Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Tọa độ trong không gian (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Tọa độ trong không gian (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. CHỦ ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A.TĨM TẮT GIÁO KHOA. I. Tọa độ trong không gian 1) Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, trục Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao. Véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i, j, k, ta có: i j k 1, i. j j.k k.i 0. Xét điểm M thỏa mãn z  OM x.i y. j z.k thì M(x; y; z). M3 Ngược lại, điểm M(x; y; z) thì  M OM x.i y. j z.k . Với véctơ u trong hệ tọa độ Oxyz luôn tồn tại duy nhất bộ O M2 y (x; y; z) thỏa: u x.i y. j z.k. M1 Tọa độ u là (x; y; z) . M' x 2) Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm Cho a (x ; y ; z ), b (x ; y ; z ) và số thực k . Khi đó  1 1 1 2 2 2  * a b (x1 x2; y1 y2) * ka (kx1; ky1; kz1) x x    1 2 x1 y1 z1 * a / /b a kb k a b y1 y2 . x2 y2 z2 z1 z2 88
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chú ý: Nếu x2 0 y2 0, z2 0 thì x1 0 y1 0, z1 0  * |a| x2 y2 z2 *  1 1 1 a.b x x y y z z  1 2 1 2 1 2 * a  b x x y y z z 0 * 1 2 1 2 1 2  a.b cos(a, b)  |a||b| Cho A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB), C(xC; yC; zC ), D(xD; yD; zD) . Khi đó: * AB (xB xA; yB yA; zB zA)  2 2 2 * AB AB (xB xA) (yB yA) (zB zA) x x y y z z I A B ; A B ; A B * Trung điểm I của đoạn AB: 2 2 2 * Trọng tâm G của ABC : x x x y y y z z z G A B C ; A B C ; A B C 3 3 3 * Trọng tâm G của tứ diện ABCD: x x x x y y y y z z z z G A B C D ; A B C D ; A B C D 4 4 4 3) Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng a) Định nghĩa: Cho a x1; y1; z1 và b x2; y2; z2  y z z x x y a, b 1 1 ; 1 1 ; 1 1 y2 z2 z2 x2 x2 y2 b) Các tính chất:     * a cùng phương b a, b 0 * a, b  a và  a, b  b    * a, b a . b .sin(a, b) c) Các ứng dụng của tích có hướng 89
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1   Diện tích tam giác: S AB, AC . ABC 2 Thể tích:    * Hình hộp: V AB, AD .AA ' ABCD.A ' B 'C ' D ' 1    * Tứ diện: V AB, AC .AD . ABCD 6 Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:   * a, b, c đồng phẳng a, b .c 0    * A,B,C,D đồng phẳng AB, AC .AD 0 . 3. Phương trình mặt cầu. Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có phương trình (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 (1). Phương trình (1) có thể được biểu diễn cách khác như sau x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 (2) 2 2 2 2 2 2 2 a b c d 0 Với d a b c R . 2 2 2 R a b c d II. Phương trình mặt phẳng 1. Véc tơ pháp tuyến:  Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) . Véc tơ n 0 gọi là véc tơ ur pháp tuyến (VTPT) của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) ,  kí hiệu n  ( ) . n M M' α Chú ý:  *Nếu n là VTPT của ( ) thì k.n (k 0) cũng là VTPT của (a) . Vậy mp(a) có vô số VTPT. 90
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  * Nếu hai véc tơ a, b (không cùng phương) có giá song song   (hoặc nằm trên) (a) thì n a, b là một VTPT của mp(a) . * Nếu ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng thì véc tơ    n AB, AC là một VTPT của mp ABC . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: * Cho mp( ) đi qua M(x0; y0; z0) , có n (A; B; C) là một VTPT . Khi đó phương trình tổng quát của (a) có dạng: A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 . 0 0  0 * Nếu ( ) : Ax By Cz D 0 thì n (A; B; C) là một VTPT của (a) . * Nếu A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ; abc 0 thì phương trình của (ABC) có dạng: x y z 1 và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của (a) . a b c 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mp (P) : Ax By Cz D 0 và (Q) : A ' x B ' y C ' z D ' 0 * (P) cắt (Q) A : B : C A ' : B ' : C ' . A B C D *(P) / /(Q) A ' B ' C ' D ' A B C D (P)  (Q) A ' B ' C ' D ' (P)  (Q) AA ' BB ' CC ' 0 . 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ M x0; y0; z0 đến mp (P) : Ax By Cz D 0 là: Ax By Cz D d(M, (P)) 0 0 0 . A2 B2 C2 III. Phương trình đường thẳng trong không gian 1. Phương trình tham số của đường thẳng: a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: 91
