Luyện thi Vật lí Lớp 12 - Chương 5: Tổng hợp các dao động điều hoà - Chu Văn Biên

Nội dung text: Luyện thi Vật lí Lớp 12 - Chương 5: Tổng hợp các dao động điều hoà - Chu Văn Biên

1. MỤC LỤC Chủ đề 5. TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ 354 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 354 1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay. 354 2. Tổng hợp các dao động điều hòa 354 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN 354 Dạng 1. BÀI TOÁN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 354 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 366 Dạng 2. BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ “BIẾN TƯỚNG” TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 372 1. Bài toán ngược trong tổng hợp dao động điều hoà 372 2. “Biến tướng” trong tổng hợp dao động điều hoà 379 3. Hai chất điểm dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song hoặc trong hai mặt phẳng song song có cùng vị trí cân bằng là ở gốc tọa độ 382 4. Hiện tượng trùng phùng và gặp nhau 389 4.1. Hiện tượng trùng phùng với hai con lắc có chu kì khác nhau nhiều 389 4.2. Hiện tượng trùng phùng với hai con lắc có chu kì xấp xỉ nhau 390 4.3. Hiện tượng gặp nhau của hai con lắc 391 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 398
2. Chủ đề 5. TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay. Mỗi dao đông điều hòa được biểu diễn bằng một véc tơ quay. Véc tơ này có góc tại góc tọa độ của trục y Ox, có độ dài bằng biên độ dao động A, hợp với hục M Ox một góc ban đầu cp và quay đều quanh O với vận tốc góc ω. M y 1 2. Tổng hợp các dao động điều hòa. 1 A Phương pháp giản đồ Fre−nen: Lần lượt vẽ hai véc A1 tơ quay biếu diễn hai phương trình dao động thành y2 M2 phần. Sau đó vẽ véc tơ tổng hợp của hai véc tơ trên. 1 A Véc tơ tổng là véc tơ quay biểu diễn phương trình 2 2 của dao động tổng hợp. x O x1 2 x + Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao x1 A1 cos t 1 và x2 A2 cos t 2 thì dao động tổng hợp sẽ là: x x1 x2 A cos t với A và được xác định bởi: 2 2 2 A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 A sin A sin tan 1 1 2 2 A1 cos 1 A2 cos 2 Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao động thành phần. + Khi hai dao động thành phần cùng pha ( 2 1 2k ) thì dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2 + Khi hai dao động thành phần ngược pha ( 2 1 2k 1 ) thì dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A A1 A2 . + Trường hợp tổng quát: A1 A2 A A1 A2 . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN 1. Bài toán thuận trong tổng hợp dao động điều hòa. 2. Bài toán ngược trong tổng hợp dao động điều hòa. Dạng 1. BÀI TOÁN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Nội dung bài toán: Cho biết các phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp. Phương pháp giải: Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Cách 1. Phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính A và tan 2 2 A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 x1 A1 cos t 1 x A cos t A1 sin 1 A2 sin 2 x2 A2 cos t 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2 * Nếu một dạng hàm cos, một dạng hàm sin thì đổi: sin t cos t 2 354
