Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 6: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm môn Toán Lớp 11 - Chương 6: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

1. chương 2 đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song A. Kiến thức cần nhớ I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng quan hệ song song 1. mở đầu về hình học không gian Quan hệ thuộc: Trong không gian: a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp: ▪ Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu a d. ▪ Điểm A không thuộc đường thẳng d, kí hiệu a d. b. Với một điểm A và một mặt phẳng (P) có thể xảy ra hai trường hợp: ▪ Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu a (P). ▪ Điểm A không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu a (P). Hình biểu diễn của một hình trong không gian: Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc, chẳng hạn như: ▪ Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. ▪ Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). ▪ Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A' thuộc đường thẳng a', trong đó a' biểu diễn cho đường thẳng a. ▪ Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho những đường bị khuất. 2. các tính chất thừa nhận của hình học không gian Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng dó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. 313
2. Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 3. điều kiện xác định mặt phẳng Có bốn cách xác định một mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mặt phẳng, kí hiệu (ABC). Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d, kí hiệu (A, d). Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau a, b, kí hiệu (a, b). Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng song song a, b, kí hiệu (a, b). 4. Hình chóp và hình tứ diện Định nghĩa: Cho đa giác A 1A2 An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2, , An ta được n miền tam giác SA1A2, SA2A3, , SAn 1An. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A 1A2 An được gọi là hình chóp S.A1A2 An. Trong đó: S ▪ Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. ▪ Đa giác A1A2 An gọi là mặt đáy của hình chóp. A6 ▪ Các đoạn thẳng A1A2, A2A3, , An 1An gọi là các cạnh đáy của hình chóp. A1 A5 ▪ Các đoạn thẳng SA1, SA2, , SAn gọi là các A2 cạnh bên của hình chóp. P A3 A4 ▪ Các miền tam giác SA1A2, SA2A3, , SAn 1An gọi là các mặt bên của hình chóp. Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,  Chú ý: 1. Hình chóp tam giác còn gọi là hình tứ diện. 2. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều. II. Hai đường thẳng song song 1. vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt Cho 2 đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của 2 đường thẳng ta có bốn trường hợp sau: 314
3. a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là: a  (P) và b  (P) a // b . a  b  b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung. a cắt b a  b = {I}. c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt. a  b = {A, B} a  b. d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng. a chéo b a, b không đồng phẳng. a b a b I a b a P P b P a//b a cắt b ab a,b chéo nhau 2. Hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Tức là: a // c a // b. b // c Định lí (Về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Tức là, với , ,  phân biệt và thoả mãn:   a a // b // c    b . a,b,c đồngquy  c Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). Tức là: a và b  a // b c // a // b.  c 315
4. III. Đường thẳng song song với mặt phẳng 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: a  (P) =  a // (P). b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: a  (P) = {A} a cắt (P) tại A. c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có 2 điểm chung phân biệt, tức là: a  (P) = {A, B} a  (P). a a A A a B P P P a(P) =  a // (P) a(P) = {A} a cắt (P) a(P)={A, B} a(P) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a a song song với (P). d Tức là, với a  (P) thì nếu: P a // d  (P) a // (P). 3. tính chất Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a. Q Tức là, nếu: a a //(P) a // d. a  (Q)  (P) d P d Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó. Q Tức là: d (P)  (Q) d a (P) // a d // a. P (Q) // a 316
