Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 1, Phần 1: Đơn điệu của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 1, Phần 1: Đơn điệu của hàm số (Có hướng dẫn)

1. CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là : • Đồng biến trên K nếu với mọi x1 ,x2 K , x1 x2 f x1 f x2 • Nghịch biến trên K nếu với x1 ,x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I • Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f' x 0 với mọi x I • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f' x 0 với mọi x I 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : • Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I • Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I • Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f' x 0 trên khoảng a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b • Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f' x 0 trên khoảng a; b thì hàm số f nghịch biến trên a; b . • Ta có thể mở rộng định lí trên như sau Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f'(x) 0 với x I ( hoặc f'(x) 0 với x I ) và f'(x) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình. 5
2. P(x) *Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = (trong đó P(x) là đa Q(x) thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f'(x) 0 (f'(x) 0) . ax b *Nếu hàm số f là hàm nhất biến , f(x) với a,b,c,d là các số thực và ad – bc 0 thì cx d hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f'(x) 0(f'(x) 0). B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH . Phương pháp . B1.Tìm tập xác định của hàm số f B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm x0 sao cho f '(x0 ) = 0 hoặc f '(x0 ) không xác định . B3. Lập bảng xét dấu f '(x) ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số . B4. Kết luận. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 2 4x 2x 1 1. y 2. 1 x x 1 Lời giải. 1. Tập xác định : D ¡ \ 1 2 Ta có: y' 0 x D ,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . (x 1)2 Giới hạn lim y 4 , lim y 4; lim y , lim y x x x 1 x 1 Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - 4 + y 4 - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1; ) 6
3. 2. Tập xác định : D ¡ \ 1 1 Ta có: y' 0 x D , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định . (x 1)2 Giới hạn lim y 2 , lim y 2; lim y , lim y x x x 1 x 1 Bảng biến thiên: x - -1 + y' + + + y 2 2 - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và ( 1; ) Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: x2 x2 x 5 1. y 2. y 1 x x 2 Lời giải. 1. Tập xác định : D ¡ \ 1 x2 2x Ta có: y' (1 x)2 x 0 , y 0 x D: y' 0 x 2 , y 4 Giới hạn lim y , lim y ; lim y , lim y . x 1 x 1 x x Bảng biến thiên: x - 0 1 2 + y' - 0 + + 0 - + + y 0 CT CÑ -4 - - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;0) và ( 2; ) ; 7
4. Hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2). 2. Tập xác định : D ¡ \ 2 3 Ta có: y' 1 0 x D, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác (x 2)2 định. Giới hạn lim y , lim y ; lim y , lim y x 2 x 2 x x Bảng biến thiên: x - -2 + y' - - + + y - - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 2) và ( 2; ) x3 4x 8 Ví dụ 3. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: f(x) x 2 Lời giải. Tập xác định : D ¡ \ 2 (3x2 4)(x 2) (x3 4x 8) 2x3 6x2 Ta có: f'(x) (x 2)2 (x 2)2 x D: f'(x) 0 2x3 6x2 0 x 0 hoặc x 3 Giới hạn: lim f(x) , lim f(x) ; lim f(x) , lim f(x) . x 2 x 2 x x Bảng biến thiên: x - 0 2 3 + f'(x) - 0 - - 0 + + + + f(x) 23 -4 CT - 8
5. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; 3 ; Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: x3 1. y x3 – 3x2 4 2. y x2 3x 1 3 Lời giải. Tập xác định : D ¡ Ta có: y' 3x2 – 6x x 0 , y(0) 4 x D: y' 0 x 2 , y(2) 0 3 3 4 3 3 4 Giới hạn: lim y lim x 1 , lim y lim x 1 x x x x3 x x x x3 Bảng biến thiên: x - 0 2 + y' + 0 - 0 + + y yCÑ 4 yCT - 0 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; ) ; Hàm số nghịch biến trên 0; 2 . 2. Tập xác định : D ¡ 2 Ta có: y' x2 2x 3 x 1 2 0 x D , suy ra hàm số đồng biến trên ¡ Giới hạn: lim y , lim y x x Bảng biến thiên x - + y' + + y - Ví dụ 5. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 9
6. 1 1. y x4 2x2 – 4 2. y x4 2x2 2 4 Lời giải. 1. Tập xác định : D ¡ Ta có: y' 4x3 4x 4x(x2 1) x D: y' 0 x 0 ,y(0) 4 4 2 4 4 2 4 Giới hạn: lim y lim x 1 ; lim y lim x 1 x x x2 x4 x x x2 x4 Bảng biến thiên x - 0 + y' - 0 + + + y -4 CT Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ); Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0 ) 2. Tập xác định : D ¡ Ta có: y' x3 4x x(x2 4). x 0 , y(0) 2 x D: y' 0 x 2 , y( 2) 2 Giới hạn: lim y ; lim y x x Bảng biến thiên x - -2 0 2 + y' - 0 + 0 - 0 + + + y CÑ 2 -2 -2 CT CT Hàm số đồng biến trên hai khoảng (- 2;0) và (2;+ ); Hàm số nghịch biến trên hai khoảng (- ; - 2) và (0;2). Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 10
7. 7 2 3 3 1. y 9x7 7x6 x5 12 2. y x5 x4 x2 2x 1 5 5 4 2 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . 2 Ta có: y' 7x4 3x 1 . 1 1 y' 0 với x 0 hoặc x và y' 0 với mọi x 0 , x . 3 3 1 1 Hàm số đồng biến trên nửa khoảng ;0 , đoạn 0; và nửa khoảng ; . Từ 3 3 đó suy ra hàm số đồng biến trên ¡ . 2. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y' x2 1 2x2 3x 2 . y' 0 x 1 hoặc x 1 vì 2x2 3x 2 0, x ¡ . Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; , nghịch biến trên khoảng 1;1 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: x 2 2x 1 1. y 2. y x 1 x 1 2x 1 3x 1 2. y 4. y x 1 2 4x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: x2 4x 4 4x2 5x 5 1. y 2. y x 1 x 1 x2 x 1 x2 2x 1 3. y 4. y x 1 x 2 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y x3 3x2 2 x3 3x2 2. y 2x 4 4 3 2 3. y x3 2x2 x 3 3 4. y x3 6x2 9x 3 5. y x3 3x2 24x 26 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y 2x4 4x2 2. y x4 6x2 8x 1 1 3 1 3. y x4 x2 1 4. y x4 x3 4x 1 4 2 4 11
8. 2 Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên ¡ : y x9 x6 2x3 3x2 6x 1 . 3 Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC. Phương pháp . Nhận xét: • Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức ( y' ). • Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức y f2(x) , khi đó tại những điểm mà f(x) 0 thì hàm số không có đạo hàm. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y 1 x3 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ;1 . 3x2 Ta có: y' 2 1 x3 y' 0 khi x 0 và y' 0 khi x ;1 và x 0 . Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng ;1 . Chú ý: y' 0 tại x 0 thì hàm số không đổi trên nửa khoảng ;1 . Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y x 3 3 2x x2 Lời giải. . Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 3;1 . 2x x 3 Ta có: y' , hàm số không có đạo hàm tại x 3, x 1 3 2x x2 3 x 1 Với x 3;1 : y' 0 x 0 2x x 3 0 Bảng biến thiên x 3 0 1 y' 0 3 3 y Hàm số đồng biến trên hai khoảng 3;0 ,hàm số nghịch biến trên hai khoảng 0;1 12
9. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y x2 2x 2. y x3 2x 2 3 2 3. y 3x x 4. y x 1 x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y x 2x x2 2. y 2x 1 9 x2 2 3. y x x 20 4. y x 1 2 x2 3x 3 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: x x 3 1. y 2. y x2 1 x2 1 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y x 1 2. y x2 2x 3 Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y x2 2x 3 2. y x2 4x 3 2x 3 Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC Ví dụ x2 Ví dụ . Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: y x4 1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . 2x 1 x4 Ta có: y' . Với x ¡ : y' 0 x 1 hoặc x 0 hoặc x 1 2 x4 1 Bảng xét dấu: x 1 0 1 y' 0 0 0 Trên khoảng x ; 1  0;1 : y' 0 y đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 ; Trên khoảng x 1;0  1; : y' 0 y nghịch biến trên các khoảng x 1;0 và 1; . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 4x 5 12x 1 2 1. y 2. y 3x x 1 2 2 3. y 4x 4 12x 2 x2 x 1 13
10. Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Phương pháp . Vì y' 0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên ¡ . Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên ¡ bằng định nghĩa. Với x1 ,x2 ¡ , x1 x2 , khi đó luôn tồn tại khoảng (a; b) chứa x1 ,x2 Do y' 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) y(x1) y(x2 ) hàm số nghịch biến trên Chú ý: • Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác chúng ta cần lưu ý là đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm. Khi đó để xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ, ta sẽ chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu. • Đối với hàm đa thức nếu tất cả các hệ số không đồng thời bằng 0 thì nó chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm. Ví dụ Ví dụ . Chứng minh rằng hàm số : y cos2x 2x 3 nghịch biến trên ¡ Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y' 2sin 2x 2 2 1 sin2x 0, x ¡ và y' 0 khi x k , k ¢ . Vì y' 0 tại vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch 4 biến trên ¡ . Với x1 ,x2 ¡ và x1 x2 , khi đó luôn tồn tại khoảng a; b chứa x1 ,x2 . Do y' 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng a; b nên hàm số nghịch biến trên khoảng a; b khi đó y x1 y x2 hàm số nghịch biến trên ¡ . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. y 2sin x cos2x với x 0; 2. y sin 2x 2cosx 2x với x ; 2 2 Bài 2 1. Chứng minh rằng hàm số y sin 2x 2x 1 luôn nghịch biến trên ¡ . 2. Chứng minh rằng hàm số y 3 sin x cosx 2x 1 luôn đồng biến trên ¡ . 3. Tìm m để hàm số y 2x m sin x 1 đồng biến trên ¡ . 4. Tìm m để hàm số y 2cos2x mx 3 đồng biến trên ¡ . 1 1 Bài 3 Tìm tham số m để hàm số: y mx sin x sin 2x sin 3x đồng biến trên ¡ . 4 9 14
11. Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định. Phương pháp . B.1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho. B.2. Tính f’(x) ,vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong chương trình (xem phần tóm tắt giáo khoa) Chú ý. Để giải bài toán dạng này ,ta thường sử dụng các tính chất sau. Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a 0) thế thì . 0 * x ¡ (hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) 0 . a 0 0 * x ¡ (hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) 0 a 0 Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH. Phương pháp . • Tìm TXĐ • Tính y’ • Hàm số đồng biến trên ¡ y' 0,x ¡ ( Hàm số nghịch biến trên ¡ y' 0,x ¡ Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm liên tục trên D • Hàm số đồng biến trên I  D f'(x) 0, x I và f'(x) 0 có hữu hạn nghiệm. • Hàm số đồng biến trên I  D f'(x) 0, x I và f'(x) 0 có hữu hạn nghiệm. Các ví dụ mx 4 Ví dụ 1: Định m để hàm số y luôn đồng biến trên từng khoảng xác định x m Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ \{ m} ; m  m; m2 4 Ta có: y' (x m)2 Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ; m và m; y' 0 , x D m2 4 0 m 2 hoặc m 2 Vậy, với m 2 hoặc m 2 thì hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ; m và m; 15
