Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khoái lăng trụ (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khoái lăng trụ (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Phương pháp: Sử dụng công thức thể tích Thể tích khối lăng trụ: V B.h Thể tích khối hộp chữ nhật có các cạnh a, b, c : V abc Thể tích khối lập phương cạnh a : V a3 ' ' ' Để tính thể tích của khối lăng trụ A1 A2 An.A1 A2 An ta cần đi tính chiều cao của lăng trụ và diện tích đáy. Các tính chất của lăng trụ: a) Hình lăng trụ Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc hai đáy được gọi là lăng trụ đứng. * Các cạnh bên của lăng trụ đứng chính là đường cao của nó * Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. b) Hình Hộp : Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành Hình hộp đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là d a2 b2 c2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 . 41
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng (A ' BC) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Lời giải. A' Gọi H là trung điểm của BC, theo C' giả thuyết ta có : ·A ' HA 600 a 3 B' Ta có : AH , A ' H 2AH a 3 2 3a và AA ' . 2 G M Vậy thể tích khối lăng trụ 2 3 A a 3 3a 3a 3 C I V . (đvtt). 4 2 8 H J B Gọi I là tâm của tam giác ABC , suy ra GI / / AA ' GI  (ABC) Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy ra J là giao điểm của GI với đường trung trực đoạn GA ; M là trung điểm GM.GA GA2 7a GA , nên có: GM.GA GJ.GI R GI . GI 2GI 12 Ví dụ 2 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B 'C Lời giải. Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. 42
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Thể tích khối lăng trụ là: B' A' 2 V AA '.S a3 (đvtt). ABC.A ' B 'C ' ABC 2 C' Gọi E là trung điểm của BB ' . E Khi đó mặt phẳng (AME) / / B 'C nên d AM, B 'C d B 'C, (AME) d C, (AME) . B A Nhận thấy d C, (AME) d B, (AME) h M Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một C 1 1 1 1 7 a 7 vuông góc nên: h h2 BA2 BM2 BE2 a2 7 a 7 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B 'C là . 7 Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a. Lời giải. Gọi D là trung điểm AC , A' B' G là trong tâm ABC B 'G  (ABC) B· ' BG 600 C' a 3 B 'G BB '.sin B· ' BG ; 2 a 3a A B BG BD . G 2 4 D C AB 3 AB AB Trong ABC , ta có: BC , AC CD 2 2 4 43
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3AB2 AB2 9a2 BC2 CD2 BD2 4 16 16 3a 13 3a 13 9a2 3 AB , AC ; S 13 26 ABC 104 Thể tích khối tứ diện A '.ABC : 1 9a3 V V B 'G.S . A ' ABC B ' ABC 3 ABC 208 Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ', B 'C ' Lời giải. Gọi H là trung điểm BC A ' H  (ABC) và 1 1 AH BC a2 3a2 a A' C' 2 2 2 2 2 2 A ' H A ' A AH 3a B' A ' H a 3 1 a3 V A ' H.S A '.ABC 3 ABC 3 A (đvtt). C Trong tam giác vuông H A ' B ' H có: B HB ' A ' B '2 A ' H2 2a nên tam giác B ' BH cân tại B ' . Đặt là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì: B· ' BH . a 1 Vậy cos . 2.2a 4 Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD . Góc 0 giữa hai mặt phẳng ADD1 A1 và (ABCD) bằng 60 . Tính thể 44
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . Đề thi ĐH Khối B – 2011 Lời giải. Gọi O AC  BD, I là trung A1 D1 điểm cạnh AD . C Ta có AD  (AOI) B1 1 · · 0 A1IO (ADD1 A1), (ABCD) 60 a I Vì OI , suy ra A I 2OI a A 2 1 D H O 0 a 3 A O OI.tan 60 B 1 2 C a 3 3a3 Do đó V A O.S a.a 3. ABCD.A1B1C1D1 1 ABCD 2 2 Gọi B2 là điểm chiếu của B1 xuống mặt phẳng ABCD B1C / / A1D B1C / /(A1BD) d B1, (A1BD) d C, (A1BD) CH Trong đó CH là đường cao của tam giác vuông BCD CD.CB a 3 Ta có: CH . CD2 CB2 2 a 3 Vậy d B , (A BD) . 1 1 2 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho lăng trụ đều ABC.A' B'C '. Biết mặt phẳng (A' BC) tạo với mặt phẳng (A' B'C ') một góc 600 và khoảng cách từ A đến 3a mặt phẳng (A' BC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ 2 ABC.A' B'C '. 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB a, AC a 3 . Tính thể tích của khối lăng trụ biết mặt phẳng (A ' BC) tạo với đáy một góc 300 . 45
