Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song (Có lời giải)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song (Có lời giải)

1. CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG A. LÝ THUYẾT I. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ như mặt phẳng P , Q , ,  Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hoặc một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. P P Đường thẳng và mặt phẳng là tập hợp các điểm. Do đó, - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu A a và đôi khi còn nói rằng đường thẳng a đi qua điểm A . - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng , ta kí hiệu A và đôi khi còn nói rằng mặt phẳng đi qua điểm A . - Nếu đường thẳng a chứ trong mặt phẳng , ta kí hiệu a  và đôi khi còn nói rằng mặt phẳng đi qua (hoặc chứa) đường thẳng a . 2. Quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian - Hình biểu diễn của một đường thẳng là một đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì phải được vẽ song song và bằng nhau. Trung điểm của một đoạn thẳng phải được lấy ngay tại điểm chính giữa của đoạn thẳng đó. - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. 3. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian - Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. - Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Như vậy, một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bởi một trong các cách thức sau: - Mặt phẳng đó đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C . Kí hiệu là mp ABC . - Mặt phẳng đó đi qua một đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng a . Kí hiệu: ; mp (A,a) . b B A a a a A C b mp(ABC) mp(A;a) mp(a,b) - Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b . Kí hiệu, mp a,b . - Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng song song a ,b . - Tính chất 3: Trong không gian có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc bất cứ mặt phẳng nào. - Tính chất 4: Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. - Tính chất 5: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
2. - Tính chất 6: Trong mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. 3.Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian a) Vị trí tương đối của một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d và một mặt phẳng . Có thể xãy ra các khả năng sau: d - Đường thẳng d và mặt phẳng không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng , kí hiệu d / / . α d - Đường thẳng d và mặt phẳng có đúng một điểm chung. Trong trường hợp này ta nói ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng tại A , kí hiệu: d  A A α - Đường thẳng d và mặt phẳng có nhiều hơn một điểm chung.Trường hợp này ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ta kí hiệu: d  hay d α  d . b) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng phân biệt và  . Có thể xảy ra một trong các khả năng sau: α - Hai mặt phẳng và  không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói các mặt phẳng và  song song với nhau, kí hiệu / /  . β - Hai mặt phẳng và  có ít nhất một điểm chung. Trong trường hợp này ta α nói các mặt phẳng và  có phần chung là một đường thẳng, giả sử đường thẳng đó là d , ta kí hiệu   d . β Đường thẳng d được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Như vậy, việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm cùng thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt đó. Ngoài ra, nếu biết được rằng ba điểm phân biệt cùng thuộc đồng thời hai mặt phẳng thì ba điểm đó phải nằm trên một được thẳng. c) Vị trí tương đối của hai đương thẳng: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Có thể xảy ra một trong các khả năng sau: - Các đường thẳng a và b cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó a và b hoặc cắt nhau tại một điểm hoạc song song với nhau. - Các đương thẳng a và b không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào. Trong trường hợp này ta nói các đường thẳng a và b chéo nhau. a A b 4. Hình chóp và hình tứ diện
