›
›
›

Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khối chóp (Có hướng dẫn)

doc 22 trang xuanthu 340
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khối chóp (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • dockien_thuc_trong_tam_hinh_hoc_lop_12_chu_de_the_tich_khoi_cho.doc
  • docHuong dan giai 02a..doc
  • docHuong dan giai 02b.doc

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Thể tích khối chóp (Có hướng dẫn)

  1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. I. HÌNH CHOÙP. KHOÁI CHOÙP. 1 Hình choùp . Cho ña giaùc loài A1A2 An vaø ñieåm S ôû ngoaøi maët phaúng chöùa ña giaùc . Hình giôùi haïn bôûi n tam giaùc SA1A2 ,SA2A3 , ,SAnA1 goïi laø hình choùp . S • Hình 1 laø hình choùp töù giaùc S.ABCD . • S : ñænh • Töù giaùc ABCD laø ñaùy. K D • Caùc tam giaùc A SAB,SBC,SCD,SDA laø caùc maët beân. H • Caùc tam giaùc SAC,SBD E laø caùc maët cheùo . B C • Caùc caïnh SA,SB,SC,SD Hình 1 laø caùc caïnh beân. • Khoaûng caùch töø ñænh ñeán ñaùy goïi laø chieàu cao h cuûa hình choùp . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S leân maët phaúng ABCD thì SH h . · • SAH laø goùc giöõa caïnh beân SA vaø maët phaúng ñaùy. · • Goïi E laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H leân AB thì SEH laø goùc giöõa maët beân SAB vaø ñaùy . · • HSE laø goùc giöõa ñöôøng cao SH vaø maët beân SAB . • K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H leân SE thì ñoä daøi ñoaïn HK laø khoaûng caùch töø H ñeán maët phaúng SAB . 2.Khoái choùp Khoái choùp laø moät khoái ña dieän giôùi haïn bôûi moät hình choùp . 3.Caùc hình choùp ñaëc bieät. 3.1.Hình choùp ñeàu. 19
  2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ñònh nghóa . Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù ñaùy laø moät ña giaùc ñeàu vaø coù caùc caïnh beân baèng nhau. S S A C A D O E O E B Hình choùp tam giaùc ñeàu B C Hình choùp töù giaùc ñeàu Tính chaát. • Ñaùy laø moät ña giaùc ñeàu. • Hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh treân ñaùy laø taâm cuûa ñaùy . • Caùc maët beân laø caùc tam giaùc caân vaø baèng nhau. Ñöôøng cao veõ töø ñænh cuûa moät maët beân goïi laø trung ñoaïn cuûa hình choùp ñeàu. • Caùc caïnh beân hôïp vôùi ñaùy caùc goùc baèng nhau. • Caùc maët beân hôïp vôùi ñaùy caùc goùc baèng nhau. 3.2. Töù dieän ñeàu. Ñònh nghóa. Töù dieän ñeàu laø töù dieän coù 6 caïnh baèng nhau. Tính chaát. • Caùc maët cuûa töù dieän ñeàu laø caùc tam giaùc ñeàu baèng nhau. Ghi chuù. Moät hình choùp tam giaùc ñeàu laø töù dieän ñeàu khi vaø chæ khi caïnh beân baèng caïnh ñaùy. 3.3. Töù dieän gaàn ñeàu . Ñònh nghóa . Töù dieän gaàn ñeàu laø töù dieän coù caùc caïnh ñoái dieän baèng nhau. II. DIEÄN TÍCH XUNG QUANH, DIEÄN TÍCH TOAØN PHAÀN , THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP. 1.Dieän tích xung quanh , dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp ,theå tích khoái choùp. Dieän tích xung quanh : Sxq = toång dieän tích caùc maët beân. Dieän tích toaøn phaàn : Stp Sxq Sđáy 20
  3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 Theå tích khoái choùp : V B.h , trong ñoù B laø dieän tích ñaùy , h laø 3 chieàu cao cuûa khoái choùp. 2. Tæ soá theå tích cuûa hai töù dieän S V SA' SB' SC' SA'B'C' . . V SA SB SC C' SABC A' B' C A B III.HÌNH CHOÙP CUÏT . KHOÁI CHOÙP CUÏT 1.Hình choùp cuït . Ñònh nghóa : Hình choùp cuït laø phaàn cuûa hình choùp ñöôïc giôùi haïn bôûi ñaùy vaø moät thieát dieän song song vôùi ñaùy S Hình veõ beân laø hình choùp cuït ABCD.A’B’C’D’ . D' Ñaùy goïi laø ñaùy lôùn , ñaùy A' ABCD A’B’C’D’ goïi laø ñaùy nhoû C' Khoaûng caùch giöõa hai ñaùy goïi laø B' D chieàu cao cuûa hình choùp cuït. A Caùc maët ABB’A’,BCC’B’,CDD’C’,DAA’D’ goïi caùc maët beân . Caùc maët beân cuûa hình B C choùp cuït laø caùc hình thang,. Caùc caïnh AA’,BB’,CC’,DD’ goïi laø caùc caïnh beân , caùc caïnh beân cuûa hình choùp cuït ñoàng quy taïi ñænh cuûa hình choùp phaùt sinh ra hình choùp cuït ñoù. 2.Hình choùp cuït ñeàu :Laø hình choùp cuït ñöôïc caét ra töø hình choùp ñeàu Tính chaát cuûa hình choùp cuït ñeâu : • Hai ñaùy laø hai ña giaùc ñeàu. • Chieàu cao laø khoaûng caùch giöõa taâm hai ñaùy . • Caùc caïnh beân baèng nhau vaø hôïp vôùi ñaùy caùc goùc baèng nhau 21
