Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm

1. chương 5 đạo hàm A. Kiến thức cần nhớ I. Khái niệm đạo hàm 1. Mở đầu Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng: f(x) f(x ) lim 0 x x 0 x x0 trong đó f(x) là một hàm số đã cho của đối số x. Qua Đại số và Giải tích 11, ta đã biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số: ▪ Số gia đối số là x x x0. ▪ Số gia tương ứng của hàm số là y f(x) f(x0). Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó để viết các giới hạn trên: f(x) f(x ) y lim 0 = lim . x x x 0 0 x x0 x 2. định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f(x), xác định trên (a, b) và x0 (a, b). Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 được kí hiệu là y'(x0) hoặc f '(x0): f(x) f(x0 ) f '(x0) = lim x x 0 x x0 y hoặc y'(x0) = lim . x 0 x 3. đạo hàm một bên a. Đạo hàm bên trái của hàm số y f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f '( x0 ), được định nghĩa là: y f(x) f(x ) f '( x ) lim lim 0 0 x 0 x x x0 x x0 trong đó x x0 được hiểu là x x0 và nhỏ hơn x0. 251
2. b. Đạo hàm bên phải của hàm số y f(x) tại điểm x 0, kí hiệu là f '( x0 ), được định nghĩa là: y f(x) f(x ) f '( x ) lim lim 0 0 x 0 x x x0 x x0 trong đó x x0 được hiểu là x x0 và lớn hơn x0. Định lí: Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f '( x0 ) và f '( x0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có: f '(x0) f '( x0 ) f '( x0 ). 4. đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa: a. Hàm số y f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. b. Hàm số y f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn a, b nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a, b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b. Quy ước: Từ nay khi ta nói hàm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho. 5. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí: Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.  Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Để minh hoạ ta xét hàm số : y f(x) x tại điểm x0 0, ta có : f(0) 0 và lim f(x) lim x 0. x 0 x 0 Vậy, hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 0. Mặt khác, ta có : y | x | 1 khi x 0 y f(0 + x) f(0)  x . x x 1 khi x 0 Do đó y y y lim 1 và lim 1 lim không tồn tại x 0 x x 0 x x 0 x hàm số y x không có đạo hàm tại x0 0. 2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. 252
3. 6. ý nghĩa của đạo hàm 6.1.ý nghĩa hình học a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M0M là một cát tuyến của (C). (C) Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M có vị trí giới 0 M hạn M 0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp T tuyến của đường cong (C) tại điểm M 0. Điểm M0 M0 được gọi là tiếp điểm. Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. b.ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x0 (a, b), gọi (C) là đồ thị hàm số đó. y (C) f(x0 + x) M y T M0 f(x0) x O x0 x0 + x x Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0, f(x0)). c. Phương trình của tiếp tuyến: Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0, f(x0)) là: y y0 f'(x0)(x x0) 6.2.ý nghĩa vật lí a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0. v(t0) = s'(t0) = f'(t0). b.Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t0. I(t0) = Q'(t0) = f'(t0). 253
