Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 4: Tâm đối xứng của đồ thị, phép tịnh tiến (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 4: Tâm đối xứng của đồ thị, phép tịnh tiến (Có hướng dẫn)

1. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ, PHÉP TỊNH TIẾN. A. CHUẨN KIẾN THỨC I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG. 1. Định nghĩa . Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f x trên a; b và f có đạo hàm cấp hai trên a; b . Ta nói : C lồi trên a; b nếu tại mọi điểm của C , tiếp tuyến luôn ở phía trên C . C lõm trên a; b nếu tại mọi điểm của C , tiếp tuyến luôn ở phía dưới C . Điểm I thuộc C ngăn cách giữa phần lồi , phần lõm của C gọi là điểm uốn của C . 2. Định lí . Cho hàm số y f x có đạo hàm câp hai trên a; b và gọi C là đồ thị của hàm số . a) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc a; b thi C là đồ thị lồi trên khoảng đó . b) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc a; b thì C là đồ thị lõm trên khoảng đó. c) Nếu f''(x) đổi dâu khi x đi qua x0 thuộc a; b thì điểm I x0 ;f x0 là điểm uốn của C . II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. y Y Giả sử I x0 ;f x0 là một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Phép tịnh tiến theo vectơ y M uur Y OI biến hệ tọa độ Oxy thành hệ tọa độ IXY. y0 I X Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng . X * (x;y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ Oxy. * (X;Y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ IXY. O x0 x x Ta có công thức chuyển hệ tọa độ : x X x 0 . y Y y0 III. ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ Lập phương trình của ảnh của một đường. 106
2. x h(x') 1. Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có công thức tọa độ là y g(y') (nghĩa là F biến M(x; y) thành M'(x'; y') khi và chỉ khi x,y,x',y' thỏa hệ này). Gọi (C') là ảnh của (C) : y f(x) qua phép biến hình F. Hãy lập phương trình của (C) . 2. Cho phép biến hình F và hai đường (C1),(C2 ) . Dựng các điểm M,N lần lượt thuộc (C1),(C2 ) sao cho N là ảnh của M qua phép biến hình F. Cách giải: 1. Vì (C') là ảnh của (C) : y f(x) qua phép biến hình F. nên với M'(x'; y') tùy ý x h(x') thuộc (C') tồn tại M(x; y) thuộc (C) sao cho F(M) M' . Do đó, ta có y g(y') Vì M(x; y) (C) nên y f(x) . Vì vậy ta được g(y') f(h(x')) . Vậy, phương trình của (C') là g(y) f(h(x)) . / / 2. Gọi (C1) là ảnh của (C1) qua phép biến hình F. Ta có N F(M) F((C1)) (C1) / nên N là giao điểm của (C2 ) và (C1) . Dựa vào tính chất của F ta tìm được M. Chú ý 1: Cho hàm số y f x , có đồ thị C . 1.Nếu f x là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - có nghĩa là , trục Oy là trục đối xứng của nó . 2. Nếu f x là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Cho hai điểm A x1; y1 ,B x2 ; y2 và đường thẳng d : mx ny p 0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : kAB.kd 1 , trung y2 y1 điểm I của AB thuộc đường thẳng d , trong đó kAB x2 x1 4. Cho điểm I x0 ; y0 , nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI x x X thì công thức chuyển trục là : 0 y y0 y Khi đó phương trình của đồ thị C trong hệ mới : Y F X; y0 ; x0 Chú ý 2 : - Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Phương pháp giải 107
