Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

1. chương 4 giới hạn A. Kiến thức cần nhớ I. Dãy số có giới hạn 0 1. định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = 0, viết tắt là lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc un 0. n Nhận xét: 1. Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số (un) có giới hạn 0. 2. Dãy số không đổi (un) với un = 0 có giới hạn 0. 2. một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp Từ định nghĩa, ta có các kết quả: 1 1 1 a. lim = 0. b. lim = 0. c. lim = 0. n n 3 n Định lí 1: Cho hai dãy số (un) và (vn). Nếu un vn với mọi n và limvn = 0 thì limun = 0. Định lí 2: Nếu q < 1 thì limqn = 0. II. Dãy số có giới hạn hữu hạn 3. định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(u n L) = 0. n Khi đó, ta viết: lim(u n ) = L, viết tắt là lim(un) = L hoặc limun = L hoặc un L. n 4. một số định lí Định lí 1: Giả sử limun = L. Khi đó: 3 3 a. limun = L và lim u n = L . b. Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim u n = L . 183
2. Định lí 2: Giả sử limun = L, limvn = M và c là một hằng số. Khi đó: a. Các dãy số (un + vn), (un vn), (un.vn) và (cun) có giới hạn và: ▪ lim(un + vn) = L + M. ▪ lim(un vn) = L M. ▪ lim(un.vn) = LM. ▪ lim(cun) = cL. u n u n L b. Nếu M 0 thì dãy số có giới hạn và lim = . v n v n M 5. tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Với cấp số nhân (un) có công bội q thoả mãn q < 1 thì: u1 S = u1 + u2 + = . 1 q III. Dãy số có giới hạn vô cực 1. dãy số cới giới hạn + Định nghĩa: Ta nói dãy số (u n) có giới hạn là + nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = + , viết tắt là lim(un) = + hoặc limun = + hoặc un + . n Từ định nghĩa, ta có các kết quả: a. lim n = + . b. lim n = + . c. lim 3 n = + . 2. dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (u n) có giới hạn là nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta viết: lim(u n ) = , viết tắt là lim(un) = hoặc limun = hoặc un . n Nhận xét: Nếu limun = thì lim( un) = + .  Chú ý: 1. Các dãy số có giới hạn + và được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. 2. Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 184
3. 3. một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu limun = và limvn = thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau: limun limvn lim(un.vn) + + + + + + Quy tắc 2: Nếu limun = và limvn = L 0 thì lim(un.vn) được cho trong bảng sau: limun Dấu của L lim(un.vn) + + + + + + u n Quy tắc 3: Nếu limun = L 0, limvn = 0 và vn 0 với mọi n thì lim được cho trong v n bảng sau: u n Dấu của L Dấu của vn lim v n + + + + + + 4. Một số kết quả q n n a. lim = + và lim = 0, với q > 1. n q n q n n k Mở rộng: Ta có lim = + và lim , với q > 1 và k là một số nguyên n k q n dương. b. Cho hai dãy số (un) và (vn). ▪ Nếu un vn với mọi n và lim un = + thì lim vn = + . u n ▪ Nếu lim un = L R và limvn = + thì lim = 0. v n ▪ Nếu lim un = + (hoặc ) và lim vn = L R thì lim (un + vn) = + (hoặc ). 185
