Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

1. chương 2 mặt cầu, mặt trụ, mặt nón A. Kiến thức cần nhớ I. Mặt cầu, khối cầu 1. Diện tích mặt cầu Thể tích khối cầu Hình cầu với bán kính R, ta có các kết quả: ▪ Diện tích mặt cầu là S = 4 R2. 4 ▪ Thể tích khối cầu V R3 . 3 2. Diện tích xung quanh của hình trụ thể tích khối trụ Với hình trụ có bán kính đáy R và đường cao h, ta có các kết quả: ▪ Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2 Rh. ▪ Thể tích khối trụ là V = R2h. 3. Diện tích hình nón thể tích khối nón Với hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l và đường cao h, ta có các kết quả: ▪ Diện tích hình nón là Sxq = Rl. 1 ▪ Thể tích khối nón là V = R2h. 3 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Dạng toán 1: Diện tích mặt cầu Thể tích khối cầu Phương pháp Do đặc thù của công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Dựa vào giả thiết tính R. Bước 2: Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.  Chú ý: Thông thường chúng ta gặp những yêu cầu trên sau khi thực hiện đòi hỏi "Xác định tâm và bán kính tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc nội tiếp một khối đa diện". Thí dụ 1. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.  Giải Với hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, gọi R là bán kính của mặt cầu. 323
2. Ta có: 1 1 D’ R = A'C = A'A2 AC2 C’ 2 2 A’ B’ 1 1 = A'A2 AB2 BC2 = a2 b2 c2 . 2 2 D C Khi đó, ta lần lượt có: 2 A B 2 1 2 2 2 2 2 2 S = 4 R = 4 a b c = a b c (đvdt). 2 3 3 4 3 4 1 2 2 2 1 2 2 2 V = R = a b c = a b c (đvtt). 3 3 2 6  Nhận xét: Với mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ chúng ta cần lưu ý: 1. Điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ đứng có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp. 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy hoặc D’ C’ A I1 B’ có thể coi nó là giao điểm của mặt phẳng ’ O trung trực một cạnh bên với trục OO1. D C A 3. Bán kính mặt cầu được tính dựa theo các I B hệ thức lượng trong tam giác và tứ giác. Thí dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.  Giải a. Dựng SH  (ABC), suy ra HA = HB = HC, tức H là tâm S đường tròn ngoại tiếp ABC. Trong SAH dựng đường trung trực của SA cắt M SH tại O, ta được: O OA = OB = OC = OS A B Mặt cầu (O, OS) ngoại tiếp tứ diện. H Vì SMO và SHA đồng dạng nên ta có: E SA C SA. 2 2 2 OS SM SM.SA SA SH AH OS = = 2 = = SA SH SH SH 2SH 2SH 2 a 3 h2 3 3h2 a2 = = . 2h 6h 324
3. 3h2 a2 Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD là (O, ). 6h b. Ta lần lượt có: 2 2 2 2 3h2 a2 2 3h a S = 4 R = 4 = 2 (đvdt). 6h 9h 3 2 2 3 3h2 a2 4 3 4 3h a V R = = 3 (đvtt). 3 3 6h 162h  Nhận xét: Với mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chúng ta cần lưu ý: 1. Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp. a 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường D O C tròn ngoại tiếp một đáy và mặt phẳng A I B trung trực của một cạnh bên. 3. Bán kính mặt cầu được tính dựa theo các hệ thức lượng trong tam giác và tứ giác. Thí dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AD = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC vuông tại B và AB = b, BC = c. a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.  Giải a. Gọi O là trung điểm của CD, nhận xét rằng: AD  (ABC) AD  AC ACD vuông tại A OA = OC = OD. AD  BC D BC  (ABD) BC  BD AB  BC O BCD vuông tại B OB = OC = OD. Vậy, mặt cầu (O, OA) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Ta lần lượt có: A C CD2 = AD2 + AC2 = AD2 + AB2 + BC2 = a2 + b2 + c2, CD 1 B R = OA = = a2 b2 c2 . 2 2 b. Ta lần lượt có: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 S = 4 R = 4 a b c = a b c (đvdt). 2 3 3 4 3 4 1 2 2 2 2 2 2 V R = a b c = a b c (đvtt). 3 3 2 6 325
