Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chủ đề 2: Tổ hợp. Xác suất. Quy tắc đếm (Có lời giải)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chủ đề 2: Tổ hợp. Xác suất. Quy tắc đếm (Có lời giải)

1. CHỦ ĐỀ 2. TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC ĐẾM A. LÝ THUYẾT 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiên, hành động kia có n cách thực hiên không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Chú ý: số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là |X| hoặc n(X) Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n A B n A n B Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1, A2 , A3 , , Ak .Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện, , hành động Ak có mk cách thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có m1 m2 m3 mk cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi k hành động A1, A2 , A3 , , Ak liên tiếp. Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A1 có m2 cách thực hiện hành động A2, , có mk cách thực hiện hành động Ak thì công việc đó có m1.m2.m3 mk cách hoàn thành.
2. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP 1. Hoán vị Cho tập hợp A có n phần tử n 1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn Định lí 1: Pn n(n 1) 2.1 n! với Pn là số các hoán vị chứng minh Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn. Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n i 1 cách. . Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có 1 cách. Theo quy tắc nhân thì có Pn n! cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có n! hoán vị. STUDY TIP Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau. 2. Chỉnh hợp Cho tập A gồm n phần tử n 1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho. STUDY TIP: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp A có n phần tử là một chỉnh hợp chập n của A. n P An n! Định lý 2: Ak n n 1 n k 1 với Ak là số các chỉnh hợp chập k của n phần n n k ! n tử 1 k n . Chứng minh Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k công đoạn. Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện. Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có n 1 cách thực hiện. . Sau khi thực hiện xong i 1 công đoạn (chọn i 1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., i 1), công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n i 1 cách thực hiện. Công đoạn cuối, công đoạn k có n k 1 cách thực hiện. n! Thoe quy tắc nhân thì có n n 1 n k 1 chỉnh hợp chập k của tập A có n phần n k ! tử. 3. Tổ hợp Giả sử tập A có n phần tử n 1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. k Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là Cn .
3. STUDY TIP Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n . Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. QUY ƯỚC 0 0 0! 1 Cn An 1 Định lý 3 Ak n n 1 n k 1 n! C k n n k! k! k! n k ! Chứng minh Ta có mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy Ak Ak k!C k C k n . n n n k! k Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số Cn ) k n k a. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n . Khi đó Cn Cn . b. Hằng đẳng thức Pascal k k k 1 Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với 1 k n . Khi đó Cn 1 Cn Cn . Đọc thêm Trên máy tính cầm tay có chức năng tính tổ hợp, chỉnh hợp như sau: Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím 5 Ví dụ ta muốn tính C12 ta ấn Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím 3 Ví dụ ta muốn tính A7 ta ấn tổ hợp phím B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Phương pháp chung: Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước: Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để thực hiện công việc A (có nghĩa công việc A có thể hoàn thành bằng một trong các phương án A 1; A2 ; ; An ). Bước 2: Đếm số cách chọn x1; x2 ; ; xn trong các phương án A1; A2 ; ; An . Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là x x1 x2 xn .
4. Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước: Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc A (giả sử A chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công đoạn A1; A2 ; ; An hoàn thành). Bước 2: Đếm số cách chọn x1; x2 ; ; xn trong các công đoạn A1; A2 ; ; An . Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là x x1.x2 .x3 xn . Ví dụ 1. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra: a) một học sinh đi dự trại hè của trường. b) một học sinh nam và một học sinh nữ dự trại hè của trường. Số cách Chonju trong mỗi trường hợp a và b lần lượt là A. 45 và 500. B. 500 và 45. C. 25 và 500. D. 500 và 25. Lời giải Chọn A a) Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi: Bước 2: Đếm số cách chọn. Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn. Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn. Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng. Vậy có 20 25 45 cách chọn. b) Bước 1: Với bài toán b thì ta thấy công việc là chọn học sinh nam và một học sinh nữ. Do vậy ta có 2 công đoạn. Bước 2: Đếm số cách chọn trong các công đoạn. Công đoạn 1: Chọn 1 học sinh nam trong số 25 học sinh nam thì có 25 cách chọn. Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ trong số 20 học sinh nữ thì có 20 cách chọn. Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân. Vậy ta có 25.20 500 cách chọn. STUDY TIP Bài toán ở ví dụ 1 giúp ta cũng cố và định hình các bước giải quyết bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng; quy tắc nhân. Chú ý: Quy tắc cộng: Áp dụng khi công việc có nhiều phương án giải quyết. Quy tắc nhân: Áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn. Ví dụ 2. Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau? A. 80.B. 60.C. 48.D. 188. Lời giải Chọn D Theo quy tắc nhân ta có: 10.8 80 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau. 10.6 60 cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau. 8.6 48 cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn 2 quyển sách khác môn là 80 60 48 188 cách. STUDY TIP Ta thấy bài toán ở ví dụ 2 là sự kết hợp của cả quy tắc cộng và quy tắc nhân khi bài toán vừa cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước.