4. IV. Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số 1. giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1 (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x0. x x0 Từ định nghĩa, ta có các kết quả: 1. lim c = c, với c là hằng số. x x0 2. Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì lim f(x) = f(x0). x x0 Định nghĩa 2 (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và y = f(x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x 0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn vô cực khi x dần đến x 0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta đều có limf(xn) = . Khi đó, ta viết: lim f(x) = hoặc f(x) khi x x0. x x0 2. giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; + ). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến + nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (a; + ) mà lim xn = + ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x0. x  Chú ý: Các giới hạn lim f(x) = L, lim f(x) = , lim f(x) = được định x x x nghĩa tương tự. Ta có, các kết quả sau với số nguyên dương k bất kì cho trước: 1 3. lim x k = + . 1. lim = 0. x x x k nếu k chẵn 1 4. lim x k = . 2. lim = 0. x nếu k lẻ x x k 186
5. 3. một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M (L, M R). Khi đó: x x0 x x0 a. lim [f(x) g(x)] = L M; x x0 b. lim [f(x).g(x)] = L.M; x x0 Đặc biệt, nếu c là hằng số thì lim [c.f(x)] = cL; x x0 f(x) L c. Nếu M 0 thì lim = . x x0 g(x) M Định lí 2: Giả sử lim f(x) = L R. Khi đó: x x0 a. lim f(x) = L; x x0 b. lim 3 f(x) = 3 L ; x x0 c. Nếu f(x) 0 với thì L 0 và lim f(x) = L . x x0 Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là ba hàm số xác định trên một khoảng (a; b) chứa điểm x0, có thể trừ ở một điểm x0. Nếu f(x) g(x) h(x) với mọi x (a; b)\{x0} và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L. x x0 x x0 x x0  Chú ý: Các định lí 1, định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x x0 bởi x . V. Giới hạn một bên Định nghĩa 1 (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (x 0; b) (x0 R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x 0 . x x 0 Định nghĩa 2 (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a; x 0) (x0 R). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi số dãy số (xn) trong khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x) L khi x x 0 . x x 0 187
6. Định lí: Điều kiện cần và đủ để lim f(x) = L là lim f(x) = lim f(x) = L. x x x x x x 0 0 0  Chú ý: 1. Các giới hạn lim f(x) = , lim f(x) = được định nghĩa tương tự. x x x x 0 0 2. Định lí vẫn đúng với giới hạn vô cực. VI. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu lim f(x) = và lim g(x) = L 0 thì lim [f(x).g(x)] được cho x x 0 x x 0 x x 0 trong bảng sau: lim f(x) lim [f(x).g(x)] x x 0 Dấu của L x x 0 + + + + + + Quy tắc 2: Nếu lim f(x) = L 0, lim g(x) = 0 và g(x) 0 với mọi x x 0 thì x x 0 x x 0 f(x) lim được cho trong bảng sau: x x 0 g(x) f(x) Dấu của L Dấu của g(x) lim x x 0 g(x) + + + + + +  Chú ý: 1 1. Nếu lim f(x) = 0 và f(x) 0 với x x0 thì lim = + . x x 0 x x 0 | f(x) | 1 2. Nếu lim f(x) = + thì lim = 0. x x 0 x x 0 | f(x) | VII. Các dạng vô định Khi tìm giới hạn của một hàm số, chúng ta có thể gặp các trường hợp sau: u(x) 1. lim với u(x) 0 và v(x) 0. v(x) u(x) 2. lim với u(x) và v(x) . v(x) 3. lim[u(x) v(x)] với u(x) và v(x) . 188
