Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 9: Điểm đặc biệt của đồ thị (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 9: Điểm đặc biệt của đồ thị (Có hướng dẫn)

1. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ. Dạng 1: Tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị. Bài toán: Cho đồ thị C : y f x , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua điểm A hoặc đường thẳng d : ax by c 0 ( cho sẵn ) Cách giải: - Giả sử M x0 ; y0 (C) y0 f x0 1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 ,y0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d ). Nên ta có : yN f xN 2 - Từ 1 và 2 ta tìm được tọa độ của điểm M,N . Bài toán. Cho hàm số C : y f x .Tìm các cặp điểm trên C đối xứng với nhau qua điểm I xI ; yI . Cách giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x1; y1) và N(x2 ; y2 ) ,thế thì ta có: • M và N đối xứng qua I I là trung điểm của đoạn MN . • M và N thuộc (C) nên tọa độ của chúng nghiệm đúng phương trình y = f(x). Do đó tọa độ của M , N là nghiệm của hệ sau y1 f(x1) y f(x ) 2 2 . Giải hệ này sẽ tìm được tọa độ M , N . x1 x2 2xI y1 y2 2yI Đặc biệt: Nếu M , N là hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O , khi đó nếu M x0 ; y0 thì N( x0 ; y0 ) .suy ra (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ y f(x ) 0 0 Giải hệ tìm được tọa độ M , N . y0 f( x0 ) Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi SI là phép đối xứng tâm I. x' 2a x x 2a x' Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi y' 2b y y 2b y' Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI là (C) : 2b y f(2a x) y f(2a x) 2b Các ví dụ Ví dụ 1 : 252
2. 1. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm M –1; 3 . 2x 4 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm trên C hai điểm đối xứng nhau qua x 1 đường thẳng MN biết M –3; 0 và N –1; –1 . Lời giải. 1. Gọi A x0 ; y0 , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1; 3) B 2 x0 ;6 y0 3 y x 3x 2 A,B (C) 0 0 0 3 6 y0 ( 2 x0 ) 3( 2 x0 ) 2 3 3 2 6 x0 3x0 2 2 x0 3 2 x0 2 6x0 12x0 6 0 x0 1 y0 0 Vậy 2 điểm cần tìm là: 1;0 và 1;6 uuuur 2. MN (2; 1) phương trình MN : x 2y 3 0 . Phương trình đường thẳng d  MN có dạng: y 2x m . 2x 4 Phương trình hoành độ giao điểm của C và d : 2x m x 1 2x2 mx m 4 0 (x 1) 1 d cắt C tại hai điểm phân biệt A,B m2 – 8m – 32 0 2 Khi đó A(x1; 2x1 m), B(x2 ; 2x2 m) với x1 , x2 là các nghiệm của 1 x1 x2 m m Trung điểm của AB là I ; x1 x2 m  I ; (theo định lý Vi-et) 2 4 2 A,B đối xứng nhau qua MN I MN m 4 Suy ra 1 2x2 4x 0 x 0,x 2 A 0; – 4 , B 2; 0 . Ví dụ 2 : Cho hàm số y x3 mx2 9x 4 . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . Lời giải. Giả sử M x0 ; y0 ,N x0 ; y0 x0 0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có : 3 2 y0 x0 mx0 9x0 4 1 3 2 y0 x0 mx0 9x0 4 2 2 Lấy 1 cộng với 2 vế với vế ,ta có : mx0 4 0 3 Để 3 có nghiệm khi và chỉ khi m 0 . 253
3. Vậy, với m 0 thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ 4 O có hoành độ x . 0 m Ví dụ 3 : x 3 1. Tìm trên đồ thị C : y hai điểm M,N đối xứng nhau qua I(1; 2) . x 2 2x 1 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A và x 3 B đối xứng nhau qua điểm M 1; 2 . Lời giải. 1. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I. (2 1 x) 3 5x 15 Ta có phương trình của (C') là: 2 ( 2) y y . (2 1 x) 2 x 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (C') và (C) là x 3 5x 15 2 x 1 x 2x 3 0 x 2 x 4 x 3 Hai điểm M,N cần tìm là M( 1; 4) và N(3;0) . 