Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chủ đề 5: Đạo hàm (Có lời giải)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 11 - Chủ đề 5: Đạo hàm (Có lời giải)

1. CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số y f x xác định trên a;b và x0 a;b . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f x f x0 lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 . x x 0 x x0 f x f x0 Kí hiệu: f x0 hoặc y x0 . Vậy f x0 lim . x x 0 x x0 STUDY TIP y Nếu x x x0 và y f x f x0 f x0 x f x0 thì f x0 lim . x 0 x ✓ x gọi là số gia của đối số tại điểm x0 . ✓ y gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải. a) Đạo hàm bên trái. f x f x0 y f x0 lim lim trong đó x x0 được hiểu là x x0 và x x0 . x x x 0 0 x x0 x b) Đạo hàm bên phải. f x f x0 y f x0 lim lim trong đó x x0 được hiểu là x x0 và x x0 . x x x 0 0 x x0 x Nhận xét: Hàm số f x có đạo hàm tại điểm x0 f x0 và f x0 tồn tại và bằng nhau. Khi đó f x0 f x0 f x0 . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn. a) Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a;b nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. b) Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên đoạn a;b nếu có đạo hàm trên khoảng a;b và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b . 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số. - Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó. STUDY TIP ✓ Hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. ✓ Hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
2. Phương pháp: 1. Tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 bằng định nghĩa. Cách 1: f x f x - Tính lim 0 (1). x x 0 x x0 - Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x0 và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại x0 . Cách 2: Tính theo số gia. - Cho x0 một số gia x : x x x0 y f x0 x f x0 . y - Lập tỉ số . x y - Tính giới hạn lim . x 0 x 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm. - Hàm số y f x liên tục tại điểm x0 lim f x f x0 lim 0 . x x0 x 0 - Hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 y f x liên tục tại điểm x0 . - Hàm số y f x liên tục tại điểm x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0 . Ví dụ 1. Cho hàm số f x x 1 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 1. 2 2 2 A. .B. .C. 2 2 . D. . 4 2 3 Lời giải Đáp án A. f x f 1 x 1 2 Cách 1: Xét lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 lim lim . x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 2 2 4 Cách 2: y f x 1 f 1 x 2 2 . y x 2 2 . x x y x 2 2 x 1 2 lim lim lim lim . x 0 x x 0 x x 0 x 2 x 2 x 0 2 x 2 4 STUDY TIP a b a b2 Nhân lượng liên hợp: a b và a b . a b a b Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.
3. 2 Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số f x x 5x 3 tại điểm x0 2 , một học sinh đã tính theo các bước sau: Bước 1: f x f 2 f x 11. f x f 2 x2 5x 3 11 x 2 x 7 Bước 2: x 7 . x 2 x 2 x 2 f x f 2 Bước 3: lim lim x 7 9 . Vậy f 2 9 . x 2 x 2 x 2 Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào. A. Bước 1.B. Bước 2. C. Bước 3 . D. Tính toán đúng. Lời giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. STUDY TIP 2 Phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 a x x1 x x2 0 . 2 Ví dụ 3. Số gia của hàm số f x x ứng với số gia x của đối số x tại x0 1 là: 2 A. x 2 2 x 1.B. x 2 2 x 2. C. x 2 x . D. x 2 2 x . Lời giải Đáp án D. 2 2 Với số gia x của đối số x tại điểm x0 1, ta có: y 1 x 1 x 2 x . 2 Ví dụ 4. Cho hàm số f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là: 2 A. lim x 2x0. x x .B. lim x 2x0 1 . x 0 x 0 2 C. lim x 2x0 1 . D. lim x 2x0. x x . x 0 x 0 Lời giải Đáp án B. 2 2 2 Ta có: y x0 x x0 x x0 x0 x 2x0. x x y f x0 lim lim x 2x0 1 . x 0 x x 0 Ví dụ 5. Cho hàm số y f x có đao hàm tại điểm x0 là f x0 . Khẳng định nào sau đây là sai. f x f x0 f x0 x f x0 A. f x0 lim .B. f x0 lim . x x x 0 0 x x0 x f x h f x0 f x x0 f x0 C. f x0 lim .D. f x0 lim . h 0 x x h 0 x x0 Lời giải Đáp án D. - A đúng theo định nghĩa. - B đúng vì x x x0 nên x x0 x 0 . - C đúng. Đặt h x x x0 x h x0 , h 0 khi x x0 .