7. 4. lim[u(x).v(x)] với u(x) 0 và v(x) . 0 Ta gọi là các dạng vô định dạng , , , 0. , 0 VIII. Hàm số liên tục 1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 (a, b) nếu : lim f(x) = f(x0). x x0 Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Chú ý 1: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu ba điều kiện sau được đồng thời thoả mãn : (i) f(x) xác định tại x0. (ii) lim f(x) tồn tại. x x0 (iii) lim f(x) = f(x0) x x0 Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu một trong ba điều kiện trên không được thoả mãn.  Chú ý 2: Nếu sử dụng giới hạn một phía thì : 1. Nếu lim f(x) tồn tại và lim f(x) = f(x0) thì hàm số y = f(x) được x x0 x x0 gọi là liên tục trái tại điểm x0. 2. Nếu lim f(x) tồn tại và lim f(x) = f(x0) thì hàm số y = f(x) được x x0 x x0 gọi là liên tục phải tại điểm x0. 3. Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 lim f(x) = lim f(x) = f(x0). x x0 x x0 Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b). Giả sử xO và x(x xO) là hai phần tử của (a ; b). ▪ Hiệu x xO, kí hiệu là x (đọc là đen - ta x), được gọi là số gia của đối số tại điểm xO. Ta có : x = x xO x = xO + x. ▪ Hiệu y yO = f(x) f(xO), kí hiệu là y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm xO. Ta có : y = y yO f(x) f(xO) = f(xO + x) f(xO). 189
8. Đặc trưng : Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm xO như sau: Định lí 1. Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục tại xO (a; b) nếu và chỉ nếu lim y = 0. x 0 Chứng minh. Thật vậy, ta có : lim f(x) = f(xO) lim (f(x) f(xO)) = 0 lim y = 0. x x0 x x0 x 0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa 2: Ta có : 1. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó. 2. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó ▪ Liên tục trong khoảng (a; b), ▪ lim f(x) = f(a) (liên tục bên phải tại điểm a), x a ▪ lim f(x) = f(b) (liên tục bên trái tại điểm b). x b  Chú ý: 1. Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. 2. Khi ta nói hàm số y = f(x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 3. Các định lí về hàm số liên tục Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Định lí 3. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. giới hạn Dãy số Dạng toán 1: Dãy số có giới hạn 0 Thí dụ 1. Chứng minh rằng các dãy số (uu) sau đây có giới hạn 0: 1 sin n a. un = . b. un = . n 1 n 4 190
9.  Giải a. Ta có: 1 1 1 < và lim = 0, n 1 n n từ đó, suy ra điều cần chứng minh. b. Ta có: sin n 1 1 1 < < và lim = 0, n 4 n 4 n n từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử 1 1 dụng phép đánh giá để khẳng định un < và kết quả lim = 0. n n Thí dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (uu) với số hạng tổng quát un = n 1 n có giới hạn 0.  Giải Ta có: n 1 n 1 1 1 n 1 n = = < < n 1 n n 1 n 2 n n 1 và lim = 0, n từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã 1 1 sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < và lim = 0. n n cos(n ) Thí dụ 3. Chứng minh rằng dãy số (uu) với số hạng tổng quát un = có giới 4 n hạn 0.  Giải Ta có: n n cos(n ) 1 1 1   < = và lim = 0, 4 n 4 n 4 4 từ đó, suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử n n dụng phép đánh giá để khẳng định un < q và limq = 0 với q < 1. 191
