›
›
›

Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Ứng dụng tọa độ (Có hướng dẫn)

doc 17 trang xuanthu 420
Download
Bạn đang xem tài liệu "Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Ứng dụng tọa độ (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • dockien_thuc_trong_tam_hinh_hoc_lop_12_chu_de_ung_dung_toa_do_c.doc
  • docHuong dan giai 10.doc

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chủ đề: Ứng dụng tọa độ (Có hướng dẫn)

  1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN. Bước 1: Chọn hệ trục tọa Oxyz. Xác định ba đường thẳng đồng quy và đôi một cắt nhau trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều ), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian. Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' 167
  2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Với hình lập phương . z D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A' A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), B' C' C(a; a; 0), D(0; a; 0) A '(0; 0; a), B '(a; 0; a), C '(a; a; a), D '(0; a; a) D Với hình hộp chữ nhật. A y B Chọn hệ trục tọa độ sao cho: C x A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0) , A '(0; 0; c) ; B '(a; 0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Chú ý: Tam diện vuông là một nửa của hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự như hình hộp chữ nhật. Với hình hộp đứng có đáy là hình thoi ABCD.A ' B 'C ' D ' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z Gốc tọa độ trùng với giao điểm D' A' O của hai đường chéo của hình B' thoi ABCD C' Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy A Nếu AC a, BD b, AA ' c thì D B a b a x O A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , C 0; ; 0 2 2 2 C y b a b a b D ; 0; 0 , A ' 0; ; c , B ' ; 0; c , C ' 0; ; c , D ' ; 0; c . 2 2 2 2 2 Chú ý: Với lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ tọa độ tương tự như trên với gốc tọa độ là trung điểm AC , B Ox, C Oy còn trục Oz đi qua trung điểm hai cạnh AC, A 'C '. Hình chóp đều 168
  3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1) Hình chóp tam giác đều z S S.ABC , AB a, SH h, ta chọn hệ tọa độ sao cho O là trung điểm BC , A Ox, B Oy . a 3 a Khi đó A ; 0; 0 , B 0; ; 0 , x 2 2 C A H a a 3 O C 0; ; 0 , S ; 0; h y B 2 6 Hình chóp từ giác đều z S.ABCD , AB a, SH h, ta S chọn hệ tọa độ sao cho O là tâm đáy B Ox, C Oy, S Oz . a 2 Khi đó: A 0; ; 0 , 2 A D a 2 a 2 B ; 0; 0 , C 0; ; 0 , B O 2 2 C x y a 2 D ; 0; 0 , S 0; 0; h 2 Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục như trên ta có thể chọn hệ trục bằng cách khác. Chẳng hạn với hình chóp tam giác đều ta có thể chọn H  O , trục Oy đi qua H và song song với BC . Hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA h 169
  4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1) Nếu đáy là hình chữ nhật ta z chọn hệ trục sao cho A  O, B Ox, D Oy, S Oz S A y D B x C Nếu đáy là hình thoi, ta chọn S hệ trục sao cho O là tâm của z đáy, B Ox, C Oy và Oz / /SA . A D B x O C y Chú ý: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) Nếu đáy ABC là tam giác vuông tại A thì cách chọn hệ trục hoàn toàn tương tự như hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Nếu đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ trục tọa độ như hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, khi đó gốc tọa độ là trung điểm cạnh AC . Hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC) 170
  5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đường cao SH h của tam giác z S SAB là đường cao của hình chóp. Nếu tam giác ABC vuông tại A , AB a, AC b ta chọn hệ trục sao cho A  O, B Oy, C Ox, Oz / /SH . Khi đó H y A 0; 0; 0 , B 0; a; 0 , C(b; 0; 0) A B AH c H 0; c; 0 , S(0; c; h) . C x Chú ý: Nếu vuông tại B ta chọn B  O , vuông tại C chọn C  O . Nếu tam giác ASB cân tại S , ABC cân tại C thì ta chọn H  O, C Ox, B Oy, S Oz Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải. Ví dụ 1.7 Cho hình chóp O.ABC có OA a, OB b, OC c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp OBC , mp OCA , mp OAB là 1, 2, 3 . Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 171
