›
›
›

Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chương 4: Phương trình đường thẳng

doc 122 trang xuanthu 180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chương 4: Phương trình đường thẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • dockien_thuc_trong_tam_hinh_hoc_lop_12_chuong_4_phuong_trinh_du.doc

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm Hình học Lớp 12 - Chương 4: Phương trình đường thẳng

  1. lê hồng đức và nhóm cự môn hình học 12 Phương trình đường thẳng Bài giảng được trình bày cho các em học sinh bằng việc sử dụng giáo án điện tử Người thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại: 0936546689 Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Tây Hồ Hà Nội
  2. Đ3 Phương trình đường thẳng A. bài giảng 1. phương trình tham số của đường thẳng Định lý 1: Oxyz, (d) M (x ; y ; z ) Trong không gian đường thẳng đi qua điểm 0 0 0 0 và có vtcp a (a1; a2; a3) có phương trình: x x0 a1t (d): y y0 a2t , t Ă . (1) z z0 a3t Vậy, ta được: x x0 a1t Qua M0 (x0 ;y0 ;z0 ) (d): (d): y y0 a2t , t Ă . vtcpa(a1;a2 ;a3 ) z z0 a3t 2 2 2 Phương trình (1) với điều kiện a1 + a2 + a3 > 0 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng. Hoạt động Chứng minh kết quả trên. Thí dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d), biết: a. (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vtcp a (2; 1; 0). b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(3; 1; 5).  Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) được cho bởi: x 1 2t Qua A(1;2;3) (d): (d): y 2 t , t Ă . vtcp a(2; 1; 0) z 3 Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) (d) khi: x 1 2t x 1 2t   AM // a AM ta y 2 t y 2 t , t Ă . z 3 0 z 3 Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d) cần tìm.  Chú ý: Lời giải trong cách 2 chính là ý tưởng để chứng minh định lí trên. 1
  3. b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) được cho bởi: x 2 t Qua A(2;1; 3) Qua A(2;1; 3) (d): (d):  (d): y 1 2t , t Ă . Qua B(3; 1; 5) vtcp AB(1; 2; 8) z 3 8t Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) (d) khi: x 2 t x 2 t     AM // AB AM tAB y 1 2t y 1 2t , t Ă . z 3 8t z 3 8t Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d) cần tìm. Hoạt động Viết phương trình đường thẳng (d), biết: a. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có vtcp a ( 3; 1; 2). b. (d) đi qua hai điểm A( 3; 2; 6) và B(5; 4; 2). 2. phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho bởi (1) suy ra: x x y y z z 0 = 0 = 0 . (2) a1 a2 a3 Phương trình (2) với điều kiện a1a2a3 0 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng. Vậy, ta được: Qua M0 (x0 ;y0 ;z0 ) x x y y z z (d): (d): 0 = 0 = 0 . a a a vtcpa(a1;a2 ;a3 ) 1 2 3 Từ đó, đường thẳng (d) đi qua hai điểm M1(x1; y1; z1) và M2(x2; y2; z2), ta có: Qua M1 (x1;y1;z1 ) Qua M1 (x1;y1;z1 ) (d): (d):  Qua M (x ;y ;z ) 2 2 2 2 vtcp M1M2 (x2 x1;y2 y1;z2 z1 ) x x1 (x2 x1 )t x x1 y y1 z z1 (d): y y1 (y2 y1 )t , t Ă hoặc (d): = = . x2 x1 y2 y1 z2 z1 z z1 (z2 z1 )t Thí dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: (P): 2x + 2y + z 4 = 0, (Q): 2x y z + 5 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b. Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (d). 2