5. Ví dụ 3. Biển đăng kí xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái trong số 26 chữ cái (không dùng các chữ I và O). Chữ đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu? A. 5184.105. B. 576.106. C. 33384960. D. 4968.105. Lời giải Chọn A Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước. Chữ cái đầu tiên có 24 cách chọn. Chữ cái tiếp theo cũng có 24 cách chọn. Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn. Chữ số thứ hai có 10 cách chọn. Chữ số thứ ba có 10 cách chọn. Chữ số thứ tư có 10 cách chọn. Chữ số thứ năm có 10 cách chọn. Chữ số thứ sau có 10 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân ta có 24.24.9.105 5184.105 là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí. STUDY TIP Có thể phân biệt bài toán sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân là phân biệt xem công việc cần làm có thể chia trường hợp hay phải làm theo từng bước. Ví dụ 4. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh A, B,C, D, E, F ,G vào một hàng ghế dài gồm 7 ghế sao cho hai bạn B và F ngồi ở hai ghế đầu? A. 720 cách.B. 5040 cách. C. 240 cách.D. 120 cách. Lời giải Chọn C Ta thấy ở đây bài toán xuất hiện hai đối tượng. Đối tượng 1: Hai bạn B và F (hai đối tượng này có tính chất riêng). Đối tượng 2: Các bạn còn lại có thể thay đổi vị trí cho nhau. Bước 1: Ta sử dụng tính chất riêng của hai bạn B và F trước. Hai bạn này chỉ ngồi đầu và ngồi cuối, hoán đổi cho nhau nên có 2! cách xếp. Bước 2: Xếp vị trí cho các bạn còn lại, ta có 5! cách xếp. Vậy ta có 2!.5! 240 cách xếp. STUDY TIP Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu a. Tất cả n phần tử đều có mặt. b. Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần. c. Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. d. Số cách xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó Pn n!. Ví dụ 5. Một nhóm 9 người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ và hai đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau? A. 288. B. 864. C. 24. D. 576. Lời giải Chọn B
6. Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ con ngồi. Ta có các phương án sau: PA1: TNCNTNCNT PA2: TNTNCNCNT PA3: TNCNCNTNT Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ông có 3! cách. Bốn vị trí ghế cho phụ nữ có thể có 4! cách. Hai vị trí ghế trẻ con ngồi có thể có 2! cách. Theo quy tắc nhân thì ta có 3!.4!.2! 288 cách. Lập luận tương tự cho phương án 2 và phương án 3. Theo quy tắc cộng thì ta có 288 288 288 864 cách. STUDY TIP Với các bài toán gồm có ít phần tử và vừa cần chia trường hợp vừa thực hiện theo bước thì ta cần chia rõ trường hợp trước, lần lượt thực hiện từng trường hợp (sử dụng quy tắc nhân từng bước) sau đó mới áp dụng quy tắc cộng để cộng số cách trong các trường hợp với nhau. Ví dụ 6. Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 5 quyển sách Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau, 3 quyển Vật lý đứng cạnh nhau? A. 1 cách.B. 5040 cách. C. 725760 cách.D. 144cách. Lời giải Chọn C. Bước 1: Do đề bài cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau nên ta sẽ coi như “buộc” các quyển sách Toán lại với nhau thì số cách xếp cho “buộc” Toán này là 4! cách. Bước 2: Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho “buộc” Lý này là 3! cách. Bước 3: Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có: + 1 “buộc” Toán. + 1 “buộc” Lý. + 5 quyển Hóa. Thì sẽ có 7! cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân ta có 7!.4!.3! 725760 cách xếp. STUDY TIP Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau thì ta sẽ “buộc” các phần tử này một nhóm và coi như 1 phần tử. Ví dụ 7. Một câu lạc bộ phụ nữ của phường Khương Mai có 39 hội viên. Phường Khương Mai có tổ chức một hội thảo cần chọn ra 9 người xếp vào 9 vị trí lễ tân khác nhau ở cổng chào, 12 người vào 12 vị trí khác nhau ở ghế khách mới. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các hội viên để đi tham gia các vị trí trong hội thao theo quy định? 9 12 9 12 9 12 9 12 A. A39 .A39 . B. C39 .C30 . C. C39 .C39 . D. A39 .A30 . Phân tích Bài toán sử dụng quy tắc nhân khi ta phải thực hiện hai bước: Bước 1: Chọn 9 người vào vị trí lễ tân. Bước 2: Chọn 12 người vào vị trí khách mời.