  6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Vì khoảng cách từ M đến các z mặt phẳng mp OBC , C mp OCA , mp OAB là 1, 2, 3 nên M 1; 2; 3 . Suy ra phương M x y z trình (ABC) : 1 a b c O y 1 2 3 B Vì M (ABC) 1 a b c A (1).Thể tích khối chóp O.ABC : x 1 V abc . O.ABC 6 1 2 3 1 2 3 1 Từ (1) 1 33 . . abc 27 a b c a b c 6 1 2 3 1 Vậy, min V 27 đạt được khi OABC a b c 3 a 3, b 6, c 9 Ví dụ 2 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a , SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Lời giải. Gọi H là hình chiếu của S lên AB SH  (ABCD) SA2 a a 3 Ta có: SA2 SB2 AB2 SA  SB AH , SH . AB 2 2 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: 172
  7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt z S M A D y B H N C x a a a 3 A 0; 0; 0 , B 2a; 0; 0 , D 0; 2a; 0 , C 2a; 2a; 0 , H ; 0; 0 , S ; 0; 2 2 2 M a; 0; 0 , N 2a; a; 0 . 1 Ta có S S a.2a a2 S 4a2 2a2 2a2 ADM CDN 2 BNDM Thể tích khối chóp S.BMDN : 1 1 a 3 a3 3 V SH.S . .2a2 3 BMDN 3 2 3  a a 3    Vì SM ; 0; , DN 2a; a; 0 SM.DN a2 2 2   SM.DN a2 5 Vậy cos SM, DN . SM.DN a. 5a 5 Ví dụ 3.7 Trên các tia Ox, Oy, Oz của góc tam diện vuông Oxyz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA a, OB a 2, OC c, (a, c 0) .Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng ( ) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM. 1. Gọi E là giao điểm của ( ) với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE ; 173
  8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng ( ) . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ) Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , sao z cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C B 0; a 2; 0 , D a; a 2; 0 , C(0; 0; c) M 1. Vì M là trung điểm của BC E G F a 2 c nên M 0; ; . B 2 2 O K   y OC(0; 0; c), OD a; a 2; 0 H I   A OC; OD ac 2; ac; 0 x D Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là  nOCD 2; 1; 0 . Gọi F ( )  CD thì EF là giao tuyến của ( ) với (OCD) , ta có EF  AM.  a 2 c   c Vì AM a; ; nên n , AM (1; 2; 0), do đó một OCD 2 2 2  véc tơ chỉ phương của EF là uEF (1; 2; 0).   1 Ta có u , AM c 2; c; 3 2a nên phương trình mặt EF 2 phẳng ( ) là : 2cx cy 3 2az ac 2 0. c c Do đó ( )  Oz E 0; 0; OE . 3 3 2a 2 2a c CF 2 2. Ta có ( )  CD F ; ; . 3 3 3 CD 3 Mà VCOADB 2VCAOD 2VCBOD nên 174
  9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt VCEAFM VCAEF VCMEF 1 CE CF CM CE CF 1 . . . VCOADB 2VCAOD 2VCBOD 2 CO CD CB CO CD 3 Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt 1 khối chóp C.AODB bởi mặt phẳng ( ) là (hay 2). 2 3 2ac ac 2 2 6ac Khoảng cách cần tìm : d(C, ( )) . 2c2 c2 18a2 3 c2 6a2 Ví dụ 4.7 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có A  O, B Ox, D Oy, A ' Oz và AB 1, AD 2, AA ' 3 . 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp; 2. Tìm điểm E trên đường thẳng DD ' sao cho B ' E  A 'C 3. Tìm điểm M thuộc A 'C , N thuộc BD sao cho MN  BD, MN  A 'C . Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A 'C và BD Lời giải. 1. Ta có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), z D(0; 2; 0), A '(0; 0; 3) . Hình chiếu của C lên (Oxy) là A' C , hình chiếu của C lên Oz là D' A nên C 1; 2; 0 . C' B' Hình chiếu của B ', C ', D ' lên mp (Oxy) và trục Oz lần lượt là A D y các điểm B, C, D và A ' nên B ' 1; 0; 3 , C '(1; 2; 3), D '(0; 2; 3) . x B C 2. Vì E thuộc đường thẳng DD ' nên E 0; 2; z , suy ra  B ' E 1; 2; z 3 175