5. Định lí 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b. IV. Hai mặt phẳng song song 1. vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q). Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. Hai mặt phẳng (P) và (Q) không có đường thẳng chung, tức là: (P)  (Q) =  (P) // (Q). b. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chỉ có một đường thẳng chung, tức là: (P)  (Q) = a (P) cắt (Q). c. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là: (P)  (Q) = {a, b} (P)  (Q). Q P a Q P Q P (P) (Q) =  (P)//(Q) (P) (Q) = a (P) cắt (Q) (P)(Q) = {a, b} (P)(Q) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. 2. điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song (Q). Tức là: a b a, b (P) P a cắt b (P) // (Q). Q a //(Q) và b //(Q) 3. tính chất Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Tức là: O (Q) O (P) !(Q): . (P) //(Q) Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện: ▪ Trong (P) dựng a, b cắt nhau. ▪ Qua O dựng a1 // a, b1 // b. ▪ Mặt phẳng (a1, b1) là mặt phẳng qua O và song song với (P). 317
6. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với (Q). Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. P a Tức là: (P) //(Q) b Q a (P)  (R) a // b. R b (Q)  (R) 4. Định lí Ta lét trong không gian Định lí 2 (Định lí Ta lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. a b Tức là: A1 A (P) //(Q) //(R) P 2 a  (P) A và a  (Q) B và a  (R) C 1 1 1 B Q B1 2 b  (P) A 2 và b  (Q) B 2 và b  (R) C 2 A B B C A C C C 1 1 = 1 1 = 1 1 . R 1 2 A2 B 2 B 2C 2 A2C 2 Định lí 3 (Định lí Ta lét đảo): Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a 1 và a 2 lần lượt lấy các điểm A1, B1, C1 và A2, B2, C2 sao cho: A B B C A C 1 1 = 1 1 = 1 1 A2 B 2 B 2C 2 A2C 2 Khi đó, ba đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. 5. hình lăng trụ và hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình Q đa diện có hai mặt nằm A’6 A’1 trong hai mặt phẳng song A’ A’5 song gọi là hai đáy và tất A’2 A’3 4 cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với A6 A nhau. 1 A A2 5 Trong đó: P A3 A4 ▪ Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ. 318
7. ▪ Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ. ▪ Tuỳ theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: a. Các cạnh bên song song và bằng nhau. b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành. c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Từ định nghĩa của hình hộp, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương. D1 D D1 C1 C1 1 C1 B1 B1 A1 B1 A1 A1 D C D C D C A A A B B B  Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 6. hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp SA1A2 An. Một mặt phẳng S (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh SA1, SA2, , SAn theo thứ tự tại A’1, A’2, , A’n. Hình tạo bởi thiết A’5 A’1 A’4 diện A’1A’2 A’n và đáy A1A2 An của hình P A’2 A’3 chóp cùng với các mặt bên A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, , AnA1A’1A’n gọi là một hình A5 chóp cụt. A1 A4 Trong đó: A2 A3 ▪ Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. ▪ Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. ▪ Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A1A’1, A2A’2, AnA’n gọi là cạnh bên của hình chóp cụt. Tuỳ theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, 319
8. Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau: 1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. 2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. 3. Cách cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm. V. Phép chiếu song song 1. Phép chiếu song song l M Cho mặt phẳng và một đường thẳng l không song song với . Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng qua M song song với l sẽ cắt tại điểm M’. Điểm M’ được gọi là M’ hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng theo phương l. Mặt phẳng gọi là mặt phẳng chiếu. Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương l.  Chú ý: Nếu a // l thì hình chiếu của a lên là một điểm trên (chính là giao điểm của a với ), do vậy các tính chất trong phần sau chỉ xét những đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song song với l. 2. tính chất Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hệ quả: Hình chiếu song song của một tia là một tia, của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Tính chất 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. a a b b l l A A B B B’ b’ A’ a’ A’ a’b’ Tính chất 3: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ C số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc song song hoặc cùng l B nằm trên một đường thẳng. A Tức là: AB A'B' A’ C’ . B’ BC B'C' 320