3. S S cạnh bên S Mặt bên A D A1 A5 A A1 B 4 A3 cạnh đáy A C 2 Mặt đáy A3 A2 1. Hình chóp: Trong mặt phẳng , cho đa giác lồi A1A2 An .Lấy điểm S nằrm ngoài mặt phẳng . Lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2 , , An để được n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 .Hình gồm đa giác A1, A2 , , An và n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 và gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2 An Ta gọi S là đỉnh, đa giác A1, A2 , , An là mặt đáy, tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 gọi là một mặt bên của hình chóp, Các đoạn thẳng SA1,SA2 , ,SAn gọi là các cạnh bên, các cạnh của đa giác A1A2 An là các cạnh đáy của hình chóp. -Cách gọi tên: Hình chóp + tên đa giác. - Ví dụ: hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác . Lưu ý: Hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhaulaf hình chóp đa giác đều. b) tứ diện: Tứ diện ABCD là hình được thành lập từ bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D .Các điểm A,B,C,D là các đỉnh của tứ diện, các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC được gọi là các mặt của tứ diện đối diện với các đỉnh A, B,C, D và các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA,CA,BD gọi là các cạnh của tứ diện . Trong đó các cặp cạnh AB và CD , AC và DB, AD và BC thường được gọi là các cặp cạnh đối của tứ diện. B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIŨA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và  ta tiến hành đi tìm hai điểm thuộc cả hai mặt phẳng và  . Lưu ý: Một điểm chung của hai mặt phẳng và  thường tìm được bằng cách: Chọn một mặt phẳng  sao cho các giao tuyến 1, 2 của và  với  có thể dựng được ngay. Giao điểm I của 1, 2 ( trong  ) là điểm chung cần tìm. Ta thường chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. + Ta cũng có thể chứng minh bà đường thẳng đồng quy bằng cách: Cách 1: Hai trong ba đường thẳng ấy cắt nhau và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng nhận đường thứ ba làm giao tuyến. Cách 2: Tìm một đoạn thẳng AB trên một đường thẳng nào đó. Chứng minh hai đường thẳng còn lại chia đoạn AB theo cùng một tỉ số đại số. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . Phương pháp:
4. + Nếu phát hiện ra một đường thẳng d trong mặt phẳng cắt tại I thì I chính là giao điểm của với mặt phẳng . + Nếu chưa phát hiện ra đường thẳng d thì ta dựng d bằng cách: Chọn một mặt phẳng  chứa sao cho giao tuyến của  và có thể dựng được ngay, giao tuyến đó chính là đường thẳng d cần tìm. Hai định lí quan trọng thường dùng: Định lí Ceva: Cho tam giác ABC . Các điểm M , N, P khác A, B,C và theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC,CA, AB . Khi đó các đường thẳng AM , BN,CP hoặc đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi MB NC PA . . 1 MC NA PB Định lí Menelaus : Cho tam giác ABC . Các điểm M , N, P khác A, B,C và theo thứ tự thuộc các đường MB NC PA thẳng BC,CA, AB . Khi đó các điểm M , N, P thẳng hàng khi và chỉ khi . . 1 . MC NA PB DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN Cho trước khối đa diện T và mặt phẳng . Nếu có điểm chung với T thì sẽ cắt một số mặt của T theo các đoạn thẳng. Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đoạn đó thường là một đa giác, gọi là mặt cắt ( còn gọi là thiết diện) giữa T và . Chú ý: + Đỉnh của thiết diện là giao điểm của với các cạnh của T . Cạnh của thiết diện là các đoạn giao tuyến của với các mặt của T . Do đó thực chất của việc dựng thiết diện là bài toán dựng giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng và dựng giao tuyến giữa hai mặt phẳng. + Do mỗi cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của mặt phẳng với một mặt của T . Do đó số cạnh nhiều nhất mà thiết diện có thể có chính là số mặt của T . - Đối với hình chóp tam giác ( hoặc tứ diện), thiết diện của nó cắt bởi mặt phẳng chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác ( ở đay ta quy ước không xét các trường hợp suy biến khi thiết diện là một mặt hoặc một cạnh của hình chóp). -Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện của nó chỉ có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác. Các bài toán liên quan đến thiết diện gồm các dạng: + Dựng thiết diện. + Xác định hình dạng thiết diện. + tính diện tích thiết diện. + Tính tỉ số thể tích hai phần do thiết diện phân chia khối thể tích đã cho ( sẽ được trình bày trong Công phá toán tập 3). Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M , N, B . a) Tìm các giao tuyến của P và SAB ; P và SBC . b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng P và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) . c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SCD) . Từn đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi (BMN) . d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA , DC với (P) . Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng. Lời giải::