3. Công thức tọa độ của phép tịnh tiến. r r r Trong mặt phẳng Oxy , cho véc tơ v (a; b) . Gọi Tv là phép tịnh tiến theo véc tơ v . r Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép tịnh tiến Tv khi và chỉ khi x' x a x x' a y' y b y y' b r Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến Tv là (C') : y b f(x a) y f(x a) b . Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Cách 1 - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x0 . Gọi điểm I x0 ;0 uur OI x x X - Chuyển Oxy  IXY 0 y Y - Viết phương trình đường cong C trong tọa độ mới : Y F X; y0 ; x0 - Buộc cho là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng O ) - Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm . Cách 2. Nếu với x x0 là trục đối xứng thì : f( x x0 ) f x0 x đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả . Các ví dụ uuuur Ví dụ 1 : Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN (3;0) . Phân tích hướng giải. r Giả thiết bài toán cho ta thấy ngay rằng N là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv , với r v (3;0) . Theo hướng giải của bài toán dựng điểm bằng phép biến hình, ta nghĩ ngay đến việc r tìm ảnh (C') của (C) qua phép tịnh tiến Tv . Khi đó ta "dựng" được N là giao điểm của (C') và (C) . Lời giải. r Gọi (C') Tv (C) thì (C') có phương trình là y 0 (x 3)3 3(x 3) 3 y x3 9x2 24x 15 . r r Vì M (C) nên N Tv (M) Tv (C) (C') . Do đó, N là giao điểm của (C) và (C') . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C') là x3 3x 3 x3 9x2 24x 15 . Phương trình này có hai nghiệm là x 1 hoặc x 2 . uuuur * Khi x 1 ta được N(1;1) . Vì MN (3;0) nên M( 2;1) . uuuur * Khi x 2 ta được N(2; 5) . Vì MN (3;0) nên M( 1; 5) . 108
4. Ví dụ 2 : Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN song song với trục hoành và MN 3 . Phân tích hướng giải. Giả thiết bài toán cho biết phương của đường thẳng (MN) và độ dài của MN là uuuur không đổi. Vì vậy véc tơ MN là được xác định, sai khác nhau về hướng. Lời giải. uuuur r r Vì MN song song với trục hoành nên MN k.i , với i (1;0) là véctơ đơn vị của trục hoành. uuuur r uuuur r Do MN 3 nên k 3 k 3 . Nếu k 3 thì MN 3v NM 3v . Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N nên ta chỉ cần xét trường hợp uuuur r MN 3.i (3;0) . Theo bài toán ta được hai cặp điểm là M( 2;1) và N(1;1) hoặc M( 1; 5) và N(2; 5) . 2x 3 Ví dụ 3: Tìm điểm M thuộc C : y sao cho khoảng cách từ M đến d : x 2 y x 4 bé nhất. Phân tích hướng giải. uuuur r Nhưng nếu gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì HM k.n (k; k) , r với n (1;1) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) . Với mỗi k cố định ta cần dựng điểm H (d) , điểm M (C) sao cho M là ảnh của H qua phép tịnh tiến theo r véc tơ v(k; k) . Lời giải. uuuur r r Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì HM k.n (k; k) , với n (1;1) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) . r r Gọi (d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến Tv với v (k; k) . Ta có phương trình của (d') là: y k (x k) 4 y x 2k 4 r r Vì M Tv (H) Tv (d) (d') và M thuộc (C) nên hoành độ của M là nghiệm của 2x 3 phương trình: x 2k 4 x2 2(k 2)x 4k 5 0 . x 2 Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ' k2 1 0 k 1 . Suy ra khoảng cách từ M đến (d) là HM k 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xM 1 (ứng với k 1 ) hoặc xM 3 (ứng với k 1 ) Vậy, M(1;1) hoặc M(3; 3) là tọa độ cần tìm. 109
