Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Có hướng dẫn)

1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A. CHUẨN KIẾN THỨC SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên * Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y’; + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định ; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số * Tìm cực trị * Tìm các giới hạn tại vô cực ,các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có ) * Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên ) 3. Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm (bước này chỉ thực hiện với hàm bậc ba ) + Tính y’’ + Giải phương trình y’’=0 + Lập bảng xét dấu y’’ 4. Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ CHÚ Ý. 1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì ,sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox 2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm ,đặc biệt là giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ 3. Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: Hàm số bậc ba và vấn đề liên quan. HÀM SỐ BẬC BA : y ax3 bx2 cx d 1. Tập xác định: D ¡ 2. Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c , b2 3ac 0 : Hàm số có 2 cực trị. 0 : Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên ¡ . 134
2. b 3. Đạo hàm cấp 2: y'' 6ax 2b , y'' 0 x 3a b x là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 3a 4. Giới hạn: Nếu a 0 thì: lim y ; lim y x x Nếu a 0 thì: lim y ; lim y x x 5. Bảng biến thiên và đồ thị: Trường hợp a 0 : * b2 3ac 0 : Hàm số có 2 cực trị * b2 3ac 0 y 0,x ¡ : Hàm số luôn tăng trên ¡ . Trường hợp a 0 : * b2 3ac 0 : Hàm số có 2 cực trị. * b2 3ac 0 y 0,x ¡ : Hàm số luôn giảm trên ¡ . Một số tính chất của hàm số bậc ba 1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: b2 3ac 0 . a 0 ¡ 2. Hàm số luôn đồng biến trên 2 b 3ac 0 a 0 ¡ 3. Hàm số luôn nghịch biến trên 2 b 3ac 0 4. Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f (x) : f(x) f (x).g(x) rx q Nếu x1 ,x2 là hai nghiệm của f (x) thì: f(x1) rx1 q; f(x2 ) rx2 q Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là y rx q . 5. Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị. 6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt hàm số có hai cực trị trái dấu nhau. 7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox. 8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu. 9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho M (C) * Nếu M  I thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( nếu a 0 ), lớn nhất (nếu a 0 ). * Nếu M khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M . Các ví dụ Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số: 1 1. y x3 3x2 4. 2. y x3 3x2 3. y x3 2x2 4x 3 135
3. Lời giải. 1. Tập xác định : D ¡ ▪ Chiều biến thiên : o y 3x2 6x 3x x 2 ; y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 0 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 4 o Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y ; lim y x x ▪ Bảng biến thiên : x 0 2 + y' 0 + 0 y + 0 4 ▪ Đồ thị : o Cho x 1 y 0; x 3 y 4 2. Tập xác định : D ¡ ▪ Chiều biến thiên: o y 3x2 6x 3x x 2 ; y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 4 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 0 . o Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y ; lim y x x Bảng biến thiên: ▪ Đồ thị : Cho x 1 y 4; x 3 y 0. 136
4. 3. Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên: • Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y ; lim y x x 2 • Ta có: y' x2 4x 4 x 2 0 ,x ¡ Hàm số đồng biến trên khoảng ; , hàm số không có cực trị . • Bảng biến thiên: ▪ Đồ thị : Cho x 0 y 0 Ví dụ 2. Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị ( C ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số; 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A 3;1 . Lời giải. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: ▪ Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên : Ta có : y' 3x2 6x 3x x 2 y' 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 y 0 x 0 ; 2 ; y 0 x ; 0  2 ; . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 5 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 1. o Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên: x 0 2 + y' 0 + 0 y + 5 1 137