9. 3. Hình biểu diễn của một hình không gian Ta thường vẽ các hình không gian như hình chóp, hình lăng trụ, trên bảng hay trên trang giấy, các hình vẽ đó gọi là hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng. Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu nào đó. Các yêu cầu đối với một hình biểu diễn: 1. Hình biểu diễn phải đúng: Để vẽ đúng chúng ta cần quan tâm tới các yếu tố được bảo toàn sau: a. Sự thẳng hàng và thứ tự của các điểm trên một đường thẳng. b. Sự song song của các đường thẳng, các tia hoặc các đoạn thẳng. c. Tỉ số độ dài của các đoạn thẳng cùng phương. Như vậy, các tính chất của hình không thay đổi qua phép chiếu song song đều được giữ nguyên trên hình biểu diễn. 2. Hình biểu diễn phải nổi: Giúp chúng ta dễ tưởng tượng. Chúng ta có: ▪ Tam giác: Một ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì (đều, cân, vuông). ▪ Hình bình hành: Một hình bình hành ABCD có thể xem là hình biểu diễn của các loại hình bình hành như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi và hình bình hành bất kì. ▪Đường tròn: Để biểu diễn đường tròn chúng ta sử dụng một hình Elíp. B Phương pháp giải các dạng toán liên quan Đ1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Dạng toán 1: Sử dụng các tính chất thừa nhận để xét vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp áp dụng 1. Để biết khi nào một điểm thuộc một mặt phẳng, ta có các kết quả sau: ▪ Giả sử (P) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C thì khi đó A, B, C đều thuộc (P). ▪ Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), thì khi đó điểm M thuộc a đều thuộc (P). 2. Để chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) ta đi chứng minh tồn tại hai điểm phân biệt A, B thuộc a và thuộc (P). ▪ Nếu mặt phẳng (P) cố định thì ta khẳng định được thêm rằng "Đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng cố định (P)". ▪ Nếu hai điểm A, B cố định thì ta khẳng định được thêm rằng "Mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng cố định a". 321
10. Thí dụ 1. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng.  Giải Với ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Giả sử: a  b = {A}, b  c = {B}, c  a = {C}. Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt. Do a, b, c phân biệt nên A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Vậy chúng xác định một mặt phẳng (ABC). Ta có: ▪ Đường thẳng a có hai điểm A, C thuộc (ABC), nên a (ABC). ▪ Tương tự b (ABC) và c (ABC). Vậy, ba đường thẳng a, b, c cùng thuộc một mặt phẳng (ABC). Trường hợp 2: Hai trong ba điểm A, B, C trùng nhau, giả sử A  B. Nếu A C thì a  c, mâu thuẫn. Do đó, ta phải có: A  C A  B  C a, b, c đồng quy. Vậy, ba đường thẳng a, b, c đồng quy.  Chú ý: Kết quả của ví dụ trên gọi ý một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Thí dụ 2. a. Cho n điểm (n 4) trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Chứng minh rằng không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. b. Cho n điểm (n 4) trong đó bất kì bốn điểm nào cũng đồng phẳng. Chứng minh rằng n điểm đó đồng phẳng.  Giải Với n điểm A1, A2, A3, A4, An. a. Giả sử trái lại có ba điểm A1, A2, A3 thẳng hàng, suy ra có bốn điểm A1, A2, A3, A4 đồng phẳng mâu thuẫn. b. Nếu các điểm A1, A2, A3, A4, An thẳng hàng thì rõ ràng chúng đồng phẳng. Nếu các điểm A1, A2, A3, A4, An không thẳng hàng thì tồn tại ba điểm không thẳng hàng (giả sử là A1, A2, A3), ta được mặt phẳng (A1A2A3). Vì bốn điểm bất kì của n điểm đã cho đều đồng phẳng, tức: (A1, A2, A3, Ai), i 4 đồng phẳng Ai (A1A2A3), i 4. Tức n điểm đã cho đồng phẳng. Thí dụ 3. Trong mặt phẳng , cho góc xÔy. A là điểm ngoài . M, N là hai điểm di động lần lượt trên Ox, Oy. 1. Giả sử OM = ON. Chứng minh rằng trung tuyến AP của AMN luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. 322