10. Dạng toán 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L Phương pháp áp dụng Ta đi chứng minh lim(un L) = 0. Thí dụ 1. Chứng minh rằng: 3n 1 3 n2 n a. lim = . b. lim = 1. 2n 1 2 n2 1  Giải 3n 1 a. Đặt un = , ta có nhận xét: 2n 1 3 3n 1 3 5 lim (un ) = lim( ) = lim = 0, 2 2n 1 2 2n 1 3 từ đó suy ra limun = . 2 n2 n b. Đặt un = , ta có nhận xét: n2 1 n2 n n 1 lim ( 1) = lim = 0, n2 1 n2 1 từ đó suy ra limun = 1. Thí dụ 2. Chứng minh rằng: ( 1)n lim 2 = 2. 3 n  Giải ( 1)n Đặt un = 2 , ta có nhận xét: 3 n ( 1)n lim (un 2) = lim = 0, 3 n từ đó suy ra limun = 2. Dạng toán 3: Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn Phương pháp áp dụng Đưa dãy số cần tìm giới hạn về dạng tổng hiệu, tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới hạn. Ta có các kết quả sau: 1. limc = c, với c là hằng số. 2. Kết quả trong định lí 1. 3. Kết quả trong định lí 2. 192
11. Thí dụ 1. Tính các giới hạn sau: n 1 n 1 a. lim . b. lim . 3n 1 n2 2  Giải a. Ta có: 1 1 1 lim1 lim n 1 1 lim = lim n = n . 1 1 3n 1 3 lim3 lim 3 n n b. Ta có: 1 1 1 1 lim lim n 1 2 2 0 lim = lim n n = n n = = 0. 2 2 2 n 2 1 lim1 lim 1 n2 n2  Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả a tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả lim = 0 nk với k > 0. Thí dụ 2. Tính các giới hạn sau: n2 1 n2 n 3 n3 1 a. lim . b. lim . n 1 n n2 1 1  Giải a. Chia cả tử và mẫu cho n, ta được: 1 1 n2 1 2 lim = lim n = 1. 1 n 1 1 n b. Chia cả tử và mẫu cho n2, ta được: 1 1 3 1 n2 n 3 n3 1 3 lim = lim n = 2. 2 1 1 n n 1 1 1 n2 n2 Thí dụ 3. Tính các giới hạn sau: 4n sin(n ) 8n cos(n ) a. lim . b. lim 3 . n n 193
12.  Giải a. Ta có: 4n sin(n ) sin(n ) sin(n ) lim = lim 4 = 4 = 2, vì lim = 0. n n n b. Ta có: 8n cos(n ) cos(n ) cos(n ) lim 3 = lim 3 8 = 3 8 = 2, vì lim = 0. n n n  Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực phép tách thành các giới hạn nhỏ. Thí dụ 4. Tính các giới hạn sau: 1 4n 3n 4n 1 a. lim . b. lim . n 1 4n n 3n 2 4n  Giải a. Ta biến đổi: n 1 1 1 lim 1 1 4n n n 4 lim = lim 4 = = 1. n n n 1 n 1 4 1 1 4n lim 1 n 4 b. Ta biến đổi: n n 3 n 3 3 4 4 lim 4 3n 4n 1 n 4 n 4 lim = lim 4 = lim = = 4. n 3n 2 4n n 3 n n n n 3. 1 3 3 n 3 1 lim 3. 1 4 4 n 4  Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho cơ số cao nhất và sử dụng kết quả limqn = 0 với q < 1. Thí dụ 5. Tính các giới hạn sau: a. lim( n 1 n) . b. lim( n2 n n) . 1 n2 1 n 1 c. lim . d. lim 3n 2 2n 1 3n 2  Giải a. Ta thực hiện phép nhân liên hợp: n 1 n 1 lim( n 1 n) = lim = lim = 0. n 1 n n 1 n 194
13. b. Ta thực hiện phép nhân liên hợp: n2 n n2 n 1 1 lim( n2 n n) = lim = lim = lim . 2 2 1 2 n n n n n n 1 1 n c. Ta thực hiện phép nhân liên hợp: 3 2 2 1 1 3n 2 2n 1 n 2 n 2 lim = lim = lim n n = 0. n 1 1 3n 2 2n 1 1 n d. Ta thực hiện phép nhân liên hợp: n2 1 n 1 n2 n lim = lim 3n 2 (3n 2)( n2 1 n 1) 1 1 1 = lim n = . 2 1 1 1 3 (3 ) 1 2 2 n n n n  Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng k phép nhân liên hợp để khử dạng và . n 3 1 n3 Thí dụ 6. Tính giới hạn lim . n n2 1 n  Giải Ta thực hiện phép nhân liên hợp: n 3 1 n3 (n3 1 n3 )( n2 1 n) lim = lim n n2 1 n n (n2 1 n2 ) n2 n3 1 n3 3 (1 n3 )2 1 1 1 n2 1 n 2 4 = lim = lim n n n = 0. n 2 3 3 3 2 n 2 n n 1 n 3 (1 n ) 1 1 1 3 1 3 1 n3 n3 Thí dụ 7. Tính các giới hạn sau: 1 a a2 an L = lim , với a, b < 1. n 1 b b2 bn 195