2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng ; 3  3; Cách 1: 2a 1 2b 1 Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm là A a; , B b; a,b 3 a 3 b 3 Vì A, B đối xứng nhau qua M 1; 2 nên M là trung điểm của AB do đó a b 2.1 a b 2 a b 2 a 4 b 2 2a 1 2b 1 2a 1 2a 1 2. 2 4 ab 8 a 2 b 4 a 3 b 3 a 3 b 3 Vậy các điểm cần tìm là A 4;1 , B 2; 5 hoặc A 2; 5 , B 4;1 Cách 2: 2a 1 Gọi A a; Phép đối xứng tâm M 1; 2 biến A thành điểm B có tọa độ thỏa a 3 xB 2xM xA 2a 1 mãn: nên B 2 a; 4 yB 2yM yA a 3 2a 1 2a 2 a 1 Mà B C  a2 2a 8 0 a 2 hoặc a 4 a 3 2 a 3 Vậy, các điểm cần tìm là A 4;1 , B 2; 5 hoặc A 2; 5 , B 4;1 254
4. x3 1 Ví dụ 4. Tìm m để (Cm) : y (m 2)x2 2mx 1có hai điểm cực trị đối xứng 3 2 với nhau qua đường thẳng 9x – 6y – 7 = 0. Lời giải. y' x2 (m 2)x 2m y' 0 x 2  x m Hàm số có hai điểm cực trị Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt m 2 Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 1 m3 A 2; 2m , B m; m2 1 . 3 6 A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) AB  (d) và trung điểm I của đoạn AB thuộc (d). r Một vectơ chỉ phương của (d) là a (2; 3) . uuur m3 4 AB m 2; m2 2m 6 3 uuur r m3 AB vuông góc với (d) AB.a 0 2m 4 3m2 6m 4 0 2 m3 m 0 2   3m 4m 0 2 m = 0 m = 4 m = 2 (loại). 2 m 6m 8 0 1 1 Với m = 0 thì A 2; , B(0;1) suy ra trung điểm của AB là I 1; . 3 3 Thay tọa độ I vào phương trình của (d) ,ta được 0 = 0 ,suy ra I (d) .vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 23 19 Với m = 4 thì A 2; , B 4; suy ra I(3;7). 3 3 Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được 27 – 42 -7 = 0 (sai) I (d) . Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán. Vậy, m = 0 thỏa mãn bài toán. x 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Gọi A,B là 2 giao điểm của đường x 1 1 thẳng : y x với đồ thị C . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác góc 6 phần tư thứ nhất sao cho MA MB có giá trị nhỏ nhất. Lời giải. 255
5. 1 1 y x A 2; 6 3 Tọa độ A,B là nghiệm của hệ phương trình: x 1 1 y B 3; x 1 2 A,B nằm về cùng phía đối với đường phân giác d : x y 0 . Gọi A' a;b là điểm 1 a 2 .1 b .1 0 3 đối xứng của A qua d nên có: 1 b a 2 3 0 2 2 1 a 1 uuuur 1 3 A' ; 2 A'B 16; 9 . 3 6 b 2 x 3 16t Phương trình tham số của A'B là : 1 t R . y 9t 2 Khi đó M là giao điểm của A'B và d . Tọa độ M là nghiệm của hệ x y 0 7 7 7 7 x 3 16t M ; . Vậy M ; là tọa độ cần tìm 5 5 5 5 1 y 9t 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị C . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua : y 2x 2 Lời giải. Vì A, B cùng thuộc đồ thị C nên A a; a3 3a 2 , B b; b3 3b 2 a b a b a3 3a 2 b3 3b 2 Gọi I là trung điểm của AB I ; 2 2 uuur Ta có AB b a 1; 3 a2 ab b2 Do A, B đối xứng nhau qua : y 2x 2 nên: uuur ur 7 a2 ab b2 AB.u 0 2 I a b a2 ab b2 1 0 256
6. 7 a2 ab b2 7 Với 2 a b 2 a b 0 2 2 9 19 2 2 7 a b a b a ab b 4 Với 2 2 2 2 5 5 a ab b 1 0 ab ab 4 4 2 19 19 5 Vì 4. hệ vô nghiệm 2 2 4 14 14 14 14 Vậy tọa độ cần tìm là A ; 2 , A ; 2 2 4 2 4 Ví dụ 7. Cho hàm số y x3 3x 3 có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A, B song song với trục hoành và AB 3. Lời giải. uuur r Vì AB song song với trục hoành nên AB ki k 1;0 là véc tơ chỉ phương đơn vị của trục hoành. Do AB 3 nên k 3 k 3 uuur r uuur r Với k 3 AB 3i BA 3i vì vậy chúng ta sẽ không quan tâm tới thứ tự A, B uuur nên chỉ cần xét AB 3;0 uuur ur Vì AB 3;0 nên B là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến Tur với v 3;0 do đó v tọa độ điểm B là giao điểm của đồ thị C và đồ thị C' là ảnh của C qua phép tịnh tiến Tur v Phương trình C' qua phép tịnh tiến Tur là v 3 y x 3 3 x 3 3 x3 9x2 24x 15 y x3 3x 3 x 1 y 1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 3 2 y x 9x 24x 15 x 2 y 5 uuur Với B 1;1 thì từ AB 3;0 A 2;1 uuur Với B 2; 5 thì từ AB 3;0 A 1; 5 Vậy, các cặp điểm cần tìm A 2;1 , B 1;1 và A 1; 5 , B 2; 5 hoặc ngược lại. 257