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.  Cho đường thẳng . Véc tơ u 0 gọi là véc tơ chỉ phương(VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với . Chú ý  1.3.3:  * Nếu u là VTCP của thì k.u (k 0) cũng là VTCP của  * Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP * Nếu là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) thì      n , n u là một VTCP của (Trong đó n , n lần lượt là P Q P Q VTPT của (P) và (Q) ). b) Phương trình tham số của đường thẳng  Cho đường thẳng đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u (a; b; c) . Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: x x at 0 y y0 bt t ¡ (1) z z0 ct (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số. Chú ý . Cho đường thẳng có phương trình (1) * u (a; b; c) là một VTCP của * M M(x0 at; y0 bt; z0 ct) . 2. Phương trình chính tắc:  Cho đường thẳng đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u (a; b; c) với abc 0 . Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: x x y y z z 0 0 0 (2) a b c (2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng x x y y z z Cho hai đường thẳng d : 0 0 0 đi qua a b c M(x0; y0; z0) có VTCP 92
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  , , , x x0 y y0 z z0 , , , ud (a; b; c) và d ' : đi qua M '(x0; y0; z0) có  a ' b' c' VTCP u (a '; b'; c') . d '   * Nếu [ud, ud ']MM ' 0 d và d ' đồng phẳng. Khi đó xảy ra ba trường hợp   i ) d và d ' cắt nhau [u, u '] 0 và tọa độ gia điểm là nghiệm của hệ : x x y y z z 0 0 0 a b c . , , , x x y y z z 0 0 0 a ' b' c'   [u, u '] 0 ii ) d / /d '   [u, MM '] 0   [u, u '] 0 iii ) d  d '   [u, MM ']=0    * Nếu [u, u ']MM ' 0 d và d ' chéo nhau . 4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho mp( ) : Ax By Cz D 0 có n (A; B; C) là VTPT và đường thẳng x x y y z z  : 0 0 0 có u (a; b; c) là VTCP và đi qua a b c M (x ; y ; z ) . 0 0 0 0   cắt ( ) n và u không cùng phương Aa Bb Cc 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : Ax By Cz D 0 (a) x x0 y y0 z z0 (b) a b c Từ (b) x x0 at, y y0 bt, z z0 ct thế vào (a) t giao điểm   n  u Aa Bb Cc 0 * / /( ) Ax By Cz D 0 M0 ( ) 0 0 0 93
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.   n  u Aa Bb Cc 0 *  ( ) Ax By Cz D 0 M0 ( ) 0 0 0     *  ( ) n và u cùng phương n k.u . 5. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng đi qua M0 , có VTCP u và điểm M . Khi đó để tính khoảng cách từ M đến ta có các cách sau:   [M0M, u] C 1: Sử dụng công thức: d(M, )  . u C 2: Lập phương trình mp P đi qua M vuông góc với . Tìm giao điểm H của (P) với . Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm. b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:  Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua M có VTCP u và '  0 đi qua M0 ' có VTCP u ' . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và ' được tính theo các cách sau:    u, u ' .M M ' 0 0 C 1: Sử dụng công thức: d( , ')   . u, u ' C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm. C 3: Lập phương trình mp P đi qua và song song với '. Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên ' đến (P) . IV. GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng: 94