  4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. • Caùc maët beân laø caùc hình thang caân baèng nhau vaø hôïp vôùi ñaùy caùc goùc baèng nhau.Chieàu cao cuûa moät maët beân goïi laø trung ñoaïn cuûa hình choùp cuït ñeàu. 3.Khoái choùp cuït. Ñònh nghóa .Khoái choùp cuït laø khoái ña dieän giôùi haïn bôûi moät hình choùp cuït. 4.Dieän tích cuûa hình choùp cuït. Theå tích cuûa khoái choùp cuït. Dieän tích xung quanh. Sxq = toång dieän tích caùc maët beân. Dieän tích toaøn phaàn . Stp Sxq S hai đáy . h Theå tích : V B B.B' B' trong ñoù B,B’ laø dieän tích hai ñaùy , h 3 laø chieàu cao. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Ñeå tính theå tích khoái choùp S.A1 A2 An ta ñi tính ñöôøng cao vaø dieän tích ñaùy. Khi xaùc ñònh chaân ñöôøng cao cuûa hình choùp caàn chuù yù: • Hình choùp ñeàu thì chaân cuûa ñöôøng cao laø taâm cuûa ñaùy • Hình choùp coù maët beân (SAi Ak) vuoâng goùc vôùi maët ñaùy thì chaân ñöôøng cao caûu tam giaùc SAi Ak haï töø S laø chaân ñöôøng cao cuûa hình choùp. • Neáu coù hai maët phaúng ñi qua ñænh vaø cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy thì giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ñoù vuoâng goùc vôùi ñaùy. • Neáu caùc caïnh beân cuûa hình choùp baèng nhau thì hình chieáu cuûa ñænh laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy. • Neáu caùc maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng nhau thì hình chieáu cuûa ñænh laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ñaùy. Chuù yù: Hình choùp ñeàu. Khi giaûi caùc baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp, dieän tích xung quanh , dieän tích toaøn phaàn ,ta thöôøng gaëp caùc giaû thieát veà goùc ,khoaûng caùch ,do ñoù caàn xem laïi caùc caùch döïng goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng , goùc giöõa hai maët phaúng , khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng ,khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau . 22
  5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt S S H H A C D C O E O E A Hình choùp tam giaùc ñeàu B B Hình choùp töù giaùc ñeàu • SO h chieàu cao cuûa hình choùp . · • SAO laø goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy · • E laø trung ñieåm cuûa BC , SEO laø goùc giöõa maët beân vaø ñaùy. · • SBC laø goùc ôû ñaùy cuûa moät maët beân. · • OSE laø goùc giöõa SO vaø maët beân. • Döïng OH vuoâng goùc vôùi SE taïi H thì OH laø khoaûng caùch töø O ñeán maët SBC . Chuù yù: Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët ñaùy. Döôùi ñaây laø moät caùch döïng caùc loaïi khoaûng caùch vaø caùc loaïi goùc thöôøng gaëp trong moät hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy . * Xeùt hình choùp S.ABC trong S ñoù SA  ABC . Döïng AE  BC,(E BC) , ta coù goùc giöõa hai maët phaúng · SBC vaø ABC laø SEA , · SA, SBC ASE , AE d SA,BC . H Döïng J AH  SE H SE AH d A, SBC A I C . K 23 F E B
  6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. · · SB, ABC SBA , SC, ABC SCA. Döïng CF  AB F AB CF  SAB CF d C, SAB Döïng FK  SB K SB goùc giöõa hai maët phaúng SAB vaø SBC laø · CKF. Döïng BI  AC I AC BI d B, SAC . ¶ Döïng IJ  SC J SC goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø SAC laø BJI . *Xeùt hình choùp S.ABCD trong ñoù SA  ABCD . S F J H I D A E K B C Döïng AE  CD E CD , AK  BC K BC · · AK d SA, BC ,AE d SA, CD , SCD , ABCD SEA, SBC , ABCD SKA Döïng AH  SK H SK , AF  SE F SE AH  SBC , AF  SCD AH d A, SBC , AF d A, SCD , SBC , SCD AH,AF . Döïng CI  AD I AD CI d C, SAD ¶ Döïng IJ  SD J SD SAD , SCD IJC. d C, SAB , SAB , SBC ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö treân 24