4. f x f x0 f x h f x0 f x0 h f x0 f x0 lim lim lim x x h 0 h 0 . 0 x x0 h x0 x0 h - Vậy D sai. Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó . (3) Nếu hàm số f x gián đoạn tại điểm x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó . Trong ba mệnh trên: A. (1) và (3) đúng.B. (2) đúng.C. (1) và (2) đúng .D. (2) và (3) đúng. Lời giải Đáp án A. Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f x x có tập xác định D ¡ nên hàm số liên tục trên ¡ , f x f 0 f x f 0 nhưng ta có: lim 1 và lim 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 . STUDY TIP - Khi x 0 x 0 nên x x . - Khi x 0 x 0 nên x x . x2 x 1 Ví dụ 7. Cho hàm số y f x . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 1. x 0 A. 2 .B. 1. C. 0 .D. Không tồn tại. Lời giải Đáp án D. Hàm số liên tục tại x0 1. f x f 1 x2 2x 1 Ta có lim lim 0 (1). x 1 x 1 x 1 x x 1 f x f 1 x2 1 lim lim 2 (2). x 1 x 1 x 1 x x 1 Từ (1) và (2) hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1. STUDY TIP Hàm số f x có đạo hàm tại x0 f x0 f x0 f x0 3 4 x khi x 0 Ví dụ 8. Cho hàm số f x . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? 1 khi x 0 1 1 1 A. .B. . C. .D. 2 . 4 16 2 Lời giải
5. Đáp án A. f x f 0 2 4 x 1 1 Ta có: lim lim lim . x 0 x 0 x 0 x x 0 2 4 x 4 x khi x 1 Ví dụ 9. Cho hàm số f x . Khi đó f 1 là kết quả nào sau đây. 2 x khi x 1 1 A. .B. 1. C. 2 .D. f 1 không tồn tại. 2 Lời giải Đáp án D. Ta có: f 1 12 1. x 1 1 1 x2 1 f 1 lim lim và f 1 lim lim x 1 2. x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 Vì f ' 1 f ' 1 nên hàm số f x không tồn tại đạo hàm tại x0 1. Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai. A. Hàm số có đạo hàm tại x 0 .B. Hàm số có đạo hàm tại x 1. C. Hàm số có đạo hàm tại x 2 .D. Hàm số có đạo hàm tại x 3. Lời giải Đáp án B. Tại x 1 đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 1. STUDY TIP - Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Hàm số không liên tục tại điểm x0 thì không có đạo hàm tại x0 . x2 1 khi x 1 Ví dụ 11. Tìm a để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 1. a khi x 1 1 A. a 2 .B. a 2 . C. a 1 .D. a . 2
6. Lời giải Đáp án B. Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết f x phải liên tục tại x 1. x2 1 2 x2 1 f x f 1 lim 2 f 1 a . Khi đó f 1 lim lim x 1 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy a 2 . STUDY TIP Hàm số f x liên tục tại x0 lim f x f x0 . x x0 x2 1 khi x 0 Ví dụ 12. Tìm a,b để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 a 11 a 10 a 12 a 1 A. .B. . C. .D. . b 11 b 10 b 12 b 1 Lời giải Đáp án D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0 lim f (x) 1 f (0), lim f (x) b b 1 x 0 x 0 f (x) f (0) x 1 Xét lim lim 1 x 0 x x 0 x 1 f (x) f (0) lim lim a a x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại x 0 a 1 STUDY TIP Hàm số f (x) liên tục tại x lim f (x) lim f (x) f (x ) 0 0 x x0 x x0 ax2 bx 1 khi x 0 Ví dụ 13. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 0 asin x bcos x khi x 0 A. a 1;b 1.B. a 1;b 1.C. a 1;b 1. D. a 0;b 1. Lời giải Đáp án A Ta có: f (0) 1 lim f (x) lim(ax2 bx 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim(asin x bcos x) b x 0 x 0 Để hàm số liên tục thì b 1