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. Cho lăng trụ đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm cạnh CC ', biết AM  B ' M . Hãy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' và cô sin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (AMB ') với (ABC) . 4. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A ' B 'C ' , có cạnh đáy bằng a , đường chéo BC ' của mặt bên BCC ' B ' tạo với mặt phẳng ABB ' A ' một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' theo a . 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a, AA ' 2a, A 'C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC . Bài 2 1. Cho khối lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C ' . 2. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu của A ' lên mp(ABC) trùng với trung điểm của BC .Tính thể tích của khối lăng trụ đó. 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là ABC là tam giác cân tại A , AB AC a, B· AC 1200 , hình chiếu của A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên AA' 2a . 4. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB A ) là tâm của hình bình hành ABB A . Tính thể tích của khối lăng trụ. 5. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB ,BC vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ và diện tích xung quanh của nó. 46
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 3 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a,A A A B A C b. Tìm b để góc giữa mặt bên (ABB A ) và mặt đáy bằng 600 và tính thể tích của khối lăng trụ khi đó. 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy a. Mặt phẳng (ABC ) hợp với mặt phẳng (BCC B ) một góc . Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối lăng trụ. 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , có đáy ABC là tam giác cân tại A,AB AC a,B· AC . Gọi M là trung điểm của A A. Tính thể tích của khối lăng trụ biết tam giác C MB vuông. 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A,BC a,A· BC . Các mặt phẳng (A AB),(A BC),(A CA) nghiêng đều trên đáy một góc . Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh thể tích của khối lăng 2.a3.sin2 2 .tan trụ ABC.A B C được tính theo công thức V . 32cos cos 2 4 2 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ đường thẳng AA đến mặt phẳng (BB C C) bằng a, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (C AB) bằng b, mặt phẳng (C AB) tạo với đáy góc . Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 4 1. Cho lăng trụ đứng ABCD.A' B'C ' D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a . Mặt phẳng (B' AC) tạo với đáy một góc 300 , a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D' AC) bằng . Tính thể 2 tích khối tứ diện ACB' D' . 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' , AB a, AD a 3 . Tính thể tích khối hộp biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng a (A ' BD) bằng . 2 Bài 5 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D có các cạnh bằng a, B· AD 600, 47
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. B· AA 900, D· AA 1200. Tính thể tích khối hộp. 2. Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a , các góc B· AA ' B· AD D· AA ' 600 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' theo a. 3. Cho hình hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a,B· AA B· AD D· AA ,(0 900 ). Tính thể tích của khối hộp theo a và . Bài 6 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại B,AB a,BC 2a,AA 3a. Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với CA lần lượt cắt các đoạn thẳng CC và BB tại M,N. Tính diện tích tam giác AMN. 2. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên là h . Từ một đỉnh vẽ hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau. Góc giửa hai đường chéo đó có số đo là 0 . Tính diện tích xung quanh của 2 hình lăng trụ đã cho. Bài 7 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC ) biết BM  AC . 2. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ , cạnh đáy a . Mặt phẳng ABC’ hợp với mặt phẳng BCC’B’ một góc có số đo là 0 . Gọi I,J 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC và BC’ . · a) Chứng minh AIJ . b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó. 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a,AC 2a và B· AC 1200. Gọi M là trung điểm cạnh CC thì B· MA 900. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMA ). 48
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có BC a,B· A C 900. Các đường thẳng BA ,CA tạo với mặt phẳng đáy các góc tương ứng , ( ). Tính thể tích của lăng trụ và khoảng cách từ B đến (BCA ). Bài 8 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a,BC b, AA c. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB C). 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ , đáy ABC là tam giác cân tại A . Góc giữa hai đường thẳng AA’ và BC’ là 300 và khoảng cách giữa chúng là a . Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên qua AA’ là 600 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . 3. Cho khối lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa CK và A D. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 9 1. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A,AC a,A· CB . Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (AA C C) một góc . Tính thể tích khối lăng trụ đó. 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông thỏa mãn AB AC a. Góc giữa hai đường thẳng AC và A B bằng . Tính thể tích khối lăng trụ theo a và . 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a,BC 2a .Mặt bên ABB’A’ là hình thoi , mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy , hai mặt này hợp với nhau một góc bằng . a)Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC’B’ . Xác định góc . b)Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc A 600 . Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD . Cho BB’ a . a)Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 49
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp . Bài 10 1. Cho hình lăng trụ AB.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , A A A B A C, B· AA . Tính thể tích của khối lăng trụ. 2. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C cạnh đáy bằng a, đường chéo BC hợp với mặt bên (ABB A ) một góc . Tính thể tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối lăng trụ. Xác định góc để hình lăng trụ đó tồn tại. Bài 11 1. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a . Gọi M là CN 1 trung điểm của BC , N thuộc cạnh CD thỏa . Mặt CD 3 phẳng (A ' MN) chia khối lập phương thành hai khối, gọi (H) là khối chứa điểm A . Tính thể tích của khối (H) theo a . 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a,B· AD (0 900 ). Tính thể tích của khối lăng trụ biết rằng hai đường thẳng AB và BD vuông góc. 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy là hình thoi. Biết diện tích hai mặt chéo ACC ' A ' và BDD 'B ' là s1, s2 , góc · 0 BA ' D 90 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' theo s1 và s2 . Bài 12 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt bên hợp và mặt A ' BD với đáy góc 600 , biết góc B· AD 600, AB 2a, BD a 7 . Tính VABCD.A’B’C’D’ . 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Mặt phẳng A’BC a 3 cách A một khoảng cách bằng và hợp với BC’ một góc biết 4 15 sin . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 10 50
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc vủa A’ lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của · 0 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho BAA' 45 . a)Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. b)Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ . Bài 13 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' , có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ AA ' đến BCC ' B ' bằng a , khoảng cách từ C đến ABC ' bằng b , góc giữa hai mặt phẳng ABC ' và ABC băng . a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' theo a,b và . b) Khi a b không đổi, hãy xác định để thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' nhỏ nhất. 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn O tâm O . Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng ABC là O . Khoảng cách giữa AB và CC’ là d . Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên ACC’A’ và BCC’B’ là 2 0 2 . 2 a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 0 b) Gọi 0 90 là góc giữa hai mặt phẳng ABB’A’ và ABC . Tính biết 900 . Bài 14 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' , góc giữa đường chéo AC ' và mặt đáy ABCD bằng 300 và AC ' a , ·AC ' B . Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' theo a và . Giả sử a không đổi, tìm để thể tích khối hộp lớn nhất. 2. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D , đáy ABCD có BD a không đổi và B· AD D· CB 900 , A· BD ,C· BD . Mặt phẳng (AA C C) là hình thoi, vuông góc với đáy và A· AC 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D và tìm , để thể tích đó lớn nhất. 51
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D , có đường chéo AC d hợp với đáy (ABCD) một góc , hợp với mặt bên (BCC B ) góc . Tìm hệ thức liên hệ giữa ,  để tứ giác A D CB là hình vuông và tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật khi đó. 4. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ . Tam giác ABC’ có diện tích Q 3 và hợp với mặt phẳng đáy một góc có số đo bằng 0 . 2 a) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo Q và . b) Cho Q không đổi và thay đổi. Tính để thể tích V lớn nhất. 5. Gọi ,, , 1 ,1 ,1 là các góc của đường chéo hình hộp chữ nhật với ba cạnh cùng phát xuất từ một đỉnh và ba mặt cùng phát xuất từ một đỉnh. Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 cos cos  cos  1 ; sin 1 sin 1 sin 1 1 . 52