7. Dấu hiệu nhận biết sử dụng chỉnh hợp ở phần STUDY TIP. Lời giải Chọn D. Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân. Do ở đây được sắp theo thứ tự nên ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. Số cách chọn ra 9 người vào vị trí 9 lễ tân là A39 cách. Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời. Số cách chọn là 12 thành viên trong số các thành 12 viên còn lại để xếp vào khách mời là A39 cách. Vậy theo quy tắc nhân thì số cách chọn các hội viên để đi dự hội thảo theo đúng quy định là 9 12 A39 .A39 cách. STUDY TIP Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta cần có các dấu hiệu: a. Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. b. Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn. k c. Số cách chọn k phần tử có phân biệt thứ tự từ n phần tử là An cách. Ví dụ 8. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? A. 30240 cách.B. 720 cách.C. 362880 cách.D. 1440cách. Lời giải Chọn A. Cách 1: Trước hết, xếp 6 học sinh thành một hàng có 6! cách. Lúc này giữa hai học sinh bất kì sẽ tạo nên một vách ngăn và 6 học sinh sẽ tạo nên 7 vị trí có thể xếp các thầy vào đó tính cả hai vị trí ở hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới). 7 vị trí dấu nhân chính là 7 vách ngăn được tạo ra. + Do đề yêu cầu 2 thầy giáo không đứng cạnh nhau nên ta xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vị trí 2 vách ngăn được tạo ra có A7 cách. 2 Theo quy tắc nhân ta có tất cả 6!.A7 30240 cách xếp. Cách 2: - Có 8! cách xếp 8 người. - Buộc hai giáo viên lại với nhau thì có 2! cách buộc. Khi đó có 2.7! cách xếp. Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là 8! 2.7! 30140 cách xếp. STUDY TIP Khi bài toán yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau. Chúng ta có thể tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng. Ví dụ 9. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ?
8. A. 10cách.B. 20 cách.C. 120cách.D. 150cách. Phân tích Ta thấy do chỉ chọn 7 bông hồng mà có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ nên chỉ có 3 trường hợp sau: TH1: Chọn được 3 bông hồng vàng và 4 bông hồng đỏ. TH2: Chọn được 4 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ. TH3: Chọn được 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng. Lời giải Chọn D. 3 TH1: Số cách chọn 3 bông hồng vàng là C5 cách. 4 Số cách chọn 4 bông hồng đỏ là C4 cách. 3 4 Theo quy tắc nhân thì có C5 .C4 10 cách. 4 3 TH2: Tương tự TH1 thì ta có C5 .C4 20 cách. 3 3 1 TH3: Tương tự thì có C5 .C4 .C3 120 cách. Vậy theo quy tắc cộng thì có 10 20 120 150 cách. STUDY TIP Để nhận dạng bài toán sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu: a. Phải chọn ra k phần tử từ n phần tử cho trước. b. Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn. k c. Số cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự từ n phần tử đã cho là Cn cách. Từ các bài toán trên ta rút ra được quy luật phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp như sau: k k • Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ với nhau bởi công thức: An k !.Cn • Chỉnh hợp: Có thứ tự. • Tổ hợp: Không có thứ tự. • Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử thì sử dụng chỉnh hợp. Ngược lại thì sử dụng tổ hợp. • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử k n : k + Không thứ tự: Cn k + Có thứ tự: An Ví dụ 10. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A , 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C . Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? A. 120. B. 90. C. 270. D. 255. Lời giải Chọn D. 4 Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là C12 495 cách. Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: TH1: Lớp A có hai học sinh, các lớp B,C mỗi lớp có 1 học sinh: 2 Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp A có C5 cách. 1 Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp B có C4 cách.