5. x4 3 Ví dụ 4 Chứng minh rằng đồ thị y x2 có duy nhất một trục đối xứng 2 2 vuông góc với trục Ox . Lời giải. Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Giả sử x m là một trục đối xứng khác của đồ thị hàm số đang xét. Với mọi điểm M x0 ; y0 bất kỳ thuộc đồ thị và M' x0 '; y0 ' là điểm đối xứng với x x ' 2m M qua đường thẳng x m , thì tọa độ điểm M' được xác định bởi 0 0 y0 y0 ' Vì M' thuộc đồ thị hàm số, nên tọa độ của nó là nghiệm phương trình: 4 4 x ' 3 2m x 2 3 y ' 0 x2 ' 0 2m x 0 2 0 2 2 0 2 4 4 x 3 2m x 2 3 Vì y y ' nên có: 0 x2 0 2m x , x . 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 Tức x 2m x 2 x 2m x 0 đúng với x . 0 0 0 0 0 2 2 Nhận thấy, không tồn tại m để đẳng thức x0 2m x0 2 đúng với x0 . Do 2 2 vậy, x0 2m x0 0 đúng với x0 khi m 0 . Vậy, x 0 là trục đối xứng duy nhất của đồ thị của hàm số. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 Bài 1: Tìm m để (C) : y x3 3x 3 và d : y x m cắt nhau tại ba điểm mà m 3 trong đó có hai điểm M,N sao cho MN 5 . Bài 2: Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN song song với trục hoành và MN lớn nhất. Bài 3: Cho hàm số y x4 4x3 7x2 6x 4, có đồ thị C . Chứng minh rằng đường thẳng x 1 là trục đối xứng của đồ thị C . ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? ) 4 3 2 Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x 4x mx , có đồ thị là Cm , có trục đối xứng song song với trục Oy . Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi SI là phép đối xứng tâm I. 110
6. x' 2a x x 2a x' Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi y' 2b y y 2b y' Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI là (C) : 2b y f(2a x) y f(2a x) 2b Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Cách 1. - Giả sử đồ thị C có tâm đối xứng là I x0 ; y0 uur OI x x X - Chuyển : Oxy  IXY 0 y y0 Y - Viết phương trình C trong hệ tọa độ mới : Y F X; y0 ; x0 - Buộc cho là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả . Cách 2. Nếu đồ thị C nhận điểm I làm tâm đối xứng thì : f(x0 x) f(x0 x) 2y0 với mọi x Các ví dụ x 3 Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị (C) : y có tâm đối xứng là điểm I( 2;1) . x 2 Lời giải. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm SI thì (C') có phương trình là [2 ( 2) x] 3 x 3 2 1 y y . [2 ( 2) x] 2 x 2 Do (C') trùng với (C) nên (C) có tâm đối xứng là I( 2;1) . Chú ý: Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo x X x công thức I y Y yI Viết phương trình của (C) trong hệ trục tọa độ IXY rồi chứng minh hàm số thu được là hàm số lẻ. Ví dụ 2. Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị C : y x3 3mx2 m 2 x 1 nằm trên trục hoành .Biết rằng hoành độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y'' 0 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Ta có : y' 3x2 6mx m 2 111