11. 2. Gọi d là đường thẳng cố định qua A và cắt tại một điểm không thuộc Ox, Oy. MN di động nhưng luôn cắt d. a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. b. Gọi B là điểm cố định trên d, B A và không thuộc . AM và BN cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng Q thuộc đồng thời hai mặt phẳng cố định. Suy ra Q thuộc một đường thẳng cố định.  Giải 1. Ta có: OM = ON P thuộc Oz là tia phân giác của góc xÔy cố định. Vậy, trung tuyến AP nằm trong mặt phẳng cố định (A, Oz). (d) 2. Giả sử d  = {P} cố định. A ( ) a. Ta có ngay: Q d  MN = {P} cố định. Vậy, đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định P. b. Ta có: B M x O ▪ Q BN  (B, Oy) cố định P Q (B, Oy) cố định. N ▪ Q AM  (A, Ox) cố định y Q (A, Ox) cố định. Vậy, điểm Q thuộc đường thẳng cố định là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định (A, Ox) và (B, Oy). Dạng toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp áp dụng Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, cụ thể để tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và (Q) ta b thường thực hiện: Q ▪ Tìm trong (P) đường thẳng a đi qua M. P M a ▪ Tìm trong (Q) đường thẳng b đi qua M. Khi đó M chính là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bước 2: Đường thẳng qua 2 điểm chung đó là giao tuyến. Thí dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có hai cạnh AB và CD cắt nhau. Gọi C' là một điểm nằm giữa S và C. Hãy tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABC') với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SAD).  Giải Ta có thể trình bày theo hai cách sau: 323
12. Cách 1: Từ giả thiết, giả sử AB cắt CD tại M. S Nối MC' cắt SD tại D', khi đó ta nhận được: (ABC')  (ABCD) = AB, D' (ABC')  (SAB) = AB, (ABC')  (SBC) = BC', I C' (ABC')  (SCD) = C'D', (ABC')  (SAD) = AD'. A D Cách 2: Giả sử AC cắt BD tại O. Trong mặt phẳng (SAC), ta có AC'  SO = {I}. O C Nối BI cắt SD tại D', khi đó ta nhận được: B (ABC')  (ABCD) = AB, (ABC')  (SAB) = AB, (ABC')  (SBC) = BC', M (ABC')  (SCD) = C'D', (ABC')  (SAD) = AD'.  Nhận xét: Tứ giác ABC'D' các cạnh nằm trên những giao tuyến của mặt phẳng (ABC') với các mặt của hình chóp S.ABCD. Tứ giác đó được gọi là thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ABC'). Thí dụ 2. Trong mặt phẳng , cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F, S là một điểm không thuộc . a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). b. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD). c. Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).  Giải S a. Ta có ngay S là điểm chung của (SAB) và (SCD). Mặt khác: E AB  (SAB) E (SAB). E CD  (SCD) E (SCD). A B E N Vậy, ta được SE = (SAB)  (SCD). M F C b. Tương tự câu a), ta được SF = (SAC)  (SBD). D c. Giả sử EF cắt AD và BC theo thứ tự tại M, N. Khi đó: ▪ (SEF) và (SAD) có hai điểm chung là S và M nên có giao tuyến là SM. ▪ (SEF) và (SBC) có hai điểm chung là S và N nên có giao tuyến là SN.  Chú ý: Trong câu c) chúng ta đã sử dụng ý tưởng trong phần chú ý của bài toán 2 để thực hiện tìm điểm chung thứ hai, cụ thể: ▪ Trong mặt phẳng (SEF) ta chọn đường thẳng EF. ▪ Trong mặt phẳng (SBC) ta chọn đường thẳng BC. ▪ Ta có EF và BC cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và EF  BC = {N}. ▪ Do đó N là điểm chung của hai mặt phẳng (SEF) và (SBC). Đối với ví dụ trên, điều này rất trực quan và thấy ngay được. Tuy nhiên, một vài bài toán các em học sinh cần hiểu được bản chất của vấn đề mới có được lựa chọn thích hợp. 324
13. Dạng toán 3: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp áp dụng Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P), giả sử a cắt (P). Để tìm giao điểm A của a và (P), ta lựa chọn một trong hai hướng sau: Hướng 1: Nếu trong mặt phẳng (P) có sẵn một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A chính là giao điểm của a và (P). Q Hướng 2: Thực hiện theo các bước: a Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a A sao cho giao tuyến c của (P) và P c (Q) dễ xác định. Bước 2: Trong (Q), đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P). Thí dụ 1. Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. a. Tìm giao điểm của đường thẳng SO và mặt phẳng (CMN). b. Xác giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN). S  Giải a. Trong mặt phẳng (SAC), ta có: N K = SO  CM (CMN) SO  (CMN) = K. M K b. Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài NK cắt SD tại E. B C Vậy, ta được (SAD)  (CMN) = ME. E O  Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên: A D i. Với câu a) chúng ta đã sử dụng hướng 1 để xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. ii. Việc sử dụng kết quả ở câu a) giúp chúng ta nhanh chóng thực hiện được câu b). Điều này cho thấy câu a) được đề xuất với gợi ý để thực hiện câu b). Các em học sinh cần làm quen dần với việc gặp các bài toán không có câu gợi ý, và khi đó để xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng các em cần linh hoạt sử dụng kiến thức trong việc xác định giáo điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Thí dụ 2. Trong mặt phẳng , cho tứ giác ABCD, S là một điểm không thuộc . M là điểm trên cạnh SC. a. Tìm giao điểm của AM và (SBD). b. Gọi N là một điểm trên cạnh BC, tìm giao điểm của SD và (AMN).  Giải a. Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa AM. 325
14. Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra: S (SAC)  (SBD) = SO. Trong mặt phẳng (SAC), ta có: SO  AM = O1 AM  (SBD) = O1. D1 b. Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. M O1 Gọi N1 là giao điểm của AN và BD, suy ra: A B N1 (SBD)  (AMN) = N1O1. N O Trong mặt phẳng (SBD), ta có: D C N1O1  SD = D1 SD  (AMN) = D1. Thí dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong SCD. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). b. Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). c. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).  Giải S a. Ta lần lượt thực hiện: ▪ Kéo dài SM cắt cạnh BC tại N. ▪ Nối BN cắt AC tại O. F Khi đó: M A (SBM)  (SAC) = SO. I E D b. Nối BM cắt cạnh SC tại I. Vậy, ta được I chính là giao điểm của BM và (SAC). O N c. Ta lần lượt thực hiện: C ▪ Nối AI cắt SC tại E. B ▪ Nối EM cắt SD tại F. Khi đó, các đoạn thẳng AB, BE, EF, FA là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (ABM) với hình chóp. Vậy, thiết diện là tứ giác ABEF. Dạng toán 4: Thiết diện của hình chóp Phương pháp áp dụng Để tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng (P), ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. 326
15. Thí dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM).  Giải Gọi I = KM  CD. Ta có hai trường hợp: A A H H I1 (a) I B D (b) B M1 D K M I K M C C Trường hợp 1: Điểm I thuộc đoạn CD (Hình a). Khi đó ta được ba đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó, thiết diện cần tìm là HIK. Trường hợp 2: Điểm I ở ngoài đoạn CD (Hình b). Khi đó: ▪ Gọi M1 = KM  BD. ▪ Nối IH cắt AD tại I1. Ta được 4 đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó, thiết diện cần tìm là tứ giác HKM1I1.  Nhận xét: Khi thực hiện ví dụ trên, một số em học sinh thường chỉ đưa ra được một trong hợp về thiết diện dựa theo tính chủ quan khi thiết lập vị trí của điểm M cho hình vẽ của mình. Cần luôn nhớ rằng có ba vị trí tương đối của điểm I (I thuộc đường thẳng CD, I khác C, D) so với đoạn thẳng CD. Các em học sinh hãy thực hiện thêm yêu cầu "Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AB. Trong tứ giác ABCD lấy điểm M. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (HKM)." Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc xác định thiết diện với điều kiện định lượng kèm theo. Thí dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P). S  Giải Gọi I là trung điểm BD, dựng Ix // AC và Ix cắt một trong hai cạnh CB hoặc CD (giả sử Ix cắt CD tại J). D J Khi đó, tam giác SAJ là thiết diện cần dựng. C I Bạn đọc cần đi chứng minh rằng "Đường thẳng AJ chia tứ O B giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau". A 327
16.  Hoạt động: Các em học sinh hãy thực hiện thêm yêu cầu "Cho hình chóp S.ABC, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P), biết mặt phẳng (P) đi qua SA và chia ABC thành hai phần có: a. Diện tích bằng nhau. b. Chu vi bằng nhau. Thí dụ 3. Cho tứ diện ABCD, độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, gọi P là trọng tâm BCD. Tính diện tích thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP).  Giải a. Xác định thiết diện: Trong BCD, ta thấy ngay N, P, D thẳng hàng. Suy ra MND là thiết diện cần dựng. b. Tính diện tích thiết diện. A Xét MND, ta có ngay: 1 MN = AB = a, vì MN là đường trung bình. M 2 B D 2a 3 2a 3 P ND = = a 3 , MD = = a 3 , N 2 2 C vì ND, MD là đường trung tuyến trong tam giác đều. như vậy MND cân tại D, gọi H là chân đường cao hạ từ D, ta được: D 1 1 2 2 S MND = MN.DH = MN DM MH 2 2 2 1 a a2 11 = a. (a 3)2 = . 2 2 4 M H N  Nhận xét: Như vậy, đi kèm với yêu cầu xác định thiết diện của hình chóp chúng ta thường gặp thêm đòi hỏi "Tính diện tích của thiết diện". Và để tính được diện tích của thiết diện, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định được hình dạng đúng của thiết diện, từ đó thiết lập công thức tính diện tích. (1) Bước 2: Sử dụng kiến thức trong hình học phẳng tính các giá trị về độ dài đoạn thẳng cần tìm hoặc số đo góc. (2) Bước 3: Thay (2) vào (1), ta nhận được kết quả. Tuy nhiên, trong những trường hợp thiết diện không phải là hình cơ bản chúng ta cần thực hiện phép chia nhỏ hình hoặc nguyên lí phần bù để tính được diện tích của nó. Thí dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là là điểm đối xứng với D qua C, K là là điểm đối xứng với D qua B. a. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a). 328