4. II. Các quy tắc tính đạo hàm bảng tóm tắt (u + v w)' = u' + v' w' (ku)' = ku', k là hằng số (u.v)' = u'v + u.v'. ' ' u u'v uv' 1 v' = ; = . v v2 v v2 y'x = y'u.u'x. Bảng các đạo hàm Đạo hàm của các hàm số sơ Đạo hàm của các hàm số hợp cấp cơ bản (u = u(x)) (x )' . x 1 (u )' .u'.u 1 ' ' 1 1 1 u' x x2 u u2 1 u' ( x )' ( u )' 2 x 2 u (C)' 0 (C là hằng số) (ku)' k.u' (sinx)' cosx (sinu)' u'.cosu (cosx)' sinx (cosu)' u'.sinu 1 u' (tanx)' 1 + tan2x (tanu)' u'.(1 + tan2u) cos2 x cos2 u 1 u' (cotx)' (1+cot2x) (cotu)' u'(1 + cot2u) sin2 x sin2 u 1 u' (lnx)' (lnu)' x u 1 u' (logax)' (logau)' xlna u lna (ex)' ex (eu)' u'.eu (ax)' ax.lna (au)' u'.au.lna x 1 sin x 1 lim = 1. lim 1 = e; lim(1 x) x = e. x 0 x x x x 0 254
5. IV. Vi phân 1. định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x (a, b). Cho số gia x tại x sao cho x + x (a, b). Ta gọi tích f '(x) x (hoặc y' x) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x và ký hiệu là dy hoặc df(x). Như vậy, ta có : dy = y' x, (1) hoặc df(x) = f'(x) x. (1') áp dụng định nghĩa trên và hàm số y = x, ta được: dx = (x)' x = 1. x = x. (2) Vậy, ta có: dy = y'dx (3) hoặc df(x) = f'(x)dx. (3') 2. ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng Theo định nghĩa đạo hàm ta có: y f '(x0) = lim . x 0 x Do đó, với  x đủ nhỏ thì : y f '(x0) y f '(x0) x f(x0 + x) f(x0) f '(x0) x x f(x0 + x) f(x0) + f '(x0) x Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất. V. đạo hàm cấp cao 1. định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x). Đạo hàm của hàm số f '(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f ''(x). Tương tự, đạo hàm của hàm số f ''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f '''(x). Đạo hàm của hàm số f '''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x), kí hiệu là y'''' hay f(4)(x) Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n 1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n) (x). Vậy, ta có: f(n)(x) = [ f(n -1)(x)]', với n Z, n 2. 255
6. 2. ý nghĩa cƠ học của đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s = f(t) tại t. (t) = f "(t). B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Đạo hàm Dạng toán 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 1 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: y = f(x). Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f(x) f(x0 ) f '(xO) = lim . x x 0 x x0 2 Thí dụ 1. Tìm số gia của hàm số y = x 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia x, biết: a. x = 1. b. x = 0,1.  Giải Ta có: y f(x0 + x) f(x0). a. Với x0 = 1; x = 1 thì: f(x0) = f(1) = 0, f(x0 + x) = f(1 + 1) = f(2) = 3, từ đó suy ra: y f(x0 + x) f(x0) = 3 0 = 3. b. Với x0 = 1; x = 0,1 thì: 2 y f(x0 + x) f(x0) = f(1 0,1) f(1) = 0,9 1 = 0,19. Thí dụ 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số tại điểm x0 a. y = 2x + 1 tại x0 = 2. 2 b. y = x + x tại x0 = 1.  Giải a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f(x) f(2) 2x 1 5 y'(2) lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 256
7. Cách 2: Ta lần lượt có: y f(x0 + x) f(x0) f(2 + x) f(2) = [2(2 + x) + 1] 5 = 2 x, y y'(2) lim lim (2 x) . x 0 x x 0 b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: f(x) f(1) x2 x 2 y'(1) lim lim lim(x 2) = 3. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Cách 2: Ta lần lượt có: 2 y f(x0 + x) f(x0) f(1 + x) f(1) = [(1 + x) + (1 + x)] 2 = ( x)2 + 3 x, y y'(1) lim lim ( x + 3) 3. x 0 x x 0  Nhận xét: Như vậy, việc tìm đạo hàm bằng định nghĩa liên quan mật thiết với bài toán tính giới hạn của hàm số. Do đo, các em học sinh cần ôn lại các phướng pháp tính giới hạn cùng với các dạng giới hạn cơ bản. Thí dụ 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: x 1 a. y = tại điểm x0 = 0. b. y 2x 7 tại điểm x0 1. x 1  Giải a. Ta có: x 1 1 f(x) f(0) 2 y'(0) lim lim x 1 lim = 2. x 0 x 0 x 0 x x 0 x 1 b. Ta có: f(x) f(1) 2x 7 3 2x 7 9 y'(1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)( 2x 7 3) 2 1 lim . x 1 2x 7 3 3 Dạng toán 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 2 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: f1(x) khi x x0 f(x) = . f2 (x) khi x x0 257
8. Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, ta xác định: f(x) f(x0 ) f1(x) f2 (x0 ) f '(xO) = lim lim . x x x x 0 x x0 0 x x0 Thí dụ 1. Cho hàm số: sin2 x khi x 0 f(x) = x tại x0 = 0. 0 khi x 0 a. Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x 0. b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x 0.  Giải a. Nhận xét hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0, bởi: sin2 x sin x lim f(x) = lim = lim ( .sinx) = 0 = f(0). x 0 x 0 x x 0 x b. Ta có: f (x) f (0) sin2 x f'(0) = lim = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x2 Thí dụ 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: 1 x2 cos khi x 0 f(x) x tại điểm x0 0. 0 khi x 0  Giải Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 0. Ta có: f(x) f(0) 1 f '(0) lim lim x. cos . x 0 x 0 x 0 x Ta có: ▪ Với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: 1 1 x.cos  x x x.cos x. x x ▪ Mặt khác lim ( x) lim x 0. x 0 x 0 Suy ra: 1 lim x. cos 0 f '(0) 0. x 0 x 258
9. Dạng toán 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm dạng 3 Phương pháp áp dụng Cho hàm số: f1(x) khi x x0 f(x) = . f2 (x) khi x x0 Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0. Bước 2:(Đạo hàm bên trái) Tính: f(x) f(x ) f '( x ) = lim 0 . 0 x x0 x x0 Bước 3:(Đạo hàm bên phải) Tính: f(x) f(x ) f '( x ) = lim 0 . 0 x x0 x x0 Bước 4: Đánh giá hoặc giải f'( x0 ) = f'( x0 ), từ đó đưa ra lời kết luận. Thí dụ 1. Chứng minh rằng hàm số: 2 (x 1) nếu x 0 f(x) = 2 x nếu x 0 không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.  Giải a. Tại điểm x = 0, ta thấy: lim f(x) = lim (x 1)2 = 1, lim f(x) = lim ( x2) = 0, x 0 x 0 x 0 x 0 suy ra: lim f(x) lim f(x) Hàm số gián đoạn tại x = 0 x 0 x 0 Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. b. Tại điểm x = 2, ta có: f(x) f(2) (x 1)2 1 x(x 2) lim lim lim lim x = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 tức là f'(2) = 2. x Thí dụ 2. (Đề 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) = 1 | x | tại điểm x0 = 0.  Giải 259
10. Viết lại hàm số dưới dạng: x khi x 0 1 x f(x) = . x khi x 0 1 x Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0. Ta có: ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. x f (x) f (0) 1 f'(0 ) = lim = lim 1 x = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x ▪ Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. x f (x) f (0) 1 f'(0 + ) = lim = lim 1 x = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x Nhận xét rằng f'(0 ) = f'(0 + ) = 1. Vậy, hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 và f'(0) = 1.  Chú ý: Chúng ta có thể tính một cách trực tiếp, như sau: x f (x) f (0) 1 | x | 1 f'(0) = lim = lim = lim = 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 1 | x | x2 2 | x 3| Thí dụ 3. (ĐHHH 1997): Chứng minh rằng hàm số y = liên tục 3x 1 tại x = 3 những không có đạo hàm tại điểm ấy.  Giải Viết lại hàm số dưới dạng: x2 2x 6 1 khi 3 x 3x 1 3 f(x) = . x2 2x 6 khi x 3 3x 1 x2 2 | x 3| 9 Ta có: lim f (x) = lim = = f( 3) x 3 x 3 3x 1 10 Do đó hàm số liên tục tại x = 3. Mặt khác: ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 3. f (x) f ( 3) 13 f'( 3 ) = lim = . x 3 x 3 100 260