4.  Nhận xét: Như vậy, với tứ diện ABCD ở trên chúng ta đã sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông để xác định được điểm O cách đều các đỉnh của tứ diện. Dạng toán 2: Diện tích xung quanh của hình trụ Thể tích khối trụ Phương pháp Do đặc thù của công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Dựa vào giả thiết tính R, h. Bước 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ.  Chú ý: Với khối trụ nội tiếp và ngoại tiếp chúng ta sử dụng định nghĩa hình trụ cùng tính chất của các khối hình liên quan. Thí dụ 1. Một hình trụ T có bán kính đáy R và chiều cao R 3 . a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ T. b. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ T.  Giải a. Ta lần lượt có: 2 Sxq = 2 R. R 3 = 2 R 3 (đvdt). 2 2 2 Stp = Sxq + 2B = 2 R 3 + 2 R = 2 R 3 1 (đvdt). b. Ta có ngay: V = R2.R 3 = R3 3 (đvtt).  Nhận xét: Như vậy, để thực hiện được yêu của bài toán trên chúng ta chỉ cần nhớ được các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ. Thí dụ 2. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ (T), cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông có diện tích bằng a2. a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ (T). b. Tính thể tích của khối trụ (T).  Giải a. Vì thiết diện qua trục là một hình vuông có diện tích bằng a2 nên cạnh của nó a bằng a và từ đó suy ra hình trụ có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng a. 2 Ta có ngay: a 2 Sxq = 2 .a = a (đvdt). 2 2 2 2 a 3 a Stp = Sxq + 2B = a 2 = (đvdt). 2 2 326
5. b. Ta có ngay: 2 a a3 V = .a = (đvtt). 2 4  Nhận xét: Như vậy, để thực hiện được yêu của bài toán trên trước tiên chúng ta cần đi xác định độ dài đường cao và bán kính đáy của hình trụ. Dạng toán 3: Diện tích xung quanh của hình nón Thể tích khối nón Phương pháp Do đặc thù của công thức tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Dựa vào giả thiết tính R, h, l. Bước 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón.  Chú ý: Với khối nón nội tiếp và ngoại tiếp chúng ta sử dụng định nghĩa hình nón cùng tính chất của các khối hình liên quan. Thí dụ 1. Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = b. Xét hình tròn xoay (N) sinh bởi ABC khi quay quanh đường thẳng AB. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của (N).  Giải Hình tròn xoay (N) sinh bởi ABC khi quay quanh đường thẳng AB là hình nón có các thuộc tính: ▪ Bán kính đáy R = AC = b. B ▪ Chiều cao h = AB = a. ▪ Đường sinh l = BC = AB2 AC2 = a2 b2 . Từ đó, ta lần lượt có: C C' 2 2 A Sxq = Rl = b a b (đvdt). 2 2 2 2 2 2 Stp = Sxq + Sđ = Rl + R = b a b + b = b( a b + b) (đvdt). 1 1 V = R2h = b2.a(đvtt). 3 3  Nhận xét: Như vậy, để thực hiện được yêu của bài toán trên trước tiên chúng ta cần đi xác định các thuộc tính về độ dài của hình nón (bán kính đáy, chiều cao và đường sinh). Và công việc cuối cùng chỉ cần nhớ được các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. Thí dụ 2. Cắt mặt nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón (N). 327