5. a) Ta có: S M SA, SA  SAB M SAB 1 Lại có M BMN 2 K Từ (1) và (2) suy ra M M SAB  BMN 3 I N A Ta có : B SAB  BMN 4 E D Từ (3) và (4) suy ra BM SAB  BMN . O Tương tự ta cũng suy ra B C BM SAB  BMN . b) Trong mặt phẳng SAC , gọi I là giao F điểm của SO với MN Ta có : I MN, MN  BMN I BMN I là giao điểm của SO với BMN . Trong mặt phẳng SBD , gọi K là giao điểm của BI với SD . Ta có : K BI, BI  BMN K BMN . Suy ra K chính là giao điểm của SD với BMN . K BMN c) Ta có : K BMN  SAD . K SAD Ta lại có : M BMN  SDC . Như vậy tứ giác BMKN là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng BMN . d) Trong mặt phẳng SAD , gọi E MK  AD . Ta có: MK  BMN nên E BMN . Vậy E chính là giao điểm của AD với BMN . Trong mặt phẳng SDC gọi F NK CD . Ta có NK  BMN nên F BMN , E BMN B BMN E BMN  ABCD , B BMN  ABCD E ABCD B ABCD Suy ra ba điểm B, E, F cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng BMN và ABCD . Do đó ba điểm B, E, F thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Đáp án A. Lời giải:. + Giả sử M , N, P,Q cùng thuộc mặt phẳng . Nếu MN cắt AC tại K thì K là điểm chung của các mặt phẳng , ABC , ADC nên PQ cũng đi qua K. Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác ABC, ADC ta được :
6. AM BN CK AK CP DQ AM BN CP DQ . . 1 ; . . 1 . . . 1 BM CN AK CK DP AQ BM CN DP AQ Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC thì ví dụ trên vẫn đúng. AM BN CP DQ + Liệu trường hợp ngược lại, có . . . 1 thì M , N, P,Q có đồng phẳng hay BM CN DP AQ không ? Câu trả lời là trường hợp ngược là ví dụ vẫn đúng. Ta sẽ cùng chứng minh nhé : Trong mặt phẳng ACD , KO cắt AD tại Q thì các điểm M , N, P,Q đồng phẳng. AM BN CP AQ DQ DQ Theo ví dụ 2 ta có: . . . 1 Q  Q . Ví dụ được chứng minh. BM CN DP DQ AQ AQ + Ví dụ này có thể được mở rộng đối với các điểm M , N, P,Q bất kì trên các đường thẳng AB, BC,CD, DA như sau : AM BN CP DQ M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi . . . 1 ( khẳng định này dôi khi còn BM CN DP AQ được gọi là định lí Menelaus mở rộng trong không gian) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD và E là điểm thuộc mặt bên (SCD) . E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG là : A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Đáp án C. Lời giải: : Trong mặt phẳng ABCD , gọi I, H lần lượt là giao điểm của FG với BC,CD Dễ thấy thiết diện là hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng là ngũ giác MNGFE . Vậy đáp án đúng là C. a b) Theo cách dựng ta có E là trung điểm của BB '. Do đó B ' F BP C 'Q 2 a 2 3a 2 MB PB 1 3 3 Suy ra : PE QF EF= PQ , CN CD a. 2 2 NC PC 3 4 4 ABB ' A' / /(DCC ' D ') Do KE  ABB ' A' KE / /NG NG  (DCC ' D ') Tương tự ta có : MN / /FG 2 S 2 SPME PE 1 QGF QE 1 Do đó : , SPQN PQ 9 SQNP PQ 9 Diện tích thiết diện là : 7 SMNGFE SPNQ SPEM SQFG SPNQ . 9 Do hai tam giác vuông NCP và NCQ bằng nhau (c.g.c) nên NQ NP. Vậy tam giác NPQ cân tại N. Gọi I là trung điểm của PQ 5a 5 45a2 18a2 3a a Ta có : PN PC 2 CN 2 , NI PN 2 PI 2 . 4 16 16 4 Diện tích của NPQ bằng : 1 9a2 6 7a2 6 S NI.PQ S . NPQ 2 16 MNGFE 16
7. Vậy đáp án đúng là B. Câu 23. Đáp án D. Trong mặt phẳng (ABCD) , dựng đường thẳng qua M , song song với BC cắt A' B ',C ' D ' theo thứ tự tại E, F . Trong mặt phẳng (A' B 'C ' D '), dựng đường thẳng qua N song song với B 'C ' cắt A' B ',C ' D ' theo BM C ' N BM C ' N thứ tự tại K, I. Ta có : . BD C ' A' BD NA' Áp dụng định lý Thales ta có : B 'K C ' N MB BE KE / /BB '. A'K A'N MD EA Từ đây sauy ra KE / /(BCC ' B ') (1). Theo cách dựng ta suy ra : EF / /(BCC ' B ') (2). EFIK / / BCC ' B ' Từ (1) và (2) MN / / BCC ' B ' . MN / / EFIK Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định, mặt phẳng đó là (BCC'B') Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AP 1 SQ AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP . Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. .B. . C. .D. . 3 6 2 3 Lời giải: Đáp án A. Trong mặt phẳng ABC , gọi E NP  AC Khi đó Q chính là giao điểm của SC với EM. AP BN CE CE Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: . . 1 2 PB NC EA EA AM SQ CE SQ 1 SQ 1 Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: . . 1 MS QC EA QC 2 SC 3
8. Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi A1, B1,C1, D1 tương ứng là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Chứng minh rằng AA1, BB1,CC1, DD1 đồng quy tại điểm G và ta có: AG BG CG DG 3 AA1 BB1 CC1 DD1 4 Lời giải: Lưu ý: Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD MA MB 1 Gọi M là trung điểm CD. Theo tính chất trọng tâm ta có: 1 1 A B / / AB và MB MA 3 1 1 A B 1 1 1 AB 3 Trong mặt phẳng AMB , gọi G là giao điểm của BB1, AA1 AG A B 1 AG 3 Theo định lý Thales ta có: 1 1 1 1 GA AB 3 AA1 4 AG ' 3 G ' CC1  AA1, AA1 4 Tương tự ta có: 2 AG" 3 G '' DD ' AA , 1 AA1 4 Từ 1 và 2 suy ra G, G’, G” trùng nhau, tức là AA1, BB1,CC1, DD1 đồng quy tại điểm G và ta có : AG BG CG DG 3 AA1 BB1 CC1 DD1 4 Bài tập tương tự: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J, E, F, K, H tương ứng là các trung điểm của AB,CD, AC, BD, AD, BC . Chứng minh rằng IJ, EF, KH đòng quy tại một điểm và điểm đồng quy chính là trọng tâm G của tứ diện ABCD C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Dùng nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất. B. Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng. C. Hình biểu diễn phải giữ nguyên qua hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng D. Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song. Câu 2. Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện? (Chọn câu đúng nhất)