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x x y y z z Cho hai đưòng thẳng : 0 0 0 có VTCP a b c  x x ' y y ' z z ' u (a; b; c) và đường thẳng ' : 0 0 0 có VTCP  a ' b' c' u ' (a '; b'; c') . Đặt , ' , khi đó:   aa ' bb' cc' cos cos u, u ' . a2 b2 c2 . a '2 b'2 c'2 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho mp ( ) : Ax By Cz D 0 có n A; B; C là VTPT và x x y y z z  đường thẳng : o o o có u (a; b; c) là VTCP. a b c Gọi là góc giữa mp( ) và đường thẳng , khi đó ta có:   Aa Bb Cc sin cos n, u . A2 B2 C2 a2 b2 c2 3. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 có VTPT  n (A; B; C) và (b) : A 'x + B 'y + C 'z + D ' = 0 có VTPT 1 n2 A '; B '; C ' . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( 00 900 ). Khi đó:   AA ' BB ' CC ' cos cos n1, n2 . A2 B2 C2 A '2 B '2 C '2 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN. Vấn đề 1. CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ Dựa vào các phép toán véc tơ 95
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Áp dụng các tính chất sau: Cho các vectơ u (u1;u2 ;u3 ),v (v1;v2 ;v3 ) và số thực k tùy ý .Khi đó ta có u1 v1 a) u v u2 v2 u3 v3 b) u v (u v ;u v ;u v ) 1 1 2 2 3 3 c) u v (u v ;u v ;u v ) 1 1 2 2 3 3 d) ku (ku1;ku2 ;ku3 )  ·  Ví dụ 1.1.6 Cho hai véc tơ a, b thỏa a, b 1200, a 2, b 3  1. Tính a 2b   2. Tính góc giữa hai véc tơ a và x 3a 2b Lời giải.   · 1. Ta có: a.b a . b .cos a, b 2.3.cos1200 3  2  2  2  a 2b a 4a.b 4b 22 4.3 4.32 52 a 2b 2 13     2   2. Ta có: a.x a 3a 2b 3a 2a.b 6 và x (3a 2b)2 6  ·  a.x 6 1 · Suy ra cos x, a  a, x 600 . a . x 6.2 2 Ví dụ 2.1.6 Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a (1;0; 2),b ( 2;1;3),c ( 4;3;5) 1. Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2c 2. Tìm hai số thực m , n sao cho m.a n.b c . Lời giải. 1. Tọa độ vectơ 3.a 4.b 2c a (1;0; 2) 3.a (3;0; 6) , b ( 2;1;3) 4b (8; 4; 12), c ( 4;3;5) 2.c ( 8;3;10), 96
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Suy ra 3.a 4.b 2c 3 8 8;0 4 3; 6 12 10 3; 1;4 . 2.Tìm m,n . Ta có m.a n.b (m 2n;n; 2m 3n) , m 2n 4 m 2 Suy ra m.a n.b c n 3 . n 3 2m 3n 5 Ví dụ 3.1.6 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2; 3;1 , B 1; 1;4 và C 2;1;6 . 1. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ; 2. Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành này; 3. Xác định toạ độ điểm M sao cho MA 2MB Lời giải. 1. Xác định tọa độ trọng tâm G . Theo tính chất của trọng tâm G ,ta có : x x x 1 x A B C G 3 3     1 yA yB yC OG (OA OB OC) yG 1 . 3 3 zA zB zC 11 zG 3 3 2. Xác định tọa độ điểm D. Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác ,do đó xB xA xC xD   ABCD là hình bình hành AB DC yB yA yC yD . zB zA zC zD 1 2 xD xD 1 2 1 yD yD 1. 3 6 zD zD 3 Vậy D 1; 1;3 . 97
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD x x x A C 0 I 2 yA yC là trung điểm của AC ,suy ra I yI 1 . 2 zA zC 7 zI 2 2 3. Xác định tọa độ M. Gọi x; y;z là toạ độ của M,ta có 4 x 3 2 x 2(1 x)   5 MA 2MB 3 y 2( 1 y) y 3 1 z 2(4 z) z 3 Ví dụ 4.1.6 Cho tam giác ABC có A(1;0; 2),B( 1;1;0),C( 2;4; 2). 1. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. 2. Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với đường thẳng BC. Lời giải .   1. AB( 2;1;2),BC( 1;3; 2),CA(3; 4;0). 2 5 4 Trọng tâm G ; ; . 3 3 3   Ta có AB;AC ( 8; 6; 5). Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ   AH.BC 0 x 3y 2z 3   29 22 2 BH.CA 0 3x 4y 7 H ; ; .    25 25 5 AB,AC .AH 0 8x 6y 5z 2 Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ IA IB 4x 2y 4z 3 21 103 11 IA IC 6x 8y 19 I ; ; .    50 50 5 AB,AC .AI 0 8x 6y 5z 2 98
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Gọi E,F lần lượt là giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài EB FB AB 3 góc A với đường thẳng BC. Từ ta tính được tọa EC FC AC 5 11 7 3 1 7 độ các điểm E ; ; , F ; ; 3 . 8 8 4 2 2 Ví dụ 5.1.6 Trong không gian Oxyz , , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(-1,2,3) ,C(1; 4; 5) ,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;2) . Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Lời giải. D C E A B D' C' E' A' B' Gọi E, E’ lần lượt là  trung  điểm của AC và B’D’ thì ta có EE' AA' BB' CC' DD' và xA xC xB' xD' xE 0 xE' 1 2 2 yA yC yB' yD' yE 3 , yE' 3 . 2 2 zA zC zB' zD' zE 4 zE' 0 2 2  Suy ra EE' (1;0; 4) 99