6.  Giải Giả sử thiết diện là ABC vuông cân tại đỉnh A cạnh a, từ đó suy ra hình nón dã cho có các thuộc tính: 1 1 a 2 ▪ Bán kính đáy và chiều cao R h BC .AB 2 . 2 2 2 A ▪ Đường sinh l = AB = a. Từ đó, ta lần lượt có: 2 B C a 2 a 2 H Sxq = Rl = . .a (đvdt). 2 2 2 2 a2 2 a 2 a 2 2 S = S + S = R + R2 = (đvdt). tp xq đ l 2 2 2 2 1 1 a 2 a 2 a3 2 V = R2h = . (đvtt). 3 3 2 2 12  Chú ý: Các em học sinh cần nhớ lại hai định nghĩa sau: 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. 2. Một mặt cầu gọi là nội tiếp nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. Thí dụ 3. Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.  Giải Thiết diện qua trục của hình nón là SAB cân tại S. Trong (SIA), dựng trung trực Mx của đoạn SA và cắt SI tại O. Vậy, mặt cầu (O; OS) ngoại tiếp hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l. Dựa trên tính chất đồng dạng của tam giác, ta có: S SO SM 1 1 SO.SI = SA.SM = SA. SA = SA2 SA SI 2 2 M 2 O SA = 2SO.SI l = SA 2hR . I Trong SAI, ta có: A B AI2 = SA2 SI2 r AI 2hR h2 h(2R h) . Từ đó, ta lần lượt có: Sxq = rl = h(2R h) . 2hR = h 2R(2R h) (đvdt). 1 1 2 1 V = r2h = h(2R h) .h h2 (2R h) (đvtt). 3 3 3 328
7. C. Các bài toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b. a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.  Giải B’ A’ a. Gọi G, G’ theo thứ tự là trọng tâm ABC và A’B’C’ và G’ O là trung điểm GG’. E’ C’ Vì GG’ là trục đường tròn ngoại tiếp ABC và O A’B’C’, ta có: OA = OB = OC, OA’ = OB’ = OC’, B A OA = OA’, E G suy ra: C OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’ Mặt cầu S(O, OA) ngoại tiếp hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Trong OAG, ta có: 2 2 2 2 2 1 2 a 3 b a2 b2 OA2 = AG2 + OG2 = AE GG' = . = 3 2 3 2 2 3 4 a2 b2 OA = . 3 4 a2 b2 Vậy, mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là (O, ). 3 4 b. Ta lần lượt có: 2 a2 b2 a2 b2 S = 4 R2 = 4 = 4 (đvdt). 3 4 3 4 3 3 4 4 a2 b2 4 a2 b2 V R3 = = (đvtt). 3 3 3 4 3 3 4 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A, AB = a, AC = b, SA = c và vuông góc với mặt phẳng (ABC). a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.  Giải a. Vì ABC vuông tại A nên trung điểm I của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, dựng Ix song song với SA. 329
8. Trong mặt phẳng (SA, Ix) dựng đường trung trực của SA cắt Ix tại O, ta được: OA = OB = OC = OS Mặt cầu S(O, OA) ngoại tiếp tứ diện. Trong AMO vuông tại M, ta có: R = OA = MA2 MO2 S 2 2 2 x SA 2 SA BC M = IA = 2 2 2 O 1 1 A B = SA2 AB2 AC2 = a2 b2 c2 . 2 2 I 1 C Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là (O, a2 b2 c2 ). 2 b. Ta lần lượt có: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 S = 4 R = 4 a b c = a b c (đvdt). 2 3 3 4 3 4 1 2 2 2 1 2 2 2 V = R = a b c = a b c (đvtt). 3 3 2 6 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối D 2003): Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ( ). Trên ( ) lấy hai điểm A, B và AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ( ) và AC = BD = AB. a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.  Giải Bạn đọc tự vẽ hình a. Nhận xét rằng: ▪ ACD vuông tại A CÂD = 90 0. ▪ BCD vuông tại B CBˆD = 900. Vậy, tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu đường kính CD. Do đó: 1 1 1 a 2 R = CD = AC 2 AD 2 = AC 2 AB 2 BD2 = . 2 2 2 3 b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC, ta có: AH  BC AH  (BCD) AH = d(A, (BCD)). AH  BD 1 a 2 Trong ABC vuông cân tại A, ta có AH = BC = . 2 2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = SB = a. a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. 330