  4.  Giải   a. Gọi nP , nQ theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (Q), ta có:     nP (2; 2; 1), nQ (2; 1; 1) nP và nQ không cùng phương (P)  (Q) = (d). b. Đường thẳng (d) gồm các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình: 2x 2y z 4 0 A(0; 1; 6) (d). 2x y z 5 0 Gọi u là một vtcp của đường thẳng (d), ta có:  u  n   2 1 1 2 2 2 P  u nP , nQ = ; ; = ( 1; 4; 6). 1 1 1 2 2 1 u  nQ c. Ta có: x t Qua A(0; 1;6) (d): (d): y 1 4t , t Ă vtcp u( 1;4; 6) z 6 6t x y 1 z 6 hoặc (d): . 1 4 6  Chú ý: Nếu thí dụ trên không có câu b) thì để "Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (d)" ngoài cách giải như trong c) chúng ta còn có thể thực hiện theo các cách sau: Cách 1: Tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn hệ phương trình: 2x 2y z 4 0 A(0; 1; 6) (d) và B( 1; 3; 0) (d). 2x y z 5 0 Khi đó, ta được: Qua A Qua A(0; 1;6) (d) : (d) :  Qua B vtcp AB( 1;4; 6) x t x y 1 z 6 (d): y 1 4t , t Ă hoặc (d): . 1 4 6 z 6 6t Cách 2: Tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn hệ phương trình: 2x 2y z 4 0 . (I) 2x y z 5 0 Trong hệ (I) cho x = t, ta được: 2y z 4 2t y 1 4t . y z 5 2t z 6 6t 3
  5. Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng: x t (d): y 1 4t , t Ă . (II) z 6 6t Từ hệ (II), bằng cách rút t, ta được: x t 1 y 1 x y 1 z 6 t . 4 1 4 6 z 6 t 6 Đó chính là phương trình chính tắc của đường thẳng (d). Hoạt động Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: (P): x + 2y + 3z 6 = 0, (Q): 3x y z 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Hãy t ìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳn g (d). Thí dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) và D(4; 1; 4). a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b. Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D. c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC).  Giải    a. Ta có AB (1; 0; 1), AC (3; 1; 2), AD (3; 1; 1), từ đó suy ra:   0 1 1 1 1 0 AB,AC = ; ; = ( 1; 1; 1), 1 2 2 3 3 1    AB,AC AD = ( 1; 1; 1)(3; 1; 1) = 3 + 1 1 = 3 0    Ba véctơ AB , AC và AD không đồng phẳng. Vậy, bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b. Gọi (d) là đường cao của tứ diện hạ từ D, ta có: Qua D Qua D (d): (d):   (d)  (ABC) vtcp a AB, AC x 4 t Qua D(4;1;4) (d): (d): y 1 t , t Ă . vtcp a( 1; 1; 1) z 4 t 4
  6. c. Gọi n là vtpt của mặt phẳng (ABC), ta có:  n  AB    n = AB, AC = ( 1; 1; 1) chọn n (1; 1; 1). n  AC Mặt phẳng (ABC) được cho bởi: Qua A(1;2;3) (ABC): (ABC): x + y + z 6 = 0. vtpt n(1;1;1) Khi đó, hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC) chính là giao điểm của (d) với (ABC), ta được: (4 t) + (1 t) + (4 t) 6 = 0 t = 1 H(3; 0; 3). Hoạt động Cho bốn điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2). a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình t ứ diện. b. Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D. c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC). d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thí dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 5) và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình: x 1 t x y 1 z 1 (d): y 2 2t , t Ă và (d2): . 2 3 5 z 3 t a. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d3) đi qua M và song song với (d2). b. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với cả (d1) và (d2). Giải    Gọi u và u theo thứ tự là vtcp của đường thẳng (d ) và (d ), ta có:  1 2  1 2 u1 (1; 2; 1) và u2 ( 2; 3; 5). a. Ta có ngay: x 1 2t Qua M(1;1;5) (d3):  (d3): y 1 3t , t Ă . vtcp u ( 2;3;5) 2 z 5 5t b. Gọi u là vtcp của đường thẳng, ta có:    (d)  (d1 ) u  u1  u = u , u = (7; 7; 7) chọn u (1; 1; 1). (d)  (d ) 1 2 2 u  u2 Từ đó, ta có: Qua M(1;1;5) x 1 y 1 z 5 (d): (d): . vtcp u(1; 1;1) 1 1 1 5