3. * Nếu hai dao động cùng pha: 2 1 k2 Amax A1 A2 . * Nếu hai dao động thành phần ngược pha: 2 1 2k 1 Amin A1 A2 * Nếu hai dao động thành phần vuông pha: i 2k 1 A A2 A2 2 1 2 1 2 Cách 2. Phương pháp cộng các hàm lượng giác x x x 1 2 x A1 cos t 1 A2 cos t 2 x cost A cos A cos sin t A sin A sin E5155555155552 555552 555F E51555551 5552555552F A cos A sin x A cos t Cách 3. Phương pháp cộng số phức. x x1 x2  x A  A  A1 (I) 1 1 2 2 (II) Kinh nghiệm:  A 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hòa có thể dùng một 2 / 3  trong ba cách trên. Khi cần tổng hợp ba dao động điều hòa trở 4 A1 lên thì nên dùng cách 2 hoặc cách 3. 2) Phương pháp cộng số phức chỉ áp dụng trong trường hợp 3 các số liệu tường minh hoặc biên độ của chủng có dạng nhân (I II) (IV) cùng với một số. A1 2A Ví dụ: A2 3a Chọn a = 1. A 5a 3 3) Trường hợp chưa biết một đại lượng nào đó thì nên dùng phương pháp vectơ quay hoặc cộng hàm lượng giác. Trường hợp hai dao động thành phần cùng biên độ thì nên dùng phương pháp lượng. Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x 1 = 4cos(ωt + 30) cm, x2 = 8cos(ωt + 90) cm (với ω đo bằng rad/s và t đo bằng giây). Dao động tổng hợp có biên độ là A. 6,93 cm. B. 10,58 cm. C. 4,36 cm. D. 11,87 cm. Hướng dẫn 2 2 Bài toán đơn giản nên ta dùng cách 1 : A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 A 42 82 2.4.8cos 90 30 4,36 cm Chọn C. Nếu hiểu nhầm 30 rad và 90 rad là 30° và 90° thì sẽ dẫn đến kết quả sai. Ví dụ 2: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là π/3 và π/6 (phương trình dạng cos). Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng A. −π/2. B. π/4. C. π/6. D. π/12. Hướng dẫn 355
4. a sin a sin A sin A sin tan 1 1 2 2 3 6 Chọn B. A cos A cos 4 1 1 2 2 a cos a cos 3 6 Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 3 cos t / 2 cm;x2 cos t cm. Phương trình dao động tổng hợp là A. x = 2cos(ωt − π/3) cm. B. x = 2cos(ωt + 2π/3) cm. C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm. D. x = 2cos(ωt – π/6) cm. Hướng dẫn 2 2 x 3 1 2 x 2cos t cm Chọn B 2 3 3 Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm như sau: shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian) MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức) 3 Shift ( ) 1Shift ( ) (Màn hình máy tính sẽ hiển thị 3 1 ) 2 2 Shift 2 3 2 Màn hình sẽ hiện kết quả: 2 3 2 Nghĩa là biên độ A = 2 cm và pha ban đầu nên ta sẽ chọn B. 3 Chú ý: Để thực hiện phép tính vê số phức, bấm: MODE 2 màn hình xuất hiện CMPLX Muốn biểu diễn số phức dạng A bấm | SHIFT 2 3 Muốn biểu diễn số phức dạng: a + bi, bấm SHIFT 2 4 Để nhập ký tự  bấm: SHIFT ( ) Khi nhập các số liệu thì phải thống nhất được đơn vị đo góc là độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo là độ (D), bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo là Rad (R), bấm : SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 2sin(πt – 5π/6) cm, x2 = cos(πt + π/6) cm. Phương trình dao động tổng hợp A. x = 5 cos(πt + 1,63) cm. B. x = cos(πt – 5π/6) cm. C. x = cos(πt − π/6) cm. D. x = 5 cos(πt − 1,51) cm. Hướng dẫn 5 4 x1 2sin t 2cos t cm 6 3 Đổi hàm sin về cos: x2 cos t cm 6 356
5. 2 2 2 2 4 A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 2 1 2.2.1cos 5 cm 6 3 4 Cách 1: 2sin 1.sin A sin A sin tan 1 1 2 2 3 6 8 5 3 1,51 rad A cos A cos 4 1 1 2 2 2cos 1.cos 3 6 Chọn D: Cách 2: 5 x x1 x2 2sin t cos t 6 6 5 5 x 2sin t cos 2cos t sin cos t cos sin t sin 6 6 6 6 2 3 1 2 3 x cos t sin t 5 cos t 1,51 cm Chọn D. E55255F E55255F 5 cos 1,51 5 sin 1,51 Cách 3: 4 x x x 2 1 51,63 1 2 3 6 x 5 cos t 1,63 cm Chọn A. Bình luận: Đáp án đúng là A! Vậy cách 1 và cách 2 sai ở đâu ? Ta dễ thấy véc tơ tổng    A A1 A2 nằm trong góc phần tư thứ III vì vậy không thể lấy 1,51rad 1,51 rad Sai lầm ở chỗ, phương trình có hai nghiệm: tan 8 5 3 1,51 1,63 rad Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad để cho véc tơ tổng “bị kẹp” bởi hai véc tơ thành phần. Qua đó ta thấy máy tính không “dính những bẫy” thông thường giống như con người! Đây chính là một trong những lợi thế của cách 3. Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ lần lượt là a và a 3 và pha ban đầu tương ứng là 1 2 / 3, 2 / 6 . Pha ban đầu của dao động tổng hợp là: A. π/2 B. π/3 C. −π/2 D. 2π/3 Hướng dẫn Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = 1 và thực hiện như sau : 2 1 x x1 x2 1 3 2 x 2cos t cm Chọn B 3 6 3 3 Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm như sau: Shift MOD 4 (Để chọn đơn vị góc là radian) MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức) 2 1Shift ( ) 3 Shift ( ) 3 6 357
6. 2 (Màn hình máy tính sẽ hiển thị 1 3 3 6 Shift 2 3 1 Màn hình sẽ hiện kết quả: 2 3 Nghĩ là biên độ A = 2a, và pha ban đầu nên ta sẽ chọn B 3 Dùng máy tính Casio fx 570MS bấm như sau: Shift MODE 3 (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc là độ). MODE 2 (Để cài đặt tính toán với số phức) 1 SHIFT ( ) 120 3 SHIFT ( ) 30 Bấm SHIFT sẽ được A = 2. Bấm SHIFT sẽ được 60 Nghĩa là biên độ A = 2 cm và pha ban đầu = 60° nên ta sẽ chọn B. Chú ý : Nếu hai dao động thành phần có cùng biên độ thì ta nên dùng phương pháp lượng 1 2 1 2 giác: x a cos t 1 a cos t 2 2a cos cos t 2 2 Ví dụ 6: Phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động thành phần cùng phương cùng tần số: x1 = 4cos(100t) (cm); x2 = 4cos(100t + π/2) (cm) là A. x = 4cos(100t + π/4) (cm). B. x = 4 2 cos(100t + π/8) (cm) C. x = 4 2 cos(100t + π/4) (cm).D. x = 4cos(100t + 3π/4) (cm). Hướng dẫn x x1 x2 2.4cos cos 100t 4 2 cos 100t cm Chọn B. 4 4 4 Ví dụ 7: Biên độ dao động tổng hợp của ba dao động x1 4 2 cos 4 t cm , x2 4cos 4 t 0,75 (cm) và x3 3cos 4 t 0,25 cm là A. 7cm. B. 8 2cm. C. 8 cm. D. 7 2cm Hướng dẫn Cách 1: Phương pháp cộng các hàm lượng giác x x1 x2 x cost A1 cos 1 A2 cos 2 sin t A1 sin 1 A2 sin 2 x 3 3 x cos 4 t 4 2 cos0 4cos 3cos sin 4 t 4 2 sin 0 4sin 3sin 4 4 4 4 x 3,5 2 cos5t 3,5 2 sin 5t 7cos 4 t cm A 7 cm Chọn A. 4 Cách 2: Phương pháp cộng số phức: x x1 x2 A1 1 A2 2 3 1 x 4 20 4 3 7 Chọn A 4 4 4 358
7. Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm như sau: Shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian) MIDE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức) 3 4 2 Shift ( ) 0 4 Shift ( ) 3 Shift ( ) 4 4 3 (Màn hình máy tính sẽ hiển thị: 4 20 4 3 4 4 Shift 2 3 1 Màn hình sẽ hiện kết quả: 7 . 4 Nghĩa là biên độ A = 7 cm và pha ban đầu nên ta sẽ chọn A. 4 3 (Pha ban đâu bằng 0 thì chỉ cân nhập 4 2 4 3 vẫn được kểt quả nhưtrên). 4 4 Dùng máy tính Casio fx 570− MS, bấm như sau: SHIFT MODE 3 (Để cài đặt ban đầu, đom vị đo góc là độ). MODE 2 (Để cài đặt tính toán với số phức). 4 2 4 SHIFT ( ) 135 3 SHIFT ( ) 45 Bấm SHIFT sẽ được A = 7 Bầm SHIFT sẽ được 450 Nghĩa là biên độ A = 7 cm và pha ban đầu = 45° nên ta sẽ chọn A. Ví dụ 8: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng pha cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 5cos(2πt + ) cm; x2 = 3cos(2πt − π) cm ; x 3 = 4cos(2πt – 5π/6) cm, với 0 < < π/2 và tan = 4/3. Phương trình dao động tổng hợp là A. x 4 3 cos 2 t 5 / 6 cm. B. x 3 3 cos 2 t 2 / 3 cm. C. x 4cos 2 t 5 / 6 cm. D. x = 3cos(2πt – 5π/6) cm. Hướng dẫn 4 5 5 5arctan 3 4 4 Chọn C. 3 6 6 4 5 Shift ( ) Shift tan 4 Shift ( ) 3 Shift ( ) 3 6 Shift 2 3 5 Màn hình sẽ hiện kết quả: 4 . 6 Ví dụ 9: Vật thực hiện đông thời hai dao động cùng phương có phương trình x 1 = 8cos(20t – π/3) cm và x2 = 3cos(20t + π/3) cm (với t đo bằng giây). Tính gia tốc cực đại, tốc độ cực đại và vận tốc của vật khi nó vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm. Hướng dẫn Biên độ dao động tổng hợp: 359
