Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 2, Phần 2: Cực trị của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 2, Phần 2: Cực trị của hàm số (Có hướng dẫn)

1. Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f. Bước 2. Tính f'(x) . Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và x0 (a; b) .Thế thì điểm x0 là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu khi x đi qua x0 ”. Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có). Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. * Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức y P x , giả sử y ax b P' x h x khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x0 h x0 và y h x gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số, vì P x là hàm đa thức nên P' x0 0 y x0 ax0 b P' x0 h x0 h x0 (đpcm) . u x Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y khi đó nếu x là điểm cực v x 0 u' x0 trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: y x0 . v' x0 u' x Và y là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. v' x u' x v x v' x u x Chứng minh: Ta có y' v2 x y' 0 u' x v x v' x u x 0 . Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số thì u' x0 u x0 x0 là nghiệm của phương trình y x0 . v' x0 v x0 Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU. Phương pháp . Giả sử y' ax2 bx c 70
2. Hàm số có hai điểm cực trị dương y' 0 có hai nghiệm dương phân biệt : 0 x1 x2 a 0, 0, x1 x2 0, x1.x2 0 . Hàm số có hai điểm cực trị âm y' 0 có hai nghiệm âm phân biệt x1 x2 0 a 0, 0, x1 x2 0, x1.x2 0 . Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu y' 0 có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 a 0, x1.x2 0 . Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu y1.y2 0 . Ví dụ : Định m để hàm số y x3 3mx2 3(m2 1)x m3 có cực trị trái dấu . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6mx 3(m2 1) Hàm số có cực trị trái dấu nhau khi và chỉ khi y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 2 thỏa mãn x1 0 x2 9(m 1) 0 1 m 1 Vậy, với 1 m 1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : mx3 1. y mx2 x 1 có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu. 3 2. y x3 6x2 3 m 2 x m 6 đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 3. y x3 3mx2 3(m2 1)x 6m 2 có hai cực trị trái dấu. Bài 2: Tìm m để hàm số : x3 1. y (m 1)x2 (6 2m)x m đạt cực trị tại hai điểm trái dấu. 3 2. y (m 1)x3 3(m 1)x2 2mx m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng d : x 1 . 3. y x3 (2m 1)x2 3mx m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau. Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Phương pháp . Giả sử y' ax2 bx c Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung y1.y2 0 . Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x1.x2 0 . 71
3. Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành y1 y2 0, y1.y2 0 . Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành y1 y2 0, y1.y2 0 . Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành y1.y2 0 . Các ví dụ 3 2 Ví dụ 1 : Cho hàm số y x 3x mx m – 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Xác định m để Cm có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x3 3x2 mx m – 2 0 1 x 1 hoặc g(x) x2 2x m 2 0 2 Cm có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi 1 có 3 nghiệm phân biệt tức phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 3 m 0 m 3 g( 1) m 3 0 Vậy, với m 3 thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. 1 Ví dụ 2 : Cho hàm số y x3 mx2 (2m 1)x 3 ( m là tham số) có đồ thị là 3 Cm . Xác định m để Cm có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' x2 2mx 2m 1 Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung m 1 m2 2m 1 0 y 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 1 2m 1 0 m 2 1 Vậy, với m 1 thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía 2 đối với trục tung. 72
