Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

1. chương 3 dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân A. Kiến thức cần nhớ I. Phương pháp quy nạp toán học Việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh f(n) có tính chất K với n N ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1:(Bước cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất K. Bước 2:(Bước quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tính chất K. Bước 3: Kết luận. II. Dãy số 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số). Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, , un, 2. Cách cho một dãy số Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách: Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un. Thí dụ 1: Dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1. Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được 3, 5, 7, , 2n + 1, . Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là: ▪ Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu). ▪ Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. Thí dụ 2: Dãy số (vn) xác định bởi: v1 v 2 1 . v n v n 2 v n 1, với n 3 Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được: v1 = 1, v2 = 1, v3 = 2, v4 = 3, v5 = 5, Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi. Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó. Thí dụ 3: Cho dãy số (un) với un là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số , khi đó ta có dãy số: u1 = 3, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 1, u5 = 5, Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng un qua n. 147
2. 3. dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 2: * a. Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu n N , un un+1. Vậy, ta thấy: ▪ Với dãy số (un) tăng, ta có u1 u2 > u3 > > un > . 4. dãy số bị chặn Định nghĩa 3: * a. Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu M R : un M, n N . * b. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu m R : un m, n N . c. Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: * m, M R : m un M, n N . III. Cấp số cộng a. định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi: u1 u * un 1 un d, n N (u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng. ▪ u là số hạng đầu tiên. ▪ d là công sai. Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. 5. các tính chất Định lí 1: Ba số un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) nếu: 1 un + 1 = (un + un + 2). 2 Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức: un = u1 + (n 1)d. Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn) của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức: n n Sn = u1 + u2 + + un = (u1 + un) = [2u1 + (n 1)d]. 2 2 148
3. IV. Cấp số nhân 1. định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi: u1 u * un 1 un .q, n N (u, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân. ▪ u là số hạng đầu tiên. ▪ q là công bội. Đặc biệt khi q = 1 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. 2. các tính chất Định lí 1: Ba số un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (un) nếu: 2 un 1 = un.un + 2. Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân (un) được cho bởi công thức: n 1 un = u1.q . Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên Sn của cấp số nhân (un) được cho bởi công thức: qn 1 Sn = u1 + u2 + + un = u1. . q 1 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Phương pháp quy nạp toán học Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: n(3n 1) a. 2 + 5 + 8 + + (3n – 1) = . 2 (1) b. 13n 1 chia hết cho 12.  Giải a. Kí hiệu điều cần chứng minh là (*), ta giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. ▪ Với n = 1, ta có 13 + 11 = 12  6. Như vậy, (*) đúng với n = 1. ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là (k3 + 11k)  6. Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 Vì (k3 + 11k)  6, 3k(k + 1)  6 và 12  6 nên biểu thức trên chia hết cho 6. 149
4. Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n. b. Ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 1, ta có: 1(3.1 1) 2 = = 2, đúng. 2 Như vậy (1) đúng với n = 1. ▪ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: k(3k 1) 2 + 5 + 8 + + (3k – 1) = . 2 ▪ Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: k(3k 1) 2 + 5 + 8 + + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1] = + (3k + 2) 2 3k2 k 6k 4 3k2 7k 4 (k 1)(3k 4) = = = 2 2 2 (k 1)[3(k 1) 1] = , đpcm. 2 Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đề. Trong thực tế, ta còn gặp các bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n ≥ p, trong đó p là một số nguyên dương cho trước. Trong trường hợp này, để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp toán học, ở bước 1 ta cần chứng minh A(n) là mệnh đề đúng khi n = p và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên dương tuỳ ý lớn hơn hoặc bằng p. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 3n > 3n + 1.  Giải Kí hiệu điều cần chứng minh là (1), ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 2, ta có: 32 > 3.2 + 1 9 > 7, đúng. Như vậy (1) đúng với n = 2. ▪ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: 3k > 3k + 1. ▪ Ta sẽ đi chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: 3k + 1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + 1. Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n ≥ 2. 150
5. 1 1 1 * Ví dụ 2: Cho tổng Sn = + với n Ơ . 1.2 2.3 n(n 1) a. Tính S1 , S2 , S3. b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.  Giải a. Ta lần lượt có: 1 1 1 S1 = = 1 = 1 , 1.2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 S2 = + = 1 + = = 1 , 1.2 2.3 2 2 3 3 2 1 3 1 S3 = = 1 . 4 3 1 b. Dự đoán công thức tính tổng Sn là: 1 Sn = 1 . (*) n 1 Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp. như sau: ▪ Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a). ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: 1 Sk = 1 . k 1 ▪ Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: 1 1 1 Sk + 1 = Sk + = 1 + (k 1)(k 2) k 1 (k 1)(k 2) 1 k 2 1 = 1 + = 1 , đpcm. (k 1)(k 2) (k 1) 1 Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một công việc rất hay gặp khi thực hiện các bài toán về dãy số, đó là "Đoán nhận công thức tổng quát của dãy số và chứng minh công thức đó". 2 3 n 1 n 1 Thí dụ 2. Chứng minh rằng (1 22 )(1 22 )(1 22 ) (1 22 ) .22 3  Giải Đặt: 2 22 23 2n Fn = (1 2 )(1 2 )(1 2 ) (1 2 ) Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng: 1 n 1 F (22 1) . (*) n 3 151
6. Thật vậy: ▪ Với n = 1 thì: 1 1 2 F 1 22 5 (22 1) nên công thức đúng. 1 3 ▪ Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: 1 k 1 F (22 1) . k 3 ▪ Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, ta có: k 1 k 1 1 k 1 1 k 2 F (1 22 )F (1 22 ). (22 1) (22 1) . k 1 k 3 3 Vậy, công thức (*) đúng với mọi n N*. Từ đó, suy ra ta cần chứng minh: 1 n 1 1 n 1 (22 1) .22 , điều này luôn đúng. 3 3  Nhận xét: 1. Lời giải trên được xây dựng dựa trên việc dự đoán được đẳng thức cho Fn và chứng minh đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học theo 3 bước n = 1, n = k và n = k + 1. 2. Các em học sinh khác, sau khi tham khảo lời giải trên có thể thấy ngay rằng nếu không dự đoán được công thức cho Fn thì cũng có thể chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp một cách trực tiếp. Thí dụ 3. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên n > 1 thì: anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) 0.  Giải Chúng ta chứng minh bất đẳng thức ở đầu bài bằng phương pháp quy nạp toán học. ▪ Với n = 2, đặt: 2x = b + c – a > 0; 2y = a – b + c > 0; 2z = a + b – c > 0. suy ra: a = y + z, b = z + x, c = x + y Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: xy3 + yz3 + zx3 – xyz(x + y + z) 0. x2 y2 z2 xyz (x y z) 0 (*) y z x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có: x2 x2 y + 2 y = 2x. y y 152