  7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 1. 2 Cho hình choùp S.ABC coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng · 0 ABC , ñaùy ABC laø tam giaùc caân coù AB AC a , BAC 120 , goùc giöõa SC vaø maët phaúng SAB laø 300 . 1. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC ; 2.Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC . Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AI vaø SB . Lời giải. S E H t A C  K a 120 I B 1.Tính theå tích khoái choùp S.ABC . SAB  SAC SA SA  ABC SAB  ABC , SAC  ABC CH  SA Döïng CH  AB taïi H , khi ñoù CH  SAB CH  AB · 0 (giaû thieát) hcSC / SAB SH SC, SAB SC,SH CSH 30 Trong tam giaùc vuoâng AHC : a a 3 AH AC.cos600 ,CH AC.sin600 . 2 2 Trong tam giaùc vuoâng SHC ( vuoâng taïi S ) , a 3 3a SH CH.cot 300 . 3 . 2 2 Trong tam giaùc vuoâng SAH (vuoâng taïi A ) 25
  8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 9a2 a2 SA SH2 AH2 a 2 . 4 4 Dieän tích tam giaùc 2 2 2 1 · a 0 a 3 a 3 ABC : S AB.AC.sin BAC .sin120 . . ABC 2 2 2 2 4 Suy ra theå tích cuûa khoái choùp S.ABC . 1 1 a2 3 a3 6 V S .SA . .a 2 . 3 ABC 3 4 24 2.Tính d AI,SB . Döïng ñöôøng thaúng Bt song song vôùi AI , ta coù Bt vuoâng goùc vôùi BC vaø maët phaúng S,Bt laø maët phaúng chöùa SB vaø song song vôùi AI , suy ra d SB,AI d A, S,Bt . Döïng BK vuoâng goùc vôí Bt taïi K , döïng AE vuoâng goùc vôùi SK taïi K , khi ñoù ta coù: Bt  SA Bt  SAK Bt  SAK Bt  AE. Bt  AK AE  Bt AE  S,Bt AE d A, S,Bt d AI,SB . AE  SK µ $ $ 0 Töù giaùc AKBI coù K B I 90 neân laø hình chöõ nhaät , suy ra a 3 AK IB AB.sin600 . 2 Trong tam giaùc vuoâng SAK (vuoâng taïi A ), ta coù 1 1 1 1 4 11 a 66 AE . AE2 SA2 AK2 2a2 3a2 6a2 11 a 66 Vaäy d AI,SB . 11 Ví dụ 2. 2 Cho töù dieän ñeàu SABC coù caïnh baèng a , ñöôøng cao SH . 1. Chöùng minh SA vuoâng goùc vôùi BC ; 2. Tính theå tích cuûa khoái choùp SABC ; 3. Goïi O laø trung ñieåm cuûa ñoaïn SH . Chöùng minh raèng OA,OB,OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Lời giải. 26
  9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1.Chöùng minh SA  BC . S Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC , vì caùc tam giaùc ABC,SBC laø caùc tam giaùc AM  BC ñeàu neân SM  BC O BC  SAM BC  SA. 2.Tính VSABC . C Theo tính chaát cuûa hình A choùp ñeàu ta coù H laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC H H AM , M 2 2 a 3 a 3 AH AM . . 3 3 2 3 B SH  ABC SH  AH. Trong tam giaùc vuoâng SHA (vuoâng taïi H ) , 3a2 6a2 a 6 SH2 SA2 AH2 a2 SH . 9 9 3 1 1 a2 3 a 6 a3 2 Theå tích cuûa khoái choùp SABC : V S .SH . . 3 ABC 3 4 3 12 3. Chöùng minh OA,OB,OC ñoâi moät vuoâng goùc . O thuoäc truïc SH cuûa tam giaùc ABC neân OA OB OC . 2 2 a 3 a 6 a2 Trong tam giaùc vuoâng , 2 2 2 . OHA OA AH OH 3 6 2 a2 a2 Trong tam giaùc caân OAB : OA2 OB2 a2 AB2 2 2 OAB vuoâng taïi O , töùc laø OA  OB . Chöùng minh töông töï ta coù OA,OB,OC ñoâi moät vuoâng goùc . Ví dụ 3. 2 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù khoaûng caùch töø taâm O cuûa ñaùy ñeán maët beân laø a , goùc giöõa ñöôøng cao vaø maët beân laø 300 . 1. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD ; 2. Goïi E,F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB vaø SC ; M laø ñieåm treân caïnh SD sao cho MS 2MD . Maët phaúng MEF caét SA taïi N . Tính theå tích cuûa khoái choùp S.EFMN 27
  10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 1.Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD . Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC , ta coù BC  SOI (do BC  OI,BC  SO ), suy ra SBC  SOI . Döïng OH  SI S I thì OH  SBC vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng SO leân maët phaúng SBC laø ñöôøng thaúng SI , do ñoù · 0 OH d O, SBC a vaø SO, SBC OSI 30 (giaû thieát). OH 2a 3 Trong tam giaùc vuoâng SOE , SO 2a , OI SOtan 300 sin300 3 4a 3 Suy ra AB 2OI 3 Theå tích cuûa khoái choùp 2 1 1 1 4a 3 32a3 2 . S.ABCD : V SABCD.SO AB .SO .2a 3 3 3 3 9 2.Tính theå tích cuûa khoái choùp S.EFMN EF laø ñöôøng trung bình trong tam giaùc SBC neân EF P BC suy ra EF P AD (do AD P BC ). EF P AD SN SM 1 EF  MEF ,AD  SAD MN P EF P AD SA SD 3 MEF  SAD MN 28