17.  Giải a. Xác định thiết diện: Ta có ngay: ▪ Nối I và K cắt AB tại M. ▪ Nối I và J cắt AC tại N. Suy ra IMN là thiết diện cần dựng. b. Tính diện tích thiết diện: Diện tích IMN sẽ được tính bằng công thức Hê rông. Ta lần lượt có: A 2 2a ▪ Vì M là trọng tâm ADK nên AM AB . I 3 3 M Khi đó, trong AIM ta có: D N B K IM2 = AI2 + AM2 2AI.AM.cosA 2 2 2 C a 2a a 2a 0 13a 2. . .cos60 2 3 2 3 36 J a 13 IM . 6 2 2a ▪ Vì N là trọng tâm ADJ nên AN AC . Khi đó: 3 3 a 13 AIM = AIN IN = IM . 6 ▪ Từ hai khẳng định trên, suy ra: MN AM 2 2 2a MN // BC MN BC . BC AB 3 3 3 Từ đó, ta được: a 13 a a a a 13 a a 2 S . . . . IMN 6 3 3 3 6 3 6  Hoạt động: Trong ví dụ trước, với thiết diện là ta giác cân chúng ta đi tính độ dài đường cao của nó, từ đó nhận được diện tích thiết diện. Tuy nhiên, trong ví dụ trên chúng ta lại sử dụng công thức Hê rông với mục đích giúp các em học sinh ôn tập thêm các công thức tính diện tích tam giác. Khi có thêm kiến thức về phép chiếu trong không gian, các em học sinh có thể sử dụng một cách khác để tính diện tích IMN. Dạng toán 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp áp dụng Q Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh A B C chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó P chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. 329
18. Thí dụ 1. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.  Giải Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F, ta đi chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng. Trước tiên, ta thấy ngay ba điểm D, E, F thuộc mặt phẳng (P). C Mặt khác, ta có: D BC  (ABC) D (ABC). B E CA  (ABC) E (ABC). A F AB  (ABC) F (ABC). Vậy, ta được: P D E F (ABC)  (P) = {D, E, F} D, E, F thẳng hàng.  Chú ý: Việc chứng minh được ba điểmA, B, C thẳng hàng với C cố định, chúng ta thực hiện được yêu cầu "Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định". Thí dụ 2. Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm A, B cố định ở ngoài (P) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm C. M là điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A1, B1. Chứng minh A1B1 luôn đi qua một điểm cố định.  Giải M Trước tiên, ta thấy C là một điểm cố định. Nhận xét rằng: A B  (MAB) = {A1, B1, C} A1, B1, C thẳng hàng P O B1 C A1B1 luôn đi qua điểm cố định C. Dạng toán 6: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp áp dụng Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng a Q minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm b I chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường c thẳng thứ ba. P Thí dụ 3. Trong mặt phẳng , cho BCD, A là một điểm không thuộc . Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng quy.  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: 330
19. Cách 1: Gọi O là giao điểm của HF và IG. Ta có: A O HF  (ACD) O (ACD). O IG  (BCD) O (BCD). E F Suy ra: B I O (ACD) (BCD) = CD. C Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại O. G O Cách 2: Gọi O là giao điểm của HF và CD. Ta có: D O HF  (HEF) O (HEF). H O CD  (BCD) O (BCD). Suy ra: O (HEF) (BCD) = CD. Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại O. Cách 3: Gọi O là giao điểm của IG và CD Bạn đọc tự thực hiện.  Nhận xét: Như vậy, ba cách giải trong ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ. Thí dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là giao điểm của hai cạnh bên của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD. a. Chứng minh rằng bốn điểm S, E, M, G cùng thuộc một mặt phẳng ( ) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một giao tuyến d. b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). c. Lấy một điểm K trên đoạn SE và gọi C’ = SC  KB, D’ = SD  KA. Chứng minh rằng AC’, BD’ và đường thẳng d nói trên đồng quy.  Giải a. Vì ABCD là hình thang nên: EM đi qua trung điểm của CD G EM S, E, M, G cùng thuộc mặt phẳng ( ). b. Giả sử AC cắt BD tại O thì O EM, từ đó suy ra ba mặt phẳng ( ), (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO. S Ta có ngay: (SAD)  (SBC) = SE. c. Giả sử AC' cắt BD' tại O', suy ra: D' K C' O' AC'  (SAC) O' (SAC), A M B O' BD'  (SBD) O' (SBD), O từ đó, suy ra: D G C O' (SAC)  (SBD) = d. E Thí dụ 5. Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy. 331