›
›
›

Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

doc 77 trang xuanthu 220
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • dockien_thuc_trong_tam_mon_toan_lop_11_chuong_1_ham_so_luong_gi.doc

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

  1. phần I: đại số và giải tích chương 1 hàm số lượng giác và phương trình lượng giác A. Kiến thức cần nhớ I. các hàm số lượng giác 1. Hàm tuần hoàn Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho với mọi x D ta có: x T D và x + T D (1) f(x + T) = f(x) (2) Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn f(x).  Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn): Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm: a. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn. b. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a. c. Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn. d. Phương trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự: < xn < xn + 1 < mà |xn xn + 1| 0 hay . 2. hàm số lượng giác biến số thực 2.1. Hàm số y = sinx Ta có: ▪ Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên Ă . ▪ Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 . Xét hàm số y = sinx trên [0; ]. Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 /2 x /2 0 /2 1 1 y 0 0 y 0 0 0 1 7
  2. Đồ thị: y 1 /2 3 2 O /2 2 3 x 1 Từ đây, ta có nhận xét quan trọng là sinx 1 với mọi x. 2.2. Hàm số y = cosx Ta có: ▪ Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên Ă . ▪ Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 . Xét hàm số y = cosx trên [0; ]. Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 /2 x /2 0 /2 y 1 1 0 y 0 0 1 1 1 Đồ thị: y 1 3 /2 3 2 O /2 2 x 1 Từ đây ta có nhận xét quan trọng là cosx 1 với mọi x. 2.3. Hàm số y = tanx y Ta có: ▪ Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên Ă \{ + k , k  }. 2 /2 ▪ Hàm số y = tanx tuần hoàn 3 /2 O /2 3 /2 x với chu kì . Xét hàm số y = tanx trên [0; ). 2 Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 /2 x /2 0 /2 y + y 0 + 0 Đồ thị: hình trên. 8
  3.  Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đường thẳng có phương trình x = + k , 2 k  được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx. 2.4. Hàm số y = cotx y Ta có: ▪ Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên Ă \{k , k  }. 3 /2 ▪ Hàm số y = cotx tuần hoàn với /2 O /2 3 /2 chu kì . x Xét hàm số y = cotx trên (0; ]. 2 Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 /2 x /2 0 /2 y + y  + 0 0 Đồ thị: hình trên.  Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đường thẳng có phương trình x = k , k  được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx. II. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình sinx = m Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu m > 1 phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = sin , ta được: x 2k sinx = sin , k  . x 2k Đặc biệt: Ta có các kết quả: ▪ sinx = 0 x = k , k  . ▪ sinx = 1 x = + 2k , k  . sinx = 1 x = + 2k , k  . 2 2 2. Phương trình cosx = m Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu m > 1 phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = cos , ta được: x 2k cosx = cos , k  . x 2k 9
  4. Đặc biệt: Ta có các kết quả: ▪ cosx = 0 x = + k , k  . 2 ▪ cosx = 1 x = 2k , k  . cosx = 1 x = + 2k , k  . 3. Phương trình tanx = m Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: cosx 0 x + k , k  . 2 Xét hai khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử , khi đó phương trình có dạng: tanx = tan x = + k , k  . Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m = tan , ta được: tanx = tan x = + k , k  . hoặc sử dụng kí hiệu x = arctanm + k , k  . Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.  Nhận xét: Như vậy, với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 4. Phương trình cotx = m Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: sinx 0 x k , k  . Xét hai khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử , khi đó phương trình có dạng : cotx = cot x = + k , k  . Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m = cot , ta được cotx = cot x = + k , k  . hoặc sử dụng kí hiệu x = arccotm + k , k  . Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.  Nhận xét: Như vậy, với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. III. một số phương trình lượng giác đơn giản 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Chuyển phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản. 10