9.  Giải a. Ta lần lượt: S ▪ Gọi G là trọng tâm SAB, thì vì: SA = SB = AB = a SAB đều G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB. G I ▪ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. A D ▪ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M O S.ABCD, ta có IG  (SAB) và IO  (ABCD). B Vậy, mặt cầu (I, IA) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. C Ta có: 2 2 2 2 SA 3 AB SA 3 R = IA = IG2 AG2 = OM2 . = 3 2 2 3 a2 a2 a 21 = = . 4 3 6 b. Ta lần lượt có: 2 a 21 7 a2 S = 4 R2 = 4 = (đvdt). 6 3 3 4 4 a 21 7 a3 21 V R3 = (đvtt) = . 3 3 6 54 Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a. Xác tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.  Giải a. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AD và BC, ta có nhận xét: CAD = BDA (c.c.c) IC = IB IJ là trung trực của BC. ABC = DCD (c.c.c) JA = JD IJ là trung trực của AD. Vậy, ta thấy AD và BC có đoạn trung trực chung IJ ta thực hiện: c2 b2 a2 a2 c2 b2 a2 D IJ2 = AJ2 AI2 = = . 2 4 4 2 Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC, ta có: I O IJ O A B 2 2 OA OC Đặt OI = x, ta biến đổi điều kiện OA2 = OC2 thành: J IA2 + IO2 = JC2 + JO2 C 2 a2 a2 c2 b2 a2 c2 b2 a2 x2 x x = 4 4 2 8 331
10. c2 b2 a2 a2 a2 b2 c2 R2 = OA2 = OI2 + IA2 = = . 8 4 8 a2 b2 c2 Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là O, . 8 b. Ta lần lượt có: 2 a2 b2 c2 (a2 b2 c2 ) S = 4 R2 = 4 = (đvdt). 8 2 3 4 4 a2 b2 c2 V R3 = (đvtt). 3 3 8 Ví dụ 6: Một khối trụ có bán kính đáy a 3 , chiều cao 2a 3 . Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ.  Giải Gọi I là trung điểm của OO'. Khi đó, khối cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm I và bán kính là: 2 2 2 2 OO' A O B R = IA = OA OI = OA 2 I = 3a2 3a2 = a 6 . Do đó, ta được: O' A' B' 4 3 4 3 3 VCầu = R = ( a 6 ) = 8 a 6 (đvtt). 3 3 Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều SABC các cạnh bằng a. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) tiếp xúc với cả bốn mặt của hình chóp.  Giải Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG là trục đường tròn S nội tiếp ABC. Gọi M là trung điểm AB và I là giao điểm của đường phân giác góc SãMG với SO và hạ IH vuông góc với SM, suy ra: H IH = IG. (1) C I B G Ta có nhận xét: M AB  GM A AB  (SGM) AB  IH AB  SG IH  (SAB) IH = d(I, (SAB)). Vì I thuộc SG nên I cách đều các mặt bên của hình chóp. 332
11. Kết hợp với (1), ta kết luận mặt cầu (I; IG) sẽ tiếp xúc với cả bốn mặt của hình chóp S.ABC. Trong SGM, ta có: IG IS IG.MS = MG(SG IG) (MS + MG)IG = MG.SG MG MS MG.SG IG = . (2) MS MG Trong đó, ta lần lượt có: 1 1 a 3 a 3 MG = CM = . = ; 3 3 2 6 a2 a 6 a 3 SG = SC2 CG2 = a2 = ; SM = . 3 3 2 Thay các kết quả trên vào (2), ta được: a 3 a 6 . a 6 R = IG = 6 3 = . a 3 a 3 12 2 6 Ví dụ 8: Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tính tỉ số thể tích của khối cầu và khối trụ.  Giải Ta lần lượt có: ▪ Khối cầu có bán kính R nên có thể tích là: 4 R3 V1 = . 3 ▪ Khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R nên có thể tích là: 2 2 3 V2 = R h = R .2R = 2 R . Từ đó, suy ra: 4 R3 V1 3 2 = 3 = . V2 2 R 3 Ví dụ 9: Cho hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy. Một hình vuông ABCD có cạnh bằng a và hai cạnh AB và CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy. Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. a. Tính chiều cao và bán kính đáy hình trụ theo a. b. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính thể tích của khối trụ.  Giải a. Giả sử hình trụ có bán kính đáy bằng R thì có chiều cao bằng R. 333