11. ▪ Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 3. f (x) f ( 3) 53 f'( 3 + ) = lim = . x 3 x 3 100 Nhận xét rằng f'( 3 ) f'( 3 + ). Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x = 3. Thí dụ 4. Cho hàm số: x2 khi x 1 f(x) . ax b khi x 1 Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x 1.  Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x 1, trước hết f(x) phải liên tục tại x 1, do đó: lim f(x) lim f(x) f(1) a + b 1 b 1 a. (1) x 1 x 1 ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số y f(x) tại điểm x 1: f(x) f(1) x2 1 f '(1 ) lim lim 2. x 1 x 1 x 1 x 1 ▪ Đạo hàm bên phải của hàm số y f(x) tại điểm x 1: f(x) f(1) ax b 1 ax 1 a 1 f '(1+) lim lim lim a. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x 1 f '(1 ) f '(1 + ) a 2. (2) Thay (2) vào (1), ta được b 1. Vậy, hàm số có đạo hàm tại điểm x 1, nếu và chỉ nếu a 2, b 1. Thí dụ 5. Cho hàm số: pcosx qsin x khi x 0 f(x) . px q 1 khi x 0 Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x 0.  Giải Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 f(x) phải liên tục tại điểm x 0, do đó: lim f(x) lim f(x) f(0) p q + 1 q p 1. (1) x 0 x 0 Khi đó, hàm số f(x) có dạng: p cosx (p 1)sin x khi x 0 f(x) px p khi x 0 261
12. ▪ Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 0: f(x) f(0) p cosx (p 1)sin x p f '(0 ) lim lim x 0 x 0 x 0 x x 2pxsin2 (p 1)sin x p(1 cos x) (p 1)sinx lim lim 2 2 x 0 x x 0 x x 4. 2 p 1. ▪ Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 0: f(x) f(0) px p p f '(0 + ) lim lim lim p p. x 0 x 0 x 0 x x 0 Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x 0, nếu và chỉ nếu: f '(0) f '(0 + ) p p 1 vô nghiệm. Vậy, với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x 0. Dạng toán 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng Phương pháp áp dụng Để tính đạo hàm của hàm số: y = f(x) trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tính y = f(x + x) f(x). Lập tỉ số y . x y Bước 2: Tìm lim . x 0 x  Chú ý: 1. Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn x thì tiến tới 0. 2. Nếu khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b], ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y f(x) trong khoảng (a; b) Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số y f(x) tại điểm a. Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số y f(x) tại điểm b. Thí dụ 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 (a là hằng số): 1 a. y = ax + 3. b. y = ax2. 2 262
13.  Giải a. Ta có: f(x) f(x 0 ) ax 3 ax 0 2 y'(x0) lim lim lim a = a. x x0 x x 0 x x0 x x 0 x x0 b. Ta có: 1 2 1 2 ax ax 0 f(x) f(x 0 ) 2 2 1 y'(x0) lim lim lim a(x x 0 ) x x0 x x 0 x x0 x x 0 x x0 2 = ax0. Thí dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: 1 1 a. y = với x . b. y = 3 x với x < 3. 2x 1 2  Giải a. Ta có: 1 1 y 2(x x) 1 2x 1 y' = lim = lim x 0 x x 0 x 2 2 = lim = . x 0 [2(x x) 1](2x 1) (2x 1)2 b. Ta có: y 3 (x x) 3 x y' = lim = lim x 0 x x 0 x 1 1 = lim = . x 0 3 (x x) 3 x 2 3 x Thí dụ 3. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) cos2x.  Giải Cho x một số gia x, ta có: y f(x + x) f(x) cos2(x + x) cos2x y cos2(x x) cos2x 2sin(2x x).sin x . x x x Do đó: y sin x lim = lim 2sin(2x x). 2sin2x. x 0 x x 0 x Vậy, ta được f '(x) 2sin2x. 263