7. ax2 x 1 1 f (0 ) lim 1 x 0 x x x x 2asin cos 2sin2 asinx bcos x 1 f (0 ) lim lim 2 2 2 x 0 x x 0 x x x sin sin x x lim 2 . lim a cos lim 2 . lim sin a x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 2 2 Để tồn tại f (0) f (0 ) f (0 ) a 1 STUDY TIP sinx sinf(x) Giới hạn lượng giác lim 1 lim 1 x 0 x f (x) 0 f (x) Ví dụ 14. Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2) (x 1000) . Tính f (0) . A.10000!.B. 1000!.C. 1100!.D. 1110!. Lời giải Đáp án B. f (x) f (0) x(x 1)(x 2) (x 1000) 0 f (x) lim lim lim(x 1)(x 2) (x 1000) x 0 x 0 x 0 x x 0 ( 1)( 2) ( 1000) 1000! STUDY TIP Hoán vị n phần tử: Pn n! 1.2 (n 1)n C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 3 Câu 1. Số gia của hàm số f (x) x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu? A. 19 .B. 7 . C.19.D. 7 . y Câu 2. Tỉ số của hàm số f (x) 2x(x 1) theo x và x là: x A. 4x 2 x 2 .B. 4x 2( x)2 2 . C. 4x 2 x 2.D. 4x. x 2( x)2 2 x . Câu 3. Số gia của hàm số f (x) x2 4x 1 ứng với x và x là: A. x( x 2x 4) .B. 2x x .C. x(2x 4 x) . D. 2x 4 x . x2 1 1 khi x 0 Câu 4. Cho hàm số f (x) xác định: f (x) x .Giá trị f (0) bằng: 0 khi x 0 1 1 A. .B. . C. 2 . D. Không tồn tại. 2 2 x3 4x2 3x khi x 1 Câu 5. Cho hàm số f (x) xác định trên¡ \ 2 bởi f (x) x2 3x 2 .Giá trị f (1) bằng: 0 khi x 1 3 A. .B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại. 2 Câu 6. Xét hai mệnh đề: (I) f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 .
8. (II) f (x) có liên tục tại x0 thì f (x) đạo hàm tại x0 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I) . B. Chỉ (II) . C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ: Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây? A. x 0 .B. x 1.C. x 2 . D. x 3. x3 2x2 x 1 1 khi x 1 Câu 8. Cho hàm số f (x) x 1 .Giá trị f (1) bằng: 0 khi x 1 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 3 5 2 4 2x 3 khi x 1 Câu 9. Cho hàm số f (x) x3 2x2 7x 4 .Giá trị f (1) bằng: khi x 1 x 1 A. 0 .B. 4 . C.5 . D. Không tồn tại. x khi x 0 Câu 10. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ bởi f (x) x Xét hai mệnh đề sau: 0 khi x 0 (I) f (0) 1 . (II) Hàm số không có đạo hàm tại x0 0 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I) .B. Chỉ (II) .C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Câu 11. Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y liên tục tại x 0 . x 1 x (2) Hàm số y có đạo hàm tại x 0 . x 1 Trong 2 câu trên: A. (2) đúng.B. (1) đúng.C.Cả (1) , (2) đều đúng.D. Cả (1) , (2) đều sai.