5. o Đồ thị : Cho x = 1 y = 5; x = 3 y = 1. 2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A 3 ; 1 có dạng : y 1 y 3 . x 3 y 9 x 3 1 y 9x 28 Ví dụ 3. Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đó m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m 0 ; 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 . Lời giải. 1. Khi m 0 thì hàm số là : y x3 3x2 4 . ▪ Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên: o Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y ; lim y x x o Bảng biến thiên: + y 3x2 6x 3x x 2 , y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0 ; , nghịch biến trên khoảng 2 ; 0 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 0 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 4 o Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên: x 2 0 + y' + 0 0 y 0 + 4 ▪ Đồ thị : Cho x 3 y 4 ; x 1 y 0 2. Hàm số y x3 3x2 mx 4 đồng biến trên khoảng ;0 y 3x2 6x m 0 , x ;0 . Xét: g x 3x2 6x m , x ;0 g x 6x 6 g x 0 x 1 Bảng biến thiên : x 1 0 138
6. g'(x) 0 + g(x) + m 3 – m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: y' g x 3x2 6x m 0 , x ;0 3 m 0 m 3 Vậy khi m 3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn . Ví dụ 4. Cho hàm số y 2x3 9x2 12x 4 có đồ thị C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; 3 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x 9x2 12 x m Lời giải. + Bảng biến thiên: x 1 2 + y' + 0 0 + y 1 + 0 + Đồ thị : 3 3 2. Ta có: 2 x 9x2 12 x m 2 x 9x2 12 x 4 m 4 3 Gọi C : y 2x3 9x2 12x 4 và C' : y 2 x 9x2 12 x 4 Ta thấy khi x 0 thì: C : y 2x3 9x2 12x 4 Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được C1 o Lấy đối xứng qua trục Oy phần C1 , ta được C2 o C C1  C2 Số nghiệm của phương trình: 3 2 x 9x2 12 x m 3 2 x 9x2 12 x 4 m 4 là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng d : y m 4 . Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài toán 0 m 4 1 4 m 5 . 139
7. 3 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y x mx 2 có đồ thị là Cm ,m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C khi m 3 3 2. Tùy theo k giải và biện luận phương trình: x 3x2 k 0 3. Gọi A và B là hai điểm cực trị của C , tìm điểm M trên C sao cho tam giác MAB cân tại M 4. Tìm m để đồ thị hàm số Cm cắt trục hoành tại điểm duy nhất. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ Ta có: y' 3x2 6x 3x x 2 và y' 0 x 0 hoặc x 2 . Giới hạn: lim y và lim y x x Bảng biến thiên: x 0 2 y' 0 0 2 y 2 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;0 và 2; , nghịch biến trên 0; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 với giá trị cực đại của hàm số là y 0 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2 với giá trị cực tiểu của hàm số là y 2 2 . Đồ thị • Điểm uốn: : y'' 6x 6 và y" 0 x 1 Ta thấy y" đổi dấu khi x qua điểm x 1. y Vậy I 1;0 là điểm uốn của đồ thị. 2 • Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là điểm 0; 2 x -1 2 Đồ thị cắt Ox tại ba điểm 1;0 , 1 3;0 3 • Chọn x 3 y 2, x 1 y 2 . Nhận xét: Đồ thị nhận I 1;0 làm tâm đối xứng. -2 140
8. 3 3 2. x 3x2 k 0 x 3x2 2 k 2 , đây là phương trình hoành độ giao điểm 3 của đồ thị C' : y x 3x2 2 và đường thẳng d : y k 2 số nghiệm của 3 2 y x 3x 2 C' phương trình cho chính là số giao điểm của hai đồ thị . y k 2 d • k 2 2 k 0 d không cắt đồ y thị C' nên phương trình cho vô nghiệm. 2 k 2 2 k 0 • d cắt C' tại y k 2 k 2 2 k 4 hai điểm phân biệt nên phương trình 2 2 x cho có hai nghiệm phân biệt. -_3 -1 O 1 3 • k 2 2 k 4 d cắt C' tại ba điểm phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt. • 2 k 2 2 0 k 4 d cắt -_2 C' tại bốn điểm phân biệt nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt. 3. Giả sử A 0; 2 và B 2; 2 là hai điểm cực trị của C Tam giác MAB cân tại M MA MB và M,A,B không thẳng hàng. MA MB M thuộc trung trực AB : x – 2y – 1 0 y x3 3x2 2 Tọa độ M thỏa nghiệm hệ phương trình: x – 2y – 1 0 14 14 2 x 1 2x 4x 5 0 M 1 ; 2 4 Loại M 1;0 vì M,A,B thẳng hàng. 4. Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số Cm với trục Ox : 2 x3 mx 2 0 x2 m x 2 2 Xét hàm số f x x2 . Ta có: f' x 2x và f' x 0 x 1 x x2 Lập bảng biến thiên suy ra m 3 m 3 là những giá trị cần tìm. Cách 2: Để đồ thị hàm số Cm cắt Ox tại duy nhất một điểm ta có các trường hợp sau: 141