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. x 1 1   A' AA' EE' yA' 2 0 A'(0;2; 1) . z 3 4 A' 3 x 1   B BB' EE' 3 yB 0 B( 4;3;2). 2 z 4 B x 1 1   C' CC' EE' yC' 4 0 C'(2;4;1) z 5 4 C' 5 x 1   D DD' EE' 3 yD 0 D(4;3;6) 2 z 4 D Ví dụ 6.1.6 Cho hình chóp S.ABCD với điểm A(4; 1; 2), B( 1; 0; 1) và C(0; 0; 2), D(10; 2; 4). Gọi M là trung điểm của CD . Biết SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp VS.ABCD 66 (đvtt). Tìm tọa độ đỉnh S . Lời giải.    Ta có AB( 5;1; 3), DC( 10; 2; 6) DC 2.AB nên ABCD là hình thang và SADC 2SABC, hay SABCD 3SABC.     Vì AB( 5;1; 3), AC( 4;1; 4) nên AB, AC ( 1; 8; 1), do đó 1   66 3 66 S AB, AC S (đvdt). ABC 2 2 ABCD 2 3V Chiều cao của khối chóp là SM S.ABCD 2 66. SABCD         Vì AB, AC  AB, AB, AC  AC nên giá của véc tơ AB, AC vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mà SM  (ABCD) nên tồn tại số thực k sao cho:    SM k. AB, AC ( k; 8k; k). 100
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Suy ra 2 66 SM ( k)2 ( 8k)2 ( k)2 k 2 k 2.  M là trung điểm CD nên M(5; 1;1) SM(5 x ; 1 y ;1 z ).  S S S Nếu k 2 thì SM (5 xS; 1 yS;1 zS) ( 2; 16; 2) nên tọa độ của điểm S là S(7;15; 3).  Nếu k 2 thì SM (5 xS; 1 yS;1 zS) (2;16; 2) nên tọa độ của điểm S là S(3; 17; 1). Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S(7;15; 3) hoặc S(3; 17; 1). Ví dụ 7.1.6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(2; -1;3) , B(3;0; -2) , C(5; - 1; -6) · · 1. Tính cos BAC ,suy ra số đo của BAC ; 2.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và toạ độ điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng BC. Lời giải. 1.Tínhcos B· AC và số đo của B· AC   Ta có : AB (1;1; 5) ,AC (3;0; 9) ,suy ra     AB.AC cos B· AC cos(AB,AC)   AB AC 3 45 48 16 = 12 12 ( 5)2 . 32 02 ( 9)2 27. 90 3 30 Suy ra B· AC ; 13010' 2. Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng BC. A Kí hiệu (x;y;z) là toạ độ của H ,tacó C   AH  BC H   BH cùng phương BC   B AH (x 2;y 1;z 3),BC (2; 1; 4)  A' , BH (x 3;y;z 2)     AH  BC AH.BC 0 2(x 2) (y 1) 4(z 3) 0 2x y 4z 7 0 . 101
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.   x 2y 3 BH cùng phương với BC 4y z 2 2x y 4z 7 Giải hệ x 2y 3 ta được H(1;1;2) . 4y z 2 Tọa độ A’ đối xứng của A qua BC. A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC H là trung điểm của AA’ x x x A A' H 2 xA' 2xH xA 0 y y y A A' y 2y y 3 Vậy A’( 0;3;1) H 2 A' H A z 2z z 1 A' H A zA zA' zH 2 Ví dụ 8.1.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(4;2;0) , B(2;4;0) và C(2;2;1). Xác định tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Lời giải. Toạ độ trực tâm của tam giác ABC Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC ,ta có   AH  BC   BH  AC .    BC,AC,AH đồng phẳng    Trong đó AH (x 4; y 2;z) , BC (0; -2;1) , BH (x 2; y 4;z) ,  AC ( 2;0;1) .     * AH  BC AH.BC 0 2(y 2) z 0 2y z 4     * BH  AC BH.AC 0 2(x 2) z 0 2x z 4.       * BC,AC,AH đồng phẳng [BC,AC].AH 0 (trong đó   [BC,AC] ( 2; 2; 4) ) - 2(x – 4) -2(y – 2) – 4z =0 x + y + 2z = 6 102