9. 3 4x2 8 8x2 4 khi x 0 Câu 12. Cho hàm số f (x) x .Giá trị của f (0) bằng: 0 khi x 0 1 5 4 A. .B. . C. .D.Không tồn tại. 3 3 3 xsin khi x 0 Câu 13. Với hàm số f (x) x .Để tìm đạo hàm f '(x) 0 một học sinh lập luận qua 0 khi x 0 các bước như sau: 1. f (x) x . sin x . x 2.Khi x 0 thì x 0 nên f (x) 0 f (x) 0 . 3.Do lim f (x) lim f (x) f (0) 0 nên hàm số liên tục tại x 0 . x 0 x 0 4.Từ f (x) liên tục tại x 0 f (x) có đạo hàm tại x 0 . Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A.Bước 1.B.Bước 2. C.Bước 3. D.Bước 4. 1 xsin khi x 0 Câu 14. Cho hàm số f (x) x2 . 0 khi x 0 (1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . (2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . Trong các mệnh đề trên: A.Chỉ (1) đúng.B. Chỉ (2) đúng.C.Cả (1),(2) đều đúng. D. Cả (1),(2) đều sai. ax2 bx khi x 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) .Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x 1 2x 1 khi x 1 A. a 1,b 0 .B. a 1,b 1.C. a 1,b 0 .D. a 1,b 1. sin2 x khi x 0 Câu 16. Cho hàm số f (x) x .Giá trị của f (0) bằng: 2 x x khi x 0 A.1.B. 2 . C.3 .D. 5 . Câu 17. Xét hàm số y f (x) có tập xác định là đoạn a;b đồng thời nếu x x0 a;b thì f (x) 1 với 3 điều kiện: I. f (x) là hàm số liên tục trái và liên tục phải của x0 . II. f (x0 ) 1. III. f (x) có đạo hàm tại x0 . Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để f (x) liên tục tại x0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ II và III. Câu 18. Xét ba hàm số: I. f (x) x .x II. g(x) x
10. III. h(x) x 1 x Hàm số không có đạo hàm tại x 0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III. D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án C. 3 3 y f x0 x f x0 x0 x x0 Với x0 2, x 1 y 19 Câu 2. Đáp án C. y f x f x0 2 x x0 x x0 2 x x0 2x 2x0 2 x x x0 x x0 (Với x0 x x ) Câu 3. Đáp án A. y f x x f x x x 2 4 x x 1 x2 4x 1 x x 2x 4 Câu 4. Đáp án A. f x f 0 x2 1 1 1 1 Xét lim lim 2 lim x 0 x x 0 x x 0 x2 1 1 2 1 Vậy f 0 2 Câu 5. Đáp án D. f x f 1 x3 4x2 3x x x 3 Xét lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x2 3x 2 x 1 x 1 x 2 Câu 6. Đáp án A. (II) Sai : ví dụ: f x x thì f x liên tục tại x = 0 nhưng f x không có đạo hàm tại x = 0 (I) Đúng theo đáp án đã trình bày Câu 7. Đáp án B. Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục tại đó hàm số không có đạo hàm Câu 8. Đáp án C. f x f 1 x 3 2x 2 x 1 x 1 lim lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2x 2 x 1 1 2 Câu 9. Đáp án D. lim f x lim 2x 3 5 x 1 x 1 x 3 2x 2 7x 4 lim f x lim lim x 2 3x 4 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy không tồn tại f 1 Câu 10. Đáp án B. x 0 1 f 0 lim x lim x 0 x 0 x 0 x x Vậy (I) sai, (II) đúng Câu 11. Đáp án B.
11. x Ta có: lim 0 f 0 Hàm số liên tục tại x 0 x 0 x 1 f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 0 Câu 12. Đáp án B. f x f 0 3 4x 2 8 8x 2 4 3 4x 2 8 2 2 8x 2 4 lim lim lim x 0 x x 0 x 2 x 0 x 2 Ta có: 2 2 1 4x 8x 1 5 lim 2 2 x 0 x 3 2 2 3 2 2 8x 2 4 3 3 4x 8 2 4x 8 4 Câu 13. Đáp án D. f x f 0 Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa sin x 0 x không có giới hạn khi x 0 Câu 14. Đáp án C. 1 Ta có: x x.sin x x 2 1 1 lim x lim x.sin lim x 0 lim x.sin 0 f 0 x 0 x 0 x 2 x 0 