7. y'' 6x 6m và y'' 0 x m . 3 2 Dễ thấy y'' đổi dấu khi x qua điểm x0 m . Suy ra I m; 2m m 2m 1 là điểm uốn của đồ thị đã cho. Vì I Ox 2m3 m2 2m 1 0 m 1 2m2 m 1 0 1 m 1 hoặc m 1 hoặc m . 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x 1. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị y x 1 x2 2. Chứng minh y có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng x 1 Bài 2: Cho hàm số y x3 3x2 1có đồ thị là C 1. Xác định điểm I thuộc đồ thị C của hàm số đã cho , biết rằng hoành độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y'' 0 . uur 2. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI và viết phương trình đường cong C đối với hệ IXY . Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy .Chứng minh rằng trên khoảng ;1 đường cong C nằm phía dưới tiếp tuyến tại điểm I của C và trên khoảng 1; đường cong C nằm phía trên tiếp tuyến đó. 3 2 Bài 3: Cho hàm số y x m 3 x 2 3m x 2m có đồ thị là Cm , m là tham số thực. Gọi I là điểm có hoành độ là nghiệm đúng phương trình y'' 0 . Tìm tham số m để đồ thị của hàm số có cực trị và điểm I nằm trên trục Ox . Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng 1. Nếu f x; m là hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J a; b a x - Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0 m b y0 2. Nếu f x; m là hàm số bậc ba . y''(x; m) 0 x a - Tìm tọa độ điểm uốn : J a; b y f(x; m) y b 112
8. a x - Tương tự , để I là tâm đối xứng , ta cho J trùng với I ta suy ra hệ : 0 m b y0 Các ví dụ 2m x Ví dụ 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm m ¡ để trên C tồn x m m m tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A. Trong đó A 0;1 và I m; 1 . Lời giải. uur Ta có: AI m; 2 . 2m b uuur m 2b Vì điểm B Cm B b; AB b; . m b m b uuur uur AB  AI AB.AI 0 Tam giác ABI vuông cân tại A 2 2 AB AI AB AI m 2b m 2b bm mb 2. 0 1 m b m b 2 2 2 2 2 m 2b 2 2 bm m 4 b m 4 b 2 m b 2 m2 b2 Từ 2 m2 4 b2 1 1 b 2 . 4 4 m 4 Nếu b 2 thì 1 m m2 3m 4 0 m 1 hoặc m 4 . m 2 m 4 Nếu b 2 thì 1 m m2 3m 4 0 m 1 m 2 hoặc m 4 . Vậy m 1, m 4 là những giá trị cần tìm. Ví dụ 2. Cho hàm số y x4 mx3 4x m 2 . Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đã cho có 3 cực trị A,B,C và trọng tâm G của tam giác ABC trùng với tâm đối 4x xứng của đồ thị hàm số y . 4x m Lời giải. 4x m Đồ thị của hàm số y có tâm đối xứng là I ; 1 4x m 4 Hàm số : y x4 mx3 4x m 2 , liên tục trên ¡ . Ta có : y' 4x3 3mx2 4 Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt , hay phương trình 4x3 3mx2 4 0 có 3 nghiệm phân biệt. 113
9. Xét hàm số g x 4x3 3mx2 4 liên tục trên ¡ và lim g x , lim g x x x x 0,g 0 4 0 2 Ta có : g' x 12x 6mx g' x 0 m m 16 m3 x ,g 2 2 4 g' x đổi dấu 2 lần qua nghiệm và g x 0 có 3 nghiệm phân biệt khi m 0 2 m 2 3 2 . 16 m3 0 4 Giả sử A x1; y1 ,B x2 ; y2 ,C x3 ; y3 là tọa độ 3 cực trị thỏa mãn đề bài, khi đó x m 3m2x2 5m y y 3x 2 4 16 16 4 3m2x2 5m y i 3x 2,y ' 0 i 1,2,3 . i 16 i 4 i x x x y y y Vì G là trọng tâm tam giác ABC , nên G 1 2 3 ; 1 2 3 3 3 x x x m2 5m G 1 2 3 ; x2 x2 x2 x x x 2 1 2 3 1 2 3 3 16 4 3 2 Do x1 ,x2 ,x3 là nghiệm của phương trình 4x 3mx 4 0 , theo định lý Vi-et ta có 3m x x x 1 2 3 4 x1x2 x2x3 x3x1 0 x1 x2 x3 m 3 4 2 2 9m x2 x2 x2 x x x 2 x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 16 m 9m4 5m Khi đó G ; 2 và trọng tâm G của tam giác ABC trùng với tâm đối 2 4 16 4 4x xứng của đồ thị hàm số y khi và chỉ khi 4x m m 9m4 5m m G ; 2  I ; 1 m 4 9m3 36m2 144m 64 0 2 4 16 4 4 m 4 . Vậy m 4 thỏa mãn đề bài . Chú ý : Ngoài cách giải trên ta có thể trình bày : 114
10. Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình 4x3 3mx2 4 0 có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó 4x3 4 phương trình 3m có 3 nghiệm phân biệt khác 0 . Nói khác hơn đường x2 4x3 4 thẳng y 3m cắt đồ thị của hàm số h x , tại 3 giao điểm . Đến đây đã dễ x2 dàng. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 1. Tìm m để hàm số y x3 3x2 3mx 3m 4 có tâm đối xứng I 1; 2 2x2 m 4 x 2m 1 2. Tìm m để hàm số y có tâm đối xứng I 2;1 x 2 x3 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y 3mx2 2 m 0 có tâm đối xứng I 1;0 m 3 2 Bài 3: Cho hàm số y x (3m 1)x 2mx m 1 có đồ thị là (Cm ) . 1. Tìm trên đồ thị (C2 ) những cặp điểm đối xứng qua O 2. Tìm m để trên (Cm ) tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua Oy Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một đường thẳng. Phương trình của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi SI là phép đối xứng tâm I. x' 2a x x 2a x' Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi: y' 2b y y 2b y' r Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến theo véc tơ v là (C') : 2b y f(2a x) y 2b f(2a x) . Phương trình của phép đối xứng qua đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( ) : Ax By C 0, A2 B2 0. Gọi S là phép đối xứng qua đường thẳng ( ) . Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua S khi và chỉ khi (Ax By C) (Ax' By' C) x' x 2A x x' 2A A2 B2 A2 B2 (Ax By C) (Ax' By' C) y' y 2B y y' 2B A2 B2 A2 B2 Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một đường thẳng. 115
11. Cho đường cong C có phương trình y f x và một điểm M x0 ; y0 (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua điểm M . 2. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua đừng thẳng d : y kx m . Cách giải: 1. Gọi N x; y thuộc C : y f x là một điểm bất kỳ . x' 2x0 x 1 - Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : N' x'; y' C' y' 2y0 y 2 x 2x x' - Từ 1 và 2 ta có : 0 , Thay x,y tìm được vào : y f x ,ta suy ra y 2y0 y' y' g x'; x0 ; y0 . Đó chính là phương trình của đường cong C' . 2. Gọi A x; y C y f(x); B x'; y' C' - Nếu C và C' đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d : y' y k 1 1 k .k 1 x' x AB d I d y' y x x' k b 2 2 2 Ở 1 và 2 thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong 1 và 2 để được một phương trình có dạng y' g x' . Đó chính là phương trình của C' cần tìm . Chú ý: Xét phép biến hình g : M x,y M’ x’; y’ . Để tìm phương trình C' ,ảnh của C qua phép biến hình g , ta tính x và y theo x’ và y’ sau đó thay x, y vào phương trình của C sẽ suy ra được phương trình của C' . Đặc biệt. Cho C : y = f(x) * Nếu C' đối xứng với C qua gốc tọa độ O thì phương trình C' là y = - f( -x). * Nếu C' đối xứng với C qua trục hoành độ thì phương trình C' là y = - f(x). * Nếu C' đối xứng với C qua trục tung độ thì phương trình C' là y = f( -x). * Nếu C' đối xứng với C qua đường thẳng y = x thì phương trình C' : x = f(y). Các ví dụ 116
12. 3x 1 Ví dụ 1 : Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y qua x 3 đường thẳng d : x y 3 0. Lời giải. Gọi A x; y thuộc C và B x'; y' thuộc C' x x' x I 2 y y' Gọi I là trung điểm của AB nên có: và k , k 1 y y' AB x x' d y I 2 Nếu C' đối xứng với C qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d y y' . 