4. Ví dụ 3 : Cho hàm số y x3 (2m 1)x2 (m2 3m 2)x 4 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Xác định m để Cm có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' x2 2m 1 x (m2 3m 2) Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung y 0 có 2 nghiệm trái dấu 3(m2 3m 2) 0 1 m 2 . Vậy, với 1 m 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x4 2mx2 4 . Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị đều nằm trên các trục toạ độ Bài 2: Tìm m để hàm số : 1. y 2x3 mx2 12x 13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. mx2 3mx 2m 1 2. y có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai x 1 phía với trục Ox . Bài 3 Với giá trị nào của m ¡ thì đồ thị của hàm số mx2 m2 1 x 4m3 m y tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư x m thứ II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt phẳng tọa độ. Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC. Phương pháp . 1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB.  d – Giải điều kiện: . I d 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) . 3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B 73
5. là lớn nhất (nhỏ nhất). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị). – Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. Cực trị hàm đa thức bậc 3: 1. Hàm số: y ax3 bx2 cx d a 0 2. Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c 3. Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt. Hoành độ x1 ,x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0 . 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị 2 Giả sử ' b 3ac 0 khi đó y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 với 2 x b b 3ac và hàm số đạt cực trị tại x ,x 1,2 3a 1 2 Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là: 2 2 y y x y b b 3ac ; y y x y b b 3ac 1 1 3a 2 2 3a Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. 2 Bước 1: Thực hiện phép chia y cho y' ta có: y 1 x b y' 2 c b x d bc 3 9a 3 3a 9a hay y y'.q(x) r(x) với bậc r x 1 2 b2 bc y1 y x1 r x1 c x1 d y' x1 0 3 3a 9a Bước 2: Do nên y' x 0 2 2 y y x r x 2 c b x d bc 2 2 2 3 3a 2 9a Hệ quả: Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y r x Đối với hàm số tổng quát : y ax3 bx2 cx d (a 0) thì đường thẳng đi qua cực 2 đại, cực tiểu có phương trình: y 2 c b x d bc 3 3a 9a Chú ý: Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1 : y k1x b1 , d2 : y k2x b2 thì k k tan 1 2 1 k1k2 74
6. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y px q . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1 – Giải điều kiện: k p (hoặc k ). p 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y px q một góc . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. k p – Giải điều kiện: tan . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k tan ) 1 kp Các ví dụ 3 2 Ví dụ 1 : Cho hàm số y x 3mx 3m 1 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6mx Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x m 0 1 2 uuur Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m 1), B(2m; 4m3 3m 1) AB(2m; 4m3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m; 2m3 3m 1) ur Đường thẳng d : x 8y 74 0 có một VTCP u (8; 1) . I d m 8(2m3 3m 1) 74 0 A và B đối xứng với nhau qua d uuur ur  AB d AB.u 0 m 2 Vậy, với m 2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 . Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau: 3 2 ‘’ Cho hàm số y x 3mx 3m 1 có đồ thị là Cm . Tìm trên đồ thị hàm số điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 ’’. 75