9. TH 1: Đồ thị hàm số Cm không có cực trị hay là hàm số Cm luôn đồng biến (do a 1 0 ) trên ¡ y' 3x2 m 0 x ¡ m 0 TH 2: Đồ thị hàm số Cm có hai cực trị cùng dấu m m y' 0 x2 x với m 0 3 3 2m m 2m m Hai giá trị cực trị là: y 2 , y 2 1 3 3 2 3 3 4m3 y .y 4 0 3 m 0 . 1 2 27 Vậy m 3 là những giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x3 3x2 9x 1 có đồ thị là . C 1. Tìm m để đường thẳng dm : y 2m 1 x 1 cắt đồ thị Cm tại ba điểm phân biệt A 0; 1 ,B,C sao cho BC 82 . 2. Tìm những điểm nằm trên C mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến C . Bài 2. Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đó m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m 0 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 3. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị Cm của hàm số y x3 3x2 4m 1 x 2m2 3 cắt Ox tại ba điểm A,B,C sao cho AB BC . 3 2 Bài 4. Tìm m để đồ thị Cm : y x 3 m 1 x 3mx m 1 cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm. 3 2 Bài 5. Tìm m để đồ thị Cm : y x 2x 3m 1 x m 3 cắt đường thẳng d : y 1 m x m 5 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 1 x3 . Bài 6. Cho hàm số C y x3 5x2 6x 3 . 1. Tìm trên đồ thị C2 những cặp điểm đối xứng qua O 2. Tìm m để trên O tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua Oy 3 2 Bài 7. Cho hàm số y x 2m 1 x mx 3m 2 có đồ thị Cm . 142
10. 1. Tìm trên C1 những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ 2. Tìm m để trên Cm tồn tại ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung. 3. Tìm tất cả các điểm cố định họ đường cong Cm luôn đi qua. 4.Tìm những điểm cố định mà không có đồ thị nào của họ Cm đi qua. 2 Bài 8. Cho hàm số C : y có đồ thị C . Trên đồ thị C có bao nhiêu bộ bốn x điểm A,B,C,D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm I 1; 1 . Bài 9. Trên mp Oxy cho đồ thị C : y x3 2 2x . Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên C thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ O . Bài 10. Biết đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c cắt Ox tại ba điểm phân biệt. Chứng 3 minh rằng 27c 2a3 9ab 2 a2 3b . 1 Bài 11: Cho hàm số : y x3 3x2 9x 5 có đồ thị là C . 8 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 12: Cho hàm số y f(x) x3 x 2 , có đồ thị là C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ C . 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 x 2 m (1) Bài 13: Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị là C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C 2. Tìm m để phương trình x3 3x2 m (1) có ba nghiệm phân biệt. 3 3. Từ đồ thị C hãy suy ra đồ thị C' : y g(x) x 3x2 2 . 3 4. Biện luận số nghiệm của phương trình : x 3x2 m 0 (2) . Bài 14: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 36x 1 . 3 3 3. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : x x2 m 0 . 2 143
11. m 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2x2 x 1 . x 1 3 2 Bài 15: Cho hàm số y x 3mx (Cm ) , với tham số thực m . Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m 1 2. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (Cm ) . 3. Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y x 1. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến của (Cm ) tại A . Bài 16: Cho hàm số y x3 – 3x2 4 có đồ thị là (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3. 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. x3 Bài 17: Cho hàm số y 2(m 1)x2 3(m 1)x 1 (1) ( m là tham số ). 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1) khi m = 0. 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên ¡ . 3. Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N ( M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. Bài 18: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đó m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m 0 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 3. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 19: Cho hàm số y = 2x3 (m 1)x2 (m 2)x 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x – 3. 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm 1 cực tiểu có hoành độ lớn hơn . 6 Bài 20: Cho hàm số y x3 3x2 9x 1 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 3. Tìm m để đường thẳng dm : y (2m 1)x 1 cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 1),B,C sao cho BC 82 . 144