14.  Giải Ta biến đổi: n 1 (1 a a2 an )(1 a)(1 b) 1 a 1 b L = lim = lim n (1 b b2 bn )(1 b)(1 a) n 1 bn 1 1 a n 1 1 b 1 lim a 1 b = . n = . 1 a 1 lim bn 1 1 a n  Nhận xét: Như vậy, để tính giới hạn trên chúng ta cần sử dụng kiến thức về khai triển nhị thức Niutơn. Dạng toán 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp áp dụng Sử dụng công thức: u1 S = u1 + u2 + = , với q < 1. 1 q Thí dụ 1. Tính tổng các tổng sau: 1 1 1 1 ( 1)n a. S = 1 + + + b. S = 1 + 2 4 10 102 10n 1  Giải 1 a. Xét cấp số nhân (un) có u1 = 1 và công bội q = < 1, ta được: 2 u 1 S = 1 = = 2. 1 q 1 1 2 1 ( 1)n 1 b. Dãy số 1, , , là một cấp số nhân có u1 = 1 và công bội q = . 10 10n 1 10 Từ đó, suy ra: u 1 10 limS = 1 = = . 1 q 1 11 1 10 Thí dụ 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a. 0,444 b. 0,2121 c. 0,32111  Giải a. Nhận xét rằng: 4 4 4 0,444 = 0,4 + 0,04 + 0,004 = + + + 10 100 1000 196
15. 4 4 4 4 trong đó, các số , , . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và công 10 100 1000 10 1 bội q = . 10 Từ đó, suy ra: 4 u 4 0,444 = 1 = 10 = . 1 q 1 9 1 10 b. Nhận xét rằng: 21 21 0,2121 = 0,21 + 0,0021 + = + + 100 10000 21 21 21 trong đó, các số , ,. là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và công 100 10000 100 1 bội q = . 100 Từ đó, suy ra: 21 u 21 0,2121 = 1 = 100 = . 1 q 1 99 1 100 c. Nhận xét rằng: 1 1 0,32111 = 0,32 + 0,001 + 0,0001 = 0,32 + + + 1000 10000 1 1 1 1 trong đó, các số , , là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = và q = . 1000 10000 1000 10 Từ đó, suy ra: 1 u 32 289 0,32111 = 0,32 + 1 = + 1000 = . 1 q 100 1 900 1 10 Dạng toán 5: Dãy số có giới hạn vô cực Thí dụ 1. Tính các giới hạn sau: a. lim(n2 n + 1). b. lim( n2 + n + 1).  Giải a. Ta có: 1 1 lim(n2 n + 1) = lim[n2(1 + ) = + . n n 2 197
16. b. Ta có: 1 1 lim( n2 + n + 1) = lim[ n2(1 ) = . n n 2 Thí dụ 2. Tính các giới hạn sau: a. lim 2n 2 3n 8 . b. lim 3 1 2n n 3 .  Giải a. Ta có: 3 8 lim 2n 2 3n 8 = lim n 2 (2 ) = + . n n 2 b. Ta có: 1 2 lim 3 1 2n n 3 = lim 3 n3 ( 1) = . n3 n 2 Thí dụ 3. Tính các giới hạn sau: a. lim( 2n 1 n) . b. lim ( n2 n 2 n 1) . 1 c. lim . n 2 n 1  Giải a. Ta thực hiện phép nhân liên hợp: 1 1 2n 1 n n 1 lim( 2n 1 n) = lim = lim = lim n 2n 1 n 2n 1 n 2 1 1 n n2 n = . b. Ta có: n2 1 lim ( n2 n 2 n 1) = lim n2 n 2 n 1 1 1 2 = lim n = + . 1 1 2 1 1 n2 n3 n4 n3 n4 c. Ta có: 1 lim = lim ( n 2 n 1) = + . n 2 n 1 Thí dụ 4. Tính các giới hạn sau: 1 a. lim(2n + cosn). b. lim( n2 3sin2n + 5). 2 198
17.  Giải a. Ta có: 2n + cosn 2n 1 và lim(2n 1) = + từ đó, suy ra: lim(2n + cosn) = + . b. Ta có: 1 1 1 n2 3sin2n + 5 n2 + 2 và lim( n2 + 2) = + 2 2 2 từ đó, suy ra: 1 lim( n2 3sin2n + 5) = + . 2 Thí dụ 5. Chứng minh rằng nếu q > 1 thì limqn = + . áp dụng tìm giới hạn của các dãy số (un) với: n 3 1 n n a. un = . b. un = 2 3 . 2n 1  Giải Ta có: 1 1 limqn = lim = = + . 1/ q n 0 a. Ta có: 1 1 3n 1 n limu = lim = lim 3 = + . n n n 2 1 2 1 3 3n b. Ta có: n n n n 2 limun = lim(2 3 ) = lim 3 1 = . 3 n cos n n Thí dụ 6. Cho hai dãy số (un) , (vn) với un = và vn = . n2 1 n2 1 a. Tính limun. b. Chứng minh rằng limvn = 0.  Giải a. Ta có: n limun = lim = 0 n2 1 199