  5. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện t 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: asinx + bcosx = c. (1) Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Kiểm tra: 1. Nếu a2 + b2 < c2 phương trình vô nghiệm. 2. Nếu a2 + b2 c2, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2. Bước 2: Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 b2 , ta được: a b c sinx + cosx = a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a b Vì ( )2 + ( )2 = 1 nên tồn tại góc sao cho a 2 b2 a 2 b2 a b cos , sin . a 2 b2 a 2 b2 Khi đó, phương trình (1) có dạng: c sinx.cos + sin .cosx = a 2 b2 c sin(x + ) = . a 2 b2 Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin. Cách 2: Thực hiện theo các bước: x Bước 1: Với cos = 0 x = + 2k , kiểm tra vào phương trình. 2 x x Bước 2: Với cos 0 x + 2k , đặt t = tan , suy ra: 2 2 2t 1 t2 sinx = và cosx = . 1 t2 1 t2 Khi đó, phương trình (1) có dạng: 2t 1 t2 a. + b. = c 1 t2 1 t2 (c + b)t2 2at + c b = 0. (2) Bước 3: Giải phương trình (2) theo t. 11
  6. Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong ( ; ), ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.  Nhận xét quan trọng: 1. Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số. 2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D  [0; 2 ]. 3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương trình k có nghiệm thuộc tập D với D[0; 2 ] . 4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau: a 2 b2 asinx + bcosx a 2 b2 kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số a.sin x b.cos x dạng y = a.sinx + b.cosx, y = và phương pháp đánh giá cho c.sin x d.cos x một số phương trình lượng giác.  Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả: ▪ sinx + cosx = 0 x = + k , k  . 4 ▪ sinx cosx = 0 x = + k , k  . 4 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d. (1) Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Với cosx = 0 x = + k , k  . 2 Khi đó, phương trình (1) có dạng a = d. - Nếu a = d, thì (1) nhận x = + k làm nghiệm. 2 - Nếu a d, thì (1) không nhận x = + k làm nghiệm. 2 Bước 2: Với cosx 0 x + k , k  . 2 Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x 0, ta được: a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x). 12
  7. Đặt t = tanx, phương trình có dạng: (a d)t2 + bt + c d = 0. (2) Bước 3: Giải phương trình (2) theo t Cách 2: Sử dụng các công thức: 1 cos2x 1 cos2x 1 sin2x = , cos2x = và sinx.cosx = sin2x 2 2 2 ta được: b.sin2x + (c a)cos2x = d c a. (3) Đây là phương trình bậc nhất của sin và cos.  Nhận xét quan trọng: 1. Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D. 2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số. 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) hoặc a(sinx cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (1') Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau: t2 1 Bước 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t 2 sinx.cosx = . 2 Khi đó, phương trình có dạng: t2 1 at + b + c = 0 bt2 + 2at + 2c b = 0. (2) 2 Bước 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện t 2 Với t = t0, ta được: t0 sinx + cosx = t0 2 sin(x + ) = t0 sin(x + ) = . 4 4 2 Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.  Chú ý: 1. Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z = x, khi đó ta có: 4 sinx + cosx = 2 cos( x) = 2 cosz 4 1 1 1 1 1 sinx.cosx = sin2x = sin2( z) = sin( 2z)= cos2z = (2cos2z 1) 2 2 4 2 2 2 2 Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc 2 đối với cosz. 13