12. Ví dụ 2 : Định m để hàm số luôn đồng biến: 1. y x3 3x2 mx m 2. y mx3 (2m 1)x2 (m 2)x 2 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m Cách 1: Hàm số luôn đồng biến trên ¡ y' 0,x ¡ , thì phải có ' 0 , tức 9 3m 0 hay m 3 Vậy, với m 3 thì hàm số luôn đồng biến trên ¡ . Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên ¡ y' 0,x ¡ , thì phải có m 3x2 6x . Xét hàm số g x 3x2 6x trên ¡ và có g' x 6x 6 , g' x 0 x 1 Bảng biến thiên: x 1 g'(x) 0 3 g(x) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x) với x ¡ m 3 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3mx2 2(2m 1)x m 2 ' 0 Hàm số luôn đồng biến trên ¡ y' 0,x ¡ , thì phải có , tức 3m 0 4m2 4m 1 3m(m 2) 0 (m 1)2 0 hay m 0 m 0 m 0 Vậy, với m 0 thì hàm số luôn đồng biến trên ¡ . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 Bài 1: Tìm a để hàm số y x3 ax2 4x 3 đồng biến trên ¡ 3 Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . mx 3 2m 2x2 m 2 x 3m 1 1. y 2. y x m x 1 Bài 3: Tìm m để hàm số: x3 1. y (m 2) (m 2)x2 (3m 1)x m2 đồng biến trên ¡ . 3 2. y (m 1)x3 3(m 1)x2 3(2m 3)x m nghịch biến trên ¡ . 16
13. 1 3. y m2 1 x3 m 1 x2 3x luôn nghịch biến trên ¡ . 3 2 3 2 3 4. y mx x 2 x 4 đồng biến trên tập xác định của nó. 3 3 5. y x 1 m x2 1 đồng biến trên ¡ . 3x2 mx 2 Bài 4: Tìm m để hàm số: y nghịch biến trên từng khoảng xác định. 2x 1 Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH. Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: 1 1 y x3 m m 1 x2 m3x m2 1 3 2 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . 2 Ta có y' x2 m m 1 x m3 và m2 m 1 m 0 thì y' x2 0,x ¡ và y' 0 chỉ tại điểm x 0 . Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ;0 và 0; . Do đó hàm số đồng biến trên ¡ . 2 m 1 thì y' x 1 0,x ¡ và y' 0 chỉ tại điểm x 1. Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ;1 và 1; . Do đó hàm số đồng biến trên ¡ . m 0,m 1 khi đó y' 0 x m hoặc x m2  Nếu m 0 hoặc m 1 thì m m2 . Bảng xét dấu y' : x m m2 y' 0 0 Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ; m và m2 ; , giảm trên khoảng m; m2 .  Nếu 0 m 1 thì m m2 Bảng xét dấu y' : x m2 m y' 0 0 Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ; m2 và m; , giảm trên khoảng m2 ; m . 17
14. Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng xác định. Phương pháp . Tìm điều kiện để hàm số y f (x) ax3 bx2 cx d đơn điệu trên khoảng ( ;  ) . Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y f (x) 3ax2 2bx c . 1. Hàm số f đồng biến trên ( ;  ) y 0,x ( ;  ) và y 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) . Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f (x) 0 h(m) g(x) (*) thì f đồng biến trên ( ;  ) h(m) maxg(x) ( ; ) • Nếu bất phương trình f (x) 0 h(m) g(x) ( ) thì f đồng biến trên ( ;  ) h(m) min g(x) ( ; ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x . Khi đó ta có: y g(t) 3at2 2(3a b)t 3a 2 2b c . a 0 a 0 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ;a) g(t) 0,t 0 hoặc 0 S 0 P 0 a 0 a 0 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; ) g(t) 0,t 0 hoặc 0 S 0 P 0 2.Hàm số f nghịch biến trên ( ;  ) y 0,x ( ;  ) và y 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) . Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f (x) 0 h(m) g(x) (*) thì f nghịch biến trên ( ;  ) h(m) maxg(x) ( ; ) • Nếu bất phương trình f (x) 0 h(m) g(x) ( ) thì f nghịch biến trên ( ;  ) h(m) min g(x) ( ; ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x . Khi đó ta có: y g(t) 3at2 2(3a b)t 3a 2 2b c . 18