  11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 Ta coù : V V V . S.BCD S.ABD 2 S.ABCD VS.EFM SE SF SM 1 1 1 1 1 1 . . . . VS.EFM VS.BCD VS.ABCD VS.BCD SB SC SD 2 2 3 12 12 24 VS.EMN SE SM SN 1 1 1 1 1 1 . . . . VS.EMN VS.BDA VS.ABCD VS.BDA SB SD SA 2 3 3 18 18 36 1 1 5 5 32a3 20a3 VS.EFMN VS.EFM VS.EMN VS.ABCD VS.ABCD . . 24 36 72 72 9 81 Ví dụ 4. 2 Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B , BA 3a , BC 4a ; maët phaúng (SBC) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) . Bieát SB 2a 3 vaø S· BC 300 . Tính theå tích khoái choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maët phaúng SAC theo a. Đeà thi ÑH Khoái D – 2011 Lời giải. Goïi H laø hình chieáu cuûa S xuoáng BC . Vì (SBC)  (ABC) neân SH  (ABC) . Ta coù SH a 3 . S 1 Do ñoù V SH.S 2a3 3 S.ABCD 3 ABC Ta coù tam giaùc SAC vuoâng taïi S . Vì SA a 21, SC 2a, AC 5a vaø 2 S SAC a 21 neân ta coù ñöôïc 3VSABC 6a d B, (SAC) . A C S SAC 7 H B Ví dụ 5. 2 Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi B, AB BC 2a ; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB; maët phaúng SM vaø song song vôùi BC, caét AC taïi N. Bieát goùc giöõa 29
  12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC) baúng 60o. Tính theå tích khoái choùp S.BCNM vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø SN theo a Đeà thi ÑH Khoái A – 2011 Lời giải. Do hai maët phaúng SAB vaø SAC caét nhau theo giao tuyeán SA vaø cuøng vuoâng goùc vôùi ABC neân SA  ABC , hay SA laø ñöôøng cao cuûa khoái choùp S.BCNM . S Ta coù : SBCNM SABC SAMN 1 1 3a2 2a2 MA.MN 2a2 a2 2 2 2 BC  AB H Do SAB  BC . BC  SA · Neân SBA chính laø goùc giöõa hai maët E N phaúng SBC vaø ABC , theá thì theo A C giaû thieát ta coù S· BA 600 . M P Trong tam giaùc vuoâng SAB ta coù SA AB tan 600 2a 3 . B 1 1 3a2 Vaäy V SA.S .2a 3. 3a3 dvtt S.BCNM 3 BCNM 3 2 Goïi P laø trung ñieåm cuûa BC thì AB / / NP, AB  SPN neân AB / / SPN do ñoù d AB, SN d AB; SPN d A; SPN PN  AE Töø A haï AE  NP, E PN thì PN  SAE ; PN  SA Haï AH  SE thì AH  SPN d A; SPN AH . 1 1 1 13 Ta coù AE NP a; SA 2a 3 AH2 AS2 AE2 12a2 12 12 AH a . Vaäy d A; SPN a . 13 13 30
  13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 6.2 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät, tam giaùc SAB laø tam giaùc ñeàu caïnh a vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Maët phaúng (SAC) vaø (SCD) taïo vôùi ñaùy laàn löôït caùc goùc 600 vaø 300 . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD . Lời giải. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB SH  AB 1 Maø (SAB)  (ABCD) SH  (ABCD) V SH.S S.ABCD 3 ABCD Veõ S HK  AC AC  (SHK) S· KH laø goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø maët ñaùy neân S· KH 600 . Veõ HE  CD CD  (SHE) S· EH A D laø goùc giöõa hai maët phaúng SCD vaø K H maët ñaùy neân S· EH 300 . E Ñaët AB x , trong tam giaùc SHE ta B C x 3 coù: SH HE.tan 300 (1) 3 KH AH ax Ta coù AKH  ABC KH BC AC 2 a2 x2 ax 3 Trong tam giaùc SHK ta coù: SH HK tan 600 (2) 2 a2 x2 Töø (1) vaø (2), suy ra: x 3 ax 3 3a a 5 x2 a2 x 3 2 a2 x2 2 2 Vaäy theå tích khoái choùp S.ABCD laø: 1 1 x 3 5a3 3 V SH.AB.AD . .a.x 3 3 3 36 31