  8. 2. Phương trình (1') được giải tương tự như (1) với ẩn phụ: 1 t2 t = sinx cosx, điều kiện t 2 sinx.cosx = . 2 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. các hàm số lượng giác Dạng toán 1: Tập xác định của hàm số lượng giác Phương pháp áp dụng Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau: Phương pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: D = {x Ă | f(x) có nghĩa}. Phương pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D = Ă \E.  Chú ý: Với các hàm số lượng giác chúng ta cần biết thêm: 1. Hàm số y = sinx xác định trên Ă và sinx 1 với mọi x. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số lẻ nên nếu có sinx = sin x = + 2k hoặc x = + 2k , k  . sinx = 0 x = k , k  . sinx = 1 x = + 2k , k  ; sinx = 1 x = + 2k , k  . 2 2 2. Hàm số y = cosx xác định trên Ă và cosx 1 với mọi x. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số chẵn nên nếu có: cosx = cos x = + 2k hoặc x = + 2k , k  . cosx = 0 x = + k . 2 cosx = 1 x = 2k , k  ; cosx = 1 x = + 2k , k  . 3. Hàm số y = tanx xác định trên Ă \{ + k , k  }. 2 Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có: tanx = tan x = + k , k  . 4. Hàm số y = cotx xác định trên Ă \{k , k  }. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có: cotx = cot x = + k , k  . 14
  9. Thí dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 cos x 1 sin x a. y = . b. y = . sin x 1 cos x  Giải a. Điều kiện: sinx 0 x k , k  . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{k , k  }. b. Điều kiện: 1 + cosx 0 cosx 1 x + 2k , k  . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ + 2k , k  }. Thí dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 a. y = 3 sin x . b. y = . 1 cos x  Giải a. Điều kiện: 3 sinx 0. Vì sinx 1 nên 3 sinx 2 với mọi x. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă . b. Điều kiện: 1 cosx > 0 cosx < 1 cosx 1 x 2k , k  . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{2k , k  }. Thí dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = tan(2x + ). b. y = cot(3x ). 3 4  Giải a. Điều kiện: 2x + + k x + k , k  . 3 2 12 2 Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ + k , k  }. 12 2 b. Điều kiện: 3x k x + k , k  . 4 12 3 Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ + k , k  }. 12 3 15
  10. Dạng toán 2: Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác Phương pháp thực hiện 1. Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T0 sao cho: Với mọi x D, ta có: x T0 D và x + T0 D (1) f(x + T0) = f(x) (2) Bước 2: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn. 2. Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng theo các bước: Bước 1: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất (2): x D, f(x + T) = f(x) mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0. Bước 2: Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thoả mãn (2). Bước 3: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0. 3. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả: a. Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2 . Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a 0 tuần hoàn với 2 chu kì . a b. Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì . Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a 0 tuần hoàn với chu kì . a c. Cùng với kết quả của định lý: Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt a là a và b với Ô . Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) b cũng tuần hoàn trên M. Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung nhỏ nhất của a, b. Thí dụ 1. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì : a. y = sin2x. b. y = 3tan2x + 1.  Giải Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì , ta đi chứng minh: f(x + k ) = f(x) với k  , x thuộc tập xác định của hàm số. a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos( + 2k ) = cos ), ta có ngay: 1 1 f(x + k ) = sin2(x + k ) = [1 cos(2x + 2k )] = (1 cos2x) 2 2 = sin2x = f(x) với mọi x. 16
