Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Tỉ số thể tích (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Tỉ số thể tích (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt TỈ SỐ THỂ TÍCH Phương pháp: 1) Tỉ số về diện tích: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng AB, AC thì S AM AN AMN . . SABC AB AC A A M N M C B C B A' Nếu điểm M nằm trong tam giác ABC, AM cắt BC tại A S MA thì : MBC . SABC MA Nếu điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC, thì S BM S CM BAM , CAM . SBAC BC SCAB CB A A G B C M C B Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, thì 1 S S S S . GBC GCA GAB 3 ABC 53
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Nếu M nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC, thì: S 1 MBC . SABC 2 A A M M C B C B Nếu M nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với BC, thì S MBC 1. SABC 2) Tỉ số về khoảng cách A B K H M Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) ở điểm M thì: d(A, (P)) AM . d(B, (P)) BM Đường thẳng song song với một mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 3) Tỉ số về thể tích: Cho khối chóp tam giác S.ABC. 54
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C bất kỳ. V SA SB SC Ta có S.A B C . . . VS.ABC SA SB SC S S S C' A' M M B' C A C A A C B B B V SM Nếu M nằm trên cạnh SC thì S.ABM . VS.ABC SC Nếu M nằm trong hình chóp và SM cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm S thì V MS M.ABC . VS.ABC SS Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Mặt phẳng P qua A và vuông góc với SI cắt SB,SC lần lượt tại 1 M,N .Biết rằng V V . Hãy tính V . SAMN 4 SABC SABC Lời giải. 55
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. BC  AI ( do ABC đều ) và S BC  SA . Suy ra : BC  SAI BC  SI P  SI P P BC . N P P BC H P  SBC MN M SM SN MN P BC SB SC A C Theo giả thiết , ta có : V SA SM SN 1 SAMN . . I VSABC SA SB SC 4 B SM SN 1 SB SC 2 Suy ra M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC . Trong tam giác SBC,MN là đường trung bình của tam giác , gọi H là giao điểm của MN với SI thì H là trung điểm của SI . Tam giác SAI có trung tuyến AI  SI do AI  P  SI nên là tam giác a 3 cân tại A , suy ra SA AI 2 1 1 a2 3 a 3 a3 Thể tích tứ diện ABCD : V S .SA . . . SABC 3 ABC 3 4 2 8 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a . SM 2 SN Gọi M, N là các điểm thuộc SB, SC sao cho , x . SB 3 SC a) Tính thể tích khối chóp S.AMN theo a, x b) Tìm x theo a để mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 56
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB a,SA 2a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SA cắt các cạnh SB,SC lần lượt tại H,K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có SA AB a,SA  (ABCD) và đáy là hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Đường thẳng AN tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối đa diện MNABCD. Bài 3 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD ; M là giao điểm của SC với (AHK) . Chứng minh rằng SC  AM và tính thể tích khối chóp S.AHMK . 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, B· AD 600 ,SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng ( ) qua AC và song song với BD cắt SB,SD lần lượt tại B ,D . Tính thể tích khối chóp S.AB C D . Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M,N,P nằm trên các BM 1 NB 2 PB 1 cạnh A B ,B C ,BC sao cho , , . Tính tỉ số thể A B 2 B C 3 BC 3 tích hai phần khi chia lăng trụ bởi mặt phẳng (MNP). Bài 5 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có độ dài cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC,I là tâm hình vuông CC D D. Tính thể tích của các khối đa diện do mặt phẳng (AMI) chia hình lập phương. Bài 6 1. Cho O là một điểm nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng 57
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh : 1 1 1 1 1 . r hA hB hC hD 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L,M, N. SA SC SB SD Chứng minh rằng: . SK SM SL SN 3. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M,N,P lần lượt nằm trên các cạnh CB,BD,AC sao cho BC 4BM,AC 3AP,BD 2BN. Mặt phẳng AQ (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số và tỉ số thể tích hai phần của AD khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 7 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC . Tính tỷ số thể tích hai phần của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng MNE . 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD,SC. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNE). Bài 8 Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC),SA a,AB b, AC c, B· AC . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB,SC. a) Chứng minh rằng VSAMN : VSABC không phụ thuộc vào độ lớn . b) Tính a theo b,c biết rằng mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. c) Tính thể tích của khối chóp S.AMN. Bài 9 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AA a, AB b,AD c. Mặt phẳng qua A,C và trung điểm của A B chia khối chữ nhật thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần. 2. Cho khối lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M là trung điểm 58
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt của BC,N chia đoạn CD theo tỉ số 2. Mặt phẳng (A MN) chia khối lập phương thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần. 3. Cho khối hộp ABCD.A B C D và M là trung điểm B C . Mặt phẳng ( ) chứa AM và song song với B D chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài 10 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ·ASC 900, SA lập với đáy góc (00 900) và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (SAB) bằng . Mặt phẳng ( ) qua A, vuông góc cạnh SC cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P. Tính thể tích khối chóp S.AMNP. Bài 11 1. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Các điểm a M BB , N DD sao cho MB ND . Mặt phẳng (AMN) 1 1 1 1 3 chia hình lập phương thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần và tỷ số thể tích 2 phần đó. 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABD là tam giác đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C ' D '. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AMN) biết rằng MN  B ' D . 3. Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có thể tích bằng thể tích khối lập phương cạnh a . Trên các cạnh AA ', BB ' lấy M, N sao cho AM BN 1 . Gọi E, F lần lượt là giao điểm của CM với C ' A ' AA ' BB ' 3 và CN với C ' B '. a) Mặt phẳng (CMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. b) Tính thể tích khối chóp C 'CEF . 59
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B ,BC,CC . Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài 12 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC , BD là tia phân giác trong của góc ·ADC, BC 3 cm, SA x (x 0), SA  (ABCD). Gọi N là một điểm trên cạnh SC . Mặt phẳng ( ) qua A, N song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M,P. a) Tính thể tích khối chóp S.AMNP biết NC 3NS . b) Tìm vị trí của điểm N trên cạnh SC sao cho ( ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc . Mặt phẳng ( ) qua AC, vuông góc với mặt phẳng (SAB) chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần theo a và . Bài 13 Cho hình chóp S.ABC , gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh SB, SC theo thứ tự tại M, N . Gọi V1 là thể tích tứ diện SAMN ; V là thể tích tứ diện V S.ABC. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỷ số 1 . V 60