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2y z 4 7 7 2 Giải hệ: 2x z 4 , ta được H( ; ; ) ). 3 3 3 x y 2z 6 Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có AI BI CI    BC,AC,AI đồng phẳng AI2 BI2 * AI = BI = CI 2 2 AI CI (x 4)2 (y 2)2 z2 (x 2)2 (y 4)2 z2 2 2 2 2 2 2 (x 4) (y 2) z (x 2) (y 2) (z 1) x y 0 4x 2z 11       * BC,AC,AI đồng phẳng [BC,AC].AI 0 x + y + 2z = 6 x y 0 23 23 1 Giải hệ 4x 2z 11 ,ta được I ; ; . 8 8 4 x y 2z 6 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ  a 2i 3 j 5k, b 3 j 4k, c i 2 j   a) Xác định tọa độ các véc tơ a, b, c , x 3a 2b và tính x  b) Tìm giá trị của x để véc tơ y 2x 1; x; 3x 2 vuông góc với 2b c véc tơ  c) Chứng minh rằng các véc tơ a, b, c không đồng phẳng và   phân tích véc tơ u 3;7; 14 qua ba véc tơ a, b, c . 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các véc tơ  a 2i 3 j k, b i 2k, c 2 j 3k  a) Xác định tọa độ các véc tơ a, b, c 103
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.    b) Tìm tọa độ véc tơ u 2a 3b 4c và tính u c) Tìm x để véc tơ v (3x 1; x 2; 3 x) vuông góc với b  d) Biểu diễn véc tơ x (3;1;7) qua ba véc tơ a, b, c . Bài 2 1. Cho hai véc tơ a, b có a 2 3, b 3, (a, b) 300. Tính a) Độ dài các véc tơ a b,5a 2b, 3a 2b, b) Độ dài véc tơ a, b , a, 3b , 5a, 2b . 2. Tìm điều kiện của tham số m sao cho a) Ba véc tơ u(2;1; m),v(m 1; 2;0),w(1; 1;2) đồng phẳng. b) A(1; 1;m),B(m;3;2m 1),C(4;3;1),D(m 3; m;2 m) cùng thuộc một mặt phẳng. c) Góc giữa hai véc tơ a(2;m;2m 1),b(m;2; 1) là 600. Bài 3 Cho tam giác ABC có B( 1;1; 1),C(2;3;5). Điểm A có tung độ 1 7 là , hình chiếu của điểm A trên BC là K 1; ;3 và diện tích tam 3 3 49 giác ABC là S . 3 1. Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ dương. 2. Tìm tọa độ chân đường vuông góc hạ từ B đến AC. 3. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.   4. Chứng minh HG 2GI với G là trọng tâm tam giác ABC. Bài 4 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. Tọa độ các điểm A(2;4;1),B(0;4;4),C(0;0;1) và D có hoành độ dương. 1. Xác định tọa độ điểm D. 2. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng G cách đều các đỉnh của tứ diện. 3. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. 4. Tính độ dài các đường trọng tuyến của tứ diện ABCD. Tính tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh của tứ diện ABCD. 104
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 5 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(0; 2; 0), B( 1; 0; 3), C(0; 2; 0), D(3; 2;1) . 1. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng; 2. Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH của tam giác BCD ; 3. Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A ; 4. Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành; 5. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD ; 6. Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BMC cân tại ; 7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A, G, A’ thẳng hàng với A ' là trọng tâm tam giác BCD . Bài 6 Cho tam giác ABC có A(2; 3;1), B( 1; 2; 0), C(1;1; 2). 1. Tìm tọa độ chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC . 2. Tìm tọa độ H là trực tâm của tam giác ABC . 3. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . 4. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng các điểm G, H, I nằm trên một đường thẳng. Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz cho tam giác đều ABC có A(5; 3; 1), B(2; 3; 4) và điểm C nằm trong mặt phẳng (Oxy) có tung độ nhỏ hơn 3. a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều. b) Tìm tọa độ điểm S biết SA, SB, SC đôi một vuông góc. Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 3; 2; 4 a) Tìm tọa độ các hình chiếu của A lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ b) Tìm M Ox, N Oy sao cho tam giác AMN vuông cân tại A c) Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác AEB cân tại E và có diện tích bằng 3 29 với B 1; 4; 4 . 105
19. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A(4; 0; 0), B(x0; y0; 0) với · 0 x0, y0 0 thỏa mãn AB 2 10 và AOB 45 . a) Tìm C trên tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8 . b) Gọi G là trọng tâm ABO và M trên cạnh AC sao cho AM x . Tìm x để OM  GM . 106