8. 2 A A2 A2 2A A cos 64 9 2.8.3.cos 7 cm 1 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 a max  A 20 A 20 .7 2800 cm / s Gia tốc cực đại và tốc độ cực đại: vmax A 20.7 140 cm / s Vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm, tức là vị trí đó cách vị trí cân bằng: |x| = 7 − 2 = 5 (cm). Vận tốc tính theo công thức: v  A2 x2 20 72 52 40 6 cm / s (cm/s). Ví dụ 10: Một vật có khối lượng 0,5 kg thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng thương, cùng tần số có phương trình: x1 2 3 cos 10t / 3 cm, x2 4cos 10t / 6 cm , x3 8cos 10t / 2 cm (với t đo bằng s). Tính cơ năng dao động và độ lớn gia tốc của vật ở vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm. Hướng dẫn shift 23  1 Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: 2 3 4 8 6 3 6 2 6 Biên độ dao động tổng hợp là 6 cm nên cơ năng dao động : 1 1 W m2A2 0,5.102.0,062 = 0,09 (J) 2 2 Vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm, tức là vị trí đó cách vị trí cân bằng: |x| = 6 − 2 = 4(cm). Độ lớn gia tốc của vật tính theo công thức: a 2 x 102.4 400 cm / s2 Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động diêu hoà cùng phương cùng tần số và vuông pha với nhau. Nếu chỉ tham gia dao động thứ nhất thì cơ năng dao động là W 1. Nếu chỉ tham gia dao động thứ hai thì cơ năng dao động là W 2. Nếu tham gia đồng thời 2 dao động thi cơ năng dao động là 2 2 0,5 2 2 0,5 A. 0,5(W1 + W2). B. (W1 + W2).C. W1 W2 . D. 0,5 W1 W2 Hướng dẫn 2 2 Cả hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp: A A1 A2 1 1 1 Cơ năng dao động: W m2A2 m2A2 m2A2 W W Chọn B 2 2 1 2 2 1 2 Ví dụ 12: Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình là x1 A1 cost;x2 A2 cos t / 3 . Gọi W là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng W W A. . B. . 2 2 2 2 A2 A2 A A  A1 A2 1 2 1 2 W 2W C. . D. 2 2 2 2 2 2  A1 A2  A1 A2 A1A2 Hướng dẫn Biên độ dao động tổng hợp: A A2 A2 2A A cos A2 A2 A A 1 2 1 2 3 1 2 1 1 360
9. 1 2W Cơ năng dao động: W m2A2 m Chọn D. 2 2 2 2  A1 A2 A1A2 Ví dụ 13: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình x1 = 2cos(2πt + π/2) (cm) và x 2 = 2sin(2πt − π/2) (cm). Tính quãng đường đi được từ thời điểm t = 4,25 s đến t = 4,375 s. A. 10 cm. B. 9 cm. C. 6 cm. D. 2 cm. Hướng dẫn Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 2cos(2πt + π/2) + 2sin(2πt − π/2) Shift 23 3 3 2 2  2 2 x 2 2 cos 2 t cm 2 2 4 4 3  2 t 4 4 3  2 .4,25 4.2 1 4 4 4  2 4,375 4,25 S 2 cm 4 Chú ý: 2 1) Lực kéo về cực đại: Fmax kA m A 2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max k  0 A mg  0 k Trong đó  0 là độ biến sạng của lò xo ở vị trí cân bằng: mgsin  0 k Ví dụ 14: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1 kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà theo phương ngang, theo các phương trình: x1 = 5cosπt (cm) và x2 = 5sinπt (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo bằng giây, lấy π2 = 10). Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật là A. 50 2 N. B. 0,5 2 N. C. 25 2 N. D. 0,25 2 N. Hướng dẫn x 5cos t 1 2 2 x2 5sin t 5cos t A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 0,05 2 cm 2 2 k m 10 N / m Fmax k  0 A 10 0 0,005 2 0,5 2 N Chọn B Ví dụ 15: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1 kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, theo các phương trình : x1 5 2 cos10t (cm) và x2 5 2 sin10t (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo bằng giây và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s 2). Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật là A. 10N. B. 20 N. C. 25 N. D. 0,25 N. Hướng dẫn 361