14. Thí dụ 4. Cho hàm số: 1 x2 sin khi x 0 f(x) x . 0 khi x 0 a. Tính đạo hàm của f tại mỗi x R . b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x0 0.  Giải a. Ta xét hai trường hợp: 1 1 ▪ Với x 0, ta có f '(x) 2xsin cos . x x ▪ Với x 0, ta có: f(x) f(0) 1 f '(0) lim lim x.sin . x 0 x 0 x 0 x Ta có: - Với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: 1 1 xsin  x x xsin x. x x - Mặt khác lim ( x) lim x 0. x 0 x 0 Suy ra: 1 lim x.sin 0 f'(0) 0. x 0 x Vậy, ta được: 1 1 2xsin cos khi x 0 f '(x) x x . 0 khi x 0 b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x0 0. 1 1 Đặt g(x) 2x.sin cos . x x Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: 1 ▪x n xn 0 khi n và ta được: 2n 1 1 n g(xn) 2xn.sin cos  1. x n x n 1 ▪y n yn 0 khi n và ta được: 2n 1 1 n f(yn) 2yn.sin cos  1. y n y n 264
15. Tức lim g(x) không tồn tại. Suy ra: x 0 f '(x) không có giới hạn khi x 0 f ' không liên tục tại x0 0. Dạng toán 5: Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương pháp áp dụng Sử dụng các kết quả: 1. Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x), biết M, N theo thứ tự có hoành độ là xM, xN, được cho bởi: y f(x ) f(x ) k = = M N . x xM xN 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0, f(x0)) là: (d): y y0 = y'(x0)(x x0). Thí dụ 1. Cho Parabol y = x2 và hai điểm A(2; 4) và B(2 + x; 4 + y) trên Parabol đó. a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01. b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A.  Giải a. Gọi k là hệ số góc của cát tuyến AB với đường cong (C), ta có ngay: y f(x ) f(x ) 2 (4 y) k = = A B = = 4 + x. x x A x B 2 2 x Khi đó: ▪ Với x = 1, ta được k = 4 + 1 = 5. ▪ Với x = 0,1, ta được k = 4 + 0,1 = 4,1. ▪ Với x = 0,01, ta được k = 4 + 0,01 = 4,01. b. Hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A được cho bởi: f(x) f(2) x2 4 f'(2) = lim lim lim(x 2) . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Thí dụ 2. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C), biết: 2 a. (C): y = x 2x và hoành độ M, N theo thứ tự là xM = 2, xN = 1. x2 x 1 b. (C): y = và hoành độ M, N theo thứ tự là xM = 1, xN = 3. x  Giải Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C). 265
16. a. Ta có ngay: y f(x ) f(x ) (22 2.2) (12 2.1) k = = M N = = 1. x xM xN 2 1 b. Ta có ngay: 12 1 1 32 3 1 y f(x ) f(x ) 2 k = = M N = 1 3 = . x xM xN 1 3 3 Thí dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3, biết: a. Tiếp điểm có hoành độ bằng 1. b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8. c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.  Giải Trước tiên, ta đi tính đạo hàm của hàm số y = x3: y (x x)3 x3 y' = lim = lim = lim (3x2 3x x 2 x) = 3x2. x 0 x x 0 x x 0 a. Tại điểm có hoành độ bằng 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d1): y y( 1) y'( 1)(x + 1) (d1): y = 3x + 2. b. Trước tiên, tiếp điểm có tung độ y0 = 8 thì: 3 x 0 = 8 x0 = 2. Do đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y 8 y'(2)(x  (d2): y = 12x 16. c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: 2 2 3 x 0 = 3 x0 = 1 x0 = 1. Khi đó: ▪ Tại x0 = 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d3): y y(1) y'(1)(x 1) (d3): y = 3x 2. ▪ Tại x0 = 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d4): y ( 1) y'( 1)[x )] (d4): y = 3x + 2. Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài. 1 Thí dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = : x 1 a. Tại điểm ; 2 . b. Tại điểm có hoành độ bằng 1. 2 1 b. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4 266