7. z2 y2 Tương tự x + 2z và z + 2y. x z Từ đó bất đẳng thức (*) được chứng minh, hay bất đẳng thức: anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) 0 được chứng minh. ▪ Giả sử bất đẳng thức đúng tới n. Không mất tính tổng quát, ta giả sử c b a. Theo giả thiết quy nạp, ta có: bnc(b – c) – anb(a – b) – cna(c – a) bn + 1c(b – c) – anb2(a – b) – cnab(c – a) Do đó: an + 1b(a – b) + bn + 1c(b – c) + cn + 1a(c – a) an + 1b(a – b) – anb2(a – b) – cnab(c – a) + cn + 1a(c – a) = anb(a – b)2 + cna(c – a)(c – b) 0. Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1. Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đã cho đúng với mọi n > 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c hay ABC đều. Đ2. Dãy số Dạng toán 1: Mở đầu về dãy số Phương pháp áp dụng Với giả thiết cho dãy số (un) dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường được đặt ra là: a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk. Câu hỏi này được thực hiện bằng phép thế. b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn n. ( 1)n 1 Thí dụ 1. Cho dãy số (un) với un = . n a. Tìm u9, u12, u2n, u2n + 1. b. Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?  Giải a. Ta có: ( 1)9 1 ( 1)12 1 1 u9 = = 0; u12 = = 9 12 6 ( 1)2n 1 1 ( 1)2n 1 1 u2n = = ; u2n + 1 = = 0. 2n n 2n 1 b. Từ kết quả câu a) ta thấy ngay mọi số hạng lẻ của dãy số đều nhận giá trị bằng 0. 153
8. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 15, u2 9 . un un 2 un 1, n 3 a. Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số. b. Tìm xem 3 là số hạng thứ mấy của dãy số ?  Giải a. Ta lần lượt có: u1 = 15; u2 = 9; u3 = 6; u4 = 15; u5 = 9; u6 = 6. b. Dễ thấy mọi số hạng của dãy số đều không nhận giá trị bằng 3. Dạng toán 2: Xác định công thức của dãy số (un) Phương pháp áp dụng Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un. Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước: Bước 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un. Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp. Thí dụ 1. Cho dãy số (un), biết: u1 = 1 , un + 1 = un + 3 với n ≥ 1. a. Viết năm số hạng đầu của dãy số. b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp un = 3n – 4. (*)  Giải a. Ta lần lượt có: u1 = 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11. b. Ta lần lượt thực hiện: ▪ Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a). ▪ Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = 3k 4. ▪ Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: uk + 1 = uk + 3 = 3k 4 + 3 = 3(k + 1) 4, đpcm. Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.  Nhận xét: Như vậy, ở thí dụ trên chúng ta không cần thực hiện việc dự đoán công thức cho un. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 1 . un un 1 2, n 2 154
9. Xác định công thức tính un theo n.  Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Từ giả thiết ta có: u1 = 1 u2 = u1 + 2 u3 = u2 + 2 un = un 1 + 2 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: un = 1 + 2(n 1) = 2n 1. Vậy, ta có un = 2n 1. Cách 2: Ta có: u1 = 1 = 2.1 1 u2 = 1 + 2 = 3 = 2.2 1 u3 = 3 + 2 = 5 = 2.3 1 Dự đoán un = 2n 1. (1) Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: u1 = 2.1 1 = 1, tức là công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k, tức là uk = 2k 1. Ta đi chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. Thật vậy: uk + 1 = uk + 2 = 2k 1 + 2 = 2(k + 1) 1, tức là (1) đúng với n = k + 1. Vậy, ta có un = 2n 1. 1 * Thí dụ 3. Cho dãy số (un) với u n = với mọi n N và dãy số (S n) xác n(n 1) định như sau: S1 u1 . Sn Sn 1 un , n 2 Xác định công thức tính Sn theo n.  Giải Ta có ngay: Sn = u1 + u2 + + un. 1 1 1 Mặt khác, ta có biểu diễn un = = . n(n 1) n n 1 Từ đó, ta nhận được: 155
