Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 7: Tiếp tuyến của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 7: Tiếp tuyến của hàm số (Có hướng dẫn)

1. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ A. CHUẨN KIẾN THỨC • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) là: y – y0 f (x0 ).(x – x0 ) y0 f(x0 ) • Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f(x) và C2 : y g(x) tiếp xúc nhau f(x0 ) g(x0 ) tại điểm có hoành độ x0 là hệ phương trình có nghiệm x0 f'(x0 ) g'(x0 ) Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2 • Nếu (C1) : y px q và C2 : y ax bx c thì 2 (C1) và C2 iếp xúc nhau phương trình ax bx c px q có nghiệm kép. Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; y0 , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A xA ; yA cho trước. - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Phương pháp: Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x0 ; y0 là điểm trên C . Tiếp tuyến với đồ thị C tại M x0 ; y0 có: - Hệ số góc: k f' x0 - Phương trình: y y0 k x x0 , hay y y0 f' x0 x x0 Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0 chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 f x0 ) - Hệ số góc k f' x0 B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. 167
2. Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x0 ;y0 Phương pháp . 1. Hai đồ thị tiếp xúc 1.1. Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số y f x và y g x gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có cùng tiếp tuyến. 2.1. Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau khi và chỉ f(x) g(x) khi hệ phương trình: có nghiệm và nghiệm của hệ là tọa độ tiếp điểm. f'(x) g'(x) 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1.2. Định nghĩa: Cho hàm số y f x . Một cát tuyến MM0 được giới hạn bởi đường thẳng M0T khi M dần tới M0 thì M0T gọi là tiếp tuyến của đồ thị. M0 gọi là tiếp điểm. Định lí 2: Đạo hàm của f x tại x x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại M x0 ;f x0 . Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng f' x0 . 2.2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M(x0 ;f(x0 )) . Phương pháp: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại M(x0 ; y0 ) là: y f'(x0 )(x x0 ) y0 với y0 f(x0 ) . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k . Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b f(x) kx b (1) * Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình: f'(x) k (2) Từ (2) ta tìm được x , thế vào (1) ta có được b . Ta có tiếp tuyến cần tìm. Cách 2: * Giải phương trình f'(x) k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x1 ,x2 , ,xn . * Phương trình tiếp tuyến: y f'(xi )(x xi ) f(xi ) (i 1,2, ,n) . Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f'(x) k . *Cho hai đường thẳng d1 : y k1x b1 và d2 : y k2x b2 . Khi đó 168
3. k1 k2 · i) tan , trong đó (d1 ,d2 ) . 1 k1.k2 k1 k2 ii) d1 / /d2 b1 b2 iii) d1  d2 k1.k2 1 . Bài toán 01: . Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm Phương pháp . Bài toán 1 : Hai đường cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc nhau tại M x0 ; y0 .Khi điểm M C  C' và tiếp tuyến tại M của C trùng với tiếp tuyến tại M của C' f x0 g x0 chỉ khi hệ phương trình sau: có nghiệm x0 . f' x0 g' x0 Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: C : y f x tiếp xúc nhau f x ax b 0 có nghiệm kép . d : y ax b k 1 Hàm f x nhận x0 làm nghiệm bội k nếu f x0 f' x0 f x0 0 và k f x0 0 . Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Ví dụ 1. Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành tại 0 , tức là phương trình x 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị C : y x3 của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại x 0 nhưng phương trình x3 0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . Ví dụ 2. Đồ thị C : y sin x của hàm số tiếp xúc với đường thẳng d : y x tại x 0 nhưng phương trình sin x x 0 thì không thể có nghiệm kép. Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. Bài toán 2 : * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y f x khả vi tại x0 . Trong trường hợp C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f' x0 . 169
4. * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x tại điểm M x0 ;f x0 có dạng : y f' x0 x x0 f x0 Các ví dụ Ví dụ 1 : Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm M 1; 3 ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; 5. Có hệ số góc là 9 ; 6. Song song với đường thẳng (d ): 27x 3y 5 0 ; 7. Vuông góc với đường thẳng (d’ ) : x 9y 2013 0 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x 1. Phương trình tiếp tuyến t tại M 1; 3 có phương trình : y y' 1 x 1 3 Ta có: y' 1 3 , khi đó phương trình t là: y 3x 6 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ;f x0 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0 ; y0 là: y f' x0 x x0 y0 2. Thay x 2 vào đồ thị của (C) ta được y 21 . Tương tự câu 1, phương trình t là: y 24x 27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm x x0 , y0 f x0 , y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f' x0 x x0 y0 3. Thay y 1 vào đồ thị của (C) ta được x2 x 3 0 x 0 hoặc x 3 . Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1 , y 9x 28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Giải phương trình f x y0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f' x0 x x0 y0 4. Trục tung Oy : x 0 y 1.Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1 5. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 170
5. 2 2 Ta có : y' x0 3x0 6x0 , theo giả thiết y' x0 9 , tức là 3x0 6x0 9 x0 3 hoặc x0 1 . Tương tự câu 1 6. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 5 Theo bài toán: t P d : y 9x y' x 9 . Tương tự câu 1 3 0 7. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 1 2013 Theo bài toán: t  d' : y x y' x 9 . Tương tự câu 1 9 9 0 Ví dụ 2 . 1. Cho hàm số: y x3 m 1 x2 3m 1 x m 2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1 . 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x3 (2m 1)x2 (m 3)x 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 7 bằng . 17 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 m 1 x 3m 1 Với x 1 y 1 3m 1 y' 1 m 6 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x 1: y m 6 x 1 3m 1 Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1 nên có: 1 m 6 3m 1 m 2 Vậy, m 2 là giá trị cần tìm. 2. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 2m 1 x m 3. Phương trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x 2) y(2) y 11 – 7m x – 2 7 – 6m 11 – 7m x 8m – 15 (11 7m)x y 8m 15 0 8m 15 7 d(0,(d)) 17(8m 15)2 49[(11 7m)2 1] (11 7m)2 1 17 2153 1313m2 3466m 2153 0 m 1, m 1313 Ví dụ 3 : 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x4 x2 6 , biết tiếp tuyến 1 vuông góc với đường thẳng y x 1. 6 171
6. 1 2 2. Cho hàm số y x3 x có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó 3 3 1 2 tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng y x . 3 3 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ Gọi t là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số và t vuông góc với đường thẳng 1 y x 1, nên đường thẳng t có hệ số góc bằng 6 . 6 Cách 1: Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến t và đồ thị C của hàm 3 số . Khi đó, ta có phương trình: y' x0 6 4x0 2x0 6 2 2  ¡ x0 1 2x0 2x0 3 0 . Vì 2x0 2x0 3 0, x0 nên phương trình x0 1 y0 y 1 4 M 1; 4 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6 x 1 4 6x 10 . Cách 2: Phương trình t có dạng y 6x m t tiếp xúc C tại điểm M x0 ; y0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 4 2 x x 6 6x m x 1 0 0 0 có nghiệm x 0 3 0 m 10 4x0 2x0 6 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' x2 1 1 2 Gọi M(x ; y ) (C) y x3 x , 0 0 0 3 0 0 3 2 Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0 ) x0 1 1 2 1 Đường thẳng d: y x có hệ số góc k 3 3 2 3 4 2 1 2 x0 2 y0  d k1.k2 1 (x0 1) 1 x0 4 3 3 x0 2 y0 0 4 Vậy, có 2 điểm M 2;0 , 2; là tọa độ cần tìm. 3 Ví dụ 4 172