17.  Giải Trước tiên ta đi tính đạo hàm của hàm số: x y x(x x) 1 1 y’= lim = lim = lim = . x 0 x x 0 x x 0 x(x x) x2 1 a. Tại điểm ; 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 1 1 1 (d1): y y'( )(x ) (d1): y = 4x + 4. 2 2 2 b. Tại điểm có hoành độ bằng 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y y( 1) y'( 1)[x )] (d2): y = x 2. c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: 1 1 = x2 = 4 x = 2. 2 0 0 x0 4 Khi đó: ▪ Tại x0 = 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: 1 (d3): y y(2) y'(2)(x 2) (d3): y = x + 1. 4 ▪ Tại x0 = 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: 1 (d4): y ( 2) y'( 2)[x )] (d4): y = x 1. 4 Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài. Thí dụ 5. Cho đường cong (C): y = x . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ): x 4y + 3 = 0.  Giải 1 Hàm số y = x có y' = . 2 x a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được: 1 1 1 = 1 x = x = . 2 x 2 4 Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: 1 1 1 1 1 (d): y y( ) 1.(x ) (d): y x (d): y = x + . 4 4 2 4 4 1 b. Đường thẳng ( ) có hệ số góc k = . 4 267
18. 1 Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ( ) nên có hệ số góc k = , do đó: 4 1 1 = x = 2 x = 4. 2 x 4 Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: 1 (d): y y(4) .(x 4) (d): 4(y 2) x 4 (d): x 4y + 4 = 0. 4 Dạng toán 6: Tính đạo hàm của các hàm số Phương pháp áp dụng Sử dụng bảng các đạo hàm và bảng các quy tắc. Thí dụ 1. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số): 1 1 1 1 a. y = x4 x3 + x2 x + a3. b. y = . 4 3 2 (x2 x 1)5  Giải a. Ta có ngay: y' = x3 x2 + x 1. b. Viết lại hàm số dưới dạng: 5(2x 1) y = (x2 x + 1) 5 y' = 5(2x 1)(x2 x + 1) 6 = . (x2 x 1)6 Thí dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = 3x5(8 3x2 ). b. y = (x + 1)(x + 2)(x + 3).  Giải a. Ta có thể thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = 24x5 9x7. Khi đó: y' = 120x4 63x6. Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích, ta có: y' = 15x4(8 3x2) 3x5.6x = 120x4 63x6. b. Ta có thể thực hiện theo ba cách sau: Cách 1: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v.w): Ta có: y' = [(x + 1)(x + 2)(x + 3)]' = (x + 1)'(x + 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 2)'(x + 3) + (x + 1)(x + 2)(x + 3)' = 1.(x + 2)(x + 3) + (x + 1).1.(x + 3) + (x + 1)(x + 2).1 = 3x2 + 12x + 11. 268
19. Cách 2: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v): Viết lại hàm số dưới dạng có: y = (x2 + 3x + 2)(x + 3) suy ra: y' = [(x2 + 3x + 2)(x + 3)]' = (x2 + 3x + 2)'(x + 3) + (x2 + 3x + 2)(x + 3)' = (2x + 3)(x + 3) + (x2 + 3x + 2).1 = 3x2 + 12x + 11. Cách 3: Viết lại hàm số dưới dạng có: y = x3 + 6x2 + 11x + 6 suy ra: y' = (x3 + 6x2 + 11x + 6)' = 3x2 + 12x + 11. Thí dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 2x 5x 3 a. y = . b. y = . x2 1 x2 x 1  Giải a. Ta có: 2(x2 1) 2x.2x 2x2 2 y' = = . (x2 1)2 (x2 1)2 b. Ta có: 5(x2 x 1) (2x 1)(5x 3) 5x2 6x 8 y' = = . (x2 x 1)2 (x2 x 1)2 Thí dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1 a. y = . b. y = x2 + x x + 1. x x  Giải a. Viết lại hàm số dưới dạng: 1 3 3 y = = x 3/2 y' = x 5/2 = . x x 2 2x2 x b. Viết lại hàm số dưới dạng: 3 3 y = x2 + x3/2 + 1 y' = 2x + x1/2 = 2x + x . 2 2 Thí dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: x2 1 a. y = 2 5x x2 . b. y = . x  Giải a. Ta có ngay: 2 2 5x x ' 5 2x y' . 2 2 5x x2 2 2 5x x2 269