x 0 x 2 Vậy hàm số liên tục tại x 0 f x f 0 1 Xét lim lim sin x 0 x 0 x 2 1 Lấy dãy (xn): xn có: 2n 2 1 lim xn lim 0 lim f xn lim sin 2n 1 n n n 2 2n 2 1 1 Lấy dãy x : x , tương tự ta cũng có: n n 2 2 n 6 f x f 0 1 1 lim xn 0 lim f xn 0 lim sin 2n lim limsin 2 không n n n 6 2 x 0 x 0 x 0 x tồn tại Câu 15. Đáp án C. lim f x a b f 1 x 1 Ta có: a b 1 lim f x lim 2x 1 1 x 1 x 1 f x f 1 ax 2 bx a b lim lim lima x 1 b 2a b x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f 1 2x 2 1 a b 2x 1 1 lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
12. a b 1 a 1 Ta có hệ: 2a b 2 b 0 Câu 16. Đáp án A. sin 2 x sin x lim f x lim lim .sin x 0 x 0 x 0 x x 0 x lim f x lim x 2 x 0 x 0 x 0 Suy ra hàm số liên tục tại x 0 f x f 0 sin 2 x f x f 0 x 2 x lim lim 1; lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x Vậy: f 0 f 0 f 0 1 Câu 17. Đáp án C. - f(x) liên tục tại x0 tức là x x0 thì f x f x0 nên (I) và (II) đúng. -f(x) có đạo hàm tại x 0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể f(x) không có đạo hàm tại điểm đó. Câu 18. Đáp án B. g x g 0 1 Ta có: lim lim . Vậy g x không có đạo hàm tại x 0 . x 0 x 0 x 0 x
13. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. u v u v 2. u - v = u - v u u v v u 1 v 3. u.v u v v u 4. 2 2 v v v v STUDY TIP Mở rộng: 1. u1 u2 un u1 u2 un 2. u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w 2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: yx yu .ux 3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u u x c 0 , c là hằng số x 1 1 u 1 1 2 2 u u x x u 1 x u 2 x 2 u 1 1 x .x u .u .u sin x cos x sin u u .cosu cos x sin x cosu u .sin u u 2 1 2 tan u u . 1 tan x tan x 1 tan x 2 cos2 x cos u 1 2 1 2 cot u 2 u . 1 cot u cot x 2 1 cot x sin x sin u STUDY TIP Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ. B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm
14. Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ 15. Đạo hàm của hàm số y 2x 5 4 x bằng biểu thức nào dưới đây? 1 4 2 1 A. 10x 4 B. 10x 4 C. 10x 4 D. 10x 4 x x x x Lời giải Đáp án C.
15. Lời giải 2 y 10x4 . x 2x 1 a Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị nào x 2 x 2 2 sau đây: A. a 3.B. a 5 . C. a 3.D. a 5. Lời giải Đáp án C. 2x 1 x 2 2x 1 x 2 3 y a 3. x 2 2 x 2 2 STUDY TIP ax b ad bc 2 với c 0 và ad bc 0 cx d cx d x2 x 1 ax2 bx Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a.b bằng: x 1 x 1 2 A. a.b 2 .B. a.b 1. C. a.b 3. D. a.b 4 . Lời giải Đáp án A. 2 2x 1 x 1 x x 1 x2 2x Cách 1: y a.b 2. x 1 2 x 1 2 1 1 x2 2x Cách 2: y x y 1 x 1 x 1 2 x 1 2 STUDY TIP
16. ax2 bx c aa x2 2ab x bb ac Với a.a 0 ta có 2 a x b a x b x2 x 3 ax b Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số y 2 bằng biểu thức có dạng 2 . Khi đó a b bằng: x x 1 x2 x 1 A. a b 4 .B. a b 5 . C. a b 10 .D. a b 12 . Lời giải Đáp án D. x2 x 1 4 4 4 2x 1 8x 4 Cách 1: y 2 1 2 y 2 2 x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 u u v uv Cách 2: Áp dụng 2 v v 2 2 2x 1 x x 1 x x 3 2x 1 8x 4 y 2 2 a b 12 x2 x 1 x2 x 1 STUDY TIP a b a c b c x2 2 x 2 ax bx c a1 b1 a1 c1 b1 c1 2 a x2 b x c 2 1 1 1 a1x b1x c1 Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số y ax2 a 1 x a3 a2 (với a là hằng số) tại mọi x ¡ là: A. 2x a 1.B. 2ax 1 a . C. 2ax 3a2 2a 1. D. 2ax a 1. Lời giải Đáp án D. y 2ax a 1 STUDY TIP Với c là hằng số thì c 0 c.u c.u n n 1 * x nx ,n ¥ ax b Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 bằng biểu thức có dạng . Khi đó a b bằng: 2 x2 x 1 A. a b 2.B. a b 1. C. a b 1. D. a b 2 . Lời giải 2 x x 1 2x 1 Đáp án C. y a b 1 2 x2 x 1 2 x2 x 1 5 Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số y x2 x 1 là: 4 4 A. 4 x2 x 1 2x 1 .B. 5 x2 x 1 . 