7. 3 x 1. Cho hàm số y (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách x 2 đều hai điểm A 1; 2 và B 1;0 . 2. Cho hàm số y x3 6x2 9x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A 2;7 và B 2;7 . Lời giải. 1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 5 3 x 5 ( x2 6x 6) = (x x ) 0 x 0 0 2 0 x 2 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) (x0 2) 2 2 5x (x0 2) y x0 6x0 6 0 2 2 2 5 2(x0 2) x0 6x0 6 5 x0 6x0 6 d(A,(d)) d(B,(d)) 4 4 25 (x0 2) 25 (x0 2) x2 14x 19 x2 6x 1 x2 14x 19 x2 6x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 x0 14x0 19 x0 6x0 1 x0 1 2 x0 1. x0 4x0 9 0 Vậy phương trình d : y 5x – 1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB. * Trường hợp 1: (d) //AB. yA yB Hệ số góc của đường thẳng AB: kAB 1 . xA xB 5 (d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x 1 1 (*) . Phương trình (*) vô 0 2 (x0 2) nghiệm do đó trường hợp này không xảy ra. * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phương trình (d) có dạng y = kx – 1. 3 x0 kx0 1 (2) x0 2 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x có nghiệm x . 0 5 0 k (3) 2 (x0 2) 173
8. 5 3 x 5 Thay k vào (2) ta đươc 0 1 2 x 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) x0 2 x 2 0 x 1 2 0 (3 x0 )(x0 2) 5 (x0 2) x0 1 Thay x0 1 vào (2) ta được k 5 . Vậy phương trình d : y 5x – 1 2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : 2 3 2 2 3 2 y (3x0 12x0 9)(x x0 ) x0 6x0 9x0 1 (3x0 12x0 9)x 2x0 6x0 1 2 3 2 (3x0 12x0 9)x y 2x0 6x0 1 0 (*) d(A,(D)) d(B,(D)) 2 3 2 2 3 2 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2 2 2 2 (3x0 12x0 9) 1 (3x0 12x0 9) 1 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 2x3 12x2 24x 10 2x3 24x 26 (1) 0 0 0 0 0 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 (2) 2 12x0 48x0 36 0 x0 3  x0 1 3 2 x 1  x 2 4x0 12x0 16 0 0 0 Lần lượt thay x0 3  x0 1 x0 1  x0 2 vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến (D) là y 1 0, y 3 0, y 24x 7, y 3x 7. Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : 1. y x3 3x2 2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn: OB 9OA . 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. 1. Gọi M x0 ; y x0 là toạ độ tiếp điểm. Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A,B . Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox , do đó d có hệ số góc k tan OB Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan 9 OA 174
9. Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là 9 , nghĩa là ta luôn có: y' x 9 3x2 6x 9 0 0 0 0 x2 2x 3 0 x 1 hoặc x 3 vì y' x 9 2 0 0 0 0 0 3x0 6x0 9 0 2 x0 2x0 3 0,x0 ¡ . Với x0 1 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 7 Với x0 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 25 Vậy, có 2 tiếp tuyến y 9x 7 , y 9x 25 thỏa đề bài . 2. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1; 2 , B 3; 2 và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến d cần 3 2 tìm. Khi đó y0 x0 6x0 9x0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M; AB 0 0 5 1 Giả thiết S 6 .AB.d M; AB 6 2x y 4 6 MAB 2 0 0 2x0 y0 10 hoặc 2x0 y0 2 2x0 y0 2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 2 2x0 y 2 0 hay M 0; 2 x x2 6x 11 0 x 0 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x0 y0 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 10 2x0 y 2 0 hay M 4; 2 x 4 x2 6x 11 0 x 4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 x 1 Ví dụ 6 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . x 3 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 175
10. 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của (C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải. 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 yM 5 . y 5 7 M (C) M x TH1: x 1 M 3 y 5 5 M M y 5 xM 3 M yM 5 M (C) xM 4 TH2: xM 1 yM 5 5 yM 5 xM 3 7 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ; 5 là y 9x 16. 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 4; 5 là y 4x 21. · 2. i) Ta có ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục hoành suy ra hệ số · IA góc của (d) là k tan ABI 4 IB Phương trình tiếp tuyến d : y 4x 5 hoặc y 4x 21. ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 4 x 1 4 x2 2x 3 y (x x ) 0 x 0 0 . 2 0 x 3 2 2 (x0 3) 0 (x0 3) (x0 3) Tiệm cận đứng của (C) : D1 : x 3 Tiệm cận ngang của (C) : D2 : y 1. x2 2x 15 A là giao điểm của (d) và D y 0 0 1 A 2 (x0 3) B là giao điểm của (C) với D2 xB 2x0 3 . x2 2x 15 8 IA IB y y x x 0 0 1 2x 6 2x 6 A I B I 2 0 x 3 0 (x0 3) 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có 8 IA IB 2 2x0 6 8 . x0 3 8 2 x0 1 IA IB 8 2x0 6 (x0 3) 4 x0 3 x0 5 176