10. 1 1 1 1 1 u1 = 1 , u2 = , , un = . 2 2 3 n n 1 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: 1 n Sn = u1 + u2 + + un = 1 = . n 1 n 1 n Vậy, ta có Sn = . n 1 Dạng toán 3: Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số (un) thoả mãn tính chất K Phương pháp áp dụng Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1:(Bước cơ sở): Chứng minh rằng số hạng u 1 thoả mãn tính chất K. Bước 2:(Bước quy nạp): Giả sử số hạng u k thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng uk+1 cũng thoả mãn tính chất K. Bước 3: Kết luận dãy số (un) thoả mãn tính chất K. 3 Thí dụ 1. Cho dãy số (un) với u n = n + 11n. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6.  Giải Ta có: 3 u1 = 1 + 11 = 12 u1  6. 3 Giả sử uk  6, tức là (k + 11k)  6. Ta đi chứng minh uk + 1  6. Thật vậy: 3 3 2 uk + 1 = (k + 1) + 11(k + 1) = k + 3k + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 3 suy ra uk + 1  6 bởi (k + 11k)  6, 3k(k + 1)  6 và 12  6. Vậy, mọi số hạng của dãy số (un) đều chia hết cho 6. Thí dụ 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 1, u2 2 . un un 2 2un 1, n 3 n 5 * Chứng minh rằng un , n N . 2  Giải Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: 3 5 ▪ Ta có u3 = 5 đúng với n = 1, 2, 3. 2 ▪ Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: 156
11. k 1 k 5 5 uk 1 và uk 2 2 k 1 5 ▪ Ta đi chứng minh uk + 1 < , thật vậy: 2 k 1 k k 1 2 1 5 5 5 5 5 uk + 1 = uk 1 + 2uk + 2 = . 2 2 2 2 2 2 k 1 k 1 k 1 5 4 4 5 24 5 = . = . < , đpcm. 2 25 5 2 25 2 n 5 * Vậy, ta luôn có un , n N . 2 Thí dụ 3. *Cho dãy số nguyên (an) thoả mãn an+2 + an 1 = 2(an+1 + an). Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4an+1.an là số chính phương với mọi n 0.  Giải Đặt un = an+2 an+1 an, khi đó với giả thiết ta có ngay: un = 2(an+1 + an) an 1 an+1 an = (an+1 an an 1) + 2an = un 1 + 2an. Nhận xét rằng: 2 2 2 2 un = (un 1 + 2an) = un 1 + 4un 1.an + 4 a n 2 2 2 = un 1 + 4(an+1 an an 1).an + 4a n = un 1 + 4an+1.an 4an 1.an 2 2 un 4an+1.an = un 1 4an 1.an. 2 Vậy un 4an+1.an là hằng số không phụ thuộc vào n. Khi đó ta gọi hằng số đó là M thì: 2 M + 4an+1.an = un là số chính phương với mọi n 0, đpcm.  Nhận xét: Cách giải trên được trình bày sau khi đã thực hiện phép nháp để dẫn xuất được tới dãy số un. Các em học sinh có thể nhận thấy được dãy un theo kiểu đặt vấn đề như sau: Giả sử tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4an+1.an là số chính phương với mọi n 0, tức là: 2 M + 4an+1.an = un , n 0 2 M = un 4an+1.an, n 0. (1) Từ (1) bằng việc sử dụng n và n 1, ta được: 2 2 un 4an+1.an = un 1 4an.an 1 157
12. 2 2 un = un 1 + 4an+1.an 4an.an 1 gt 2 2 2 un = un 1 + 4(an+1 an an 1)an + 4 a n . (2) Tới đây, đặt un 1 = an+1 an an 1 thì ta được: 2 2 un = (un 1 + 2an) un = un 1 + 2an an+2 an + 1 an = an+1 an an 1 + 2an an+2 + an 1 = 2(an+1 + an), đó chính là giả thiết của bài toán. Như vậy, với phép nháp trên, chúng ta đã chỉ được ra dãy un thoả mãn điều kiện đầu bài. Dạng toán 4: Xét tính tăng, giảm của một dãy số (un) Phương pháp áp dụng Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Lập hiệu H = un + 1 un, từ đó xác định dấu của H. Bước 2: Khi đó: * ▪ Nếu H > 0 với n N thì dãy số (un) tăng. * ▪ Nếu H 0 với n N ta có thể thực hiện theo các bước: u Bước 1: Lập tỉ số P = n 1 , từ đó so sánh P với 1. un Bước 2: Khi đó: * ▪ Nếu P > 1 với  n N thì dãy số (un) tăng. * ▪ Nếu P 0 với n N , xét tỉ số: un 1 n 1 n 1 1 P = = n 1 : n = 1 < 1. un 5 5 5 n Vậy, dãy (un) giảm. Thí dụ 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết: 158