4 4 C. 5 x2 x 1 2x 1 . D. x2 x 1 2x 1 . Lời giải
17. 4 4 Đáp án C. y 5 x2 x 1 x2 x 1 5 x2 x 1 2x 1 STUDY TIP n n 1 * u n.u u ,n ¥ Với u u x : u u 2 u a Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số y x2 1 5 3x2 bằng biểu thức có dạng ax3 bx . Khi đó T b bằng: A. 1.B. 2 . C. 3 .D. 3 . Lời giải Đáp án D. y x2 1 5 3x2 x2 1 5 3x2 2x 5 3x2 x2 1 6x 12x3 4x STUDY TIP Với u u x ,v v x : uv u v uv Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số y x2 2x 1 5x 3 bằng biểu thức có dạng ax3 bx2 cx . Khi đó a b c bằng: A. 31.B. 24 . C. 51.D. 34. Lời giải Đáp án A. Cách 1: y 2x 2x 1 5x 3 x2.2 5x 3 x2 2x 1 .5 40 x3 3x2 6x Cách 2: Nhân vào rút gọn ta được y 10x4 x3 3x2 y 40x3 3x2 6x nên a b c 31 STUDY TIP u u x ,v v x ,  x uv u v uv  uv x Ví dụ 10. Đạo hàm của hàm số y ( a là hằng số) là: a2 x2 a2 a2 2a2 a2 A. .B. . C. .D. . 3 3 3 3 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Lời giải Đáp án D. x2 a2 x2 2 2 a2 y a x 2 2 3 a x a2 x2 1 ax Ví dụ 11. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị 2 3 x 1 x2 1 nào sau đây: A. a 4 .B. a 1. C. a 2 . D. a 3. Lời giải Đáp án B.
18. 2 2 x 1 x 1 x y 2 a 1 x 1 2 x2 1. x2 1 x2 1. x2 1 STUDY TIP u u u x : u 2 u 2 x x 1 khi x 1 Ví dụ 12. Đạo hàm của hàm số f x là: x 1 3 khi x 1 2x khi x 1 2x 1 khi x 1 A. f x 1 .B. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. f x 1 .D. f x 1 . khi x 1 khi x 1 2 x 1 2 x 1 Lời giải Đáp án D. Với x 1: f x 2x 1 1 Với x 1: f x 2 x 1 f x f 1 x 1 Với x 1, ta có lim lim nên không có đạo hàm tại x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 khi x 1 Vậy f x 1 khi x 1 2 x 1 STUDY TIP Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm bằng công thức và tính đạo hàm bằng định nghĩa tại 1 điểm x0. 3 x2 khi x 1 2 Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số f x . 1 khi x 1 x x khi x 1 x khi x 1 A. f x 1 .B. f x 1 khi x 1. khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 x khi x 1 x khi x 1 C. f x 1 .D. f x 1 khi x 1. khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 Lời giải
19. Đáp án B. Với x 1: f x x 1 Với x 1: f x x2 1 lim f x lim 1 x 1 x 1 x Với x 1, ta có lim f x lim f x 1 f 1 3 x2 x 1 x 1 lim f x lim 1 x 1 x 1 2 Hàm số liên tục tại x 1. 1 1 f x f 1 x lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Xét f 1 1 3 x2 1 f x f 1 lim lim 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x khi x 1 Vậy f x 1 khi x 1 1 khi x 1 x2 STUDY TIP - Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc. - Tại điểm x x0 ta xét đạo hàm bằng định nghĩa. 2 Ví dụ 14. Cho hàm số f x 3x2 1 . Giá trị f 1 là: A. 4 .B. 8 . C. 4 . D. 24 . Lời giải Đáp án D. 2 2 2 Cách 1: f x 2 3x 1 3x 1 12x 3x 1 f 1 24 Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào màn hình: Nhận xét: Bằng cách 2 ta có thể tính nhanh chóng đạo hàm tại một điểm xác định x x0 . STUDY TIP Dùng MTCT: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ ra x x0 . Ví dụ 15. Cho hàm số f x x 1 . Đạo hàm của hàm số tại x 1là: 1 A. .B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại. 2 Lời giải