10. x 5 2 cos10t 1 A x2 5 2 sin10t 5 2 cos 10t 2 2 2 mg k m 100 N / m  0,1 m 3 0 k 2 2 A A1 A2 2A1A2 cos 2 1 10 cm 0,1 m 3 Fmax k  0 A 100 0,1 0,1 20 N Chọn B. A Chú ý: Giả sử ở thời điểm nào đó x và đang tăng (giảm) để tính giá trị x 1 và x2 và có n thể: Dùng phương pháp vectơ quay; Giải phương trình lượng giác. Ví dụ 16: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình x 1 = 6cos(10t + π/6) (cm) và x2 = 6cos(10t + 5π/6) (cm). Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp là 3 cm và đang tăng thì li độ của dao động thứ hai là bao nhiêu? A. 10cm. B. 9cm. C. 6cm. D. – 3cm. Hướng dẫn Phương trình dao động tổng hợp: 5 x x1 x2 6 6 6 6cos 10t cm 36 6 2 2 5 Vì x = 3 cm và đang tăng nên pha dao động bằng(ở nửa dưới vòng tròn 10t 10t 2 6 5 5 5 x2 6cos 10t 6cos 6 cm 6 6 6 Chọn C. Chú ý: 1) Hai thời điểm cùng pha cách nhau một khoảng thời gian kT t2 t1 kt k2 x t1 x t2 T 2) Hai thời điểm ngược pha nhau cách nhau một khoảng (2k +1) 2 2k 1 x t1 x t2 T 3) Hai thời điểm vuông pha nhau cách nhau một khoảng 2k 1 4 T t t 2k 1 2k 1 A x2 x2 2 1 4 2 t1 t2 Ví dụ 17: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng pha cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(2πt + 2π/3) (cm), x2 = A2cos(2πt) (cm), x3 = A3cos(2πt – 2π/3) (cm). Tại thời điểm t1 các giá trị li độ x 1(t1) = −10 cm, x2 (t1) = 40 cm, x3 (t1)= −20 cm. Thời điểm t 2 = t1 + T/4 các giá trị li độ x 1(t2) = −10 3 cm, x2 (t2)= 0 cm, x3(t2) = 20 3 cm. Tìm phương trình của dao động tổng hợp? A. x = 30cos(2πt + π/3) (cm). B. x = 20cos(2πt − π/3) (cm). C. x = 40cos(2πt + π/3) (cm). D. x = 20 2 cos(2πt − π/3) (cm). 362
11. Hướng dẫn Hai thời điểm t2 và t1 vuông pha nên biên độ tính theo công thức: A x2 x2 A x2 x2 20 cm ;A x2 x2 40 cm t1 t2 1 1 t1 1 t2 2 2 t1 2 t2 A x2 x2 40 cm 3 3 t1 3 t2 Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: x x1 x2 x3 A1 1 A2 2 A3 3 2 2 20 40 40 20 x 20cos 2 t cm Chọn B. 3 3 3 3 Chú ý: Nếu bài toán cho biết trạng thái của hai dao động thành phần ở cùng một thời điểm nào đó, yêu cầu tìm trạng thái của dao động tổng hợp thì có thế làm thì hai cách (vòng tròn lượng giác và giải phương trình lượng giác). Ví dụ 18: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương, cùng tần số và cùng biên độ 4 cm. Tại một thời điểm nào đó, dao động (1) có li độ 2 3 cm, đang chuyển động ngược chiều dương, còn dao động (2) có li độ 2 cm theo chiều dương. Lúc đó, dao động tổng hợp của hai dao động trên có li độ bao nhiêu và đang chuyển động theo chiều nào? A. x = 8 cm và chuyển động ngược chiều dương. B. x = 5,46 và chuyển động ngược chiều dương C. x = 5,46 cm và chuyển động theo chiều dương. D. x = 8 cm và chuyển động theo chiều dương. Hướng dẫn Cách 1: Chọn thời điểm khảo sát là thời điểm han đầu t = 0 thì phương trình dao động của các x1 4cos t 6 chất điểm lần lượt là: x2 4cos t 3 Phương trình dao động tổng hợp (bằng phương pháp cộng các hàm lượng giác): x x1 x2 4cos t 4cos t 6 3 6 6 2 x 2.4cos .cos t 2 3 4 12 6 x 4 2 cos t cm 12 3  Tại thời điểm ban đầu li độ tổng hợp A1 x0 x01 x02 2 3 2 5,46cm . Pha ban đầu của dao 2 2 3  động tổng hợp thuộc góc phần tư thứ IV nên vật đang A 12 chuyền động theo chiều dương => Chọn B.  A2 Cách 2:    Li độ tổng hợp x x1 x2 2 3 2 5,46 cm. Véc tơ tổng hợp A A1 A2 nằm ở góc phần tư thứ IV nên hình chiếu chuyển động theo chiều dương. 363