18. b. Ta có: n cos n n n ≤ và lim = 0, n2 1 n2 1 n2 1 từ đó, suy ra điều cần chứng minh. Đ2. giới hạn hàm số Dạng toán 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3. Thí dụ 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: 2 2 a. lim . b. lim . x x 1 x 3x 1  Giải 2 a. Đặt f(x) = . x 1 2 Với mọi dãy số (xn) mà xn 1 với mọi n và lim xn = + , ta có f(xn) = . x n 1 Do đó: 2 2 2 lim = lim = = 0. x x 1 x n 1 lim x n 1 2 b. Đặt f(x) = . 3x 1 1 2 Với mọi dãy số (xn) mà xn với mọi n và lim xn = + , ta có f(xn) = . 3 3x n 1 Do đó: 2 2 2 lim = lim = = 0. x 3x 1 3x n 1 3lim x n 1 Thí dụ 2. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: 2x 2 3x 1 2x 2 a. lim . b. lim . x 1 x 1 x 1 x 3 3x 2 3x 1 200
19.  Giải 2x 2 3x 1 a. Đặt f(x) = . x 1 Với mọi dãy số (xn) mà xn 1 với mọi n và lim xn = 1, ta có: 2 2x n 3x n 1 f(xn) = = 2xn 1. x n 1 Do đó: 2x 2 3x 1 lim = lim(2xn 1) = 2lim xn 1 = 2 1 = 1. x 1 x 1 2x 2 b. Đặt f(x) = . x 3 3x 2 3x 1 Với mọi dãy số (xn) mà xn 1 với mọi n và lim xn = 1, ta có: 2x n 2 2 f(xn) = 3 2 = 2 . x n 3x n 3x n 1 (x n 1) Do đó: 2x 2 2 2 lim = lim = = + . x 1 3 2 2 2 x 3x 3x 1 (x n 1) (lim x n 1) Thí dụ 3. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: 3x 2 1 a. lim . b. lim x.sin . x 2 x 1 x 0 x  Giải 3x 2 a. Đặt f(x) = . x 1 3x n 2 Với mọi dãy số (xn) mà xn 2 với mọi n và lim xn = 2, ta có f(xn) = . x n 1 Do đó: 3x 2 3x 2 3lim x 2 3.2 2 lim = lim n = n = = 8. x 2 x 1 x n 1 lim x n 1 2 1 1 b. Đặt f(x) = x.sin . x 1 Với mọi dãy số (xn) mà xn 0 với mọi n và lim xn = 0, ta có f(xn) = xn.sin . x n Nhận xét rằng: 1 f(xn) = xn.sin  xn và lim xn = 0 nên lim f(xn) = 0. x n 201
20. Do đó: 1 lim f(x) = lim x.sin = 0. x 0 x 0 x Dạng toán 2: Chứng minh rằng lim f(x) không tồn tại x x0 Phương pháp áp dụng Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với n ▪x n x0 khi n , khi đó đánh giá f(xn)  L1. n ▪y n x0 khi n , khi đó đánh giá f(yn)  L2. Bước 2: Nhận xét rằng L1 L2. Bước 3: Vậy, giới hạn lim f(x) không tồn tại. x x0 Thí dụ 1. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại: a. lim cosx. b. lim sinx. x x  Giải a. Đặt f(x) = cosx. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: ▪x n = 2n xn + khi n và ta được: n f(xn) = cos(xn) = cos(2n )  1. ▪y n = + n yn + khi n và ta được: 2 n f(yn) = cos(yn) = cos n  0. 2 Vậy, giới hạn lim cosx không tồn tại. x b. Đặt f(x) = sinx. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: ▪x n = n xn khi n và ta được: n f(xn) = sin(xn) = sin( n )  0. ▪y n = 2n yn khi n và ta được: 2 n f(yn) = sin(yn) = sin 2n  1. 2 Vậy, giới hạn lim sinx không tồn tại. x 202
21.  Chú ý: Với các hàm số: ▪ f(x) = cosax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: 2n n xn = và yn = . a 2a a ▪ f(x) = sinax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: n 2n xn = và yn = . a 2a a Dạng toán 3: Dùng các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Ta lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn. Ta có các kết quả sau: 1. lim c = c, với c là hằng số. x x0 2. Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì lim f(x) = f(x0). x x0 1 5. lim x k = + . 3. lim = 0. x x x k nếu k chẵn 1 6. lim x k = . 4. lim = 0. x nếu k lẻ x x k Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa, cụ thể: Giả sử cần tính giới hạn của hàm số lim f(x) (hoặc lim f(x) ), ta thực x x0 x hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mãn: g(x) f(x) h(x). Bước 2: Khẳng định: lim g(x) = lim h(x) = L x x0 x x0 (hoặc lim g(x) = lim h(x) = L). x x Bước 3: Kết luận: lim g(x) = L (hoặc lim f(x) = L). x x0 x  Chú ý: Chúng ta còn sử dụng các kết quả sau: 1. Nếu lim f(x) = 0 thì lim f(x) = 0. x x 0 x x 0 2. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ điểm x0 (a; b). Nếu lim f(x) = 0 và g(x) M với x (a; b)\{x0} x x 0 (trong đó M là một hằng số) thì lim [f(x).g(x)] = 0. x x 0 203