13. u1 1 . un 2un 1 1, n 2  Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Xét hiệu: H = un + 1 un = (2un + 1) un = un + 1. * Ta sẽ đi chứng minh un > 0, n N bằng quy nạp. Ta có: u1 = 1 > 0, tức công thức đúng với n = 1. Giả sử công thức đúng với n = k, tức là uk > 0, ta đi chứng minh uk + 1 > 0. Thật vậy: uk + 1 = 2uk + 1 > 0, đpcm. * Vậy, ta luôn có un > 0, n N . Do đó H > 0, từ đó suy ra dãy (un) tăng. * Cách 2: Trước tiên, ta đi chứng minh un > 0, n N (tương tự như trong cách 1) Xét tỉ số: u 2u 1 1 P = n 1 = n = 2 + > 1 un un un Vậy, dãy (un) tăng.  Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa các toán tử mang tính đặc thù trong nhiều trường hợp chúng ta sử dụng tính đơn điệu của dãy số để chứng minh, cụ thể với dãy số {un} để chứng minh uk u0 ta đi chứng minh dãy {un} đơn điệu giảm. Thí dụ 3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3 và un = 4un 1 1 với mọi n 2. Chứng minh rằng: 22n 1 1 a. un = . b. (un) là một dãy số tăng. 3  Giải a. Ta đi chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp. ▪ Với n = 1, ta có: 22 1 1 9 u1 = = = 3 đúng. 3 3 22k 1 1 ▪ Giả sử công thức đúng với n = k, tức là uk = . 3 ▪ Ta đi chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: 159
14. 22k 3 1 uk + 1 = . 3 Thật vậy: 4(22k 1 1) 22k 1 2 4 3 22k 3 1 uk + 1 = 4uk 1 = 1 = = . 3 3 3 22n 1 1 Vậy, ta được un = . 3 b. Xét hiệu: 2k 3 2k 1 2k 1 2 2 1 2 1 2 (2 1) 2k + 1 uk + 1 uk = = = 2 > 0 uk + 1 > uk. 3 3 3 Vậy (un) là một dãy số tăng. Dạng toán 5: Xét tính bị chặn của một dãy số (un) Phương pháp áp dụng Sử dụng định nghĩa: * ▪ Nếu M R : un M, n N thì (un) bị chặn trên. * ▪ Nếu m R : un m, n N thì (un) bị chặn dưới. * ▪ Nếu m, M R : m un M, n N thì (un) bị chặn. Chú ý: Ta có các kết quả: ▪ Mọi dãy số (un) giảm luôn bị chặn trên bởi u1. ▪ Mọi dãy số (un) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1. Thí dụ 1. Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết: n 1 1 a. un = ( 1) sin . b. un = n 1 n . n  Giải a. Ta có nhận xét rằng dãy số (un) đan dấu nên nó không tăng, không giảm. Mặt khác, ta có: n 1 1 1 un = ( 1) sin  = sin  1 (un) bị chặn. n n b. Ta có nhận xét: 1 un = n 1 n = , n 1 n 1 1 un + 1 = n 2 n 1 = < = un n 2 n 1 n 1 n Vậy, dãy (un) giảm. Mặt khác, ta có: 160
15. 1 0 < < 1 (un) bị chặn. n 1 n n2 1 Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng dãy số (un) với un = bị chặn dưới nhưng không bị n chặn trên.  Giải 1 Viết lại un dưới dạng un = n + . n Khi đó, ta nhận thấy: ▪ Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì: Côsi 1 un 2 n. = 2 (un) bị chặn dưới bởi 2. n * ▪ Không tồn tại số M để un M, n N nên (un) không bị chặn trên. Vậy, dãy (un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. n 1 Thí dụ 3. Chứng tỏ rằng dãy số (un) với un = bị chặn. n2 1  Giải Ta thấy ngay: ▪u n 0, do đó nó bị chặn dưới. * ▪ Ta đi chứng minh un 1 với n N bằng việc sử dụng biến đổi đại số, cụ thể: n 1 1 n2 1 n 1 n2 + 1 n2 2n + 1 n2 1 n 0, luôn đúng. * Suy ra, ta luôn có un 1, n N , tức là (un) bị chặn dưới bởi 1. Vậy, ta được 0 un 1, do đó nó bị chặn. Thí dụ 4. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của dãy số sau: 1 1 1 un = + + + . 1.2 2.3 n(n 1)  Giải 1 1 1 Ta có = n(n 1) n n 1 từ đó, ta thấy: 1 1 1 1 1 1 1 1 un = 1 + + + + = 1 (1) 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 n = . (2) n 1 Khi đó: 161
16. ▪ Từ (1) ta suy ra un k. 2  Giải Ta có ngay: an = an k + (n n + k)d = an k + kd an + k = an k + (n + k n + k)d = an k + 2kd suy ra: 1 1 (an k + an + k) = (an k + an k + 2kd) = an k + kd = an, đpcm. 2 2 Dạng toán 2: Chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng Phương pháp áp dụng Để chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, ta đi chứng minh: 162
17. a + c = 2b hoặc a b = b c. Thí dụ 1. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số (a2 + ab + b2), (a2 + ac + c2), (b2 + bc + c2) cũng lập thành một cấp số cộng.  Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b. Nhận xét rằng: (a2 + ab + b2) + (b2 + bc + c2) = a2 + (ab + bc) + 2b2 + c2 = a2 + b(a + c) + 2b2 + c2 = a2 + 4b2 + c2 = a2 + (a + c)2 + c2 = 2(a2 + ac + c2). Vậy, ba số (a2 + ab + b2), (a2 + ac + c2), (b2 + bc + c2) cũng lập thành một cấp số cộng. Thí dụ 2. Cho ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng 1 1 1 ba số , , cũng lập thành một cấp số cộng. b c c a a b  Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: 1 a + c = 2b a b = b c = (a c). 2 Nhận xét rằng: 1 1 b c a b + = + b c a b b c a b b c a b b c a b = + = a b a b a b a c 2 = = . 1 (a c) c a 2 1 1 1 Vậy, ba số , , cũng lập thành một cấp số cộng. b c c a a b Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số cộng Phương pháp áp dụng a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là: a + c = 2b, bài toán được chuyển về việc giải phương trình. b. Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là: 163