12. 4. Tìm những điểm nằm trên (C) mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C). Bài 21: Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị C . Tìm m để phương trình x3 3x2 m3 3m2 có ba nghiệm phân biệt. Bài 22: 1 Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đó m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m 0 b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 3 2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số y x3 x2 6x 3 . Chứng 2 3 minh rằng phương trình x3 x2 6x 3 0 có ba nghiệm phân biệt , trong đó có 2 1 một nghiệm dương nhỏ hơn . 2 1 17 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số y x3 2x2 . Chứng 3 3 minh rằng phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt. 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số y x3 3x2 9x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 , biết rằng y'' x0 6 . Giải bất phương trình y' x 1 0 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 6x2 9x .Tìm tất cả các đường thẳng đi qua điểm M 4; 4 và cắt đồ thị C tại 3 điểm phân biệt. 6. Tìm hệ số a,b,c sao cho đồ thị của hàm số y x3 ax2 bx c cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và tiếp xúc với đường thẳng y 1 tại điểm có hoành độ là 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a,b,c vừa tìm được . 1 7. Tìm các hệ số m,n,p ¡ sao cho hàm số y x3 mx2 nx p đạt cực đại tại 3 1 điểm x 3 và đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng d : y 3x tại giao điểm của 3 C với trục tung . Dạng 2: Hàm số bậc trùng phương và vấn đề liên quan. Phương pháp giải HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG : y ax4 bx2 c 1. TXĐ: D ¡ 145
13. b 2. Đạo hàm: y 4ax3 2bx 2x(2ax2 b) y 0 x 0 hoặc x2 . 2a * Nếu ab 0 thì y có một cực trị x0 0 b * Nếu ab 0 thì y có 3 cực trị x 0; x 0 1,2 2a b 3. Đạo hàm cấp 2: y 12ax2 2b, y 0 x2 6a * Nếu ab 0 thì đồ thị không có điểm uốn. * Nếu ab 0 thì đồ thị có 2 điểm uốn. 4. Bảng biến thiên và đồ thị: * a 0,b 0 : Hàm số có 3 cực trị. x x1 0 x2 y' 0 0 0 CĐ y CT CT * a 0,b 0 : Hàm số có 3 cực trị. x x1 0 x2 y' 0 0 0 CĐ CĐ y CT * a 0,b 0 : Hàm số có 1 cực trị. x 0 y' 0 y CT * a 0,b 0 : Hàm số có 1 cực trị. x 0 y' 0 CĐ y Tính chất: * Đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c (a 0) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: aX2 bX c 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa X1 9X2 . 146
14. * Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm trên Oy. * Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hàm số y x4 2x2 1 có đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 2x2 1 m * Lời giải. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : Ta có : y' 4x3 4x 4x x2 1 ; y' 0 4x x2 1 0 x 0 hoặc x 1 y 0 x 1 ; 0  1 ; ; y 0 x ; 1  0 ; 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0 ; 1 , đồng biến trên các khoảng 1 ; 0 và 1 ; . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 1 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 1 2 o Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên : o Đồ thị : Cho y 1 x 0 ; x 2 . 2 . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và d : y m . Dựa vào đồ thị, ta thấy : + Khi m 2 thì (*) vô nghiệm. 147
15. m 2 + Khi thì (*) có 2 nghiệm. m 1 + Khi 2 m 1 thì (*) có 4 nghiệm. + Khi m 1 thì (*) có 3 nghiệm. 1 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y x4 mx2 có đồ thị ( C ). 2 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m 3 2. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Lời giải. 1 3 1. Khi m 3 thì hàm số là : y x4 3x2 . 2 2 ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : o Bảng biến thiên : + Ta có : y' 2x3 6x 2x x2 3 x 0 y' 0 2x x2 3 0 x 3 Hàm số đồng biến trên các khoảng 3 ; 0 và 3 ; , nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 0 ; 3 . 3 Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 . 2 Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 3 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 3 3 . o Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y ; lim y . x x Bảng biến thiên: x 3 0 3 + y' 0 + 0 0 + y 3 + + 2 3 3 ▪ Đồ thị : 3 1 x 0 o Cho y x4 3x2 0 2 2 x 6 148