9. 1 Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp C có C3 cách. 2 1 1 Suy ra số cách chọn là C5 .C4 .C3 120 cách. TH2: Lớp B có 2 học sinh, các lớp A,C mỗi lớp có 1 học sinh: 1 2 1 Tương tự ta có số cách chọn là C5 .C4 .C3 90 cách. TH3: Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh: 1 1 2 Tương tự ta có số cách chọn là C5 .C4 .C3 60 cách. Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là 120 90 60 270 cách. Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là 495 270 225 cách. STUDY TIP Trong nhiều bài toán, làm trực tiếp sẽ khó trong việc xác định các trường hợp hoặc các bước thì ta nên làm theo hướng gián tiếp như bài toán ở ví dụ 9. Ta sử dụng cách làm gián tiếp khi bài toán giải bằng cách trực tiếp gặp khó khan do xảy ra quá nhiều trường hợp, chúng ta tìm cách gián tiếp bằng cách xét bài toán đối. Ví dụ 11. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? A. 6720 số.B. 40320 số. C.5880 số. D. 840 số. Lời giải Chọn C. Giả sử các số tự nhiên gồm 8 chữ số tương ứng với 8 ô. Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta sẽ coi như tìm số các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số 0,1,1,1,2,3,4,5. Số hoán vị của 8 số 0,1,1,1,2,3,4,5 trong 8 ô trên là 8! 8! Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là kể cả trường hợp số 0 đứng đầu. 3! 7! Xét trường hợp ô thứ nhất là chữ số 0, thì số cách xếp là . 3! STUDY TIP Bài toán trên là một dấu hiêu của hoán vị lặp. Để biết thêm về hoán vị lặp thì ta sẽ nghiên cứu ở phần đọc thêm. ĐỌC THÊM: Cho k phần tử khác nhau a1 ,a2 , ,ak . Một cách sắp xếp n phân tử trong đó gồm n1 phần tử a1 ,n2 phần tử a2 , ,nk phần tử ak n1 n2 nk n theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu n1 ,n2 , ,nk của k phần tử. Số các hoán vị lặp dạng n! như trên là Pn n1 ,n2 , ,nk . n1 !.n2 ! nk ! 8! 7! Vậy các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5880 số. 3! 3!
10. Ví dụ 12. Cho 8 bạn học sinh A, B,C, D, E, F,G, H . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi xung quanh 1 bàn tròn có 8 ghế? A. 40320 cách.B. 5040 cách.C. 720 cách.D. 40319 cách. Lời giải Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn. Ta chọn cố định vị trị của A , sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có 7! cách. Vậy có 7! 5040 cách. ĐỌC THÊM Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là Qn n 1 ! Ví dụ 13. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A, B,C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn. A. 204 cách.B. 24480 cách. C. 720 cách.D. 2520 cách. Lời giải Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách. TH1: Môn Toán hết sách: Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách. Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách. Vậy có 6 cách chọn sách. 5 Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5 120 cách. Vậy có 6.120 720 cách. TH2: Môn Lí hết sách: Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách. 2 Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là C7 cách. Vậy có 21 cách chọn sách. 5 Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5 120 cách. Vậy có 21.120 2520 cách. TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách. 5 5 Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là C10.A5 30240 cách. Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240 720 2520 2520 24480 cách. STUDY TIP Ở đây có nhiều độc giả không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn A, B,C, D, E là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Trong một lớp có 17 bạn nam và 11 bạn nữ. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn, trong đó có một bạn nam và một bạn nữ? b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn nam làm lớp trưởng? A. a. 187 cách và b. 28 cách. B. a. 28 cách và b. 187 cách.
11. C. a. 17 cách và b. 11 cách. D. a. 11 cách và b. 17 cách. Câu 2. Các thành phố A, B,C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình dưới. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại B A C B D A. 576 .B. 24 .C. 144. D. 432 . Câu 3. Một lớp có 25 học sinh khá môn Toán, 24 học sinh khá môn Ngữ Văn, 10 học sinh khá cả môn Toán và môn Ngữ Văn và 3 học sinh không khá cả Toán và Ngữ Văn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh? A. 39 .B. 42 .C. 62 .D. 52 . Câu 4. Trong kì thi tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty cổ phần Giáo dục trực tuyến VEDU, ở khối A có 51 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 73 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí, 73 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lí, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa học, 10 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí và Hóa học. Có 767 thí sinh mà cả ba môn đều không có điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh tham dự tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty? A. 867 .B. 776 .C. 264 .D. 767 . Câu 5. Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A, B,C đang chiếu thì thu được kết quả như sau: Bộ phim A: có 28 người đã xem. Bộ phim B: có 26 người đã xem. Bộ phim B: có 14 người đã xem. Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C Có 2 người đã xem cả ba bộ phim A, B và C. Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B,C là: A. 55 .B. 45 .C. 32 .D. 51. Câu 6. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau? A. 11.B. 36 .C. 25 .D. 18. Câu 7. Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu thì không được ở cạnh nhau? A. 3251404800 .B. 1625702400.C. 72 .D. 36 . Câu 8. Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là: A. 460000 .B. 460500 . C. 460800 . D. 460900 . Câu 9. Có 20 cặp vợ chồng tham dự chương trình Gameshow truyền hình thực tế. Có bao nhiêu cách chọn ra hai cặp đôi sao cho hai cặp đó là hai đôi vợ chồng? A. 380 .B. 116280.C. 90 .D. 5040 . Câu 10. Cho tập hợp A 2;5 . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có chữ số 2 nào đứng cạnh nhau? A. 144 số.B. 143 số. C. 1024 số. D. 512 số. Câu 11. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B,C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?