  10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả.  Mà A 'C 1; 2; 3 nên   B ' E  A 'C B ' E.A 'C 0 1 4 3 z 3 0 z 4 . Vậy E 0; 2; 4 .     3. Đặt A ' M x.A 'C; BN y.BD      Ta có AM AA ' A ' M AA ' x.A 'C x; 2x; 3 3x , suy ra M x; 2x; 3 3x      AN AB BN AB y.BD 1 y; 2y; 0 N 1 y; 2y; 0   MN.A 'C 0 Theo giả thiết của để bài, ta có:   ( ) MN.BD 0    Mà MN 1 x y; 2y 2x; 3x 3 , A 'C 1; 2; 3 , BD 1; 2; 0 Khi đĩ ( ) trở thành 53 x 1 x y 4y 4x 9x 9 0 14x 3y 10 61 1 x y 4y 4x 0 3x 5y 1 44 y 61 53 106 24 17 88 Do đó M ; ; , N ; ; 0 . 61 61 61 61 61 Vì MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A 'C, BD 2 6 61 d A 'C, BD MN 1 x y (2y 2x)2 (3x 3)2 . 61 Ví dụ 5.7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a Đề thi ĐH khối A – 2011 Lời giải. Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên suy ra SA  (ABC) . 176
  11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chọn hệ trục tọa độ z như hình vẽ, đặt S SA x, x 0 Vì MN / / BC N là trung điểm cạnh AC Tọa độ các đỉnh là: B(0; 0; 0), A(2a; 0; 0), B C C 0; 2a; 0 , S(2a; 0; x), y M a; 0; 0 , N a; a; 0 M N A x     Suy ra BS 2a; 0; x , BC 0; 2a; 0 BS, BC 2ax; 0; 4a2  Do đó n x; 0; 2a là VTPT của mặt phẳng (SBC) k (0; 0;1) là VTPT của mặt phẳng (ABC) Theo giả thiết ta có:  n.k 1 2a 1  cos 600 x2 12a2 x 2a 3 n . k 2 x2 4a2 2 Vì M, N là trung điểm của AB, CB nên 1 3 3a2 S S S S AMN 4 ABC BMNC 4 ABC 2 Từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMNC là: 1 1 3a2 V SA.S .2a 3. a3 3 . S.BMNC 3 BMNC 3 2    Ta có: BA 2a; 0; 0 , SN a; a; 2a 3 , BN a; a; 0      Suy ra BA, SN 0; 4 3a2; 2a2 BA, SN .BN 4 3a3    BA, SN .BN 4a3 3 2a 39 Vậy d AB, SN   . BA, SN 2 13a2 13 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP 177
  12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 1 1. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Chứng minh hai đường chéo B ' D ' và A ' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D ' và A ' B . 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' , có đáy AB a, AC 2a, B· AC 1200 .Gọi M là trung điểm cạnh bên BB ' , biết hai mặt phẳng (MAC) và (MA 'C ') vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ và cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (BCC ' B ') . 3. Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ', B 'C '. 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B 'C . 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a . 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, AA’ 2a, A’C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC . 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng A ' BC và ABC bằng 600 . Gọi G là trọng 178
  13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt tâm tam giác A ' BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 8. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và BD . Góc giữa hai 0 mặt phẳng ADD1 A1 và ABCD bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . Bài 2 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC ; AC AD 4cm ; AB 3cm và BC 5cm . a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) . b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BD, BC . Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN . Bài 3 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a, AD 2a , SA 3a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD và P là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN) . a) Tính thể tích khối chóp S.AMPN b) Tính khoảng cách và cô sin của góc giữa DM và CN . 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB AD 2a; CB a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ABCD bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Biết hai mặt phẳng SDI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a , SA a và vuông góc với mp(ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, SC . Gọi I là giao 179