  7. Hoạt động Cho hai đường thẳng: x 1 t x y 1 z 6 (d1): và (d2): y 2 t , t Ă . 1 2 3 z 3 t a. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điể m M(1; 2; 3), vuông góc với cả (d1) và (d2). b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả (d1) và (d2). 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) và (d ) có: 1 2 ▪ (d1) đi qua điểm M1(x1; y1; z1) và có vtcp u (a1; b1; c1), 1 ▪ (d2) đi qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vtcp u2 (a2; b2; c2).  Khi đó, xét ba vectơ u1 , u2 và M1M2 ta có kết quả:  1. (d1) và (d2) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ u1 , u2 và M1M2 đồng phẳng. Như vậy:  (d1) và (d2) đồng phẳng [ u1 , u2 ]. M1M2 = 0. 2. (d1) và (d2) cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vtcp của chúng không cùng phương. Như vậy:  (d1) và (d2) cắt nhau [u , u ].M M = 0 và a1: b1: c1 a2: b2: c2. 1 2 1 2 3. (d1) và (d2) song song với nhau khi và chỉ khi u1 và u2 cùng phương và (d1), (d2) không có điểm chung. Như vậy: (d ) // (d ) a : b : c = a : b : c (x x ): (y y ): (y y ). 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4. (d1) và (d2) trùng nhau khi và chỉ khi u1 và u2 cùng phương và (d1), (d2) có điểm chung. Như vậy: (d1)  (d2) a1: b1: c1 = a2: b2: c2 = (x2 x1): (y2 y1): (y2 y1).  5. (d1) và (d2) chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ u1 , u2 và M1M2 không đồng phẳng. Như vậy:  (d1) và (d2) chéo nhau [ u1 , u2 ]. M1M2 0.  Chú ý: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng (d1) và (d2) thì cũng có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách giải hệ gồm các phương trình xác định (d1) và (d2) để tìm giao điểm và khi đó: a. Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì (d1) và (d2) cắt nhau. b. Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d1) và (d2) trùng nhau. c. Nếu hệ vô nghiệm thì (d1) và (d2) song song hoặc chéo nhau, song song nếu hai vtcp của chúng cùng phương, chéo nhau nếu hai vectơ đó không cùng phương. 6
  8. Thí dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình: x 1 t x 2 y 5 z 7 (d1): y 2 3t , t Ă , (d2): . 1 3 4 z 3 4t a. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2). b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đường thẳng (d1).  Giải a. Ta lần lượt có:  ▪ Với (d1) có vtcp u (1; 3; 4) và điểm M1(1; 2; 3) (d1). 1 ▪ Với (d2) có vtcp u (1; 3; 4) và điểm M2(2; 5; 7) (d2).   2  suy ra các vectơ u1 , u2 và M1M2 (1; 3; 4) cùng phương. Vậy, hai đường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d 1). Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua gốc O và chứa đường thẳng (d ) tương ứng với việc đi qua ba điểm O, M , N . 1 1 1 Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta được:     OM (1; 2; 3) và ON (0; 1; 1) n = OM , ON = (1; 1; 1). 1 1 1 1 Phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi: qua O(0;0;0) (P): (P): x + y z = 0. vtpt n(1;1; 1) Cách 2: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d 1). Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua gốc O và chứa đường thẳng (d1) tương ứng với việc đi qua ba điểm O, M1, N1. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0. Vì O, M1, N1 thuộc (P), ta được: A 2B 3C D 0 A 2B 3C 0 A C B C D 0 B C 0 B C . D 0 D 0 D 0 Từ đó, ta được: (P): Cx Cy + Cz = 0 (P): x + y z = 0.  Cách 3: Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đầu bài thì (P) sẽ có cặp vtcp là u1 và  OM1 . Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta được:   n = u , OM = (1; 1; 1). 1 1 7