7. 3 2 Ví dụ 2 : Cho hàm số y x 3x mx 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Xác định m để Cm có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ' 9 3m 0 m 3 Gọi hai điểm cực trị là A x1; y1 ; B x2 ; y2 1 1 2m m Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y x y' 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m y1 y x1 2 x1 2 ; y2 y x2 2 x2 2 3 3 3 3 2m m Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y 2 x 2 3 3 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng 2m 3 y x 1 2 1 m (thỏa mãn) 3 2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1 y1 y2 x1 x2 2m m yI xI 1 1 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 2 2 3 3 2m 2m 3 .2 6 m 0 3 3 3 Vậy, các giá trị cần tìm của m là: m , m 0 thì đồ thị của hàm số có các điểm 2 cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1. 3 2 Ví dụ 3 : Cho hàm số y x 3x mx 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Tìm m để Cm có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4x 3 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x 6x m Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ' 9 3m 0 m 3 76
8. Gọi hai điểm cực trị là A x1; y1 ; B x2 ; y2 1 1 2m m Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y x y' 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m y1 y x1 2 x1 2 ; y2 y x2 2 x2 2 3 3 3 3 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d : 2m m y 2 x 2 3 3 Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d : y 4x 3 2m 2 4 3 m 3 (thỏa mãn) m 2 3 3 Vậy, m 3 thỏa mãn bài toán. 3 2 Ví dụ 4 : Cho hàm số y x 3x mx 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Tìm m để Cm có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x 4y – 5 0 một góc 450 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ' 9 3m 0 m 3 Gọi hai điểm cực trị là A x1; y1 ; B x2 ; y2 1 1 2m m Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y x y' 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m y1 y x1 2 x1 2 ; y2 y x2 2 x2 2 3 3 3 3 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2m m y 2 x 2 3 3 2m 1 Đặt k 2 . Đường thẳng d : x 4y – 5 0 có hệ số góc bằng . 3 4 77
9. 1 1 1 3 39 k k 1 k k m Ta có: tan 45o 4 4 4 5 10 1 1 1 5 1 1 k k 1 k k m 4 4 4 3 2 1 Đối chiếu điều kiện , suy ra giá trị m cần tìm là: m 2 1 Vậy, với m thỏa mãn bài toán. 2 3 2 Ví dụ 5 : Cho hàm số y x 6mx 9x 2m ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ 4 O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng . 5 Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 12mx 9 Hàm số có 2 điểm cực trị phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt , tức phải có: 3 3 ' 4m2 3 0 m hoặc m (*) 2 2 x 2m Khi đó ta có: y .y (6 8m2 )x 4m đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị 3 3 của đồ thị hàm số (1) có PT là: : y (6 8m2 )x 4m 4m 4 Theo bài toán d(O, ) 64m4 101m2 37 0 (6 8m2 )2 1 5 37 m 1 hoặc m . Đối chiếu điều kiện, ta thấy m 1 thỏa. 8 Vậy, với m 1 thỏa mãn bài toán. 3 2 Ví dụ 6 Giả sử đồ thị y = mx - 3mx + (2m + 1)x + 3- m , có đồ thị Cm có 2 1 cực trị . Tìm m để khoảng cách từ I ;4 đến đường thẳng đi qua 2 cực trị của 2 Cm là lớn nhất. Lời giải. TXĐ: D ¡ 2 Ta có: y' 3mx 6mx 2m 1 78
10. Để Cm có 2 cực trị khi và chỉ khi y' 0 có 2 nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu m 0 2 m 0 m 1 lần qua mỗi nghiệm đó , tức là ta luôn có: 2 hoặc 3m 3m 0 Với m 0 hoặc m 1 thì Cm luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa 2 mãn phương trình 3mx 6mx 2m 1 0 . 1 2 1 Và y x 1 3mx 6mx 2m 1 2 2m x 10 m , suy ra 3 3 1 y 2 2m x 10 m do là đường thẳng đi qua 2 cực trị. 3 1 Đặt : y 2 2m x 10 m : 2 2m x 3y 10 m 0 3 2m 1 1 Cách 1: d I; 2 18 6 2 2m 9 1 2 2m 1 2m 1 1 5 Hay d I; 2 , đẳng thức xảy ra khi m . 2 2 3 2 1 1 2m 1 2 2 5 Vậy, với m thì max d I; 2 . 2 1 Cách 2: Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định M ;3 với m ¡ . 2 Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên , khi đó d I; IN IM , do đó khoảng cách từ I đến bằng IM khi và chỉ khi IM  tức kIM.k 1 2 2m 5 .1 1 m . 3 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x3 3x2 mx . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cho có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y 5 0 . Bài 2: Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 9x m 2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y 0 . Bài 3: 79