22. Thí dụ 1. Tính các giới hạn sau: x a. lim (x2 + x). b. lim . x 3 x 1 x 1  Giải a. Ta có: lim (x2 + x) = 32 + 3 = 12. x 3 b. Ta có: x 1 lim = = + . x 1 x 1 1 1  Nhận xét: Như vậy: ▪ Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x x0 có giá trị bằng f(x0). f (x) ▪ Với hàm số có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó g(x) khi x x0 có giá trị bằng . f (x) Trong trường hợp với hàm số có f(x0) = 0 và g(x0) = 0 (tức g(x) 0 có dạng ) chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử 0 0 dạng , và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x x0). 0 Thí dụ 2. Tính các giới hạn sau: x2 1 x 8 3 a. lim . b. lim . x 1 x 1 x 1 x2 2x 3  Giải a. Ta có: x2 1 (x 1)(x 1) lim = lim = lim(x 1) = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b. Ta có: x 8 3 x 1 lim = lim x 1 x2 2x 3 x 1 ( x 8 3)(x 1)(x 3) 1 1 = lim = . x 1 ( x 8 3)(x 3) 24 204
23.  Nhận xét: Như vậy, với hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì chúng ta cần khử dạng vô định đó (nếu có thể), và ở đây: ▪ Trong câu a), chúng ta sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử để khử nhân tử x 1. ▪ Trong câu b), chúng ta sử dụng phép nhân liên hợp để khử nhân tử x 1. Thí dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 1 x 3 b. lim x 2 . b. lim . x 0 x x 9 9x x2  Giải a. Ta có: 1 lim x 2 = lim (2x 1) = 1. x 0 x x 0 b. Ta có: x 3 x 3 1 1 lim = lim = lim = x 9 9x x2 x 9 x(9 x) x 9 x( x 3) 54 hoặc có thể trình bày theo cách: x 3 x 3 x 3 1 1 lim = lim lim = x 9 9x x2 x 9 x(9 x) x 3 x 9 x x 3 54 Thí dụ 4. Tìm các giới hạn sau: x2 1 3x2 x 7 a. lim . b. lim . x x2 x 1 x 2x3 1  Giải a. Chia cả tử và mẫu cho x2, ta được: 1 1 x2 1 2 lim = lim x = 1. 2 1 1 x x x 1 x 1 x x2 b. Ta có: 3 1 7 3x2 x 7 2 3 lim = lim x x x = 0. x 3 x 1 2x 1 2 x3 205
24. Thí dụ 5. Tìm các giới hạn sau: x6 2 x6 2 a. lim . b. lim . x 3x3 1 x 3x3 1  Giải a. Ta có: 2 1 x6 2 6 1 lim = lim x = . x 3 x 1 3 3x 1 3 x3 b. Ta có: 2 1 x6 2 6 1 lim = lim x = . x 3 x 1 3 3x 1 3 x3 2 n n Thí dụ 6. Tìm giới hạn lim (x x x ) . x 1 1 x  Giải Ta có: n n lim [x(1 x ) n] n x(1 x ) n lim (x x2 xn ) = lim = x 1 = . x 1 1 x x 1 1 x lim (1 x) x 1  Chú ý: Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ viẹc sử dụng nguyên lý kẹp giữa. Thí dụ 7. Giả sử hàm số f(x) xác định trên một khoảng chứa điểm x = 0 và thoả f(x) mãn M với mọi x 0. Tính lim f(x). x x 0 áp dụng: 1 x sin x a. lim xsin . b. lim . x 0 x x x sin x  Giải f(x) Từ giả thiết M với mọi x 0 suy ra: x f(x) M.x và lim x = 0 lim f(x) = M.0 = 0. x 0 x 0 206