  11. b. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan( + k ) = tan ), ta có ngay: f(x + k ) = 3tan2(x + k ) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x. Thí dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(x + ), (A,  và là các hằng số; A và  khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có: 2 f(x + k. ) = f(x) với mọi x.   Giải Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay: 2 2 f(x + k. ) = A.sin[(x + k. ) + ] = A.sin(x + 2k + )   = A.sin(x + ) = f(x) với mọi x. Thí dụ 3. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng: a. f(x) = tan(3x ). b. f(x) = 2cos2(2x + ). 6 3  Giải a. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = . 3 b. Viết lại hàm số dưới dạng: 2 f(x) = 2cos2(2x + ) = 1 + cos(4x + ). 3 3 2 Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì = . 4 2  Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đưa ra kết luận rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T = ". Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác Phương pháp thực hiện Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó: ▪ Nếu D là tập đối xứng (tức là x D x D), ta thực hiện tiếp bước 2. ▪ Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là x D mà x D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. Bước 2: Xác định f( x) , khi đó: ▪ Nếu f( x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn. ▪ Nếu f( x) = f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ. ▪ Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. 17
  12.  Chú ý: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có: 1. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ. 2. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn 3. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ. 4. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ. Thí dụ 1. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau: a. y = sinx cosx. b. y = sinx.cos2x + tanx.  Giải a. Hàm số xác định trên Ă là tập đối xứng. Ta có: f( x) = sin( x) cos( x) = sinx cosx f(x). Vậy, hàm số y = sinx cosx không lẻ, không chẵn. b. Hàm số xác định trên Ă \{ + k , k  } là tập đối xứng. 2 Ta có: f( x) = sin( x).cos2( x) + tan( x) = sinx.cos2x tanx = (sinx.cos2x + tanx) = f(x). Vậy, hàm số y = sinx.cos2x + tanx là hàm số lẻ. Thí dụ 2. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau: a. y = cos (x ). b. y = tan x . c. y = tanx sin2x. 4  Giải a. Hàm số xác định trên Ă là tập đối xứng. Ta có: f( x) = cos ( x ) = cos (x + ) f(x). 4 4 Vậy, hàm số cos (x ) không lẻ, không chẵn. 4 b. Hàm số xác định trên Ă \{ + k , k  } là tập đối xứng. 2 Ta có: f( x) = tan x = tanx = f(x). Vậy, hàm số y = tanx là hàm số chẵn. c. Hàm số xác định trên Ă \{ + k , k  } là tập đối xứng. 2 Ta có: f( x) = tan( x) sin( 2x) = tanx + sin2x = (tanx sin2x) = f(x). Vậy, hàm số y = tanx sin2x là hàm số lẻ. 18
  13. Dạng toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Phương pháp thực hiện Sử dụng các tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản. Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a. y = 2cos(x + ) + 3. b. y = 1 sin x 2 1. 3 c. y = 4sin x .  Giải a. Nhận xét rằng: cos(x + ) 1 1 cos(x + ) 1 3 3 2 + 3 2cos(x + ) + 3 2 + 3 1 y 5 3 từ đó, suy ra yMax = 5 và yMin = 1. b. Ta lần lượt có nhận xét: 2 2 1 sin x 0 y = 1 sin x 1 1 yMin = 1. sin(x2) 1 sin(x2) 1 1 sin(x2) 2 1 sin x2 2 2 y = 1 sin x 1 2 1 yMax = 2 1. c. Nhận xét rằng: sin x  1 1 sin x 1 4 y = 4sin x 4 từ đó, suy ra yMax = 4 và yMin = 4. Dạng toán 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác Phương pháp thực hiện 1. Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có: a. Hàm số y = sinx ▪ Đồng biến trên khoảng ( + 2k , + 2k ) với k  . 2 2 3 ▪ Nghịch biến trên khoảng ( + 2k , + 2k ) với k  . 2 2 b. Hàm số y = cosx ▪ Đồng biến trên khoảng ( + 2k , 2k ) với k  . ▪ Nghịch biến trên khoảng (2k , + 2k ) với k  . c. Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ( + k , + k ) với k  . 2 2 d. Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (k , + k ) với k  . 19