11. min IA IB 8 d: y x, y x 8 Ví dụ 7 3 2 1. Biết rằng trên đồ thị y x m 1 x 4m 2 x 1, Cm tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 10y 2013 0 .Viết phương trình tiếp tuyến của Cm tại điểm đó 2x 3 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại những điểm thuộc đồ x 1 thị có khoảng cách đến đường thẳng d : 3x 4y 2 0 bằng 2. Lời giải. 1. Gọi tiếp điểm là M a; b , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k y' a 3a2 2 m 1 a 4m 2 , theo giả thiết suy ra k 10 Trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình 3a2 2 m 1 a 4m 8 0 có nghiệm kép hay ' 0 tức m 5 , thay vào ta được a 2 M 2; 29 . Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y 10x 9 2x0 3 2. Gọi M x0 ; y0 là điểm thuộc đồ thị C , khi đó: y0 y x0 x0 1 3x 4y 2 0 0 Ta có: d M, d 2 2 3x0 4y0 12 0 hoặc 32 42 3x0 4y0 8 0 2x 3 0 2 TH1: 3x0 4y0 12 0 3x0 4 12 0 3x0 x0 0 x0 0 x0 1 1 hoặc x 0 3 2x 3 0 2 TH2: 3x0 4y0 8 0 3x0 4 8 0 3x0 19x0 20 0 x0 1 4 x 5 hoặc x 0 0 3 Phương trình tiếp tuyến d tại M thuộc đồ thị C có dạng: 1 y y' x x x y x trong đó và y' x , x 1 . 0 0 0 0 2 0 x0 1 Phương trình tiếp tuyến d1 tại M1 0; 3 là y x 3 . 1 11 9 47 Phương trình tiếp tuyến d2 tại M2 ; là y x . 3 4 16 16 177
12. 7 1 23 Phương trình tiếp tuyến d3 tại M3 5; là y x . 4 16 16 4 Phương trình tiếp tuyến d4 tại M4 ; 1 là y 9x 13 . 3 Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: 9 47 1 23 y x 3, y x , y x , y 9x 13 . 16 16 16 16 Ví dụ 8 x 3 1. Cho hàm số y C và đường thẳng d : y 2x m. Tìm m để đường x 2 m thẳng dm cắt C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm đối xứng I của C cách đều hai tiếp tuyến với C tại các điểm A, B. 2. Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đường 10 thẳng đi qua hai điểm A, B bằng . 5 Lời giải. 1. D ¡ \ 2. Hoành độ giao điểm của đường thẳng dm và C là nghiệm của phương trình x 3 2x m 2x2 m 5 x 2m 3 0 x 2 x 2 Để dm cắt C tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có: 2 2 0 m 5 4.2. 2m 3 0 m 3 40 0 m ¡ g 2 0 2 2.2 2 m 5 2m 3 0 15 0 Các tiếp tuyến: 5 5 5 5 : y x x 1 , : y x x 1 1 2 1 x 2 1 2 2 x 2 x1 2 1 x2 2 2 2 2 x 2 x 2 25 d I; d I; 1 2 m 3. 1 2 2 2 x1 2 x2 2 Vậy, m 3 là giá trị cần tìm. 3 2 3 2 2. Gọi A x1; y1 x1 3x1 1 , B x2 ; y2 x2 3x2 1 là 2 điểm cần tìm với x1 x2 Ta có y' 3x2 6x 178
13. Hệ số góc của các tiếp tuyến của C tại A và B lần lượt là 2 2 k1 3x1 6x1 ,k2 3x2 6x2 Tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau nên 2 2 k1 k2 3x1 6x1 3x2 6x2 3(x1 x2 ) x1 x2 6(x1 x2 ) 0 x1 x2 2 0 x2 2 x1 y y x3 x3 3(x2 x2 ) Hệ số góc của đường thẳng AB là k 2 1 1 2 1 2 x2 x1 x2 x1 2 k x1 x2 x1x2 3 x1 x2 4 x1(2 x1) 6 2x1 2 3 2 Phương trình đường thẳng AB là y ( 2x1 2)(x x1) x1 3x1 1 ( 2x1 2)x y 2x1 1 0 2 2 x1 2x1 1 x1 2x1 1 10 2 d O,AB 2 2 5 5 2 2 x1 2x1 2 1 x1 2x1 1 1 1 2 2 2 5 x1 2x1 1 2 x1 2x1 1 1 1 .Bình phương 2 vế và rút gọn 2 2 2 được: 3 x1 2x1 1 4 x1 2x1 1 4 0 2 x2 2x 1 2 1 hoặc x2 2x 1 2 1 1 1 1 3 Giải 1 ta được x1 1 x2 1 3 2 6 3 2 6 Giải 2 ta được x hoặc x 1 3 1 3 3 2 6 9 2 6 3 2 6 9 2 6 Vậy, các điểm cần tìm là A ; ,B ; hoặc ngược 3 9 3 9 lại. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 1. Tìm trên (C) : y 2x3 3x2 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 6x2 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. 1 1 4 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 2x , biết tiếp 3 2 3 tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 . 179