20. b. Ta có thể thực hiện theo các cách sau: Cách 1: Ta có: 2 ' x 1 2x2 (x2 1) x 2 x2 1 x2 1 y' x = . x2 1 x2 1 x2 1 2 x3 (x2 1) 2 2 2x2 x x x Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng: 1/ 2 x2 1 x2 1 y = = x x 1/ 2 1 2x2 (x2 1) x2 1 x2 1 y' = . 2 . = . 2 x x 2 x3 (x2 1) Thí dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1 x x a. y = . b. y = . 1 x a2 x2  Giải a. Ta có: 1 x 1 x 3 x y' = 2 1 x = . 1 x (1 x) 1 x b. Ta có: x2 a2 x2 2 2 a2 y' = a x = . 2 2 a x (a2 x2 ) a2 x2  Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y f(x) trên miền E sao cho f(x) 0 ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: a. Viết lại hàm số dưới dạng y f 2 (x) . b. Ta được: f'(x).f(x) f'(x).f(x) y’ . f 2 (x) | f(x) | Cách 2: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) với f(x) 0 y . f(x) với f(x) 0 270
21. Bước 2: Ta được: f'(x) với f(x) 0 y’ . f'(x) với f(x) 0 Thí dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số y x 1 tại các điểm x 1.  Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y (x 1)2 . Ta được: 2(x 1)'.(x 1) x 1 1 với x 1 y’ = . 2 (x 1)2 | x 1| 1 với x 1 Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng: x 1 với x 1 y . 1 x với x 1 Ta được: 1 với x 1 y’ . 1 với x 1 Dạng toán 7: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác Thí dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = 5sinx 3cosx. b. y = sin(x2 3x + 2).  Giải a. Ta có ngay: y' = 5cosx + 3sinx. b. Ta có ngay: y'= (x2 3x + 2)’.cos(x2 3x + 2) = (2x 3).cos(x2 3x + 2). Thí dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = cos 2x 1 . b. y = sin3x.cos5x.  Giải a. Ta có ngay: 2 sin 2x 1 y' 2x 1 '.sin 2x 1 .sin 2x 1 . 2 2x 1 2x 1 b. Ta có các cách thực hiện sau: Cách 1: Ta có ngay y’ = 3cos3x.cos5x 5sin3x.sin5x. 271
22. Cách 2: Ta biến đổi: 1 1 y sin8x sin 2x y' 8cos8x 2cos2x 4cos8x cos2x. 2 2 Thí dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = 1 2 tan x . b. y = tan3x cot3x.  Giải a. Ta có: 2 2tan x ' 2 1 y' cos x . 2 1 2tan x 2 1 2tan x cos2 x 1 2tan x b. Ta có các cách thực hiện sau: Cách 1: Ta có ngay: 3 3 3 3 12 y’ = . 2 2 2 2 1 2 cos 3x sin 3x sin 3x.cos 3x sin2 6x sin 6x 4 Cách 2: Ta biến đổi: sin3x cos3x sin2 3x cos2 3x 2cos6x y = 2cot6x cos3x sin3x cos3x.sin3x sin 6x 12 y' . sin2 6x Thí dụ 4. Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x.  Giải Viết lại hàm số dưới dạng: y = (sin2x + cos2x)3 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) + 3sin2x.cos2x = 1. Khi đó: y' = (1)' = 0. Vậy, hàm số có đạo hàm không phụ thuộc x.  Nhận xét: Như vậy, nếu các em học sinh không thực hiện việc đơn giản hàm số trước khi lấy đạo hàm thì sẽ phải thực hiệm những phép biến đổi khác, cụ thể: y’ = 6sin5x.cosx 6cos5x.cosx + 3(2sinx.cos3x 2sin3x.cosx) = 6 sinx.cosx(sin4x cos4x + cos2x sin2x) = 6 sinx.cosx[(sin2x cos2x)(sin2x + cos2x) + cos2x sin2x] = 6 sinx.cosx(sin2x cos2x + cos2x sin2x) = 0. 272
23. Thí dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số: 1 1 1 1 1 1 y cosx với x (0; ). 2 2 2 2 2 2  Giải Biến đổi hàm số về dạng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y cosx cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x cos cos2 cos 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x x cos2 cos . 8 8 x 1 x Do đó y' ( cos )' sin . 8 8 8 Dạng toán 8: Đẳng thức, bất đẳng thức chứa đạo hàm Thí dụ 1. Chứng minh rằng: a. Hàm số y = tanx thoả mãn hệ thức y' y2 1 = 0. b. Hàm số y = cot2x thoả mãn hệ thức y' + 2y2 + 2 = 0.  Giải a. Trước tiên, ta có: 1 y' = . cos2 x Khi đó, ta có: 1 1 1 y' y2 1 = tan2x 1 = = 0, đpcm. cos2 x cos2 x cos2 x b. Trước tiên, ta có: 2 y' = . sin2 2x Khi đó, ta có: 2 2 2 y' + 2y2 + 2 = + 2cot22x + 2 = + = 0. sin2 2x sin2 2x sin2 2x Thí dụ 2. Cho hàm số f(x) = 2cos2(4x 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có f'(x) 8. Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.  Giải Ta có: f'(x) = 16sin(4x 1).cos(4x 1) = 8sin(8x 2). 273