  14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. điểm của BM, AC . Chứng minh mp(SAC) vuông góc với (SMB) . Tính thể tích của khối tứ diện ANIB . 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP . 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt AC phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH . Gọi CM là 4 đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . Bài 4 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB AC a, B· AC 1200 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) tạo với nhau một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC .Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AMN . 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a . Gọi M, N là trung điểm SB, SC . Tính theo a diện tích AMN , biết (AMN) vuông góc với (SBC) . 180
  15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mp(ABC) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCMN . 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết SB 2a 3 và S· BC 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a . CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 5 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a, OB b, OC c. 1. Chứng minh rằng OH  (ABC), H (ABC) khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC ; 2. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) ; 3. Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (ABC), không trùng với A, B, C, H ( H trực tâm tam giác ABC ). Chứng minh AM2 BM2 CM2 HM2 rằng: 2 ; AO2 BO2 CO2 HO2 4. Gọi , , lần lượt là góc giữa các mặt bên với mặt đáy. sin2 sin2  sin2  6 Chứng minh: . 1 sin  sin  1 sin  sin 1 sin sin  5 Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, ·ABC B· AD 900 , BA BC a, AD 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD) . Bài 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB BC a; AD 2a ; A  O, B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy và S 181
  16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. thuộc tia Oz . Đường thẳng SC và BD tạo với nhau một góc thỏa 1 cos . 30 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp 2. Chứng minh rằng SCD vuông, tính diện tích tam giác SCD và tính cô sin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) . 3. Gọi E là trung điểm cạnh AD . Tìm tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE . 4. Trên các cạnh SA, SB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q thỏa SM MA, SN 2NB , BP 3PC, CQ 4QD . Chứng minh rằng M, N, P, Q không đồng phẳng và tính thể tích khối chóp MNPQ . Bài 8 Cho lăng trụ đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm CC ', biết AM  B ' M . Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O, C thuộc tia Ox , A ' thuộc tia Oz và B thuộc miền góc xOy . 1. Xác định tọa độ các đỉnh của lăng trụ, 2. Trên các cạnh A ' B ', A 'C ', BB ' lần lượt lấy các điểm N, P, Q thỏa A ' N NB ' A ' P 2C ' P, B 'Q 3BQ . Tính thể tích khối đa diện AMPNQ . Bài 9 Cho hai đường thẳng , chéo nhau và vuông góc với nhau nhận AB làm đường vuông góc chung (A , A ). Gọi M, N là các điểm di chuyển trên và ' sao cho MN AM BN. 1. Chứng minh rằng tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lượng không đổi. 2. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD 2a đường cao SA 2a . Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD x(0 x a) . 1. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 182
  17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Tìm vị trí của M để mp(SBM) chia hình chóp thành hai 1 phần sao cho : V V . C.SBM 3 S.ABCD Bài 11 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1cm , các cạnh bên SA, SB, SC có độ dài cùng bằng 1cm . Tính độ dài cạnh SD sao cho hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất. 2. Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2 . Gọi A , B , C , D theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào đó đi qua S. Tìm tất cả các vị trí của đường thẳng sao cho biểu thức P SA 4 SB 4 SC 4 SD 4 đạt giá trị lớn nhất. 183