14. 2x 1 4. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C : y biết d cách đều 2 x 1 điểm A 2; 4 và B 4; 2 . 5. Tìm m ¡ để từ điểm M 1; 2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2 Cm : y x 2x m 1 x 2m . 3m 1 x m2 m 6. Cho hàm số y có đồ thị là C , m ¡ và m 0 .Với giá trị x m m nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0 . Viết phương trình tiếp tuyến đó. 7. Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến d , t của đồ thị C : y x3 6x2 9x song song với nhau thì hai tiếp điểm A,B đối xứng nhau qua M 2; 2 . 8. Tìm m ¡ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x 1 9. Tìm m để đồ thị : y mx3 m 1 x2 3m 4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại 3 đó vuông góc với đường thẳng x y 2013 0 . 10. Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị là C . Giả sử d là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x 2 , đồng thời d cắt đồ thị C tại N, tìm tọa độ N . Bài 2: 1. Cho hàm số y x3 2x2 8x 5 có đồ thị là C . Chứng minh không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau. 2x2 2. Cho hàm số y .Tìm 0; sao cho điểm M 1 sin ;9 nằm trên đồ thị x 1 2 C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của C tại điểm M cắt hai tiệm cận của C tại hai điểm A,B đối xứng nhau qua điểm M . 3. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng 5 cách đến điểm M 0; 3 bằng . 65 4. Tìm m để đồ thị y x3 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 1 x y 7 0 góc sao cho cos . 26 5. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y x4 2mx2 2m 1 tại A 1;0 và 15 B 1;0 hợp với nhau một góc  sao cho cos . 17 180
15. 2x 2 6. Cho hàm số: y có đồ thị C . x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) . a. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1. b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1. c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. d. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 2x 7. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết: x 1 a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x 2y 0 c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 9x 2y 1 0 d. Tạo với đường thẳng d' : 4x 3y 2012 0 góc 450 2 e. Tạo với chiều dương của trục hoành một góc sao cho cos 5 f. Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) x4 x2 Bài 3: Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). 4 2 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : y 2x 2 . 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) 9 bằng . 4 5 Bài 4: ax b 1. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm a,b biết tiếp tuyến của đồ thị C tại x 2 1 giao điểm của C và trục Ox có phương trình là y x 2 2 2. Cho hàm số y ax4 bx2 c (a 0) , có đồ thị là C . Tìm a,b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0; 3 và tiếp tuyến d của C tại giao điểm của C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24 . Bài 5: Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. 181
16. x3 Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1 . 3 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y 2 . 5 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 3 2 Bài 7: Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng y 3x 10 . 2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1. 3. Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến. Bài 8: Tìm m để đồ thị : 1 1. y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà 3 tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0 . x2 2mx 2m2 1 2. y cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2x 1 Bài 9: Tìm điểm M trên đồ thị C : y sao cho khoảng cách từ M đến x 1 đường thẳng : x 3y 3 0 đạt giá trị nhỏ nhất. Trong trường hợp này, chứng minh song song với tiếp tuyến của C tại M . Bài toán 02: .TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH Phương pháp . · OB Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tanOAB , trong OA · đó hệ số góc của d được xác định bởi y' x tanOAB 2x 1 Ví dụ : Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 1. Giải bất phương trình y' 4 ; 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA 4OB . Lời giải. 182