15. a 0 a 0 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ;a) g(t) 0,t 0 hoặc 0 S 0 P 0 a 0 a 0 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; ) g(t) 0,t 0 hoặc 0 S 0 P 0 Chú ý: 2 1. Phương trình f x ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 0 x2 P 0 . x1 0 x2 P 0 . 0 0 0 x1 x2 P 0 x1 x2 0 P 0 S 0 S 0 0 x x 0 1 2 x1 x2 0 P 0 b c Trong đó : S x x , P x .x . 1 2 a 1 2 a 2. Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì: x D,f(x) 0 minf(x) 0 . x D 3. Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì x D,f(x) 0 maxf(x) 0 . x D 4. Cho hàm số y f(x) liên tục trên D * f(x) k x D minf(x) k ( nếu tồn tại minf(x) ) D D * f(x) k x D maxf(x) k ( nếu tồn tại maxf(x) ). D D Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K ; , ; , ; , ; . Phương pháp . Chú ý 1: * Hàm số y f x,m tăng trên ¡ y' 0 x ¡ min y' 0 . x ¡ * Hàm số y f x,m giảm trên ¡ y' 0 x ¡ max y' 0 . x ¡ Chú ý 2: Đặt f x ax2 bx c a 0 . 19
16. • f x 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn : x1 x2 . Đặt t x , khi đó g t f t . Bài toán trở thành g t 0 có hai nghiệm trái dấu tức t1 0 t2 P 0 . • f x 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn : x1 x2 . Đặt t x , khi đó g t f t . Bài toán trở thành g t 0 có hai nghiệm cùng âm nghĩa là t1 t2 0 0, S 0, P 0 . • f x 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn  x1 x2 . Đặt t x  , khi đó g t f t  . Bài toán trở thành g t 0 có hai nghiệm cùng dương nghĩa là 0 t1 t2 0, S 0, P 0 . • Để ý f x 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn: 2 x1 x2 x1 x2 0 x1.x2 x1 x2 0 0 0 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 0 x1 x2 0 x1 x2  0, 2 x1 x2 2, x1 x2 0, x1  x2  0 . Ví dụ Ví dụ . (m 1)x2 2mx 6m Cho hàm số y . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: x 1 1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2. Đồng biến trên khoảng 4; Lời giải. TXĐ: D ¡ \ 1 1. Xét hai trường hợp. 2x 6 4 TH1: Khi m 1 , ta có hàm số y và y' > 0 với mọi x D x 1 (x 1)2 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định . Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán. (m 1)x2 2(m 1)x 4m TH2: Khi m 1 , ta có y' (x 1)2 Đặt g(x) (m 1)x2 2(m 1)x 4m và ta có y' cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định x D,y' 0 x D ,g(x) 0 . ' (m 1)2 4m(m 1) 0 (m 1)(5m 1) 0 1 1 m . m 1 0 m 1 5 20
17. 1 Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là 1; . 5 2. Theo câu trên m 1 thỏa mãn đề bài. Với m 1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng 4; 2x x2 x (4; ),g(x) 0 x (4; ), m x2 2x 4 (do x2 2x 4 0 x (4; )) 2x x2 Xét hàm h x , khi đó (1) x (4; ),h(x) m ta lập bảng biến thiên x2 2x 4 của h x trên (4; ) . 8x 8 h'(x) 0 x (4; ). (x2 2x 4)2 2 2 2 x 1 1 x lim h(x) lim lim x 1. x x 2 2 4 x 2 4 x 1 1 x x2 x x2 Dựa vào bảng biến thiên của h x suy ra x (4; ) , h(x) m 1 m . Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [ 1; ) . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 2x 1 1. y nghịch biến trên (2; ) x m mx 4 2. y nghịch biến trên khoảng ;1 . x m 2x2 3x m 3. y đồng biến trên khoảng ( ; 1) . x 1 x2 2mx 3m2 4. y nghịch biến trên khoảng ( ;1) . 2m x x2 5x m2 6 5. y đồng biến trên khoảng 1; . x 3 mx2 6x 2 6. y nghịch biến trên nửa khoảng 1; . x 2 Bài 2: Định m để hàm số : 1. y x3 (1 2m)x2 (2 m)x m 2 đồng biến trên khoảng (0; ) . 2. y x3 3x2 mx 4 đồng biến trên khoảng ( ;0) . 21