16. o Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng . o Đồ thị (hình vẽ): 2. Tập xác định: D ¡ Đạo hàm: y 2x3 2mx; y 0 x 0 hoặc x2 m * Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại y’ = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0 m 0 Vậy giá trị cần tìm là: m 0 . Ví dụ 3 Cho hàm số y x4 – 2 m 1 x2 m có đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1; 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Lời giải. 1. y x4 – 4x2 1 • Tập xác định D = ¡ • Sự biến thiên : Chiều biến thiên : y’ = 4x3 – 8x ; y’ = 0 x = 0 hoặc x = 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 2 ) và (0; 2 ) ; đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ; yCT = 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 Giới hạn: lim y lim y x x y • Bảng biến thiên: x 2 0 2 + 1 y' 0 + 0 0 + - 2 2 y + 1 + O x 3 3 -2 2 - Đồ thị: 2.Xét y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (C ) m -3 y’ = 4x3 – 4(m + 1)x Đồ thị của hàm số (Cm) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có: y’ = 0 4x[x2 – m – 1] = 0 x 0 hoặc x2 m 1 149
17. Vì thế để thỏa mãn điều kiện trên thì phương trình x2 = m + 1 Cần có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi : m + 1 > 0 m > 1 (1) Kết luận thỏa mãn (1), (Cm) có ba cực trị tại các điểm A(0, m), B m 1; m2 m 1 , C m 1; m2 m 1 Lúc đó: OA = OB OA2 = BC2 (do OA > 0 ; BC > 0) m2 = 4(m + 1) m2 – 4m – 4 = 0 m = 2 2 2 Ví dụ 4. Cho hàm số y x4 mx2 m 1 1 có đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8 ; 2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Lời giải. 1. Khi m 8 y x4 8x2 7. ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : + Ta có : y 4x3 16x 4x x2 4 ; y 0 4x x2 4 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng 2 ; 0 và 2 ; , nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 7 . Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 2 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 2 9. o Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên : x 2 0 2 + y' 0 + 0 0 + y + 7 + 9 9 ▪ Đồ thị (hình vẽ): x 0 o Cho y 7 x4 8x2 0 x 2 2. o Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. 4 2 2. Gọi Cm : y x mx m 1. 150
18. Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục Ox : x4 mx2 m 1 0 (1). Đặt t x2 , t 0 , suy ra 1 t2 mt m 1 0 (2). Yêu cầu bài toán phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt m2 4m 4 0 m 1 S m 0 m 2. P m 1 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 2 Bài 1: Cho hàm số y x 3(m 1)x 3m 2 , có đồ thị là Cm 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C1 khi m 1 2. Tìm các giá trị của m để Cm có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông. Bài 2: Cho hàm số y x4 2x2 2 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 24y 1 0 . 3. Tìm a để Parabol (P): y 2x2 a tiếp xúc với (C). Bài 3: Cho hàm số y x4 6x2 5 có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn. 3. Tìm m để phương trình (x2 5) x2 1 m có 6 nghiệm phân biệt. 4 2 Bài 4: Cho hàm số y x 2(m 1)x 2m 1 có đồ thị là (Cm ) 1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (3) của hàm số khi 1. 2. Tìm giá trị của m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D sao cho AB BC CD . 3. Tìm m để (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. Bài 5: Cho hàm số y x4 2mx2 2m 5 (1) ( m là tham số ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và ba đỉểm này là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. Bài 6: Cho hàm số y x4 2(m 1)x2 4m 4 (1) . 1. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số (1) luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào (các điểm này gọi là các điểm cố định của đồ thị hàm số (1). 151