  14. 2. Với các hàm số lượng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa. 3. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản được tổng kết theo sơ đồ sau: y= f(x) Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox, y = f(x + a) a đơn vị Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Đối xứng Tịnh tiến theo y= f( x) qua gốc O y = f(x) y = f(x + a) + b vectơ v (a, b) Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, y=f( x) b đơn vị y = f(x) + b 4. Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ thị hàm số y = f(x): a. Đồ thị y = f(x) gồm: ▪ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x). ▪ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành. b. Đồ thị y = f(x) gồm: ▪ Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). ▪ Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. c. Để suy ra đồ thị y = f(x) chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai lược đồ sau : ▪ Từ y = f(x) suy ra y = f(x) = g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(x) = f(x). ▪ Từ y = f(x) suy ra y = f(x) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = h(x) = f(x). d. Đồ thị hàm số y = u(x).v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm: ▪ Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) 0. ▪ Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành. e. Đường cong y = f(x) gồm: ▪ Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x). ▪ Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đường cong còn lại. Thí dụ 1. Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng: 3 J1 = ( ; ), J 2 = ( ; ), 2 4 4 31 33 452 601 J3 = ( ; ), J 4 = ( ; ). 4 4 3 4 Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J 3 ? Trên khoảng J 4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng). 20
  15.  Giải a. Hàm số f(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng: x 3 /2 0 y 1 Ta có nhận xét: 452 601 2 J4 = ( ; ) = ( 150 ; 150 ) 3 4 3 4 2 mà trong khoảng ( ; ) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó, hàm số f(x) = 3 4 cosx cũng đồng biến trên khoảng J4. Ta có bảng: x 2 /3 /4 y 2 /2 3 /2 b. Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng: x 3 /2 y + 0 Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng: x /4 /4 1 y 1 31 33 Ta có nhận xét J3 = ( ; ) = (8 ; 8 + ) 4 4 4 4 mà trong khoảng ( ; ) hàm số g(x) = tanx đồng biến. Do đó, hàm số g(x) = tanx 4 4 cũng đồng biến trên khoảng J3 Bảng tương tự như trên.  Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến của các hàm số dựa trên bảng ghi nhớ như sau: a. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng: Đk = ( + 2k , + 2k ) với k  2 2 và J2 = ( ; )  Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0) 4 4 2 2 hàm số y = sinx đồng biến trên J2. 31 33 15 17 J3 = ( ; )  Đ4 = ( , ) (ứng với k = 4) 4 4 2 2 hàm số y = sinx đồng biến trên J3. 21
  16. b. Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đk = ( + 2k , 2k ) với k  và: 3 J1 = ( ; )  Đ1 = ( , 2 ) (ứng với k = 1) 2 hàm số y = cosx đồng biến trên J1. 452 601 J4 = ( ; )  Đ 75 = ( 151 , 150 ) (ứng với k = 75) 3 4 hàm số y = cosx đồng biến trên J4. c. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = ( + k , + k ) 2 2 với k  và: 3 3 5 J1 = ( ; )  Đ2 = ( , ) (ứng với k = 2) 2 2 2 hàm số y = tanx đồng biến trên J1. J2 = ( ; )  Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0) 4 4 2 2 hàm số y = tanx đồng biến trên J2. 31 33 15 17 J3 = ( ; )  Đ8 = ( , ) (ứng với k = 8) 4 4 2 2 hàm số y = sinx đồng biến trên J3. Thí dụ 2. a. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số y = cosx + 2, y = cos(x ) và vẽ đồ thị của các hàm số đó: 4 b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?  Giải a. Ta lần lượt có: ▪ Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a). y 3 y = cosx + 2 y 1 y = cos(x ) 1 4 /2 /2 O /2 O /2 y = cosx x y = cosx x 1 1 Hình b Hình a 22
