Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O, O ' có bán kính r và có đường cao h 2r . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O ' sao cho OA  O ' B . 1. Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO ' là những tam giác vuông. Tính diện tích tứ diện này. 2. Gọi ( ) là mặt phẳng qua AB và song song với trục OO '. Tính khoảng cách giữa trục OO ' và mặt phẳng ( ) . 3. Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt trụ trục 2r OO ' có bán kính bằng . 2 CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 7 Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh A, B nằm trên đường trong đáy thứ nhất, hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy một góc 450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ. 74
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 8 Cho hai điểm cố định A, B có AB a . Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AD là đường cao của tam giác ABC . Trong mặt phẳng chứa d và AD , xét đường tròn đường kính AD . Gọi S là một giao điểm của đường tròn này với đường thẳng d . 1. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2. Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì điểm S thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng SA, SB thuộc một mặt nón cố định. Bài 9 Một hình nón có hai đáy là (O; R) , (O '; R) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. 1. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ, 2. Tính thể tích khối trụ tương ứng, 3. Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A ' B 'C ' D ' nội tiếp khối trụ ( trong đó các hình vuông ABCD, A ' B 'C ' D ' nội tiếp (O) và (O ') ), 4. Lấy M là một điểm bất kì trên đường tròn (O '; R) . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAC khi M thay đổi trên (O '; R) , 5. Gọi N là điểm đối xứng với M qua O ' . Xác định vị trí MN sao cho thể tích của tứ diện ACMN đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó. Bài 10 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O; R) và (O '; R), chiều cao của hình trụ là h, AB là một đường kính cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên đường tròn (O ') . 1. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2. Tính thể tích khối lăng trụ n _ giác đều nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ. 75
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 11 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O; R) và (O '; R) , chiều cao của hình trụ là h. AB là một đường kính cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên đường tròn (O '). 1. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2. Gọi N là điểm đối xứng với M qua O ' . Tìm vị trí của MN sao cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất. 3. Tính thể tích khối lăng trụ n giác đều nội tiếp, ngoại tiếp hình trụ. Vấn đề 3. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP VÀ LĂNG TRỤ. Phương pháp: 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy là đa giác nội tiếp. Để xác định tậm của mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.A1 A2 An ta thường thực hiện các bước sau: Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 A2 . Kẻ Ix vuông góc với mặt phẳng (A1 A2 A2) . Xác định mặt phẳng (P) là trung trực một cạnh bên SAi . Tâm O là giao điểm của Ix và (P) . Bán kính R SO OAi . Chú ý: Trong hình chóp đều thì đường cao của hình chóp là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Trong trường hợp trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với một cạnh bên( như hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hay hình chóp đều, ) thay vì tìm xác định mặt phẳng trung trực ta đi xác định đường thẳng trung trực. 76
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Trong một số bài toán chỉ yêu cầu xác định bán kính mặt cầu ngoại ta có thể đưa về tìm bán kính của đường tròn lớn. Nếu hình chóp là một tứ diện có một mặt là tam giác đặc biệt như tam giác vuông, đều hoặc cân nên chọn tam giác đó làm đáy. Nếu xác định đươc đoạn thẳng MN cố định và các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn MN dưới một góc vuông thì tâm MN hình cầu là trung điểm đoạn MN và R . 