12. Ví dụ 19: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số cùng vị trí cân bằng, li độ x(cm) x và x phụ thuộc thời gian theo đồ thị sau 8 1 2 x2 đây. Tổng tốc độ có giá trị lớn nhất là 6 A. 280π (cm/s). x1 B. 200π (cm/s) 0 C. 140π (cm/s). t(s) D. 160π (cm/s). 6 8 0,05 0,10 Hướng dẫn x1 8cos 20 t cm Phương trình tổng tốc độ của các vật: 2 x2 6cos 20 t cm ' v1 x1 160sin 10 t cm / s Phương trình vận tốc của các vật: 2 ' v2 x2 120sin 200 t cm / s ' v1 x1 160 cos 20 t cm / s ' v2 x2 120 sin 20 t cm / s Phương trình tổng tốc độ của các vật: v v1 v2 160 cos 20 t 120 sin 20 t 160 2 120 2 cos2 20 t sin2 20 t 200 cm / s 4 Dấu bằng xảy ra khi tan 20 t Chọn B 3 Ví dụ 20: Một chất điểm thực hiện đồng thời x(cm) hai dao động điều hòa cùng phương cùng chu kì T mà đồ thị x1 và x2 phụ thuộc thời gian biểu diễn trên hình vẽ. Biết x2 = v1T, tốc độ cực đại cua chất điểm là 53,4 cm/s. Giá trị T x 1 t(s) gần giá trị nào nhất sau đây? 0 A. 2,56 s. B. 2,99 s. 3,95 C. 2,75 s. D. 2,64 s. x2 t1 2,5 Hướng dẫn  Cách 1: A * Trường hợp này vuông pha nên: 2 A A2 2 A 2 A 1 4 2 th x 0 2 vmax vmax T vmax Ath A 1 4 A  1 4 2 2 1 4 2  A1 364
13. 2 A1A2 2 A 2 vmax T x0 2 2 2 2 2 A1 A2 A 1 4 1 4 2 1 4 2 x0 1 4 T 2,99 s Chọn B. vmax Cách 2: Dễ thấy x1 sớm pha hơn x1 là π/2. Chọn lại mốc thời gian là lúc t = 2,5 s thì: x1 Asin t 2 2 2 Ath A 2 A A 1 4 2 x2 v1T A cost 2 A cost 2  vmax Ath A 1 4 53,4 Thay số: 53,4 A 1 4 2 A 1 4 2 Tại thời điểm t t1 thì x1 x2 3,95cm Asin t1 2 A cos t1 3,95 tan t1 2 3,95 3,95 A 4 cm sin t 1 sin arctan 2 2 2 T A 1 4 2 2,99 s  53,4 Chọn B. Ví dụ 21 : Cho ba dao động điều hòa cùng x(cm) phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = l,5acosωt (cm); x2 = A2cosωt + φ 2) 8 (cm) và x3 = acos(ωt + π) (cm). Gọi x12 = x1 + x2 và x23 = x2 + x3. Biết đồ thị sự phụ thuộc x12 4 và x23 theo thời gian như hình vẽ. Tính A2. 0,5 A. A = 3,17 cm. 0 2 x23 t(s) B. A2 = 6,15 cm 4 C. A2 = 4,87 cm x12 D. A2 = 8,25cm 8 Hướng dẫn Từ đồ thị: T / 4 0,5s T 2s  2 / T rad / s Tại thời điểm t = 0,5s đồ thị x12 ở vị trí biên âm đi xuống và đồ thị x 23 ở vị trí biên âm 2 x12 8cos t 0,5 8cos t cm 3 6 x23 4cos t 0,5 4cos t cm 2 x x x x 8 4 4 3 4 3 cos t cm 1 3 12 23 6 2 365
14. Mặt khác: x1 x3 1,5a cost a cos t 2,5a cost nên 2,5a 4 3 A1 1,5a 2,4 3 cm a 1,6 3 cm A3 a 1,6 3 cm Tương tự: x31 x1 x3 1,5a cost a cos t 0,8 3 cost cm 8 4 0,8 3 x x x 4 37 x 12 23 31 6 2 0,965 2 2 2 5 4 37 A 4,87 cm Chọn C. 2 5 Ví dụ 22: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau. Kích thích cho hai con lăc dao động điều hòa với biên độ lằn lượt là 3A và A dao động cùng pha. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của hai con lắc. Khi động năng của con lắc thứ nhất là 0,72 J thì thế năng của con lắc thứ hai là 0,24 J. Hỏi khi thế năng của con lắc thứ nhất là 0,18 J thì động năng của con lắc thứ hai là bao nhiêu? A. 0,32J B. 0,30J C. 0,08 J. D. 0,31J Hướng dẫn *Tại mọi thời điểm x1 3x2 và v1 3v2 Suy ra Wt1 9Wt2 và Wd1 9Wd2 * Khi Wd1 = 0,72 J Wd2 Wd1 / 9 0,08J W2 Wd2 Wt2 0,32 J . * Khi Wt1 0,09J Wt2 Wt1 / 9 0,02J Wd2 W2 Wt2 0,30J Chọn B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Một vật thực hiện đồng Hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình x 1 = 4sin(πt + α ) cm và x2 = 4 3 cosπt cm. Nếu biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ nhất thì α có thể bằng? A. π/2. B. π/4. C. π. D. 3π/2. Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời Hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình x 1 = 4sin(πt + α) cm và x2 = 4 3 cosπt cm. Nếu biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị lớn nhất thì α có thể bằng A. π/2. B. π/4. C. π. D. 3π/2. Bài 3: Phương trình dao động điều hoà một vật có dạng x = 6.sin5t + 8.cos5t (cm). Biên độ dao động của vật là A. 5 cm. B. 9 cm. C. 10 cm. D. 11 cm. Bài 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 2sin(ωt − π/3) cm, x2 = cos(ωt + π/6) cm. Phương trình dao động A. x = 2cos(ωt − π/3) cm. B. x = cos(ωt – 5π/6) cm. C. x = cos(ωt − π/6) cm. D. x = 2cos(ωt − π/6) cm. Bài 5: Toạ đô của một chất điểm chuyển động trên trục Ox phụ thuộc vào thời gian theo phương trình: x = A1cosωt + A2sinωt trong đó A1, A2, ω là các hằng số đã biết. Chất điểm 2 2 2 A. dao động điều hoà với tần số góc ω, biên độ A A1 A2 , pha ban đầu φ (dạng cos) với tanφ = −A1/A2. 2 2 2 B. dao động điều hòa với tần số góc ω, biên độ A A1 A2 , pha ban đầu φ (dạng cos) với tanφ = −A1/A2. C. không dao động điều hoà, chỉ chuyển động tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/ω. D. dao động điều hòa nhưng không xác định được tần số, biên độ và pha ban đầu. 366
15. Bài 6: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ bằng nhau và pha ban đầu lần lượt là φ1 = π/6; φ2 = 5π/6. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là: A π/2. B. π/3. C. − π/2. D. 2π/3. Bài 7: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ lần lượt là a 3 và a và pha ban đầu tương ứng π/2 và π. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là A. 5π/6. B. −π/3. C. −π/6. D. 2π/3. Bài 8: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa. cùng phương cùng tần số: x 1 = 5cos(ωt + 5π/6) (cm) và x2 = 10sinωt (cm). Dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ). Giá trị của φ là A. π/3 rad. B. −2π/3 rad. C. −5π/6 rad D. π/6rad. Bài 9: Hai dao động cơ học điều hoà cùng phương, cùng tần số góc ω = 50 rad/s, có biên độ lần lượt là 100 mm và 173 mm, dao động thứ hai trễ pha π/2 so với dao động thứ nhất (có dạng hàm cos). Xác định dao động tổng hợp (xem pha dao động thứ nhất bằng 0). A. x = 4cos(50t − π/2) cm. B. x = 5cos(50t − π/2) cm. C. x = 20cos(50t − π/3) cm. D. x = 20cọs(50t − π/6) cm. Bài 10: Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 5cos(2t − π/6) cm; x2 = 5cos(2t − π/2) cm. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ A. 5 cm. B. 5 3 cm. C. 10 cm.D. 5 2 cm. Bài 11: Hai dao động điều hỏa cùng tần số và có độ lệch pha π/2, biên độ của chúng lần lượt là 3 cm, 4 cm. Biên độ dao động tổng hợp là : A. 5 cm B. 4m C. 3 cm D. 7 cm Bài 12: Hai dao động điều hòa cùng phương có biên độ đều bằng 4 cm nhưng pha ban đầu lần lượt là −π/6 và −π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là A. 4 3 cm. B. 4cm. C. 2 2 cm.D. 2 3 cm. Bài 13: Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là x 1= 3 3 sin(5πt + π/2) cm, x2 = 9 3 sin(5πt − π/2) cm. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động bằng A. 6 3 cm. B. 3 cm. C. 0 cm. D. 3 3 cm. Bài 14: Một vật chịu đồng thời Hai tác nhân kích thích dao động với các dao động riêng phần mà Hai tác dụnu ấy gày ra độc lập có phương trình là x1 = 3cos(10πt − π/6) cm và x2 = 5sin( 10πt) cm. Dao dộng tổng hợp mà vật này thực hiện là dao động A. điều hòa với biên độ bằng 4,36 cm. B. điều hòa với biên độ bằng 7 cm. C. điều hòa với biên độ bằng 7,73 cm. D. không điều hòa. Bài 15: Phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động thành phần cùng phương cùng tần số: x 1 = 4.cos(10t – π/6) (cm); x2 = 4.cos( ωt + π/2) (cm) là A. x = 4.cos(10t + π/4) (cm). B. x = 4 2 cos(10t + π/8) (cm). C. x = 4 2 cos(10t + π/4) (cm). D. x = 4.cos(10t + π/6) (cm). Bài 16: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 3 cos(ωt − π/2) cm, x2 = cos(ωt) cm. Phương trình dao động tổng hợp là A. x = 2cos(cot − π/3) cm. B. x = 2cos(ωt + 2ω/3)cm. C. x = 2cos(cot + 5π/6) cm. D. x = 2cos(ωt − ω/6) cm. Bài 17: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 0,5 3 cos(ωt) cm; x2 = cos(ωt + π/2) cm; x 3 = cos(ωt + 5π/6) cm. Biên độ dao động tổng hợp: A. 1,5 cm. B. 2 cm. C. 1 cm. D. 0,5 cm. 367
16. Bài 18: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = l,5cos(ωt) cm, x2 = 0,5 3 cos(ωt + π/2) cm, x 3 = 3 cos(ωt + 5π/6) cm. Biên độ dao động tổng hợp là: A. 3 cm. B. ( 3 /3)cm. C. 72 cm. D. 2 cm. Bài 19: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 4 2 cos(2t + π/4) cm, x2 = 4cos(2t − π/2) cm, x3 = 5cos(2t + π) cm. Biên độ dao động tổng hợp là A. lcm. B. 2cm. C. 2 cm. D. 2 2 cm. Bài 20: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 4cos(2πt + π/2) cm, x 2 = 3cos(2πt − π) cm, x 3 = 8cos(2πt − π/2) cm. Biên độ dao động tổng hợp là A. 5cm B. 2cm C. 2 cm. D. 2 2 cm. Bài 21: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 2 3 cos(2πt + π/3) cm, x2 = 4cos(2πt + π/6) cm, x 3 = 8cos(2πt − π/2) cm. Biên độ và pha ban đầu cua dao động tổng hợp (dạng cos) là: A. 12 (cm) và π/3. B. 16 (cm) và π/6. C. 8 (cm) và −π/6. D. 6 (cm) và −π/6. Bài 22: Có bốn dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có biên độ và pha ban đầu là A 1 = 8 cm; A2 = 6 cm; A3 = 4 cm; A4 = 2 cm và φ1 = 0; φ2 = π/2; φ 3 = π; φ 4 = 3π/2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là: A. 4 2 (cm) và π/4. B. 4 2 (cm) và 3π/4. C. 4 3 (cm) và −π/4. D. 4 3 (cm) và −3π/4. Bài 23: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x1 = 4cos(0,1t − π/6) (cm) và x 2 = 4cos(0,1t − π/2) (cm) (t đo bằng mili giây). Tốc độ cực đại của vật là A. 2 3 cm/s. B. 0,4 3 cm/s. C. 2/2 cm/s. D. 4 3 m/s. Bài 24: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, có phương trình lần lượt là x1= 2.sin(10t − π/3) (cm); x 2 = cos(10t + π/6) (cm) (t đo bằng giây). Xác định vận tốc cực đại của vật. A. 5 (cm/s). B. 20 (cm). C. 10 5 (cm/s). D. 10 (cm/s). Bài 25: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, hai dao động này có phương trình lần lượt là x1 = 3cos(30t + π/4) cm và x2 = 4cos(30t + 3π/4) cm (với t đo bằng giây). Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng là A. 1,5 m/s. B. 0,3 m/s. C. 0,3 cm/s. D. l,5cm/s. Bài 26: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình: x1 = 4sin(8t + π/6) cm; x2 = 4cos(8t) cm (t đo bằng giây). Tốc độ cực đại của vật là A. 32 3 (cm/s) B. 32 (cm/s). C. 61,8 (cm/s). D. 16,6 (cm/s). Bài 27: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = l,5cos(5t) cm, x2 = 0,5 3 cos(5t + π/2) cm, x3 = 3 cos(5t + 5π/6) cm (t đo bằng giây). Vận tốc cực đại của vật A. 5 2 cm/s. B. ( 5 3 /3) cm/s. C. 5 3 cm/s. D. 15 cm/s. Bài 28: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động: x1 = 2 3 cos(2t + π/3) cm, x2 = 4cos(2t + π/6) cm và x3 = 8cos (2t − π/2 ) cm. Tốc độ cực đại của vật là 368