  17. ▪ Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Ox sang phải một đoạn ta 4 được đồ thị hàm số y = cos(x ), ta có hình vẽ b). 4 b. Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn. Thí dụ 3. Xét hàm số y = f(x) = sin x. a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x + m) = f(x) với mọi x. b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 1 ; 1]. c. Vẽ đồ thị hàm số đó.  Giải a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin( + 2k ) = sin ), khi đó với m là số chẵn (m = 2k, k Z) ta có ngay: f(x + m) = sin (x + 2k) = sin( x + 2k ) = sin x = f(x) với mọi x. b. Ta có bảng biến thiên như sau: y x 1 1/2 0 1/2 1 1 1 x y = 2sin2x 0 0 0 1 1/2 1/2 1 1 O y = sin x c. Đồ thị của hàm số y = sin x được minh hoạ trong hình bên. 1 Thí dụ 4. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương x trình y = với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một 3 y y = x/3 khoảng nhỏ hơn 10 . y = 1 B1 1  Giải A1 Từ hình vẽ, giả sử rằng: /2 x O /2 x ▪ Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số A2 3 y = 1 y = sinx tại A1 và A2 thì OA1 = OA2. B2 1 x ▪Đường thẳng y = cắt hai đường thẳng y = 1 và y = 1 tại B1(3; 1) và B2( 3; 1) 3 thì OB1 = OB2. Khi đó, ta có ngay: 2 2 OA1 = OA2 < OB1 = 3 1 = 10 , đpcm.  Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày như sau: x Giao điểm A(x0; y0) của đường thẳng y = với đồ thị hàm số y = sinx 3 có toạ độ thoả mãn: 23
  18. x 0 y0 = sinx0 và y0 = x0 = 3y0 = 3sinx0, 3 từ đó, suy ra A(3sinx0; sinx0) và do đó: 2 2 2 OA = (3sin x 0 ) (sin x 0 ) = 10sin x 0 = 10 sinx0 1800, mâu thuẫn, do đó ta luôn có Cˆ 350. 24
  19. Khi đó: ▪ Với Bˆ = 450 và Cˆ 350 thì ta được  = 1800 Bˆ Cˆ 1000. ▪ Với Bˆ = 1350 và Cˆ 350 thì ta được  = 1800 Bˆ Cˆ 100. 3 1 Thí dụ 3. a. Chứng minh rằng sin . 12 2 2 b. Giải phương trình 2sinx 2cosx = 1 3 bằng cách biến đổi vế trái về dạng Csin(x + ). c. Giải phương trình 2sinx 2cosx = 1 3 bằng cách bình phương hai vế.  Giải a. Ta có: sin = sin = sin .cos cos .sin 12 3 4 3 4 3 4 3 2 1 2 3 1 1 1 3 1 = . . = . . = , đpcm. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b. Biến đổi phương trình về dạng: 3 1 2 2 sin(x ) = 1 3 sin(x ) = = sin( ) 4 4 2 2 12 x 2k x 2k 4 12 6 , k  . 4 x 2k x 2k 4 12 3 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. c. Biến đổi phương trình về dạng: 3 4(sinx cosx)2 = (1 3 )2 4(1 sin2x) = 4 2 3 sin2x = 2 2x 2k x k 3 6 , k  . 2x 2k x k 3 3 Thử lại: a. Với họ nghiệm x = + k ta cần xét hai trường hợp về tính chẵn, lẻ của k: 6 ▪ Với k = 2l thì: 2sinx 2cosx = 2sin( + 2l ) 2cos( + 2l ) 6 6 = 2sin 2cos = 1 3 , đúng. 6 6 25
  20. ▪ Với k = 2l + 1 thì: 2sinx 2cosx = 2sin[ + (2l + 1) ] 2cos[ + (2l + 1) ] 6 6 7 7 = 2sin 2cos = 1 + 3 , sai. 6 6 b. Với họ nghiệm x = + k ta cần xét hai trường hợp về tính chẵn, lẻ của k 3 Bạn đọc tự giải tiếp. Thí dụ 4. Giải phương trình sin( sin2x) = 1.  Giải Ta có: 1 sin( sin2x) = 1 sin2x = + 2k sin2x = + 2k, k  . (1) 2 2 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 1 3 1 k Z  + 2k 1 k k = 0. 2 4 4 Khi đó (1) có dạng: 2x 2l x l 1 6 12 sin2x = , l  . 2 5 5 2x 2l x l 6 12 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Dạng toán 2: Phương trình cosx = m Thí dụ 1. Giải các phương trình sau: x 2 a. cos = cos 2 . b. cos x = . 2 18 5  Giải a. Ta có biến đổi: x = 2 + 2k x = 2 2 + 4k , k  . 2 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. 2 b. Đặt = cos , ta có biến đổi: 5 cos x = cos x + = + 2k x = + 2k , k  . 18 18 18 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. 26