  14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho hình choùp S.ABC , maët beân (SBC) laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA  (ABC) . Bieát goùc B· AC 1200 . Tính theå tích khoái choùp S.ABC theo a . 2. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , tam giaùc SAC caân taïi S , S· BC 600 , maët phaúng (SAC) vuoâng goùc vôùi ABC . Tính theo a theå tích khoái choùp S.ABC . 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O . Hình chieáu cuûa S leân maët ñaùy truøng vôùi ñieåm H laø trung ñieåm cuûa AO . Maët phaúng (SAD) taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 vaø SC a . Tính VS.ABCD vaø d AB, SC . 4. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi ; hai ñöôøng cheùo AC 2a 3, BD 2a vaø caét nhau taïi O ; hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ABCD . a 3 Bieát khoaûng caùch töø ñieåm O ñeán maët phaúng (SAB) baèng , 4 tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a . 5. Trong maët phaúng (P) cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C coù AB 2a , AC a . Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi A laáy ñieåm S sao cho hai maët phaúng (SAB) vaø (SBC) taïo vôùi nhau moät goùc 600 . Tính theå tích hình choùp S.ABC . 6. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi A , AB a, AC 2a . Maët phaúng (SBC) vuoâng goùc vôùi ñaùy , hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng taïo vôùi maët phaúng ñaùy goùc 600 . Tính theå tích khoái choùp S.ABC theo a . 7. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân AB BC a, ñöôøng cao SA a. Goïi B laø trung ñieåm cuûa SB,C laø chaân ñöôøng cao haï töø A cuûa tam giaùc SAC. Chöùng minh SC  (AB C ) vaø tính theå tích khoái choùp S.AB C . 32
  15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 8. Cho hình choùp S.ABC coù SA  (ABC), ñaùy laø tam giaùc caân taïi A, ñoä daøi trung tuyeán AD a, caïnh beân SB taïo vôùi ñaùy moät goùc vaø taïo vôùi maët phaúng (SAD) goùc . Tính theå tích khoái choùp ñoù. 9. Cho hình choùp S.ABC, ñaùy ABC laø tam giaùc caân AB AC, caïnh BC a,B· AC . Caùc caïnh beân cuøng taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc . Tính theå tích khoái choùp theo a, ,. 10. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät AB a , AD 2a , caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600 . Treân caïnh SA laáy ñieåm M sao a 3 cho AM . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N . Tính theå 3 tích khoái choùp S.BCMN . Bài 2 1. Cho hình choùp S.ABC coù SA  (ABC) , AB 5a, BC 6a, 2a 6 CA 7a . Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC) baèng 3 Tính theå tích khoái choùp S.ABC . 2. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC . Tính theå tích khoái choùp S.ABC bieát: a) Caïnh ñaùy baèng a vaø maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 b) Caïnh beân baèng 2a vaø SA  BM , vôùi M laø trung ñieåm SC . 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi vaø AB BD a, SA a 3 , SA  (ABCD) . Goïi M laø ñieåm treân caïnh 2 SB sao cho BM SB , giaû söû N laø ñieåm di ñoäng treân caïnh 3 AD . Tìm vò trí cuûa ñieåm N ñeå BN  DM vaø khi ñoù tính theå tích cuûa khoái töù dieän BDMN . 4. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D , tam giaùc SAD ñeàu coù caïnh baèng 2a, BC 3a . Caùc maët beân taïo vôùi ñaùy caùc goùc baèng nhau. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD . 33
  16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 5. Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB a,AD a 2,SA a vaø SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC; I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng maët phaúng (SAC) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. 6. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình chöõ nhaät caïnh AB a, SA  (ABCD),SC taïo vôùi maët phaúng ñaùy goùc 450 vaø taïo vôùi maët phaúng (SAB) goùc 300. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a. 7. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình chöõ nhaät caïnh AB a, AD 2a SA  (ABCD). Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh SA vaø BC, E laø giao ñieåm cuûa maët phaúng (DMN) vôùi caïnh beân SB. Tính theå tích khoái choùp S.DMEN theo a bieát raèng D· MN 300. 8. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân ñeàu baèng a . a) Haõy tính theå tích cuûa khoái choùp , dieän tích toaøn phaàn vaø dieän tích maët cheùo cuûa hình choùp SABCD . b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán SCD . 9. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 vaø caïnh ñaùy baèng a . a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD . b) Qua A döïng maët phaúng P vuoâng goùc vôùi SC . Tính dieän tích thieát dieän taïo bôûi P vaø hình choùp S.ABCD . 10. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD caïnh ñaùy baèng a vaø ñöôøng cao baèng h . Goïi P laø maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi SC . P caét caùc caïnh SB,SC,SD laàn löôït taïi B’,C’,D’. a) h phaûi thoûa maõn ñieàu kieän gì ñeå C’ laø moät ñieåm thuoäc caïnh SC . b) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’. c) Chöùng minh tam giaùc B’C’D’ luoân coù moät goùc tuø. Bài 3 1. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD . Tính theå tích khoái choùp bieát a) Caïnh beân baèng a 5 vaø maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 34
  17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt b) Ñöôøng cao cuûa hình choùp taïo vôùi ñaùy moät goùc 450 vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø SC baèng 2a . 2. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD. Goïi H laø hình chieáu cuûa S leân maët ñaùy. Tính theå tích cuûa khoái choùp bieát: a) Caïnh beân baèng b, goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy laø . b) Caïnh ñaùy baèng a, khoaûng caùch töø trung ñieåm cuûa SH ñeán maët phaúng (SCD) baèng k. 3. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù caïnh ñaùy baèng a , khoaûng a 2 caùch giöõa caïnh ñaùy vaø caïnh beân baèng .Tính theå tích cuûa khoái 2 choùp S.ABC . 4. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù AB a,SA a 2 . Goïi M,N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA,SB vaø CD . a)Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng SP . b)Tính theo a theå tích cuûa khoái töù dieän AMNP . 5. Moät hình choùp S.ABC coù hai maët phaúng SAB vaø SAC cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ABC . Tam giaùc ABC laø moät tam giaùc caân ñænh A , trung tuyeán AD a , ñöôøng thaúng SB hôïp vôùi maët phaúng ABC moät goùc baèng vaø hôïp vôùi maët phaúng SAD moät goùc baèng  . a) Xaùc ñònh caùc goùc , . b) Chöùng minh SB2 SA2 AD2 BD2. a3 sin sin c) CM theå tích cuûa khoái choùp S.ABC : V . 3cos  cos  6. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät coù caïnh AB a , caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy , SC hôïp vôùi ñaùy goùc vaø hôïp vôùi maët beân SAB moät goùc  . a2 a) Chöùng minh raèng SC2 . cos2 sin2  b) Tính theå tích cuûa khoái choùp ñaõ cho. 7. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi coù goùc nhoïn A baèng . Hai maët beân SAB , SAD vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñaùy , hai maët beân coøn laïi hôïp vôùi maët phaúng ñaùy goùc  . Cho SA a . 35
  18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. a)Tính dieän tích xung quanh cuûa hình choùp S.ABCD . b) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD . c) Goïi laø goùc hôïp bôûi ñöôøng thaúng SB vôùi maët phaúng SAC . cot.sin Chöùng toû raèng sin 2 . sin2 cot2  Bài 4 Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC. Goïi H laø hình chieáu cuûa S leân maët phaúng (ABC). Tính theå tích cuûa khoái choùp bieát 1. Caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng b. 2. Caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy laø . 3. Chieàu cao baèng h vaø A· SB . 4. Trung ñoaïn baèng d, goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy laø . Bài 5 1. Cho hình choùp S.ABC coù hai maët SBC vaø ABC laø nhöõng tam giaùc ñeàu caïnh a, goùc giöõa hai maët phaúng ñoù laø 600. Tính khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maët phaúng (SAC). 