12. Gọi C', D' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đường tròn (O), ta có: 2a2 a 10 BD2 = BD'2 + DD'2 2a2 = 4R2 + R2 R2 R . 5 5 a Vậy, hình trụ có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng a. 2 b. Ta lần lượt có: a 10 a 10 4 a2 D C S 2 R.h 2 . . = (đvdt). xq 5 5 5 2 4 a2 a 10 8 a2 Stp = Sxq + 2B = 2 = (đvdt). D' 5 5 5 C' O 2 a 10 a 10 2 a3 10 A B V R2h . = (đvtt). 5 5 25 Ví dụ 10: Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Tính thể tích của khối trụ.  Giải Ta có ba trường hợp: Trường hợp 1: Nếu AA = a thì khối trụ có chiều cao h = AA = a và 1 1 D C bán kính đáy là: B 1 1 2 2 1 2 2 A R = A1C1 = A B C B = b c . 2 2 1 1 1 1 2 D1 Khi đó, thể tích của khối trụ là: C1 2 1 2 2 V = R h = (b + c )a (đvtt). A 4 1 B1 Trường hợp 2: Nếu AA1 = b thì khối trụ có chiều cao h = AA1 = b và bán kính đáy là: 1 1 2 2 1 2 2 R = A1C1 = A B C B = a c . 2 2 1 1 1 1 2 Khi đó, thể tích của khối trụ là: 1 V = R2h = (a2 + c2)b (đvtt). 4 Trường hợp 3: Nếu AA1 = c thì khối trụ có chiều cao h = AA1 = c và bán kính đáy là: 1 1 2 2 1 2 2 R = A1C1 = A B C B = a b . 2 2 1 1 1 1 2 1 Khi đó, thể tích của khối trụ là V = R2h = (a2 + b2)c (đvtt). 4 Ví dụ 11: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Mặt phẳng ( ) song song với trục hình trụ và cắt nó theo thiết diện ABB1A1. Biết một cạnh của thiết diện là dây cung của đường tròn đáy căng một cung 120 0 và diện tích xung quanh hình trụ là 4 . Tính: a. Diện tích toàn phần hình trụ. 334
13. b. Diện tích thiết diện ABB1A1. c. Thể tích hình trụ. d. Thể tích hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ. e. Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ.  Giải Gọi R là bán kính đáy. a. Ta có: Sxq = 2 R.OO1; Stp = 2 R(R + OO1) S tp 2 R(R OO1 ) R 1 3 3 = = + 1 = 1 = Stp = .4 = 6 . Sxq 2 R.OO1 OO1 2 2 2 b. Với thiết diện ABB1A1 ta có: ã 0 0 A1O1B1 120 ,A1B1 = 2R.sin120 = R 3 Mặt khác, ta có: 4 = Sxq = 2 R.OO1 = 2 R.2R R = 1 A1B1 = 3 . Do đó, diện tích thiết diện là: S = A1B1.A1A = 3 .2 = 2 3 (đvdt). c. Ta có ngay V = R2h = 2 R3 = 2 (đvtt). ã 2 d. Gọi A1C1 là cạnh của n đa giác đều nội tiếp hình trụ, suy ra A O C 1 1 1 n và diện tích đáy của hình lăng trụ bằng: 2 1 2 2 nR 2 Sn = n.S = n. R .sin = .sin (đvdt). A1O1C1 O 2 n 2 n A B Kí hiệu S là diện tích đáy hình trụ, ta có: nR2 2 2 2 .sin n.sin n.sin Sn 2 n n Vn n = = = O1 S R2 2 V 2 C1 A 2 2 1 B1 V.n.sin 2 .n.sin n n 2 Vn = = = n.sin (đvtt). 2 2 n e. Đường tròn lớn của hình cầu ngoại tiếp hình trụ là đường tròn ngoại tiếp thiết diện qua trục, do đó bán kính mặt cầu là RC = R 2 . Từ đó, ta được: 4 3 8 2 VC = R = (đvtt). 3 C 3 Ví dụ 12: Xét hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R mà diện tích thiết diện qua trục hình trụ là lớn nhất. Tính: a. Thể tích V và diện tích toàn phần Stp của hình trụ. b. Thể tích hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ. c. Thể tích hình lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ. 335