7. 4 16 Ví dụ 8. Cho hàm số y x3 x2 có đồ thị là C . Gọi B x 1 , D là giao 3 3 B điểm của C và đường thẳng d : 4x 3y 16 0 . Xác định tọa độ trọng tâm G của ABC . Biết A thuộc trục hoành, ABC vuông tại A, C d và đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính bằng 1 . Lời giải. 4 16 16 4x Tọa độ giao điểm B,C là nghiệm phương trình: x3 x2 3 3 3 2 2 x x 4 4 x 1 x x 4 0 x 4, x 1 vì xB 1 20 B 4;0 ,D 1; hoặc D 1; 4 3 4 16 Cách 1: d : y x . Nhận thấy, d tạo với Ox một góc mà 3 3 4 · 4 AC 4 4 tan tan ABC hay AC a với AB a 0 3 3 AB 3 3 4 16 4 Do r 1 nên p S a a a2 a2 a a a a 3 0 a 3 3 9 3 Với a 3 A 1;0 hoặc A 7;0 . 4 A 1;0 ,C 1; 4 G 2; , trường hợp này C  D hay C thuộc đồ thị C 3 4 A 7;0 ,C 7; 4 G 6; . Do bài toán không yêu cầu C D nên cả 2 trường 3 hợp đều thỏa mãn. Cách 2: 16 4a Vì A Ox A a;0 và C d C a; nên AB a 4 , 3 16 4a 5 AB BC CA AC ,BC a 4 p là nửa chu vi. 3 3 2 1 1 16 4a ABC vuông tại A S AB.AC a 4 ABC 2 2 3 1 16 4a 1 16 4a 5 Với SABC pr a 4 a 4 a 4 do r 1 2 3 2 3 3 a 4 3 a 1 hoặc a 7 4 Với a 1 A 1;0 ,C 1; 4 G 2; 3 258
8. 4 Với a 7 A 7;0 ,C 7; 4 G 6; 3 4 4 Vậy, G 2; hoặc G 6; là tọa độ cần tìm 3 3 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2 x 2 1. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho x 1 5 chúng đối xứng nhau qua điểm I 0; . 2 x3 2. Cho hàm số y x2 3x 1 có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao 3 1 7 cho chúng đối xứng nhau qua điểm E ; . 2 6 3 2x 3. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho x chúng đối xứng nhau qua điểm E 1; 1 . 4. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm I 2;18 . 3x2 3x 2 5. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho 2x 1 1 chúng đối xứng nhau qua điểm I ;1 . 2 Bài 2: x2 1. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng x 1 đối xứng nhau qua đường thẳng d : y x 1 x2 2x 2 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm m để đường thẳng d cắt C tại x 1 hai điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng d' : y x 3 x2 m 2 x m 1 3. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm m để đồ thị C có x 1 m m hai điểm nằm trên đường thẳng d 5x y 3 0 , đồng thời chúng đối xứng nhau qua đường thẳng d' : x 5y 9 0 259
9. x2 x 1 4. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm những cặp điểm trên C đối xứng x 1 nhau qua đường thẳng : 16x 17y 33 0 . 5. Cho hàm số y x3 3x 4 có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho 3 chúng đối xứng nhau qua đường thẳng x . 2 2x 1 6. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho x 2 chúng đối xứng nhau qua đường thẳng x – 3y 8 0. x2 x 4 7. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho x 1 1 5 chúng đối xứng nhau qua đường thẳng y x 3 3 Bài 3: 3 1 1. Cho hàm số y x3 mx2 m3 có đồ thị C . Tìm m để đồ thị C có cực 2 2 m m đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : y x x2 mx 2m 3 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Chứng minh rằng hàm số luôn x 2 m có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 2y 8 0 . Bài 4: 1. Cho hàm số y x3 3x2 3 có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm I(1; 1) . 2. Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): y x3 2 2x . Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ O. Bài 5: 2 1. Chứng minh rằng với các điểm A,B,C phân biệt thuộc đồ thị (C) : y thì tam x giác ABC cũng có trực tâm H thuộc đồ thị (C) . x 1 2. Chứng minh A,B,C thuộc (C) : y thì trực tâm H của tam giác ABC cũng x 2 thuộc (C) . Bài 6: 1. Cho hàm số y 2x2 3x 1 có đồ thị là P và đường thẳng : y x 5 . Tìm các điểm M P ,N sao cho MN nhỏ nhất. 260
10. 2. Tìm các điểm M trên đồ thị C : y x4 2x2 1 sao cho tiếp tuyến của C tại 17 M vuông góc với đường thẳng IM, với I 0; . 8 3. Tìm trên đồ thị C : y x3 3x2 1, 2 điểm M, N sao cho MN 4 2 và tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Bài 7: 2 1. Tìm tọa độ 2 điểm B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị y sao cho tam x giác ABC vuông cân tại A 1; 2 . 2x 1 2. Tìm các điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của C : y sao cho khoảng cách x 1 giữa 2 điểm đó ngắn nhất. Bài 8: Tìm tọa độ 2 điểm B, D sao cho ABCD là hình vuông, biết rằng D là điểm nằm trên đường thẳng d : x y 2 0 ; I 1;9 là trung điểm AC ; A và C là 2 1 1 7 7 điểm nằm trên đồ thị y x3 x2 x . 3 2 3 2 Bài 9: x2 4x 5 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị C những điểm M có x 2 khoảng cách đến đường thẳng 3x y 6 0 nhỏ nhất. 2. Tìm trên đồ thị C : y x3 3x có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm O 0;0 . 2x 1 Bài 10: Trên đồ thị C : y lấy điểm A có hoành độ bằng 3 . Tìm điểm x 2 tọa độ điểm B thuộc C sao cho tam giác OAB vuông tại A ( O là gốc tọa độ ). 1 2x Bài 11: Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị C hai điểm A và 1 x B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : 8x 4y 21 0 . Bài 12: 1. Cho hàm số y x2 có đồ thị là P và điểm A 1;1 ,B 3;9 thuộc P . Tìm điểm M trên cung AB sao cho diện tích AMB lớn nhất. x 2 2. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm điểm M trên đồ thị C sao cho x 1 khoảng cách từ M : 6 5 a. Đến đường thẳng d : 2x y 2 0 bằng . 5 261
11. b. Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox. Bài 13: 3x 1 1. Tìm tọa độ 2 điểm B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị y sao cho x 1 tam giác ABC vuông cân tại A 2;1 . 2x 2. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh của C x 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A 2;0 . 3. Với O 0;0 và A 2; 2 là 2 điểm thuộc đồ thị y x3 3x , tìm điểm M nằm trên cung OA của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến OA lớn nhất. 4. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y 3x 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị của hàm số y x3 3x2 2 là nhỏ nhất. 5. Tìm điểm M thuộc đồ thị y x4 2x2 4 sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất, với A 0; 16 , B 1; 8 . 6. Tìm điểm M thuộc đồ thị y x3 3x2 3x 4 sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm A 3; 3 nhỏ nhất. Bài 14: Cho hàm số y x3 5x2 10x 8 , có đồ thị C . 1. Gọi A là điểm thuộc C , C là điểm thuộc đường thẳng d : x 7y 25 0 và 1 7 I ; là trung điểm AC . Tìm tọa độ điểm B có hoành độ âm sao cho tam giác 2 2 OAB vuông cân tại A . 2. Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung ( E,F khác O ). Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất. 5 41 Bài 15: Tìm trên đồ thị C : y x3 x có bao nhiêu bộ 4 điểm A, B, C, D 3 12 sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm O . Bài 16: Tìm tất cả các điểm trên C có tọa độ là các số nguyên. 3 x 1 3x2 5x 14 1. y 2. y x 2 6x 1 Bài 17: 262