25. a. Với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: 1 1 x.sin x x xsin x và lim ( x ) = lim x = 0. x x x 0 x 0 1 Vậy, ta được lim xsin = 0. x 0 x b. Ta có: với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: sin x 1 1 sin x 1 , x 0, x x | x | x | x | 1 1 lim ( ) = lim = 0. x | x | x | x | Vậy, ta được: sin x 1 x sin x lim = lim x = 1. x x sin x x sin x 1 x Dạng toán 4: Tính giới hạn một bên của hàm số Phương pháp áp dụng Sử dụng các định nghĩa với lu ý: ▪ x x 0 được hiểu là x x0 và x > x0 (khi đó x x0 = x x0). ▪ x x 0 được hiểu là x x0 và x < x0 (khi đó x x0 = x0 x). Thí dụ 1.áp dụng định nghĩa giới hạn phải và giới hạn trái, tìm các giới hạn sau: a. lim x 1 . b. lim ( 5 x 2x) . x 1 x 5  Giải a. Ta có ngay: lim x 1 = 0. x 1 b. Ta có ngay: lim ( 5 x 2x) = 10. x 5  Nhận xét: Như vậy, nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với hạn tại x0. Thí dụ 2.áp dụng định nghĩa giới hạn phải và giới hạn trái, tìm các giới hạn sau: x x a. lim . b. lim . x 1 x 1 x 1 x 1 207
26.  Giải a. Ta có ngay: x lim = + . x 1 x 1 b. Ta có ngay: x lim = . x 1 x 1 Thí dụ 3. Tính các giới hạn sau (nếu có): | 3x 6 | | 3x 6 | | 3x 6 | a. lim . b. lim . c. lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  Giải a. Ta có: | 3x 6 | 3x 6 lim = lim = lim 3 = 3. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b. Ta có: | 3x 6 | 3x 6 lim = lim = lim ( 3) = 3. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 c. Từ câu a) và b), ta thấy: | 3x 6 | | 3x 6 | | 3x 6 | lim lim lim không tồn tại. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 x x 1 Tính giới hạn lim . Thí dụ 4. x 1 x2 x3  Giải Ta có: 1 x x 1 1 x 1 x lim = lim lim x 1 x2 x3 x 1 x2 x3 x 1 x2 x3 1 1 x = lim lim = 1. x 1 x2 x 1 x2 Dạng toán 5: Giới hạn của hàm số kép Phương pháp áp dụng Cho hàm số f1 (x) khi x x 0 f(x) = . f2 (x) khi x x 0 208
27. Để tính giới hạn hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có giới hạn khi x x0, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tính giới hạn các giới hạn: lim f(x) = lim f1 (x) = L1; lim f(x) = lim f2 (x) = L2. x x x x x x x x 0 0 0 0 Bước 2: Khi đó: ▪ Nếu lim f(x) = lim f(x) = L lim f(x) = L. x x x x x x 0 0 0 ▪ Để hàm số có giới hạn khi x x0 điều kiện là: L1 = L2 Giá trị của tham số. Thí dụ 1. Cho hàm số: x 1 khi x 0 f(x) = 2 . x 1 khi x 0 Tính các giới hạn lim f (x) và lim f (x) . x 0 x 0  Giải Ta có : lim f (x) = lim ( x + 1) = 1, x 0 x 0 lim f (x) = lim (x2 + 1) = 1. x 0 x 0 Vậy, ta được: lim f (x) = lim f (x) = 1 limf (x) = 1. x 0 x 0 x 0 Thí dụ 2. Cho hàm số : x a khi x 0 f(x) = 2 . x 1 khi x 0 Tìm a để hàm số có giới hạn khi x 0.  Giải Ta có : lim f (x) = lim (x + a) = a và lim f (x) = lim (x2 + 1) = 1. x 0 x 0 x 0 x 0 Hàm số có giới hạn khi x 0 lim f (x) = lim f (x) a = 1. x 0 x 0 Vậy với a = 1 ta có limf (x) = 1. x 0 209
28. Dạng toán 6: Một vài quy tắc tìm giứoi hạn vô cực Thí dụ 1. Tính các giới hạn sau: a. lim (3x3 5x2 + 7). b. lim 2x4 3x 12 . x x  Giải a. Ta có: 3 2 3 5 7  lim (3x 5x + 7) = lim x 3 3 = (  = . x x x x b. Ta có: 3 12 lim x2 2 = (+ 2 = + . x x3 x4  Nhận xét: Như vậy, với hàm số dạng: n n 1 f(x) = anx + an 1x + + a0 n n 1 lim f(x) lim an x an 1x a0 x x n an 1 a0 n lim x an n ( ) .an x x x Thí dụ 2. Tính các giới hạn sau: x3 5 x4 x a. lim . b. lim . x x2 1 x 1 2x  Giải a. Ta có: 5 3 1 x 5 3 lim = lim x = + x x2 1 x 1 1 x x3 5 1 1 1 1 vì lim 1 3 = 1 và lim 3 = 0 và 3 0 với x > 0. x x x x x x x b. Ta có: 1 1 x2 1 1 x4 x 3 3 lim = lim x lim x = + x 1 2x x 1 2 x 1 2 2 x 2 2 x x x x 1 1 2 1 2 vì lim 1 3 1 và lim 2 0 và 2 0 với x < 0. x x x x x x x 210