18. a c 2b b d 2c bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình. Thí dụ 1. Tìm x để ba số x2 + 1, x 2, 1 3x lập thành một cấp số cộng.  Giải Để ba số x2 + 1, x 2, 1 3x lập thành một cấp số cộng, điều kiện là: (x2 + 1) + (1 3x) = 2(x 2) x2 5x + 6 = 0 x = 2  x = 3. Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là: " Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a 0 (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng " Ta thực hiện như sau: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: x1 + x3 = 2x2, b b b x1 + x2 + x3 = 3x2 = x2 = . a a 3a b Với x2 = thay vào (1) ta được: 3a b b b a( )3 + b( )2 + c( ) + d = 0 3a 3a 3a 2b3 9abc + 27a2d = 0. (2) Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. b Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x2 = . Khi đó: 3a b b b 2b x1 + x2 + x3 = x1 + x3 = x1 + x3 = = 2x2 a 3a a 3a x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng. Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b3 9abc + 27a2d = 0. Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Thí dụ 2. Xác định m để phương trình: x3 3x2 9x + m = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 164
19.  Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: x1 + x3 = 2x2, (*) x1 + x2 + x3 = 3 3x2 = 3 x2 = 1. Với x2 = 1 thay vào (1) ta được: 11 m = 0 m = 11. Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Điều kiện đủ: Với m=11, ta được: x3 3x2 9x + 11 = 0 (x 1)(x2 2x 11) = 0 x 1 12 1 x2 1 , thoả mãn (*) x3 1 12 Vậy, với m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài.  Chú ý: 1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được: ▪ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. ▪ Ta có x1 + x3 = 2x2, tức là x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng. ▪ Do đó, có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài. Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ. Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau: Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng (1) có ba nghiệm x0 d, x0, x0 + d, với d 0. Khi đó: 3 2 x 3x 9x + m = [x (x0 d)](x x0)[x (x0 + d)] 2 2 3 2 2 2 3 2 = (x x0)[(x x0) d ]= x 3x0x + (3 x0 d )x x0 + d x0. 3 3x0 x0 1 2 2 9 3x0 d d 2 3 . 3 2 m 11 m x0 d x0 Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài. 2. Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là: " Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax4+ bx2 + c = 0. (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng" Khi đó, ta thực hiện như sau: Đặt t = x2, điều kiện t 0. Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at2 + bt + c = 0. (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt 165
20. (2) có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t1 < t2 ' 0 b / a 0 (3) c / a 0 và khi đó bốn nghiệm của (1) là - t 2 , - t1 , t1 , t 2 . Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: t 2 t1 2 t1 t 2 =3 t1 t2 = 9t1. (4) t1 t 2 2 t1 Theo định lí Viét ta có: t1 t 2 b / a . (I) t1t 2 c / a Thay (4) vào (I) được : b t1 2 t1 9t1 b / a 10a b c = . (5) t .(9t ) c / a c 10a 9a 1 1 t 2 1 9a Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số.  Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy được ví dụ trong phần "Các bài tập chọn lọc". Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số cộng (un) Phương pháp áp dụng Thông thường bài toán được chuyển về xác định u1 và công sai d. Thí dụ 1. Cho cấp số cộng (un) thoả mãn u2 u3 + u5 = 10 và u1 + u6 = 17. a. Tìm số hạng đầu tiên và công sai. b. Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên. c. Tính tổng S’ = u5 + u6 + + u24.  Giải a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (un), ta có: u2 u3 u5 10 (u1 d) (u1 2d) (u1 4d) 10 u1 u6 17 u1 (u1 5d) 17 u1 3d 10 u1 1 . 2u1 5d 17 d 3 Vậy, cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = 3. b. Ta có: 166