17. 1 1. Ta có y' . (x 1)2 1 1 1 3 1 (x 1)2 x 1 x Bất phương trình y' 4 4 4 2 2 2 (x 1)2 x 1 x 1 x 1 2. Cách 1: · OB 1 1 1 Ta có tanOAB nên hệ số góc của tiếp tuyến k hoặc k . OA 4 4 4 1 1 Nhưng do y' 0,x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k . (x 1)2 4 1 1 x 3 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình . (x 1)2 4 x 1 1 5 1 13 Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn: y x ; y x 4 4 4 4 Cách 2: 2x 1 0 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; (x0 1) là: x0 1 1 2x 1 x 2x2 2x 1 y (x x ) 0 hay y 0 0 2 0 x 1 2 2 (x0 1) 0 (x0 1) (x0 1) Ta xác định được tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ: 2x2 2x 1 A(2x2 2x 1;0),B 0; 0 0 0 0 2 (x0 1) Từ giả thiết OA 4OB , ta có: 2 2 2x 2x 1 2 x0 3 2x 2x 1 4 0 0 (x 1) 4 0 0 2 0 x 1 (x0 1) 0 Cách 3: Giả sử A(a;0),B(0; b) với ab 0 . b 1 Với giả thiết OA 4OB a 4 b a 4b a 4 x y b Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng : 1 hay : y x b a b a b Đường : y x b tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi và chỉ khi hệ sau có a 0 1 b (*) 2 a (x0 1) b b 1 nghiệm x0 : (I). Từ (*) suy ra 0 . 2x 1 b a a 4 0 x0 b ( ) x0 1 a 183
18. 1 1 x0 3 13 2 4 b (x0 1) x0 1 4 Hệ (I) trở thành 2x 1 1 2x 1 1 5 0 x b b 0 x b 0 4 x0 1 4 x0 1 4 1 5 1 13 Do vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: y x ; y x 4 4 4 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x 1 Bài tập: Cho hàm số y có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ x 1 thị C sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A,B thoả mãn OA 4OB. Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT A,B MÀ TIẾP TUYẾN TẠI A,B THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Các ví dụ Ví dụ 1 x2 2mx m 1 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y , m là tham số khác 0 và khác x m 3 1.Chứng minh rằng nếu (C) cắt Ox tại điểm M có hoành độ x0 thì hệ số góc của tiếp 2x 2m tuyến của (C) tại M là : k 0 x0 m 2.Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến của (C) tại hai điêm đó vuông góc với nhau. Lời giải. 3m2 m 1. Ta có y x 3m x m 1 Khi m 0 và m thì đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu do đó đồ thị 3 hàm số không suy biến thành đường thẳng. Hệ số góc của tiếp tuyến (d) của (C) tại M là (2x 2m)(x m) (x2 2mx m) k y'(x ) 0 0 0 0 . 0 2 (x0 m) 2 x0 2mx0 m 2 Vì M thuộc Ox nên y(x0 ) 0 x0 2mx0 m 0 . x0 m (2x 2m)(x m) 2x 2m k 0 0 0 (đpcm). 2 x m (x0 m) 0 2.Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox 184
19. x2 2mx m x m 0 2 x m g(x) x 2mx m 0 (1) (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt M,N (1) có hai nghiệm x1, x2 khác – m . m 0  m 1 ' m2 m 0 m 0  m 1 2 1 .(*) g( m) 0 3m m 0 m 3 Khi đó hệ số góc của hai tiếp tuyến của (C) tại M, N là 2x1 2m 2x2 2m k1 , k2 . x1 m x2 m Hai tiếp tuyến này vuông góc k1.k2 1 2x1 2m 2x2 2m 1 x1 m x2 m 2 2 4[x1x2 m(x1 x2 ) m ] x1x2 m(x1 x2 ) m (2) 2 Lại có x1 x2 2m , x1.x2 m Do đó : (2) m 5m 0 m 0  m 5 . So với điều kiện (*) nhận m = 5. 2x 3 Ví dụ 2 : Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho x 2 tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ \ 2 1 Gọi điểm M m; 2 C . m 2 1 1 Ta có : y' y' m . 2 2 x 2 m 2 1 1 Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : y x m 2 2 m 2 m 2 2 Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : A 2; 2 m 2 Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B 2m – 2 ; 2 2 1 Ta có : AB2 4 m 2 8 . Dấu “=” xảy ra khi m = 2 2 m 2 Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) 185
20. x Ví dụ 3 : Cho hàm số y có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết x 1 rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I 1;1 . Lời giải. x 0 Với x0 1 , tiếp tuyến (d) với (C) tại M x0 ; có phương trình : x0 1 1 x 1 x2 y (x x ) 0 x y 0 0 2 0 x 1 2 2 (x0 1) 0 (x0 1) (x0 1) ur 1 uur 1 (d) có vec tơ chỉ phương u 1; , IM x 1; 2 0 x 1 (x0 1) 0 Để (d) vuông góc IM điều kiện là : ur uur 1 1 x0 0 u.IM 0 1.(x 1) 0 0 2 x 1 x 2 (x0 1) 0 0 Với x0 0 , ta được M 0;0 Với x0 2 , ta được M 2; 2 Vậy, M 0;0 và M 2; 2 là tọa độ cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x 3 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M x 2 thuộc C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,B · 4 sao cho côsin góc ABI bằng , với I là giao 2 tiệm cận. 17 2x 1 2. Cho hàm số y .Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C), các điểm M, N sao cho x 1 các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang. Bài 2: x2 3x 3 1. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại x 2 M cắt C tại hai điểm A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí của M . 186