2 Nếu xác định được điểm O thỏa mãn OS OA1 OA2 OAn thì O chính là tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp. Trong nhiều bài toán thay vì đi xác định bán kính của mặt cầu ta đi xác định bán kính của đường tròn lớn. 2) Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Một lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là trung điểm của đoạn nối hai tâm của hai đáy. 3) Vị trị tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(I, R) d(I, ) R Đường thẳng cắt mặt cầu S(I, R) tại hai điểm A, B d(I, ) R . Khi đó gọi H là hình chiếu của I lên AB , ta có H là trung điểm AB và IH2 AH2 R2 4) Vị trị tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R) d(I, (P)) R , khi đó tiếp điểm H là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng (P) . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(I, R) d(I, (P)) R , khi đó giao tuyến của chúng là đường tròn có tâm H là hình chiếu I lên (P) và bán kính r R2 IH2 . 5) Mặt cầu nội tiếp hình chóp: Là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp 77
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Khi đó I cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Giả sử hình chóp S.A1 A2 An (n 3) có mặt cầu nội tiếp tâm I bán kính r . Gọi V là thể tích khối chóp và  S là diện tích toàn phần của hình chóp. Khi đó 1 V S.r . 3  Nhận xét: 1. Từ công thức trên ta có công thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp của một hình 3V chóp là r . Đối với một số bài toán việc xác tâm mặt cầu  S ngoại tiếp rất khó nên ta có thể vận dụng công thức trên để xác định bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2. Đối với hình chóp đều tâm mặt cầu nội tiếp của hình chóp thuộc đường cao hình chóp. Ví dụ 1.3.5 Cho tứ diện ABCD có AB CD,BC AD,AC BD . Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD cũng là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện đó. Lời giải. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại A tiếp của tứ diện ABCD , ta có OA OB OC OD . Gọi lần lượt là hình O1 ,O2 ,O3 ,O4 chiếu vuông góc của O lên các mặt phẳng BCD , O 3 O O 2 ACD , ABD , ABC thì 4 O lần lượt là tâm D O1 ,O2 ,O3 ,O4 B đường tròn ngoại tiếp của các O tam giác này. 1 Các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC bằng C nhau (c.c.c) nên các bán kính 78
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt R1 ,R2 ,R3 ,R4 của đường tròn ngoại tiếp các tam giác này bằng nhau. Các tam giác vuông OO1B,OO2A,OO3A,OO4B cho 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OO1 OB R1 ,OO2 OA R2 ,OO3 OA R3 ,OO4 OB R4 OO1 OO2 OO3 OO4 O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD . Ví dụ 2.3.5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , đường cao SO a ( O là tâm của hình vuông ABCD ) . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD . Lời giải. Gọi E,F lần lượt là trung S điểm của BC,AB . Trong tam giác vuông SOE , đường phân giác trong · của góc SEO cắt SO tại H1 H I , ta chứng minh I là 2 I tâm mặt cầu nội tiếp hình D C chóp S.ABCD . Gọi H1 ,H2 lần lượt là O E hình chiếu vuông góc của A I lên SE,SF . F B BC  SO BC  SOE BC  IH1 BC  OE IH1  SE IH1  SBC IH1 d I, SBC IH1  BC Tương tự IH2 d I, SAB . Hai tam giác vuông SOE và SOF có SO chung , OE OF nên chúng bằng nhau suy ra hai đoạn tương ứng IH1 ,IH2 bằng nhau . Chứng minh tương tự ta có I cách đều 4 mặt bên của hình chóp đã cho. · Mặt khác I thuộc đường phân giác trong của SEO IO IH1 . Vậy I cách đều tất cả các mặt của hình chóp SABCD mà I ở trong hình chóp do đó I là tâm mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABCD . Áp dụng tính chất của chân đường phân giác ta có 79
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. IO OE IO OE IO OE IS SE IO IS OE SE SO OE SE a a2 a. SO.OE a IO 2 2 . OE SE a a2 a 1 5 1 5 a2 2 4 2 a Vậy bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD là r . 1 5 · Ví dụ 3.3.5 Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và ASB . 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp; 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp; 3. Chứng minh rằng hai tâm mặt cầu đó trùng nhau khi và chỉ khi 450 . Lời giải. 1.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Gọi O là tâm của hình S vuông ABCD , ta có SO vuông góc với ABCD và SO là trục của hình vuông ABCD . J Trong mặt phẳng K SBO ,đường trung trực I1 I2 d của cạnh SB cắt SO C I B tại K , ta có K SO KA KB KC KD O E K d KB KS D M A KA KB KC KD KS Vậy K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Hai tam giác vuông SOB và SJK đồng dạng ( J là trung điểm của SB ) SK SJ SB.SJ SB2 suy ra: SK 1 SB SO SO 2SO Gọi E là trung điểm của AB 80