11. 1. Cho hàm số y x3 mx2 7x 3 . Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y 3x 7 . 1 2. Tìm m để hàm số: y x3 mx2 5m 4 x 2 có cực đại , cực tiểu và đường 3 thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d : 8x 3y 9 0 Bài 4: Tìm m để hàm số : 1. y x3 3mx 3m 1 (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng có phương trình x y 0 x3 2. y (m 1)x2 4mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho trung điểm 3 của đoạn thẳng nối hai điểm này thuộc đường thẳng d : 2x – 3y 0 x2 2mx 2 3. y có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó x 1 đến đường thẳng : x y 2 0 bằng nhau. Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x3 3(m 1)x2 6m(1 2m)x 1. Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y 4x . 2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y x 1. Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: x2 2mx m 1. y có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường x 1 thẳng : x 2y 4 0 2. y x3 3x2 m2x m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : d : x 2y 5 0 . Bài toán 04: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC. Phương pháp . 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 ( ; ) hoặc K2 ( ; ) . y' f(x) 3ax2 2bx c . Đặt t x , khi đó: y' g(t) 3at2 2(3a b)t 3a 2 2b c Hàm số có cực trị thuộc K1 ( ; ) Hàm số có cực trị thuộc K2 ( ; ) 80
12. Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; ) Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; ) f(x) 0 có nghiệm trên ( ; ) . f(x) 0 có nghiệm trên ( ; ) . g(t) 0 có nghiệm t 0 ' 0 ' 0 P 0 hoặc S 0 P 0 hoặc S 0 P 0 P 0 3. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 ,x2 thoả: a) x1 x2 b) x1 x2 c) x1 x2 y' f(x) 3ax2 2bx c . Đặt t x , khi đó: y' g(t) 3at2 2(3a b)t 3a 2 2b c a) Hàm số có hai cực trị x1 ,x2 thoả x1 x2 g(t) 0 có hai nghiệm t1 ,t2 thoả t1 0 t2 P 0 b) Hàm số có hai cực trị x1 ,x2 thoả x1 x2 ' 0 g(t) 0 có hai nghiệm t1 ,t2 thoả t1 t2 0 S 0 P 0 c) Hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả x1 x2 ' 0 g(t) 0 có hai nghiệm t1 ,t2 thoả 0 t1 t2 S 0 P 0 Các ví dụ 3 2 Ví dụ 1 : Cho hàm số y (m 2)x 3x mx 5 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3(m 2)x2 6x m Đồ thị Cm có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương y' = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 81
13. a (m 2) 0 ' 9 3m(m 2) 0 ' m2 2m 3 0 3 m 1 m P 0 m 0 m 0 3 m 2 3(m 2) m 2 0 m 2 3 S 0 m 2 Vậy, với 3 m 2 thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương. 3 2 Ví dụ 2 : Cho hàm số y x 3(m 1)x 9x m ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 ,x2 sao cho x1 x2 2 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6(m 1)x 9 Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ' (m 1)2 3 0 m 1 3 hoặc m 1 3 . Theo định lý Viet ta có x1 x2 2(m 1), x1x2 3. 2 2 Khi đó: x1 x2 2 x1 x2 4x1x2 4 4 m 1 12 4 (m 1)2 4 3 m 1 Vậy, 3 m 1 3 và 1 3 m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3 : Cho hàm số y x3 (1 2m)x2 (2 m)x m 2 ( m là tham số) có đồ thị 1 là C . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x , x sao cho x x . m 1 2 1 2 3 Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 2(1 2m)x 2 m Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt 5 x ; x ' (1 2m)2 3(2 m) 4m2 m 5 0 m 1 hoặc m 1 2 4 2(1 2m) 2 m Theo định lý Viet ta có x x ,x x 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 x x x x x x 4x x 1 2 3 1 2 1 2 1 2 9 3 29 3 29 4(1 2m)2 4(2 m) 1 16m2 12m 5 0 m hoặc m 8 8 82