14. d. Diện tích thiết diện song song với trục hình trụ và cách trục một R khoảng . 2  Giải A O B Gọi O, O1 là tâm của hai đáy hình trụ, với thiết diện qua trục OO1 tương ứng là ABB 1A1. Gọi O' là trung điểm OO1, suy ra O' là tâm mặt cầu đã cho. O’ Kí hiệu h, r lần lượt là đường cao, bán kính đáy của hình trụ, khi đó diện tích thiết diện qua trục là: O' A' B' Std = 2rh. Ta có: h2 h2 1 R2 = O'A2 = r2 + r2 = R2 r = 4R2 h2 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 h 4R h 2 Std = 2 4R h .h = h (4R h ) = 2R 2 2 2 tức là (Std)Max = 2R , đạt được khi: 1 R 2 h h2 = 4R2 h2 h2 = 2R2 h = R 2 r = R2 .2R2 = . 4 2 2 a. Ta có: 2 R 2 R3 2 2 R 2 V = r h = . = (đvtt). 2 2 2 R 2 R 2 2 R 2 Stp = Sxq + 2Sđ = 2 rh + 2 r = 2 . + 2 = 3 R (đvdt). 2 2 nr2 2 b. Đáy của hình lăng trụ n giác đều nội tiếp hình trụ có diện tích bằng .sin , 2 n do đó thể tích hình lăng trụ đó bằng: 3 nr2 2 2 R 2 2 nR3 2 2 .sin nr3 .sin n .sin .sin Vl.t = .2r = = = . 2 n n 2 n 4 n c. Đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đường tròn đáy hình trụ có độ dài cạnh bằng 2r.ta n , nên diện tích đáy hình lăng trụ là: n 1 2 Sđ = n. .r.2r.ta n = nr .ta n (đvdt). 2 n n Khi đó, thể tích của lăng trụn giác đều ngoại tiếp hình trụ là: 3 R 2 nR3 nr2 .ta n 2nr3 .ta n 2n .tan .ta n V = .2r = = = . (đvtt). n n 2 n 2 n 336
15. d. Giả sử thiết diện là MNN1M1 thì MNN1M1 là hình chữ nhật. Gọi I là trung điểm của MN, ta có: 2 R R2 R 2 R2 R OI = ; IM = r2 = = . 2 4 2 4 2 Ví dụ 13: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích khối nón.  Giải Tứ diện đều ABCD, gọi G là trọng tâm ABC. Khối nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R và chiều cao h với: D a 3 R = GA = . 3 2 C a 3 a 6 G h = SG = SA2 GA2 = a2 = . A B 3 3 Khi đó, thể tích của khối nón là: 2 1 1 a 3 a 6 a3 6 V = R2h = . . = (đvtt). 3 3 3 3 27 B Ví dụ 14: Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC. A I A'  Giải Hạ AI vuông góc với BC, khi đó: C 1 2 1 2 1 2 1 2 V = V1 + V2 = AI BI + AI CI = AI (BI + CI) = AI BC. (1) 3 3 3 3 Ta có: BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2 BC a2 b2 . (2) 1 1 1 AB2 .AC2 a2b2 AI2 . (3) AI2 AB2 AC2 AB2 AC2 a2 b2 2 2 2 2 1 a b 2 2 a b Thay (2), (3) vào (1), ta được V = 2 2 . a b = (đvtt). 3 a b 3 a2 b2 Ví dụ 15: Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng S r. Hãy tính thể tích khối cầu nội tiếp hình nón.  Giải M Với hình nón đỉnh S và có tâm I ở đáy, suy ra SI là trục của O đường tròn đáy. Trong (SIA), dụng phân giác Ax của góc Sã AI và A B I cắt SI tại O. 337
16. Vậy, mặt cầu (O; OI) nội tiếp hình nón. Trong SIA, ta có: OI OS SI OI OI SI2 AI2 AI(SI OI) AI AS SI2 AI2 AI.SI rh OI SI2 AI2 AI AI.SI OI = . 2 2 2 2 SI AI AI h r r 3 4 3 4 rh Từ đó, ta được V R = (đvtt). 3 3 h2 r2 r Ví dụ 16: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 900. Cắt hình nón bằng mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh sao cho góc giữa ( ) và mặt đáy của hình nón bằng 600. Tính diện tích thiết diện.  Giải Giả sử SAC là thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 0. Gọi M là hình chiếu vuông góc của O lên AC, suy ra SãMO = 600. Trong SOM vuông tại O, ta có: a 2 SO a 6 1 a 6 SM = = 2 = ; OM = SM = . sinSãMO sin 60 0 3 2 6 S Trong AOM vuông tại M, ta có: 2 2 a 2 a 6 a2 AM2 = OA2 OM2 = = O 2 6 3 A M B C a 3 2a 3 AM = AC = . 3 3 Khi đó, diện tích thiết diện được cho bởi: 1 1 a 6 2a 3 a 2 2 S = SM.AC = . . = (đvdt). 2 2 3 3 3 338