12. A. 43200 .B. 720 .C. 60 .D. 4320 . Câu 12. Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là một trong 5 em gái và Thiện là một trong 10 em trai đó. Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ sắp tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy hoặc Thiện không được chọn? A. 286 .B. 3003 .C. 2717 . D. 1287 . Câu 13. Một nhóm học sinh có 3 em nữ và 7 em trai. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 em này thành một hàng ngang sao cho giữa hai em nữ bất kì đều không có một em nam nào? A. 241920 .B. 30240 .C. 5040 .D. 840 . Câu 14. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ? A. 720 số.B. 504 số.C. 936 số.D. 1440 số. Câu 15. Cho đa giác đều A1 A2 A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O . Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1; A2 ; ; A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1; A2 ; ; A2n . Vậy giá trị của n là: A. n 10 .B. n 12 .C. n 8 .D. n 14 . Câu 16. Giả sử ta dùng 5 màu để tô màu cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là: 5! 5! A. .B. 5.3 .C. . D. 53 . 2! 3!2! Câu 17. Ông bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An và bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng? A. 720 .B. 1440. C. 20160 . D. 40320 . Câu 18. Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2 ? A. 142506.B. 56875 .C. 10500. D. 22750 . Câu 19. Biển đăng kí xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái trong số 26 chữ cái (không dùng các chữ I và O ). Chữ số đầu tiên khác 0 . Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu? A. 5184.105 .B. 576.106 . C. 33384960 .D. 4968.105 . Câu 20. Một bộ ghép hình gồm các miếng gỗ. Mỗi miếng gỗ được đặc trưng bởi 4 tiêu chuẩn: chất liệu, màu sắc, hình dạng và kích cỡ. Biết rằng có 2 chất liệu (gỗ, nhựa); có 4 màu (xanh, đỏ, lam, vàng); có 4 hình dạng (hình tròn, vuông, tam giác, lục giác) và có 3 kích cỡ (nhỏ, vừa, lớn). Xét miếng gỗ “nhựa, đỏ, hình tròn, vừa”. Hỏi có bao nhiêu miếng gỗ khác miếng gỗ trên ở đúng hai tiêu chuẩn? A. 29 .B. 39 .C. 48 .D. 56 . Câu 21. Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau? A. 28800 .B. 86400 .C. 43200 . D. 720 . Câu 22. Cho X 0;1;2;3;4;5;6;7 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau từ X sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1 A. 2880 .B. 840 .C. 1440. D. 2520 . Câu 23. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Có bao nhiêu cách để lấy 4 viên bi từ hộp sao cho trong 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng? A. 125.B. 275 .C. 150. D. 270 . Câu 24. Cho hai đường thẳng song song d1;d2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói ở trên?
13. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 A. C10C15 .B. C10C15 . C. C10C15 C10C15 .D. C10C15C10C15 . Câu 25. Từ các chữ số của tập A 0;1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau? A. 31203 .B. 12600. C. 181440.D. 36 . Câu 26. Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vecto mà có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho? A. 4040100 .B. 4038090 .C. 2021055 .D. 2019045 . Câu 27. Cho hai đường thẳng song song d1;d2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt n 2 . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Vậy n có giá trị là? A. 20 .B. 21.C. 30 .D. 32 . Câu 28. Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 2C 2 n C 2 1 5C3 .B. 2C 2 2 n C 2 1 5C3 . n n 1 n 2 n 1 n n n 1 n 2 n 1 n 2 2 C. 3C 2 2 nC 2 1 5C3 .D. C 2 n C 2 1 5C3 . n n 1 n 2 n 1 n n n 1 n 2 n 1 n 2 2 Câu 29. Một bữa tiệc bàn tròn của các câu lạc bộ trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội trong đó có 3 thành viên từ câu lạc bộ Máu Sư Phạm, 5 thành viên từ câu lạc bộ Truyền thông và 7 thành viên từ câu lạc bộ Kĩ năng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người cùng câu lạc bộ thì ngồi cạnh nhau? A. 7257600 .B. 7293732 .C. 3174012 .D. 1418746. Câu 30. Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng, 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu? A. 560 .B. 310 .C. 3014 .D. 319 . Câu 31. Xếp 6 người (trong đó có một cặp vợ chồng) ngồi quanh bàn tròn có 6 cái ghế không ghi số sao cho cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau. Số cách xếp là: A. 240 .B. 48 .C. 120. D. 24 . Câu 32. Một dãy ghế dài có 10 ghế. Xếp một cặp vợ chồng ngồi vào 2 trong 10 ghế sao cho người vợ ngồi bên phải người chồng (không bắt buộc phải ngồi gần nhau). Số cách xếp là: A. 45 .B. 50 .C. 55 .D. 90 . Câu 33. Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: A. 24 .B. 256 .C. 232 .D. 1. Câu 34. Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng. Các viên bi có cùng kích cỡ. Số cách lấy ra 5 viên bi và sắp xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô bi đó có ít nhất một viên bi đỏ. A. 146611080.B. 38955840 .C. 897127 .D. 107655240. Câu 35. Một bộ bài có 52 lá, có 4 loại: cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá bài phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có mấy cách chọn? A. 39102206 .B. 22620312 .C. 36443836 .D. 16481894. Câu 36. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? A. 900 .B. 9000 .C. 90000 .D. 27216 .
14. Câu 37. Một lớp có n học sinh ( n 3). Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra một học sinh làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn n . Gọi T là số cách chọn, lúc này: n 1 n k n 1 n 1 k A. T  kCn .B. T n 2 1 .C. T n2 .D. T  kCn . k 2 k 1 Câu 38. Trong một căn phòng có 36 người trong đó có 25 người họ Nguyễn, 11 người họ Trần. Trong số những người họ Nguyễn có 8 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 9 người còn lại (gồm 4 nam và 5 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Trong 11 người họ Trần, có 3 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 5 người còn lại (gồm 2 nam và 3 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Chọn ngẫu nhiên 2 người. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính? A. 156.B. 30 .C. 186. D. 126. b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào? A. 619 .B. 630 .C. 11.D. 25 . D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án A. a) Bước 1: Chọn bạn nam có 17 cách. Bước 2: Chọn bạn nữ có 11 cách. Theo quy tắc nhân ta có 17.11 187 cách b) Số cách để chọn ra 1 bạn nam làm lớp trường là17 . Số cách để chọn ra 1 bạn nữ làm lớp trưởng là11. Vậy có 11 17 28 cách. Câu 2. Đáp án C. Đi từ A đến D có 4.2.3 24 cách. Đi từ D về B có 3.2 6 cách. Vậy đi từ A đến D rồi quay lại B có 6.24 144 cách. Câu 3. Đáp án B. Gọi A là tập các học sinh khá môn Toán, B là tập các học sinh khá môn Ngữ Văn. Theo đề ta có: A 25; B 24; A B 10. Theo quy tắc tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có: A B A B A B 25 24 10 39 Vậy lớp học có 39 3 42 học sinh. Câu 4. Đáp án A. Kí hiệu A, B,C tương ứng là tập hợp các thí sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học. A 51; B 73; C 64; A B 32; B C 45; AC 21; A B C 10. Lúc này ta có A B C là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lý, Hóa học. Ta có: A B C A B C A B B C AC A B C 51 73 64 32 45 21 10 100. Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU là 100 767 867 . Câu 5. Đáp án B. Theo quy tắc tính số phần tử của ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem ít nhất một bộ phim là 28 26 14 8 4 3 2 55 người. Vậy số người không xem bất cứ bộ phim nào là 100 55 45 người. Câu 6. Đáp án B. Chọn 1 vở kịch có 2 cách. Chọn 1 điệu múa có 3 cách. Chọn 1 bài hát có 6 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có 2.3.6 36 cách. Câu 7. Đáp án A.