14. 3 29 Vậy, m 1 hoặc m là giá trị cần tìm. 8 1 Ví dụ 4 : Cho hàm số: y x3 m 2 x2 5m 4 x 3m 1 . Với giá trị nào của 3 m thì hàm số đạt cực trị tại tại những điểm có hoành độ x1 ,x2 sao cho x1 2 x2 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Ta có: y' x2 2 m 2 x 5m 4 và y' 0 x2 2 m 2 x 5m 4 0 Đồ thị hàm số đã cho có cực trị khi phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt, 2 nghĩa là phải có : ' m 2 5m 4 0 m2 9m 0 m 0 hoặc m 9 Khi m 0 hoặc m 9 thì đồ thị cho có cực trị tại những điểm có hoành độ x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình Để thỏa mãn điều kiện x1 2 x2 ta cần có : x1 2 x2 2 0 x1.x2 2 x1 x2 4 0 x x 2(2 m) Theo định lý viét, ta có 1 2 x1x2 5m 4 Nên có 5m 4 2.2(2 m) 4 0 9m 0 m 0 Vậy, m 0 thỏa mãn đề bài. Ví dụ 5 : Cho hàm số y x3 3x2 3mx 2. Tìm giá trị của tham số thực m sao cho 2 2 hàm số có cực đại, cực tiểu và các cực trị x1 , x2 thỏa mãn 3x1 2x2 77 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Ta có: y' 3x2 6x 3m. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y' 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó tức là phải có ' 9 9m 0 m 1 b x x 2 1 2 a Áp dụng Viet cho x , x ta có 1 2 c x x m 1 2 a 2 2 2 2 2 2 2 3x1 2x2 77 2 x1 x2 4x1x2 x1 77 2.2 4m x1 77 x1 69 4m 1 2 2 Mà x1 là nghiệm của phương trình y' 0 3x1 6x1 3m 0 x1 2x1 m 2 69 5m Từ 1 và 2 ta được 69 4m 2x m x 1 1 2 83
15. 2 69 5m 2 Thay vào 1 ta được: 69 4m 25m 674m 4485 0 2 299 m 15 hoặc m thỏa điều kiện m 1 25 299 Vậy, m 15 hoặc m thỏa yêu cầu bài toán. 25 Ví dụ 6 : Cho hàm số: y x3 (1 2m)x2 (2 m)x m 2 . Với giá trị nào của m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2;0) . Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Ta có: y 3x2 2(1 2m)x 2 m và y 0 g(x) 3x2 2(1 2m)x 2 m 0 Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc ( 2;0) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và có ít 2 x1 x2 0 (1) nhất 1 nghiệm thuộc ( 2;0) 2 x1 0 x2 (2) x1 2 x2 0 (3) 4m2 m 5 0 2 ' 4m m 5 0 2m 1 x x 2 0 2 1 2 0 3 10 Th1: (1) 2 4(2m 1) 2 m m 1 4 0 7 x 2 x 2 0 1 2 3 3 x x 0 2 m 1 2 0 3 4m2 m 5 0 ' 4m2 m 5 0 m 2 g 0 2 m 0 2m 1 Th2: (2) 2 m 2 x1 2 x2 2 0 3 x 2 x 2 0 2 m 4 2m 1 1 2 4 0 3 3 4m2 m 5 0 ' 4m2 m 5 0 3m 5 0 g 2 10 6m 0 5 Th3: (3) 2m 1 m 1 0 3 x1 x2 0 3 x x 0 2 m 1 2 0 3 5 Vậy, m ; 1  2; là giá trị cần tìm. 3 84
16. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 3 2 1. Cho hàm số y 4x mx 3x .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 4x2 . 1 m 3 3 2. Tìm các giá trị của m để hàm số: y m 1 x3 x2 3 m x m có 3 2 2 cực trị và số 2 nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số. 3. Tìm các giá trị của m để hàm số: y x3 3 m 1 x2 3m2 7m 1 x m2 1 có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 4. Tìm các giá trị của m để hàm số: y mx3 (2m 1)x2 mx 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có hoành độ lớn hơn 1. 1 5. Cho hàm số y x3 mx2 mx 1 , với m là tham số thực. Xác định m để hàm 3 số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 8 1 1 6. Cho hàm số y x3 mx2 (m2 3)x . Tìm các giá trị của m để hàm số cho có 3 2 5 các điểm cực trị x ,x với x 0,x 0 và x2 x2 . 1 2 1 2 1 2 2 x2 m x 1 7. Cho hàm số y có hai cực trị x1;x2 thỏa mãn x 2 1 1 x2 x2 6 . 1 2 x1 x2 x2 m2x 2m2 5m 3 8. Tìm tham số m để hàm số: y đạt cực tiểu tại x x 0; 2m , m 0 . 2 9. Tìm m để hàm số : y (x m)(x 3x m 1) có cực đại và cực tiểu x1 , x2 thoả x1.x2 1 . 2x2 3x m 10. Tìm m để đồ thị hàm số: y có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm x m có hoành độ x1 ,x2 thỏa mãn y(x1) y(x2 ) 8 . Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: mx2 x m 1. y có cực đại và cực tiểu có hoành độ x ,x và y x y x 4 x m 1 2 2 1 85