2. Cho khoái choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi B,BA a, BC 2a,SA 2a,SA  (ABC). Goïi H,K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SB,SC. Tính khoaûng caùch töø ñieåm K ñeán maët phaúng (SAB). 3. Cho hình choùp ñeàu S.ABC coù caïnh ñaùy baèng a. Goïi B ,C laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB,SC. Tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (ABC ) bieát raèng (SBC)  (AB C ). Bài 6 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,CD vaø ñieåm H chia ñoaïn MN 1 theo tæ soá . Maët phaúng (SAB) taïo vôùi maët phaúng ñaùy goùc 600. 3 Tính khoaûng caùch töø N ñeán maët phaúng (SAC) bieát raèng SH  (ABCD). 2. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình thoi taâm O caïnh 5a, AC 4a,SO 2 2a vaø SO vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SA vaø BM. 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng vôùi ñaùy lôùn AB, ñöôøng cao AD. Caùc maët beân taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 36
  19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt vaø chaân ñöôøng cao I cuûa hình choùp naèm trong hình thang ABCD. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD vaø khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC) bieát raèng IC 3a,IB 4a. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 7 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù goùc ôû ñaùy cuûa moät maët beân laø 0 , chieàu cao SH h ( H laø giao ñieåm cuûa AC vaø 2 BD .). 1. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình choùp vaø theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD theo h vaø .Tìm ñieàu kieän cuûa ñeå baøi toaùn coù nghóa. 2. Goïi I laø trung ñieåm cuûa SD . Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SH vaø CI theo h vaø . 3. Cho ñieåm M di ñoäng treân caïnh SC . Tìm taäp hôïp hình chieáu vuoâng goùc cuûa S leân maët phaúng MAB . Bài 8 Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù caïnh beân laø a , goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy ABC laø 0 2 1.Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC theo a vaø . 2. Cho a khoâng ñoåi vaø bieán thieân trong khoaûng 0, , khi ñoù tìm 2 giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích khoái choùp SABC . 3. Xaùc ñònh ñeå hình choùp S.ABC trôû thaønh töù dieän ñeàu. Bài 9 · 0 1. Cho hình choùp S.ABC coù SA SB SC a, ASB 60 , B· SC 900, C· SA 1200 . Goïi E laø trung ñieåm cuûa SB . Tính theå tích khoái choùp S.ABC ;ø goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CE . 2. Cho khoái choùp S.ABC, ñaùy ABC coù AB a,AC b, B· AC . Caïnh beân SA c vaø S· AB S· AC , (0  900 ). Tính theå tích khoái choùp S.ABC. 3. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Treân caïnh AB laáy ñieåm M sao cho AM x. Treân ñöôøng thaúng  (ABC) taïi ñieåm M, laáy S sao cho MS MA. Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Maët phaúng (SMI) caét 37
  20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ñöôøng thaúng AC taïi N(NA NC). Tìm x ñeå VSMBI VSCNI VSABC. 4. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù caïnh ñaùy baèng a , maët beân coù goùc ôû ñaùy laø 0 . Chöùng minh raèng dieän tích cuûa thieát 2 dieän qua moät caïnh beân vaø ñöôøng cao veõ töø S cuûa hình choùp ñaõ cho laø a2 sin 300 sin 300 . 4cos Bài 10 Cho hình choùp ñeàu S.ABCD , ñöôøng cao SH . Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD bieát: 1.Caïnh ñaùy baèng a vaø khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa SH ñeán (SBC) baèng b 2. Caïnh beân baèng b vaø maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 00 900 . Ñoàng thôøi haõy xaùc ñònh ñeå V lôùn nhaát. S.ABCD Bài 11 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , SA vuoâng goùc vôùi ñaùy. Maët phaúng (SBD) taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 . Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A leân SB, SD. Maët phaúng (AMN) caét SC taïi P. Tính theå tích khoái choùp S.AMPN . 2. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD ; H laø giao ñieåm cuûa CN vaø DM . Bieát SH vuoâng goùc vôùi maët phaúng ABCD vaø SH a 3 . Tính theå tích khoái choùp S.CDNM vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng DM vaø SC theo a. 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, caïnh beân SA a ; hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh S treân maët AC phaúng ABCD laø ñieåm H thuoäc ñoaïn AC, AH . Goïi CM laø 4 ñöôøng cao cuûa tam giaùc SAC . Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa SA vaø tính theå tích khoái töù dieän SMBC theo a. 4. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, SA a , SB a 3 vaø maët phaúng (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh 38
  21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt AB, BC . Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.BMDN vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng SM, DN . 5. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a , maët beân SAD laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB, BC, CD . Chöùng minh AM vuoâng goùc vôùi BP vaø tính theå tích khoái töù dieän CMNP . 6. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a .Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua trung ñieåm cuûa SA , M laø trung ñieåm cuûa AE , N laø trung ñieåm cuûa BC . Chöùng minh MN vuoâng goùc vôùi BD vaø tính ( theo a ) khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng MN vaø AC . Bài 12 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D , AB 3a, AD DC a . Goïi I laø trung ñieåm AD, bieát hai maët phaúng (SBI) vaø (SCI) cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø maët phaúng (SBC) taïo vôùi ñaùy moät goùc 600 . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD vaø khoaûng caùch töø trung ñieåm caïnh SD ñeán maët phaúng (SBC) . 2. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D ; AB AD 2a, CD a ; goùc giöõa hai maët phaúng SBC vaø (ABCD) baèng 600 . Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh AD . Bieát hai maët phaúng SBI vaø SCI cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) , tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a. 3. Cho hình choùp S.ABCD ñaùy laø hình thang, ·ABC B· AD 900 BA BC a, AD 2a . Caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA a 2 . Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân SB . Chöùng minh tam giaùc SCD vuoâng vaø tính (theoa ) khoaûng caùch töø H ñeán (SCD) . 39
  22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 13 Cho hình choùp S.ABC coù caùc caïnh ñaùy AB 5a, BC 6a, AC 7a . Caùc maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng nhau vaø baèng 600 . Tính theå tích khoái choùp S.ABC vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC) . Bieát hình chieáu cuûa ñænh S thuoäc mieàn trong tam giaùc ABC . Bài 14 1. Cho töù dieän ABCD vôùi naêm caïnh coù ñoä daøi baèng a vaø caïnh AD x,0 x a 3. Tính theå tích khoái töù dieän ABCD vaø tìm x theo a ñeå theå tích ñoù ñaït giaù trò lôùn nhaát. 2. Goïi V laø theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD coù caùc caïnh thoûa maõn ñieàu kieän AB CD a,AC BD b, AD BC c. Chöùng minh : 2abc V . 12 3. Cho töù dieän gaàn ñeàu ABCD coù AB CD a, AC BD b, AD BC c . Tính theå tích cuûa khoái töù dieän. Bài 15 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , SA SB SC a . Tính SD theo a ñeå khoái choùp S.ABCD coù theå tích lôùn nhaát. 2. Cho hình choùp S.ABC coù SA SB SC a vaø ·ASB , B· SC ,C· SA  . Tính theå tích khoái choùp S.ABC theo a, , , . 3. Cho khoái choùp töù giaùc S.ABCD coù caïnh SC x vaø taát caû caùc caïnh coøn laïi ñeàu baèng a,(0 x a 3). Tính theå tích khoái choùp vaø tìm x theo a ñeå theå tích ñoù lôùn nhaát. 40