19. 2. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại . 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0. 4. Cho hai điểm A 0; 16 và B 1; 8 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Bài 7: 1. Cho hàm số: y x4 2x2 1 có đồ thị C . Biện luận theo m số nghiệm của 4 2 phương trình: x 2x 1 log2 m 0 . 2. Cho hàm số y 8x4 9x2 1 có đồ thị C . Dựa vào đồ thị C hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8cos4 x 9cos2 x m 0 với x [0; ] 3x 4 3. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm các giá trị của m để phương trình sau x 2 2 6 6 4 4 có 2 nghiệm trên đoạn 0; : sin x cos x m (sin x cos x) 3 Bài 8: Chứng minh rằng phương trình: x4 2 m2 2 x2 m4 3 0 luôn có 4 nghiệm phân biệt x1 ,x2 ,x3 ,x4 với mọi giá trị của m . Tìm giá trị m ¡ sao cho 2 2 2 2 x1 x2 x3 x4 x1x2x3x4 11 . 4 2 Bài 9: Tìm m để đường thẳng y 1 cắt Cm : y x – 3m 2 x 3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 . 4 2 Bài 10: Cho hàm số y x 2 m 1 x 2m 1 có đồ thị Cm 1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1. 2. Tìm giá trị của m để đồ thị Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D sao cho AB BC CD . 3. Tìm m để Cm có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. Dạng 3: Hàm số hữu tỷ và vấn đề liên quan. Phương pháp giải ax b HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y , ac 0 . cx d d 1. TXĐ: D ¡ \  c  ad bc 2. Đạo hàm: y . Đặt m ad bc , ta có: (cx d)2 * Nếu m 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định. * Nếu m 0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định. 152
20. d a 3. Các đường tiệm cận : x là tiệm cận đứng và y là tiệm cận ngang. c c 4. Bảng biến thiên và đồ thị : * m 0 m 0 : x d x d c c y' || y' || a a y c y c a a c c 5. Đồ thị của hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng d a I ; , là giao điểm của 2 đường tiệm cận. c c ax2 bx c HÀM SỐ PHÂN THỨC y , a. 0 x  C Thực hiện phép chia đa thức ta được: y Ax B (a. .C 0) . x    1. TXĐ: D ¡ \   C A( x )2 C C 2. Đạo hàm: y A y 0 ( x )2 ( x )2 ( x )2 A C * Nếu 0 thì hàm số không có cực trị, hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng A xác định. C * Nếu 0 thì hàm số có 2 cực trị. A  3. Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: x và Tiệm cận xiên: y Ax B . 4. Bảng biến thiên * A 0, AC 0 : Hàm số có 2 cực trị x  x x 1 2 y' 0 0 CĐ y CT * A 0, C 0 : Hàm số không có cực trị 153
21. x  y' y * A 0, C 0 : Hàm số có 2 cực trị. x  x x 1 2 y' 0 0 CĐ y CT * A 0, AC 0 : Hàm số không có cực trị. x  y' || y Một số tính chất của hàm số hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1. g(x) Giả sử y với g(x) là một tam thức bậc 2 có biệt số . ( x )2  1. Hàm số có cực đại và cực tiểu g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  g 0 2ax b 2ax b 2. Các cực trị là: y 1 ; y 2 với x ,x là 2 nghiệm của y' 0 . 1 2 1 2 1 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình : y (2ax b)  3. Điều kiện để 2 cực trị trái dấu là : g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác và ax2 bx c 0 vô nghiệm. 4. Giả sử M là điểm thuộc đồ thị hàm số. Nếu tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B thì ta có : * M là trung điểm của AB và S IAB không đổi ( I là giao điểm 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thị). * Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là 1 hằng số. 154
22. Các ví dụ mx 4 Ví dụ 1.Cho hàm số y , trong đó m là tham số thực. x m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 Lời giải. x 4 1. Khi m 1thì hàm số là: y . x 1 ▪ Tập xác định: D ¡ \ 1. ▪ Chiều biến thiên: 3 + Ta có : y 0 , x 1 2 x 1 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1 ; o Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận: + Ta có: lim y , lim y , do đó đường thẳng x 1 là tiệm x 1 x 1 cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (khi x 1 và khi x 1 ). + Ta có: lim y lim y 1, nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang x x của đồ thị hàm số đã cho (khi x và khi x ) o Bảng biến thiên: x 1 + y' y 1 + 1 ▪ Đồ thị : (hình vẽ) o y 0 x 4 ; x 0 y 4 , tức là đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm 4; 0 , cắt trục tung tại 0; 4 o Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . 155