  9. Phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi: qua O(0;0;0) (P): (P): x + y z = 0. vtpt n(1;1; 1) Hoạt động Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình: x t x 1 y 3 z 5 (d1): y 1 2t , t Ă , (d2): . 1 2 3 z 2 3t a. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1), (d2). b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đường thẳng (d2). Thí dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1) có phương trình: x 1 y 1 z 2 (d1): , 1 1 4 và đường thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + y 1 = 0 và (P2): 4y + z + 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. b. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ((d1), (d2)) và cách đều (d1), (d2).  Giải a. Ta lần lượt có:  ▪ Với (d ) có vtcp u (1; 1; 4) và điểm M (1; 1; 2) (d ). 1 1 1  1  ▪ Các mặt phẳng (P ), (P ) theo thứ tự có vtpt n (1; 1; 0), n (0; 4; 1). Khi đó  1 2 1 2 vtcp u của đường thẳng (d2) được cho bởi: 2   u n , n = (1; 1; 4). 2 1 2 Và lấy điểm M2(1; 0; 1) (d2).   Suy ra, các vectơ u , u cùng phương và không cùng phương với vectơ  1 2 M1M2 (0; 1; 3). Vậy, hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. 1 1 b. Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M 1; ; . 2 2 Khi đó, phương trình đường thẳng (d) được xác định bởi: 1 1 1 1 y z qua M 1; ; x 1 2 2 (d): 2 2 (d): .  1 1 4 vtcp u1 (1; 1;4) 8
  10. Hoạt động Cho đường thẳng (d1) có phương trình: x t (d1): y 3 4t , t Ă , z 3 3t và đường thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + y z = 0 và (P2): 2z y + 2z = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) song song vớ i nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng (d1) và (d2). c. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) nằm tr ong mặt phẳng ((d1), (d2)) và cách đều (d1), (d2). Thí dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1) có phương trình: x 1 t (d1): y t , t Ă , z 2 3t và đường thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + 2y + 3 = 0 và (P2): 3y z + 10 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng (d1) và (d2).  Giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Ta lần lượt có: a. Ta có:  ▪ Với (d ) có vtcp u (1; 1; 3) và điểm M ( 1; 0; 2) (d ), 1 1 1   1 ▪ Các mặt phẳng (P ), (P ) theo thứ tự có vtpt n (1; 2; 0), n (0; 3; 1).  1 2 1 2 Khi đó vtcp u của đường thẳng (d2) được cho bởi:   2  u n , n = ( 2; 1; 3). 2 1 2 Và lấy điểm M2 (1;  2; 4) (d2). Suy ra các vectơ u , u không cùng phương, và ta có:   1 2 u , u . M M = ( 6; 9; 1).( 2; 2; 6) = 0 (d) và (d ) cắt nhau. 1 2 1 2 1 2 b. Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta được:   n = u , u = ( 6; 9; 1) chọn n = (6; 9; 1). 1 2 Phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi: qua M1 ( 1;0; 2) (P): (P): 6x + 9y + z + 8 = 0. vtpt n(6;9;1) 9