18. x3 3. y mx2 (1 2m)x 1 đồng biến trên 1; . 3 3 2 2 4. y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1) đồng biến trên 2; 1 5. y mx3 2 m 1 x2 m 1 x 2013 đồng biến trên khoảng 2; . 3 3 2 2 6. y x m 1 x 2m 3m 2 x 2013m 2m 1 đồng biến trên nửa 2; Bài 3: Định m để hàm số : 1. y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x 1 đồng biến trên khoảng (2; ) 2. y x3 (m 1)x2 (2m2 3m 2)x nghịch biến trên (2; ) 1 3. y (m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1 (m 1) nghịch biến trên khoảng ( ; 2) . 3 1 4. y mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1 đồng biến trên (2; ) . 3 5. y x3 3x2 mx 4 nghịch biến trên khoảng 0; . 6. y 2x3 2x2 mx 1 đồng biến trên khoảng 1; . Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH ; , ; . Phương pháp . Ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y x3 3x2 (m 1)x 4m nghịch biến trong 1;1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m 1 Cách 1: Hàm số nghịch biến trong khoảng 1;1 y' 0 và x1 1 1 x2 x1 1 x2 1 0 m 4 m 8 x1 1 x2 1 0 m 8 Vậy, với m 8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng 1;1 Cách 2: Hàm số nghịch biến trong khoảng 1;1 y' 0 , x 1;1 tức là phải có: m 3x2 6x 1, x 1;1 Xét hàm số g x 3x2 6x 1, x 1;1 và có g' x 6 x 1 Với x 1;1 x 1 0 g'(x) 0 , x 1;1 22
19. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x) với x 1;1 m 8 Vậy, với m 8 thì hàm số luôn nghịch biến trong khoảng 1;1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 1. y x4 2mx2 3m 1 đồng biến trên khoảng (1; 2). 3 2 2. y x (m 2)x (3m 2)x 2 đồng biến trên đoạn 3; 4 Bài 2: Tìm m để hàm số: 1 1. y x3 2m 1 x2 mx 2 nghịch biến trên khoảng 0;1 . 3 x3 2. y (m 1)x2 (2m 1)x m nghịch biến trên (0; 3) . 3 3. y x3 3x2 3(m2 1)x 1 đồng biến trên (1; 2) . 3 2 4. y x – 3x 2m 1 x – 4. biến trên [ 2; 1] 5. y x3 3x2 m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 . 6. y mx3 x2 3x m 2 đồng biến trên khoảng 3;0 . Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước. Phương pháp . + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng đồng biến ( hoặc nghịch biến ) y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 đồng thời x2 x1 k Chú ý: b b ax2 bx c 0 có 2 nghiệm x ,x (giả sử x x ) thỏa x , x 1 2 1 2 1 2a 2 2a 2 x x , trong đó b2 4ac x x k x x 4x .x k2 ( a 0 ) 2 1 2a 2 1 1 2 1 2 Các ví dụ Ví dụ 1 : Định m để hàm số y x3 3x2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 y' 0 và x1 x2 1 23
20. 9 3m 0 m 3 3 2 m 3 S 4P 1 4 4m 1 4 3 Vậy, với m 3 thì hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 4 Ví dụ 2. Tìm m để hàm số: y x3 mx2 m 36 x 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y' 3x2 2mx m 36 và ' m2 3m 108 Dễ thấy ay' 3 0 , do đó hàm số đã cho không nghịch biến trên ¡ . Nếu m 9 hoặc m 12 tức ' 0 thì y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Lập bảng xét dấu, ta thấy y' 0 với x x1; x2 suy ra hàm số nghịch biến với x x1; x2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 khi x1 x2 4 2 tức m2 3m 108 2 4 2 , bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình: 3 m2 3m 180 0 m 12 hoặc m 15 ( thỏa điều kiện ) . Vậy, với m 12 hoặc m 15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 1. y x3 3x2 mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 2. y 2x3 3mx2 1 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 2 m 1 3. y x3 x2 m2 m x 1nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3 3 2 Bài 2: Định m để hàm số : 1. y x3 3x2 (m 1)x 2m 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 Bài 3: Tìm m để hàm số: 1. y m 1 x3 3 m 1 x2 2mx 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 2. y x3 mx2 m 36 x 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 . 3. y x3 3x2 mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 24