1 1 kAB.kd 1 x x' y y' x x' y x y' x' ; I d x x' y y' x y x' y' 6 y x y' x' 6 3 0 2 2 y x' 3 10 10 x' 3 3 y' x y' 3 y' 3 3 x' 10 Vậy, phương trình hàm số C' đối xứng với C là y x Ví dụ 2 : Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 4) và cắt (C) : y x3 3x 2 tại ba điểm mà có hai trong ba điểm đó đối xứng nhau qua A . Lời giải. Giả sử đường thẳng ( ) đi qua A và cắt (C) tại ba điểm mà trong đó có hai điểm M(x1; y1) , N(x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua A . Ta có M,N thuộc (C) và M,N đối xứng nhau qua A nên chúng là giao điểm của (C) và ảnh (C') của (C) qua phép đối xứng SA . Phương trình của (C') là 2 4 y (2 1 x)3 3(2 1 x) 2 y x3 6x2 9x 4 . Vì M,N là giao điểm của (C) và (C') nên x1 ,x2 là nghiệm của phương trình x3 3x 2 x3 6x2 9x 4 3x2 6x 1 0 . Thực hiện phép chia (x3 3x 2) cho (3x2 6x 1) ta được 3 2 1 2 4 8 x 3x 2 (3x 6x 1) x x . 3 3 3 3 2 Vì M,N thuộc (C) và x1 ,x2 là nghiệm của phương trình 3x 6x 1 0 nên 117
13. 1 2 4 8 2 4 8 y1 (3x1 6x1 1) x1 x1 y x 3 3 3 3 1 3 1 3 4 8 2 1 2 4 8 y2 (3x2 6x2 1) x2 x2 y2 x2 . 3 3 3 3 3 3 4 8 Suy ra phương trình của đường thẳng ( )  (MN) là y x . 3 3 4 8 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ( ) là x3 3x 2 x . 3 3 3 2 3 Phương trình này có ba nghiệm là x 2,x . 3 x2 x 1 Ví dụ 3 Cho hàm số : y có đồ thị là C . Gọi C' là đồ thị đối xứng với x 1 C qua điểm A 3; 4 . Tìm phương trình đồ thị C' . Lời giải. Gọi M x,y C và M' x',y' C' đối xứng qua đồ thị C qua điểm A 3; 4 . Ta x x' 3 2 x 6 x' có y y' y 4 y' 4 2 2 6 x' 6 x' 1 x'2 11x' 31 Thay vào đồ thị C : 8 y' 6 x' 1 5 x' x'2 11x' 31 9 3x' x'2 Hay y' 8 . 5 x' 5 x' x2 3x 9 x2 3x 9 Vậy phương trình đồ thị C' : y . x 5 x 5 mx 4m 3 Ví dụ 4. Cho hàm số y , cho m hai giá trị m và m . Tìm hệ thức liên x m 1 2 hệ giữa m và m để một trong hai đường cong C và C suy ra từ đường 1 2 m1 m2 kia nhờ một phép tịnh tiến. Lời giải. mx 4m 3 m2 4m 3 y m ,x m x m x m Xét trường hợp m 1,m 3 . x X m Công thức chuyển hệ tọa độ: y Y m 118
14. Phương trình đường cong Cm đối với hệ tọa độ IXY là: m2 4m 3 m2 4m 3 Y m m hay Y . X m m X m2 4m 3 Phương trình C đối với hệ tọa độ I XY : Y 1 1 m1 1 X m2 4m 3 Phương trình C đối với hệ tọa độ I XY : Y 2 2 m2 2 X Một trong hai đường cong C và C suy ra từ đường kia nhờ một phép tịnh m1 m2 2 2 tiến khi và chỉ khi: m1 4m1 3 m2 4m2 3 m1 m2 m1 m2 4 0 m1 m2 hoặc m1 m2 4 Khi m1 1 m2 1 hoặc m2 3 . Khi m1 3 m2 1 hoặc m2 3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1:Lập phương trình đường cong C' đối xứng với x2 x 3 x4 5 1. C : y qua điểm I 1;1 . 2. C : y 3x2 qua điểm I 0; 2 . x 2 2 2 Bài 2:Lập phương trình đường cong C' đối xứng với x2 x 3 1. C : y qua đường thẳng d : x 2y 1 0 x 2 x2 x 2 2. C : y qua đường thẳng d : y 2 x 2 3. C : y 2x(4 x) qua Ox . Chứng minh rằng C cắt C' theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ? Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 3x 1 . Viết phương trình của (C’) với ur 1. (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ u (1; 2) . 2. (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(-1;1). 3. (C’) là ành của qua phép đối xứng trục (d) với (d) là đường thẳng phương trình x = 2. Bài 4: 1. Cho hàm số y x3 3ax2 bx 3 . Tìm a,b để hàm số đạt cực trị tại điểm x 2 và điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' 0 nằm trên đường cong y 2x3 11x2 6x 6 . 2. Cho hàm số y x3 3ax2 2a2x a2 b và hai điểm A 2;1 , B 0; 2 . Tìm a,b để đồ thị hàm số có điểm I có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' 0 sao cho tứ giác ABOI là hình bình hành ( O là gốc tọa độ ). 119