12. x2 3x 6 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị C tất cả các cặp x 2 1 điểm đối xứng nhau qua điểm I ;1 . 2 x2 x 1 2. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm những cặp điểm trên đồ thị C x 1 đối xứng nhau qua đường thẳng d : 16x 17y 33 0 . Dạng 2: Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không đi qua. Phương pháp . Ta thường gặp bài toán sau Bài toán : Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) : y f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : M (C) M(m;f(m)) . Dựa vào tính chất T của M ta tìm được m . 1. Điểm cố định của họ đường cong Điểm A(x0 ; y0 ) gọi là điểm cố định của họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) nếu F(x0 ,m) y0 m (1). Để giải quyết (1) ta thường biến đổi (1) về dạng 2 f(x0 ,y0 ).m g(x0 ,y0 ).m h(x0 ,y0 ) 0 m ¡ f(x0 ,y0 ) g(x0 ,y0 ) h(x0 ,y0 ) 0 Từ đó ta tìm được A 2. Điểm mà họ đường cong không đi qua Điểm A(x0 ; y0 ) gọi là điểm không có đường cong nào của họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) đi qua nếu F(x0 ,m) y0 m ¡ Hay phương trình F(x0 ,m) y0 vô nghiệm với mọi m a 0 Chú ý : Phương trình ax b 0 vô nghiệm . b 0 Các ví dụ 3 Ví dụ 1. Cho hàm số y (m 2)x 3(m 2)x m 7 có đồ thị là Cm . Chứng minh rằng họ đường cong (Cm ) luôn đi qua ba điểm cố định và ba điểm này nằm trên một đường thẳng. Lời giải. Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định của họ đường cong (Cm ) 263
13. 3 y0 (m 2)x0 3(m 2)x0 m 7 m ¡ 3 3 m(x0 3x0 1) 2x0 6x0 7 y0 0 m ¡ 3 x 3x 1 0 x3 3x 1 0 0 0 0 0 3 y0 2x0 6x0 7 y0 2(3x0 1) 6x0 7 12x0 5 Vì phương trình x3 3x 1 0 luôn có ba nghiệm phân biệt nên ta suy ra họ đường cong (Cm ) luôn đi qua ba điểm cố định. Từ phương trình y0 12x0 5 ba điểm cố định này nằm trên đường thẳng y 12x 5 . (m 1)x m Ví dụ 2. Chứng minh rằng họ C : y luôn tiếp xúc với một đường m x m thẳng cố định. Lời giải. Cách 1: Giả sử Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng y ax b . Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m: (m 1)x m m2 ax b m 1 a(x m) am b x m x m 2 m m2 a a 2 2 (x m) (x m) 2m2 am m 1 b x m (am m 1 b)2 a m ¡ m2 2 a 4m 2 (x m) a 1 (a 1)2 m2 2(1 b)(a 1)m (1 b)2 0 m b 1 Vậy Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng y x 1. Cách 2: Ta dễ dàng tìm được điểm cố định của Cm là A(0;1) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : y'(0) 1 nên tiếp tuyến tại A có phương trình: y x 1 Vậy Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng y x 1. Cách 3: Giả sử M(x0 ; y0 ) là điểm mà không có đường nào của họ Cm đi qua (m 1)x0 m y0 (x0 1 y0 )m x0y0 x0 (m x0 ) vô nghiệm với mọi m x0 m 264
14. x 1 y 0 y x 1 0 0 0 0 x0y0 x0 0 x0 0 y0 x0 1 Ta dễ dàng chứng (x0 1 y0 )( x0 ) x0y0 x0 x0 0 minh được Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng y x 1 Vậy, Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng y x 1. Chú ý: Để chứng minh một họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) tiếp xúc với một đường cong cố định ta có các cách sau Cách 1. Sử dụng hệ để xét điều kiện tiếp xúc: Giả sử họ (Cm) luôn tiếp xúc với đường cố định (C): y g(x) . Khi đó hệ phương trình F(x,m) g(x) sau có