  11. Cách 2: Ta lần lượt có: a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d1), (P1) và (P2): x 1 t x 1 t t 2 y t y t x 1 z 2 3t z 2 3t . y 2 x 2y 3 0 1 t 2( t) 3 0 z 4 3y z 10 0 3( t) ( 2 3t) 10 0 Vậy, hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm A(1; 2; 4). b. Lấy các điểm M1( 1; 0; 2) (d1) và M2( 3; 0; 10) (d2).   Mặt phẳng (P) sẽ có cặp vtcp là AM1 và AM2 . Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta được:   n = AM , AM = (24; 36; 4) chọn n = (6; 9; 1). 1 2 Phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi: qua M1 ( 1;0; 2) (P): (P): 6x + 9y + z + 8 = 0. vtpt n(6;9;1) Hoạt động Cho đường thẳng (d1) có phương trình: x 1 t (d1): y 2 2t , t Ă , z 3 và đường thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + y = 0 và (P2): 2x y + z 15 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng ( d1) và (d2). Thí dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình: x 2t 1 x u 2 (d1): y t 2 và (d2): y 3 2u , t, u Ă . z 3t 3 z 3u 1 a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều cách đều (d1), (d2).  Giải a. Ta lần lượt có:  ▪ Với (d ) có vtcp u (2; 1; 3) và điểm M (1; 2; 3) (d ). 1 1 1 1 ▪ Với (d2) có vtcp u2 (1; 2; 3) và điểm M2(2; 3; 1) (d2). 10
  12.   suy ra các vectơ u , u không cùng phương, khi đó:   12 u , u . M M = ( 3; 3; 3).(1; 5; 4) = 24 (d) và (d ) chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 3 1 b. Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M ; ; 1 . 2 2 Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) được xác định bởi: qua M qua M (P):   (P):   cócặp vtcp u và u vtpt n u , u ( 3; 3; 3) 1 2 1 2 3 1 qua M ; ; 1 (P): 2 2 (P): x + y z = 0. vtpt n(1;1; 1) Hoạt động Cho đường thẳng (d1) có phương trình: x 1 t (d1): y 2 t , t Ă , z 3 t và đường thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + y z + 5 = 0 và (P2): 2x y + 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng (R) song song và cách đều cách đều (d1), (d2). c. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1) và song song với đường thẳng (d2). d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d2) và song song với đường thẳng (d1). 4. một số bài toán về tính khoảng cách Bài toán 1: Cho điểm M và đường thẳng (d) có vtcp a và đi qua điểm M0. Tính khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng (d). M  Giải  (d) Gọi A là điểm sao cho M0A a . M0 H A Khi đó, diện tích hình bình hành có hai cạnh là M0M và MA được cho bởi:   M0 M,a S = M0 M,a = MH.M0A = h. a h . a  Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. 11
  13. Thí dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 3) và đường thẳng (d) có phương trình: x 1 y 1 z 2 (d): , 1 1 2 a. Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d). b. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d).  Giải a. Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(1; 1; 2) và có vtcp a (1; 1; 2). Ta có ngay:  M M,a 0 ( 3; 3; 0) 18 d(M, (d)) = = = = 3 . a (1; 1; 2) 6 b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Chuyển phương trình (d) về dạng tham số: x 1 t (d): y 1 t , t Ă . z 2 2t Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d), suy ra:  H(1 + t; 1 t; 2 + 2t) MH (t 2; 2 t; 2t 1),   MH  (d) MH  a MH . a = 0 1.(t 2) 1.(2 t) + 2(2t 1) = 0 t = 1 H(2; 0; ). Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng thoả mãn: qua M qua M(3; 1;3) (P): (P): (P): x y + 2z 10 = 0. (P)  (d) vtpt a(1; 1;2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (d), suy ra {H} = (d)  (P), do đó toạ độ H là nghiệm hệ phương trình: x 1 y 1 z 2 x y 2 x 2 1 1 2 2x z 0 y 0 H(2; 0; ). x y 2z 10 0 x y 2z 10 z 4 Cách 3: (Dựa vào kết quả câu a): Chuyển phương trình (d) về dạng tham số: x 1 t (d): y 1 t , t Ă . z 2 2t Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d), suy ra:  H(1 + t; 1 t; 2 + 2t) MH (t 2; 2 t; 2t 1). Vì độ dài MH 3 nên ta được: 3 = MH2 = (t 2)2 + (2 t)2 + (2t 1)2 t2 2t + 1 = 0 t = 1 H(2; 0; ). 12