20. Đáp án D. 1 Ta có: f x Không tồn tại f 1 vì f x xác định với x 1. 2 x 1 STUDY TIP Với bài toán này nếu sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển thị thông báo “Math ERROR” và không tính được. Ví dụ 16. Cho hàm số f x 2x4 4x2 1. Tập các giá trị của x để f x 0 là: A. 1;0  1; .B. 1;0 . C. 1; . D. ;0 . Lời giải Đáp án A. 3 1 x 0 f x 8x 8x f x 0 x 1 STUDY TIP Nhận biết được loại bài toán kết hợp việc tính đạo hàm và giải bất phương trình. Ví dụ 17. Cho hàm số f x x x2 1 . Tập các giá trị của x để 2x. f x f x 0 là: 1 1 1 2 A. ; .B. ; . C. ; .D. ; . 3 3 3 3 Lời giải Đáp án A. x f x f x f x 1 2x. f x f x 0 2x. f x 0 x2 1 x2 1 x2 1 x 0 1 2x x2 1 do f x x x2 x x 0 x 2 3x 1 3 1 Vậy x ; 3 STUDY TIP x x x x 0 f x 0, g x 0 f x g x f x g x 1 Ví dụ 18. Cho hàm số f x x3 2 2x2 8x 1. Tập các giá trị của x để f x 0 là: 3 A. 2 2.B. 2; 2 . C. 4 2.D. 2 2. Lời giải Đáp án D. f x x2 4 2x 8 f x 0 x 2 2
21. STUDY TIP - Nhận biết được loại bài toán kết hợp giữa việc tính đạo hàm và giải phương trình. - Sau khi tính được đạo hàm ta có thể thử các đáp án vào phương trình để tìm ra kết quả. x3 Ví dụ 19. Cho hàm số f x . Tập nghiệm của phương trình f x 0 là: x 1 2 2 3 3 A. 0;  .B. 0; . C. 0;  .D. 0; . 3 3 2 2 Lời giải Đáp án C. 3x2 x 1 x3 2x3 3x2 f x x 1 2 x 1 2 x 0 3 2 f x 0 2x 3x 0 3 (thỏa mãn) x 2 mx3 Ví dụ 20. Cho hàm số f x mx2 3m 1 x 1. Tập các giá trị của tham số m để y 0 với 3 x ¡ là: A. ; 2 .B. ;2 . C. ;0 . D. ;0 . Lời giải Đáp án C. y mx2 2mx 3m 1 y 0 mx2 2mx 3m 1 0 1 + Với m 0 thì (1) trở thành 1 0 nên đúng với x ¡ . a 0 m 0 + Với m 0 khi đó (1) đúng với x ¡ m 0 0 1 2m 0 Vậy m 0 STUDY TIP a 0 f x 0,x 0 Cho f x ax2 bx c, a 0 a 0 f x 0,x 0 Ví dụ 21. Cho hàm số f x 2mx mx3 . Số x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 1 khi và chỉ khi: A. m 1.B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. Lời giải Đáp án D. f x 2m 3mx2
22. Số x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 1 2m 3m 1 m 1. DẠNG 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp chung: - Vận dụng các công thức đạo hàm bốn hàm số y sin x , y cos x , y tan x , y cot x và hàm hợp của nó. - Vận dụng phối hợp các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp - Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với sinx và cosx, phương trình tích số để giải phương trình y ' 0 Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác STUDY TIP (sinn u)' nsinn 1 u.(sin u)' (cosn u)' ncosn 1 u.(cosu)' (tann u)' n tann 1 u.(tan u)' (cotn u)' ncotn 1 u.(cot u)' Ví dụ 16. Đạo hàm của hàm số y 2sin 3x.cos5x có biểu thức nào sau đây? A. 30cos3x.sin 5x .B. 8cos8x 2cos 2x . C. 8cos8x 2cos 2x . D. 30cos3x 30sin 5x . Đáp án C Lời giải Cách 1: Ta có y sin8x sin 2x y ' 8cos8x 2cos 2x Cách 2: y ' 6cos3x.cos5x 10sin 3x.sin 5x 3cos8x 3cos 2x 5cos 2x 5cos8x 8cos8x 2cos 2x Nhận xét: Nếu dùng cách 1 sử dụng công thức biến đổi từ tích sang tổng rút gọn rồi sau đó việc tính đạo hàm y ' sẽ đơn giản hơn. STUDY TIP 1 sin a cosb [sin(a b) sin(a b)] 2 1 cos a cosb [cos(a b) cos(a b)] 2 sin x cos x a Ví dụ 17. Đạo hàm của hàm số y có biểu thức dạng . Vậy giá trị a là: sin x cos x (sin x cos x)2 A. a 1.B. a 2 . C. a 3.D. a 2 . Đáp án B Lời giải