17. 2x2 3x m 2 2. y có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x ,x x 2 1 2 thỏa mãn y x2 y x1 8 . 1 3. y mx3 3mx2 3m 1 x 2 có cực đại tại x 3;0 . 3 1 4. y x3 mx2 2m 1 x 2 có 2 điểm cực trị dương. 3 3 2 5. y x 3x mx 2 có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ,x2 3 thỏa mãn: x1 4x1 x2. Bài 3: 1. Cho hàm số y x3 (1 – 2m)x2 (2 – m)x m 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. m 2. Cho hàm số y x3 (m 2)x2 (m 1)x 2 . Tìm m để hàm số có cực đại tại 3 x1 , cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 x2 1. x3 3. Cho hàm số y mx2 2(5m 8)x 1. Xác định tham số m để hàm số đạt cực 3 trị tại hai điểm có hoành độ bé hơn 1. 4. Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 3 m 1 x2 3m2 7m 1 x m2 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 5. Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 – 3x2 6m 3 x – 3m đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ lớn hơn 2 . 6. Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 6x2 3mx 2 m số có điểm cực đại y1 y2 M( x1; y1) và điểm cực tiểu M2(x2 ; y2 ) thỏa mãn điều kiện 0 (x1 x2 )(x1x2 2) 1 3 1 2 Bài 4 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = x - (m + 4)x + (2m + 5)x + 1 3 2 1. Có hai cực trị lớn hơn - 1 ; 4. Có hai cực trị nhỏ hơn 4 ; 2. Có đúng một cực trị lớn hơn - 1 ; 5. Có một cực trị trong khoảng (3;5); 3 3. Có ít nhất một cực trị lớn hơn ; 6. Không có cực trị. 2 1 Bài 5: Cho hàm số : y = x3 mx2 (m2 m 1)x 1 . Tìm m để hàm số có cực trị : 3 1. Trong khoảng ( ;1) . 2. Trong khoảng (1; ) . 86
18. 3. x1 ,x2 thoả mãn x1 1 x2 . 4. x1 ,x2 thoả mãn 1 x1 x2 . 1 Bài 6: Cho hàm số y x3 ax2 3ax 4 . Tìm a để hàm số cho đạt cực trị tại x , x 3 1 2 x 2 2ax 9a a2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: 1 2 2 2 2 a x2 2ax1 9a Bài 7: 1. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y 3x 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. 2. Cho hàm số y x3 (m 1)x2 2(m 2)x 4 .Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 1 x1 ,x2 sao cho biểu thức: P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất x1x2 mx2 4x m 3 Bài 8: Cho hàm số: y 1 x 2 1.Với giá trị nào của m thì hàm số 1 có hai cực trị cùng dấu; 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y 3 x 10 cắt đồ thị hàm số 1 tại hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 ; y2 . Trong trường hợp này, tìm một hệ thức giữa y1 và y2 độc lập đối với m . Bài 9: Tìm tham số m để hàm số: 2x2 mx 2m 1 1. y có hai điểm cực trị x ,x thỏa mãn 2 x 1 x 0 . x 1 1 2 1 2 2. y x3 3 m 1 x2 3m m 2 x 12m 8 có hai điểm cực trị A và B sao cho AM BM nhỏ nhất, với M 3; 2 . 3. y x3 1 2m x2 2 m x m 2 có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. x2 m2x 2m2 5m 3 4. y đạt cực tiểu tại x 0; 2m , m 0 . x Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC. Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ. Phương pháp . 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. 87
19. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện S IAB S . 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện S IAB S . 3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều. – Tìm điều kiện để phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A. uuur uuur – Giải điều kiện: ABC vuông tại A AB.AC 0 ; ABC đều AB BC 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trước. – Tìm điều kiện để phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A. – Kẻ đường cao AH. 1 – Giải điều kiện: S S AH.BC . ABC 2 Ví dụ 1 1. Tìm tham số thực m để hàm số: y x4 2 m 1 x2 m 1 có 3 cực trị A,B,C sao cho: OA BC , O là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,C là 2 điểm cực trị còn lại. Đề thi Đại học khối B – năm 2011 2. Cho hàm số y x4 2(m 1)x2 m2 1 ,với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012 3. Cho hàm số y x3 3mx2 3m3 1 , m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Đề thi Đại học khối B– năm 2012 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ y' 4x3 4 m 1 x y' 0 x 0 hay x2 m 1 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y' 0 và đổi dấu 3 lần qua nghiệm x hay x2 m 1 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 1 0 tức m 1 . Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị 88