21. 20 20 S20 = [2u1 + (20 1)d] = [2.1 + (20 1).3] = 590. 2 2 c. Ta có: 20 20 S’ = [2u5 + (20 1)d] = [2(1 + 4.3) + (20 1).3] = 830. 2 2 Thí dụ 2. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết: u7 u15 60 . 2 2 u4 u12 1170  Giải Ta biến đổi: (u1 6d) (u1 14d) 60 u1 10d 30 2 2 2 2 (u1 3d) (u1 11d) 1170 u1 14du1 65d 585 u1 30 10d u1 30 10d 2 2 2 (30 10d) 14d30 10d 65d 585 5d 36d 63 0 u1 30 10d d 3 và u1 0 . d 3 hoặc d 21/ 5 d 21/ 5 và u1 12 21 Vậy, tồn tại hai cấp số cộng (un) có u1 = 0 và d = 3 hoặc u1 = 12 và d = thoả mãn 5 điều kiện đầu bài. Thí dụ 3. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 16 và tổng bình phương của chúng bằng 84.  Giải Gọi d = 2x là công sai, ta có bốn số là a 3x, a x, a + x, a + 3x. Khi đó, từ giả thiết ta có: (a 3x) (a x) (a x) (a 3x) 16 2 2 2 2 (a 3x) (a x) (a x) (a 3x) 84 4a 16 a 4 1, 3, 5, 7 . 2 2 4a 20x 84 x 1 7, 5, 3, 1 Vậy, bốn số cần tìm là 1, 3, 5, 7.  Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dưới dạng đối xứng như trên thì sẽ phải giải một hệ bậc hai khá phức tạp, cụ thể: Gọi d là công sai của cấp số cộng x, y, z, t thoả mãn điều kiện đầu bài, ta có: 167
22. x y z t 14 x (x d) (x 2d) (x 3d) 14 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t 94 x (x d) (x 2d) (x 3d) 94 2x 3d 7 . 2 2 2x 6xd 7d 47 Như vậy: ▪ Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a x, a, a + x, trong đó x là công sai. ▪ Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a 3x, a x, a + x, a + 3x, trong đó x là công sai. ▪ Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a 2x, a x, a, a + x, a + 2x, trong đó x là công sai. Dạng toán 5: Tính tổng Phương pháp áp dụng Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số cộng. Thí dụ 1. Tính tổng S = 105 + 110 + 115 + + 995.  Giải Xét cấp số cộng (un) có u1 = 105 và công sai d = 5, ta được: 995 = un = u1 + (n 1)d = 105 + 5(n 1) n = 179 179 179 S = S179 = (u1 + u179) = (105 + 995) = 98450. 2 2 Thí dụ 2. Tính tổng sau: S = 1002 992 + 982 972 + + 22 12.  Giải Viết lại tổng S dưới dạng: S = 199 + 195 + + 3. Xét cấp số cộng (un) có u1 = 199 và công sai d = 4, ta được: 3 = un = u1 + (n 1)d = 199 4(n 1) n = 50 50 50 S = S50 = (u1 + u50) = (199 + 3) = 5050. 2 2 Đ4. Cấp số nhân Dạng toán 1: Chứng minh tính chất của một cấp số nhân Phương pháp áp dụng Câu hỏi thường được đặt ra là: 168
23. " Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K " khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được: a.c = b2. Bước 2: Chứng minh tính chất K. Thí dụ 1. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2.  Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được: a.c = b2. Khi đó: (a2 + b2)(b2 + c2) = a2b2 + a2c2 + b4 + b2c2 = a2b2 + acb2 + acb2 + b2c2 = a2b2 + 2ab2c + b2c2 = (ab + bc)2, đpcm. Thí dụ 2. Cho (an) là một cấp số nhân. Chứng minh rằng: a1.an = ak.an k + 1, với k = 1, 2, , n.  Giải Ta có ngay: n 1 2 n 1 VT = a1.an = a1.a1.q = a1 .q k 1 n k 2 n 1 VP = ak.an k + 1 = a1.q .a1.q = a1 .q suy ra VT = VP, đpcm. Dạng toán 2: Chứng minh bộ số lập thành một cấp số nhân Phương pháp áp dụng Để chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, ta đi chứng minh: ac = b2. 2 1 2 Thí dụ 1. Cho ba số , , lập thành một cấp số cộng. Chứng minh b a b b c rằng ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân.  Giải 2 1 2 Từ giả thiết ba số , , lập thành một cấp số cộng, ta được: b a b b c 2 2 2 + = b(b c + b a) = (b a)(b c) b2 = ac. b a b c b Vậy, ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để ba số lập thành một cấp số nhân Phương pháp áp dụng a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là: ac = b2, 169