23. (cos x sin x)(sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x) 2 y ' . (sin x cos x)2 (sin x cos x)2 a 2 STUDY TIP u u 'v uv ' Áp dụng quy tắc: ( )' và sin2 x cos2 x 1 v v2 Ví dụ 18. Đạo hàm của hàm số y cot x là: 1 1 1 sin x A. .B. .C. . D. . sin2 x cot x 2sin2 x cot x 2 cot x 2 cot x Đáp án B Lời giải (cot x)' 1 Cách 1: y ' 2 cot x 2sin2 x cot x Cách 2: Học sin có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm của hàm số y cot x tại một điểm x 4 ta được kết quả 1 Với x thay vào từng đáp án ta được đáp án B 4 STUDY TIP Ví dụ 19. Đạo hàm của hàm số y cos2 (sin3 x) là biểu thức nào sau đây? A. sin(2sin3 x).sin2 x.cos x .B. 6sin(2sin3 x).sin2 x.cos x . 3 2 3 2 C. 7sin(2sin x).sin x.cos x . D. 3sin(2sin x).sin x.cos x . Đáp án D Lời giải Cách 1: y cos2 u , với u sin3 x y ' 3sin(2sin3 x).sin2 x.cos x Cách 2: Sử dụng MTCT - Nhập biểu thức của hàm số y cos2 (sin3 x) ở đơn vị radian - Thay x vào từng đáp án ta được đáp án D 4 Nhận xét: Với bài toán này việc sử dụng MTCT trở nên phức tạp hơn nhiều với việc giải tự luận thuần túy STUDY TIP cos x 4 Ví dụ 20. Đạo hàm của hàm số y cot x là biểu thức nào sau đây? 3sin3 x 3 A. cot3 x 1.B. 3cot4 x 1. C. cot4 x 1. D. cot4 x . Đáp án C Lời giải 1 4 1 Ta rút gọn hàm số đã cho y cot x(1 cot2 x) cot x cot3 x cot x 3 3 3 y ' cot2 x(1 cot2 x) 1 cot2 x cot4 x 1 STUDY TIP Học sinh cần biến đổi hàm số đã cho về dạng đơn giản hơn thì việc tính toán đạo hàm sẽ nhanh hơn.
24. Ví dụ 21. Đạo hàm của hàm số y tan2 x cot2 x là: tan x cot x tan x cot x tan x cot x A. 2 2 .B. 2 2 . C. 2 2 . D. 2 tan x 2cot x . cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x Đáp án A Lời giải 1 1 2 tan x 2cot x y ' 2 tan x. 2 2cot x 2 2 2 cos x sin x cos x sin x 1 x3.sin khi x 0 Ví dụ 22. Cho hàm số f (x) x . Đạo hàm f '(x) là biểu thức nào sau đây? 0 khi x 0 1 1 1 1 x2.sin x cos khi x 0 3x2.sin x cos khi x 0 A. f '(x) x x .B. f '(x) x x . 1 khi x 0 1 khi x 0 1 1 1 1 3x2.sin x cos khi x 0 3x2.sin x cos khi x 0 C. f '(x) x x . D. f '(x) x x . 0 khi x 0 0 khi x 0 Đáp án D Lời giải 1 1 Với x 0 f '(x) 3x2 sin x cos x x f (x) f (0) Với x 0 f '(x) lim 0 x 0 x 1 1 3x2.sin x cos khi x 0 f '(x) x x 0 khi x 0 STUDY TIP Bạn đọc nhận biết loại bài toán tính đạo hàm của hàm số có nhiều biểu thức: - Với x x0 tính đạo hàm bằng công thức - Với x x0 tính đạo hàm bằng định nghĩa Ví dụ 23. Đạo hàm của hàm số y 3tan2 x cot 2x là: 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) A. .B. . 3 3tan2 x cot 2x 2 3tan2 x cot 2x 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) C. .D. . 3tan2 x cot 2x 3tan2 x cot 2x Đáp án D Lời giải 3tan x(1 tan2 x) (1 cot2 2x) Ta có: y u với u 3tan2 x cot 2x y ' 3tan2 x cot 2x STUDY TIP u ' Vận dụng giữa các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm số hợp ( u)' 2 u cos x Ví dụ 24. Cho hàm số f (x) , chọn kết quả sai? 1 2sin x