  21.  Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày như sau: 2 2 x + = arccos + 2k x = arccos + 2k , k  . 18 5 5 18 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. sin(x 2) Thí dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = . cos2x cos x  Giải Điều kiện để hàm số xác định là: cos2x cosx 0 2cos2x cosx 1 0 cos x 1 x 2k 2k 1 2 x , k  . cos x x 2k 3 2 3 2k Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ }, với k  . 3 2 Thí dụ 3. Giải phương trình cos[ cos(x )] = . 2 4 2  Giải Phương trình tương đương với: 1 cos(x ) 2k cos(x ) 4k (1) 2 4 4 4 2 , k  . 1 cos(x ) 2k cos(x ) 4k (2) 2 4 4 4 2 ▪ Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 1 3 1 k Z  + 4k 1 k k = 0. 2 8 8 Khi đó (1) có dạng: 7 x 2l x 2l 1 4 3 12 cos(x ) = , l  . (3) 4 2 x 2l x 2l 4 3 12 ▪ Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi: 1 1 3 k Z  + 4k 1 k k = 0. 2 8 8 Khi đó (2) có dạng: 2 11 x 2l x 2l 1 4 3 12 cos(x ) = , l  . (4) 4 2 2 5 x 2l x 2l 4 3 12 27
  22. Kết hợp (3) và (4), ta được: 11 x l 12 , l  . 7 x l 12 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Dạng toán 3: Phương trình tanx = m Thí dụ 1. Giải các phương trình sau: a. tan(x 150) = 5. b. tan(2x 1) = 3 . x c. tan(2x + 450).tan(1800 ) = 1. 2  Giải a. Đặt 5 = tan , ta có biến đổi: tan(x 150) = tan x 150 = + k1800 x = 150 + + k1800, k  . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. b. Ta có biến đổi: 1 k tan(2x 1) = tan 2x 1 = + k x = + + , k  . 3 3 2 6 2 Vậy, phương trình có một họ nghiệm. c. Biến đổi phương trình về dạng: x x tan(2x + 450) = cot(1800 ) tan(2x + 450) = tan(900 1800 + ) 2 2 x x tan(2x + 450) = tan( 900) 2x + 450 = 900 + k1800 2 2 x = 900 + k1200, k  .  Chú ý: Với câu a) ta còn có thể trình bày như sau: tan(x 150) = 5 x 150 = arctan5 + k1800 x = 150 + arctan5 + k1800. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. tan x Thí dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = . 1 tan x  Giải Điều kiện để hàm số xác định là: x k x k x k 2 2 2 , k  . 1 tan x 0 tan x 1 x k 4 Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ + k , + k }, với k  . 2 4 28
  23. Thí dụ 3. Giải phương trình tan[ (cosx + sinx)] = 1. 4  Giải Điều kiện cos[ (cosx + sinx)] 0. (*) 4 Phương trình tương đương với: (cosx + sinx) = + k cosx + sinx = 1 + 4k, k  . (1) 4 4 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 2 1 2 1 k Z 1 + 4k 2 k k = 0. 4 4 Khi đó (1) có dạng: 2 cosx + sinx = 1 2 sin(x + ) = 1 sin(x + ) = 4 4 2 x 2l x 2l 4 4 , l  thoả mãn (*). 3 x 2l x 2l 2 4 4 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Dạng toán 4: Phương trình cotx = m Thí dụ 1. Giải các phương trình sau: x 0 2 a. cot 20 = 3 . b. cot3x = tan . 4 5  Giải a. Ta có biến đổi: x 0 0 x 0 0 0 cot 20 = cot( 30 ) + 20 = 30 + k180 4 4 x = 2000 + k7200, k  . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. b. Ta có biến đổi: 2 2 cot3x = tan = cot( ) = cot 3x = + k 5 2 5 10 10 k x = + , k  . 30 3 Vậy, phương trình có một họ nghiệm. 29
  24. 1 Thí dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = . 3 cot 2x 1  Giải Điều kiện để hàm số xác định là: k k x x 2x k 2 2 , k  . 3 cot 2x 1 0 1 k cot 2x x 3 6 2 k k Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = Ă \{ , + }, với k  . 2 6 2 Thí dụ 3. Giải phương trình tanx = cot2x.  Giải Điều kiện: cosx 0 k sin2x 0 2x k x , k  . (*) sin 2x 0 2 Biến đổi phương trình về dạng: k cot2x = cot( x) 2x = x + k x = + , k  . 2 2 6 3 Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận được nghiệm x = + k , k  . 6 Dạng toán 5: Biện luận theo m số nghiệm thuộc ( ; ) của phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp thực hiện Giả sử với phương trình: sinx = m. Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: a. Biểu diễn ( , ) trên đường tròn đơn vị thành cung AằB b. Tịnh tiến đường thẳng m song song với trục cosin, khi đó số giao điểm của nó với cung AằB bằng số nghiệm thuộc ( ; ) của phương trình. y sin 1 5 /2 1 A /2 3 1 2 1 cosin x1 x2 x B O 0 O /2 2 3 y= m m x x 1 2 1 y= sinx 13 /2 30