  14.  Nhận xét: Thông qua lời giải của thí dụ trên các em học sinh cần ghi nhận ba phương pháp để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng. Hoạt động Cho điểm M(4; 3; 2) và đường thẳng (d) có phương trình: x 1 y z 1 (d): , 3 2 1 a. Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d). b. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d). Bài toán 2 : Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau (d 1), (d2 ), biết đường thẳng (d1) có vtcp u1 và đi qua điểm M1; đường thẳng (d2) có vtcp u2 và đi qua điểm M2. (d1) A1  Giải M1 Gọi A1, a2 là các điểm sao cho:     M1A1 u1 , M2A2 u2 . Khi đó, thể tích khối hộp có ba cạnh là M1M2, S M1A1 và M2A2 được cho bởi: M2 A (d )    2 2 u ,u .M M      1 2 1 2 V = u ,u .M M = h.S = h. u ,u h . 1 2 1 2 1 2   u ,u 1 2  Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Thí dụ 10: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d1) có phương trình: x 1 t x y 1 z 6 (d1): , (d): y 2 t , t Ă . 1 2 3 z 3 t a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2). b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1) và song song với đường thẳng (d2). c. Gọi (d) là đường vuông góc chung của (d1) và (d2). Gọi H1, H2 theo thứ tự là giao điểm của (d) với các đường thẳng (d1), (d2). Xác định tọa độ các điểm H1 và H2.  Giải a. Ta lần lượt có:  ▪ Đường thẳng (d ) đi qua điểm M (0; 1; 6) và có vtcp u (1; 2; 3). 1 1 1 ▪ Đường thẳng (d2) đi qua điểm M2(1; 2; 3) và có vtcp u2 (1; 1; 1). 13
  15. Suy ra:    u ,u .M M 1 2 1 2 ( 5;4; 1).(1; 3; 3) 14 d((d1), (d2)) =   = = . u ,u ( 5;4; 1) 42 1 2   b. Mặt phẳng (P) sẽ có cặp vtcp là u1 và u2 . Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta được:   n = u , u = ( 5; 4; 1) chọn n = (5; 4; 1). 1 2 Phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi: qua M1 (0;1;6) (P): (P): 5x 4y + z 2 = 0. vtpt n(5; 4;1) c. Chuyển phương trình của (d1) về dạng tham số: x u (d1): y 1 2u , u Ă H1(u; 1 + 2u; 6 + 3u). z 6 3u Vì H (d ) nên H (1 + t; t 2; 3 t), suy ra: 2 2 2 H1H2 (t u + 1; t 2u 3; t 3u 3). Từ điều kiện:     (d)  (d1) H1H2  u1 H1H2 .u1 0     (d)  (d ) 2 H1H2  u2 H1H2 .u2 0 (t u 1) 2(t 2u 3) 3(t 3u 3) 0 u 1 . (t u 1) (t 2u 3) (t 3u 3) 0 t 1/ 3 Khi đó, bằng cách thay u, t theo thứ tự vào các phương trình tham số của (d1), (d2) 2 7 10 ta được H1( 1; 1; 3), H2 ; ; . 3 3 3 Hoạt động Cho hai đường thẳng: x 1 t x y z 5 0 (d1): và (d2): y 2 t , t Ă . 2x y 1 0 z 3 t a. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữ a chúng. b. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). c. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2). d. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả (d1) và (d2). 14
  16. B. phương pháp giải Các dạng toán thường gặp Bài toán 1: Phương trình đường thẳng. Phương pháp áp dụng Ta có: 1. Phương trình: x x0 a1t y y0 a2t , t Ă z z0 a3t là phương trình tham số của một đường thẳng khi và chỉ khi: a2 + a2 + a2 > 0. 1 2 3 Khi đó, nó đi qua một điểm M0(x0; y0; z0) và có vtcp a (a1; a2; a3). 2. Phương trình: x x y y z z 0 = 0 = 0 a1 a2 a3 là phương trình chính tắc của một đường thẳng khi và chỉ khi: a a a 0. 1 2 3 Khi đó, nó đi qua một điểm M0(x0; y0; z0) và có vtcp a (a1; a2; a3).  Chú ý: Đi kèm với họ đường thẳng (dm) thường có thêm các câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Tìm điểm cố định mà họ đường thẳng (dm) luôn đi qua. Câu hỏi 3: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số đường thẳng của họ (dm) đi qua M. Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ đường thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng cố định, để thực hiện yêu cầu này chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Khử m từ hệ của phương trình (d), ta được: Ax + By + Cz + D = 0 (1) Khi đó (1) chính là phương trình của mặt phẳng cố định (P) chứa các đường thẳng của họ (dm). Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Các điểm M(x; y; z) thuộc (dm) có tọa độ thỏa mãn phương trình: [A1(m)x + B1(m)y + C1(m)z + D1(m)] + + [A2(m)x + B2(m)y + C2(m)z + D2(m)] = 0. (2) Bước 2: Lựa chọn các giá trị thích hợp của , , đưa (2) về dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (3) Bước 3: Khi đó (3) chính là phương trình của mặt phẳng cố định (P) chứa các đường thẳng của họ (dm). Cách 3: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điểm cố định M0(x0; y0; z0) mà họ đường thẳng (dm) luôn đi qua. Tìm vectơ cố định n (A; B; C) 0 vuông góc với họ đường thẳng (dm). 15
  17. Bước 2: Khi đó, phương trình mặt phẳng cố định (P) là: Qua M0 (x0 ;y0 ;z0 ) (P): vtpt n(A;B;C) (P): A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0. Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho phương trình: x 1 (m 1)t y 2 mt , t Ă . (1) z (m 1)t a. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình của một họ đường thẳng kí hiệu là (dm), từ đó chỉ ra điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua. b. Điểm A(3; 3; 1) có thuộc đường thẳng nào của họ (dm) không. c. Chứng minh rằng họ đường thẳng (d m) luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố định, tìm phương trình mặt phẳng (P).  Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán.  Giải a. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 a1 + a2 + a3 = (m + 1) + m + (m 1) = 3m + 2 > 0, m Vậy với mọi m, phương trình (1) là phương trình tham số của họ đường thẳng (dm) và dễ nhận thấy họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M0(1; 2; 0), ứng với t = 0 khi thay vào phương trình tham số của đường thẳng. b. Điểm A(3; 3; 1) thuộc một đường thẳng của họ khi hệ sau có nghiệm: 3 1 (m 1)t mt t 2 t 1 3 2 mt mt 1 mt 1, vô nghiệm. 1 (m 1)t mt t 1 t 0 Vậy, điểm A(3; 3; 1) không thuộc đường thẳng nào của họ (dm). c. Ta lựa chọn một trong ba cách lập luận sau: Cách 1: Từ hệ (1) bằng cách rút theo t, ta được: x 1 t m 1 x 1 y 2 y 2 m 1 m m(x y 1) y 2 t m y 2 z m(y z 2) y 2 z m m 1 t m 1 x y 1 1 x 2y + z + 3 = 0. y z 2 Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cố định chứa họ đường thẳng (dm). 16
  18. Cách 2: Từ hệ (1) bằng cách cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ ba, ta được: x z 1 2mt x z 1 2mt x 2y + z + 3 = 0. y 2 mt 2y 4 2mt Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cố định chứa họ đường thẳng (dm). Cách 3: Họ (dm) có vtcp a (m + 1; m; m 1) và với vectơ n (1; 2; 1) ta có nhận xét: a . n = m + 1 2m + m 1 = 0, m a  n , m. Do đó, họ (dm) thuộc mặt phẳng (P) cố định có phương trình được cho bởi: Qua M0 (1;2;0) (P): (P): x 2y + z + 3 = 0. vtpt n(1; 2;1)  Nhận xét: Như vậy, với câu hỏi c) chúng ta đã trình bày theo ba cách: ▪ở cách 1, chúng ta thực hiện việc chuyển phương trình của họ (d m) về dạng chính tắc rồi dạng tổng quát (giao tuyến của hai mặt phẳng) và từ đó khử m đề nhận được phương trình mặt phẳng cố định (P). Công việc này thực chất là khử dần các tham số t và m. ▪ở cách 2, chúng ta thực hiện liên tiếp hai phép khử cho các tham số t và mt và đây là cách giải mà các em học sinh hãy ghi nhận để áp dụng cho các bài tập tương tự. ▪ ▪ở cách 3, để tìm được vectơ n chúng ta thực hiện như sau: Giả sử n (A; B; C) và khi đó: a . n = 0, m A(m + 1) + Bm + C(m 1) = 0, m (A + B + C)m + A C = 0, m A B C 0 A C . A C 0 B 2C Từ đó, chọn C = 1 ta được n (1; 2; 1). Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho phương trình: 1 x y 1 z 2 . (1) 1 m m 1 a. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) là phương trình chính tắc của một đường thẳng, gọi là họ (dm). Khi đó, tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua. b. Chứng tỏ rằng họ đường thẳng (dm) luôn thuộc mặt phẳng (P) cố định. c. Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ.  Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán.  Giải a. Để phương trình (1) là phương trình chính tắc của một đường thẳng điều kiện là: m(m 1) ≠ 0 m ≠ 0 và m ≠ 1. (*) Với điều kiện (*) ta thấy ngay họ đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M0(1; 1; 2). 17
  19. b. Ta lựa chọn một trong hai cách lập luận sau: Cách 1: Từ (1), ta được: 1 x y 1 1 m m(1 x) y 1 y + 1 = x + z + 3 1 x z 2 m(1 x) x z 3 1 m 1 x + y z 2 = 0. Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cố định chứa họ đường thẳng (d ). m Cách 2: Các đường thẳng thuộc họ (dm) có vtcp u 1; m; m 1 . Với vectơ n(1;1; 1) ta có nhận xét: u.n 1.1 m.1 (m 1)( 1) 1 m m 1 0 u  n, m . Vậy, họ đường thẳng (dm) luôn thuộc mặt phẳng cố định (P) có phương trình được cho bởi: Qua M0 (1; 1; 2) (P): (P): x + y z 2 = 0. vtpt n(1;1; 1) c. Ta có: (P)  Ox = {A(2; 0; 0)}, (P)  Oy = {B(0; 2; 0)}, (P)  Oz = {C(0; 0; 2)}. Thể tích khối tứ diện OABC được cho bởi: 1 1 4 V OA.OB.OC = .2.2. 2 = (đvtt). 6 6 3  Nhận xét: Với mặt phẳng (Q) chúng ta còn gặp một dạng toán là "Tìm đường thẳng cố định luôn thuộc họ mặt phẳng (Q)". Thí dụ với mặt phẳng (Q): x + my 3mz m 1 = 0 ta thực hiện phép biến đổi: (Q): x  + m(y 3z  = 0 Từ đó, suy ra đường thẳng cố định thuộc họ mặt phẳng (Q) có phương trình: x 1 0 (d): . y 3z 1 0 Như vậy, để chứng minh họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Biến đổi phương trình của họ (Pm) về dạng: f(x, y, z) + mg(x, y, z) = 0. Bước 2: Vậy, họ (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định có phương trình: f (x, y,z) 0 (d): . g(x, y,z) 0 18
  20. Bài toán 2: Chuyển dạng phương trình đường thẳng. Phương pháp áp dụng 1. Với (d) cho dưới dạng tham số: x x0 a1t (d): y y0 a 2t , t Ă . (1) z z0 a3t Bằng cách rút t từ hệ, ta sẽ nhận được phương trình chính tắc của đường thẳng (d), cụ thể: x x0 t a1 y y x x y y z z (1) 0 t 0 = 0 = 0 . a 2 a1 a 2 a3 z z 0 t a3 Đó chính là phương trình chính tắc của đường thẳng (d). 2. Với (d) cho dưới dạng chính tắc: x x y y z z (d): 0 = 0 = 0 . (2) a1 a 2 a3 Bằng việc sử dụng tham số trung gian t ta nhận được phương trình tham số của đường thẳng (d), cụ thể: x x0 a1t x x0 y y0 z z0 (2) = = = t (d): y y0 a 2 t , t Ă . a1 a 2 a3 z z0 a3t Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d). 3. Với (d) cho dưới dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Khi đó, đường thẳng (d) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ phương trình: A1x B1y C1z D1 0 . A2x B2 y C2z D2 0 Để có được phương trình dạng tham số, chính tắc của (d) ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Gọi u là vtcp, ta có:   B C C A A B u n , n = 1 1 , 1 1 , 1 1 . 1 2 B2 C2 C2 A2 A2 B2 Bước 2: Tìm một điểm M(x0 ; y0 ; z0) (d). 19