nghiệm với mọi m: . Từ đây ta xác định được g(x) . F'(x,m) g'(x) Ta thường chỉ áp dụng cách trên khi y g(x) là Parabol hoặc đường thẳng. Cách 2. Phương pháp tiếp tuyến cố định : (Áp dụng khi đường cố định là đường thẳng) Tìm điểm cố định và viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm cố định là một đường thẳng cố định thì tiếp tuyến đó là đường thẳng cần tìm. Cách 3. Phương pháp tìm đường biên của hình lồi: * Tìm những điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua, chẳng hạn ta được quỹ tích những điểm này là bao lồi có đường biên (C): y g(x) . * Ta chứng minh (Cm) luôn tiếp xúc với đường (C) : y g(x) . Ví dụ 3. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ đồ thị Cm : (m 1)x2 m2 y (m 0) luôn tiếp xúc với một Parabol cố định x m Lời giải. m3 Ta có y (m 1)x m(m 1) tiệm cận xiên của C là đường thẳng d x m m có phương trình: y (m 1)x m(m 1) . Cách 1: Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình : y ax2 bx c (a 0) . Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m : ax2 bx c (m 1)x m(m 1) (1) 2ax b m 1 (2) m 1 b Từ (2) suy ra x thay vào (1) ta có được: 2a (m 1 b)2 b(m 1 b) (m 1)(m 1 b) c m(m 1) 4a 2a 2a 265
15. (1 4a)m2 2[(1 b) 2a]m (1 b)2 4ac 0 (*) Vì hệ có nghiệm với mọi m nên (*) đúng với mọi m 1 a 1 4a 0 4 1 1 1 1 (1 b) 2a 0 b (P) : y x2 x . 2 4 2 4 2 (1 b) 4ac 0 1 c 4 1 1 1 Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : y x2 x . 4 2 4 Cách 2: Giả sử M(x0 ; y0 ) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình 2 2 y0 (m 1)x0 m m m (x0 1)m x0 y0 0 vô nghiệm m 1 1 1 (x 1)2 4x 4y 0 y x2 x . 0 0 0 0 4 0 2 0 4 Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol 1 1 1 (P) : y x2 x . 4 2 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 3 2 Bài 1: Cho hàm số y x (2m 1)x mx 3m 2 có đồ thị là Cm . 1. Tìm trên C1 những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ 2. Tìm m để trên tồn tại ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung. 3. Tìm tất cả các điểm cố định họ đường cong Cm luôn đi qua. 4.Tìm những điểm cố định mà không có đồ thị nào của họ Cm đi qua. mx 2 Bài 2: Cho hàm số y có đồ thị là C . 2x m m 1. Tìm những điểm cố định mà họ đồ thị Cm luôn đi qua. 2. Tìm tập hợp những điểm mà không có đường cong nào của họ Cm đi qua. Bài 3: 2x2 (1 m)x 1 m 1. Gọi C là đồ thị của hàm số y , m là tham số . Chứng m x m minh rằng với mọi m 1 Cm luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định . 1 2. Gọi C là đồ thị của hàm số y = 2mx m2 4 , m là tham số khác 0. m x 1 Chứng minh rằng với mọi m 0 đường tiệm cận xiên của Cm luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 266
16. (m 1)x m 3. Cho họ đồ thị C : y , m là tham số khác 0. Chứng minh rằng họ m x m Cm luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định. (m 2)x 3m 2 4. Chứng minh rằng với mọi tham số m khác 0, đồ thị Hm : y x 1 m luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định . Bài 4: 1. Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx4 (4m 1)x2 3m 1 . Tìm các điểm trên đường thẳng (d): y = x+1 mà không có đồ thị (Cm) nào đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào. 2. Cho họ đồ thị (Cm): y (m 3)x3 (3m 7)x m 3 . Chứng minh rằng (Cm) đi qua ba điểm cố định thẳng hàng. 3. Cho họ đồ thị (Cm) : y mx4 (m2 2m)x2 m3 . Chứng minh rằng với mọi điểm A cho trước trên mặt phẳng tọa độ , ta luôn tìm được duy nhất một giá trị m thích hợp để (Cm) đi qua A. 267