24. Suy ra: f'(x) =  8sin(8x 2) = 8sin(8x 2) 8, dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 k sin(8x 2) = 1 8x 2 = + 2k x = + + , k Z . 2 16 4 8 Dạng toán 9: Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm Phương pháp áp dụng Bài toán thường được đặt ra dưới dạng: "Cho hàm số y = f(x), hãy giải phương trình g(y, y') = 0" Khi đó, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Tính đạo hàm y'. Bước 2: Chuyển phương trình g(y, y') = 0 về phương trình đại số thông thường để giải. Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau: 1 a. f'(x) = 0 với f(x) = x3 2x2 6x 1. 3 1 3 b. f'(x) = 5 với f(x) = x4 x3 x2 3. 4 2  Giải a. Trước tiên, ta có: f'(x) = x2 4x 6. Khi đó, phương trình có dạng: x2 4x 6 = 0 x 5,162 hoặc x 1,162. b. Trước tiên, ta có: f'(x) = x3 3x2 3x. Khi đó, phương trình có dạng: x3 3x2 3x = 5 x3 3x2 3x + 5 = 0 (x 1)(x2 2x 5) = 0 x = 1 hoặc x 3,449 hoặc x 1,449. Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = x3 3x2 + 2 . Hãy giải bất phương trình: a. f'(x) > 0. b. f'(x) 3.  Giải Trước tiên, ta có f'(x) = 3x2 6x. a. Bất phương trình có dạng: 3x2 6x > 0 x2 2x > 0 x > 2 hoặc x < 0. b. Bất phương trình có dạng: 3x2 6x 3 x2 2x 1 0 1 2 x 1 + 2 . 274
25. Thí dụ 3. Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau: a. y = sin2x 2cosx. b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x. c. y = cos2x + sinx. d. y = tanx + cotx.  Giải a. Trước tiên, ta có: y' = 2cos2x + 2sinx. Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x + 2sinx = 0 cos2x = sinx = cos(x + ) 2 2x x 2k x 2k 2 2 , k Z . 2k 2x x 2k x 2 6 3 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. b. Trước tiên, ta có: y' = 6cos2x 8sin2x + 10. Khi đó, phương trình có dạng: 4 3 6cos2x 8sin2x + 10 = 0 4sin2x 3cos2x = 5 sin2x cos2x = 1. 5 5 4 3 Đặt = cos2 thì = sin2 , do đó ta được: 5 5 sin2xcos2 sin2 .cos2x = 1 sin(2x 2 ) = 1 2x 2 = + 2k x = + + k , k Z . 2 4 Vậy, phương trình có một họ nghiệm. c. Trước tiên, ta có: y' = 2sinx.cosx + cosx = sin2x + cosx. Khi đó, phương trình có dạng: sin2x + cosx = 0 sin2x = cosx = sin( x) 2 2k 2x x 2k x 2 6 3 , k Z . 2x x 2k x 2k 2 2 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. d. Trước tiên, ta có: 1 1 y' = . cos2 x sin2 x 275
26. Khi đó, phương trình có dạng: 1 1 1 1 = 0 = tan2x = 1 tanx = 1 cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x k x = + k x = + , k Z . 4 4 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx3 + x2 + x 5. Tìm m để: a. y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. b. y' có hai nghiệm trái dấu. c. y' > 0 với mọi x.  Giải Trước tiên, ta có y' = 3mx2 + 2x + 1. a. Để y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi: a 0 3m 0 1 m = . ' 0 1 3m 0 3 1 Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu bài. 3 b. Để y' có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình: 3mx2 + 2x + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu P 0 với mọi x khi và chỉ khi: 3mx2 + 2x + 1 > 0 x. Trường hợp 1: Với m = 0 ta được: 1 2x + 1 > 0 x > , không thoả mãn với mọi x. 2 Trường hợp 2: Với m 0 điều kiện là: a 0 3m 0 1 m > . ' 0 1 3m 0 3 1 Vậy, với m > thoả mãn điều kiện đầu bài. 3 Ví dụ 4: Cho hàm số y = 4sinx + 3cosx + 5x. Hãy giải phương trình y' = 0.  Giải Ta có: y' = 4cosx 3sinx + 5. Khi đó: 3 4 y' = 0 4cosx 3sinx + 5 = 0 3sinx 4cosx = 5 sinx cosx = 1. 5 5 276