9. I II III IV A. I , II . .B. I , II , III , IV . C. I , II , III . D. I . Câu 3. Hình nào sau đây vẽ đúng quy tắc? A. .B. . C D. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD , E là trung điểm của đoạn AB . Hình vẽ nào sau đây vẽ đúng quy tắc? A. .B. .C D. Câu 5. Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu bằng (nhìn từ trên xuống) có thể nhìn từ dưới lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) lần lượt được thể hiện như sau:
10. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình đó? A. .B. . C D. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng. B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng. C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng phân biệt. D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Câu 7. Xét các mệnh đề sau đây: I Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. II Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. III Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. IV Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có duy nhất một điểm chung khác nữa. Số mệnh đề sai trong các mệnh đề trên là: A. 3.B. 1.C. 2.D. 4. Câu 8. Cho n điểm phân biệt trong không gian n 4 .Biết rằng bốn điểm bất kỳ trong n điểm đã cho cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tất cả n điểm thuộc cùng một mặt phẳng. B. Có đúng n 1 điểm thuộc cùng một mặt phẳng. C. Có đúng n 2 điểm thuộc cùng một mặt phẳng. D. Không tồn tại mặt phẳng nào chứa tất cả n điểm. Câu 9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Có đúng hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng cho trước B. Hai mặt phẳng có một điểm chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng cùng chứa hai cạnh của một tam giác thì trùng nhau D. Có đúng hai mặt phẳng phân biệt đi qua ba điểm phân biệt Câu 10. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mặt phẳng ABCD . Có bao nhiêu mặt phẳng qua S và hai trong số bốn điểm A, B,C, D? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Câu 11. Cho năm điểm A, B,C, D, E phân biệt trong đó không có bốn điểm nào cùng nằm trên một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm đã cho ?
11. A. 6.B. 10.C. 60.D. 8. Câu 12. Cho n n 3,n ¥ đường thẳng phân biệt đồng quy tại O trong đó không có ba đường thẳng nào cùng năm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai trong số n đường thẳng trên? n! n! n! A. .B. .C. . D. n!. 2 n 2 ! n 2 ! 2 Câu 13. Cho mặt phẳng và hai đường thẳng a,b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng . Gọi A là một điểm thuộc đường thẳng a nhưng không thuộc đường thẳng b và P là một điểm nằm ngoài . Khẳng định nào sau đây đúng: A. PA và b chéo nhau.B. PA và b song song . C. PA và b cắt nhau.D. PA và b trùng nhau. Câu 14. Cho tứ diện ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AJ, BI song song .B. AJ, BI trùng nhau.C. AJ, BI cắt nhauD. AJ, BI chéo nhau Câu 15. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD , N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau: A. SO và AD .B. MN và SO .C. MN và SC D. SA và BC . Câu 16. Cho bốn điểm A, B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sau đây: A. ACD .B. BCD .C. CMN . D. ABD . Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AB . Khi đó BC và MN là hai đường thẳng: A. Chéo nhau.B. Có hai điểm chung. C. Song song D. Cắt nhau Câu 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh AC, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN 2ND.O là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Mặt phẳng OMN chứa đường thẳng AB B. Mặt phẳng OMN đi qua giao điểm của hai đường thẳng MN và CD . C. Mặt phẳng OMN đi qua điểm A . D. Mặt phẳng OMN chứa đường thẳng CD . Câu 19. Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì : A. Cùng thuộc một đường trònB. Cùng thuộc một đường thẳng C. Cùng thuộc một eliP D. Cùng thuộc một tam giác. Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ). Khẳng định nào sau đây sai: A. Hình chóp S.ABCD có bốn mặt bên B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là SK trong đó K là một điểm thuộc mặt phẳng ABCD . C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO trong đó O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI trong đó I là giao điểm của AD và BC . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai:N
12. A. d cắt CD .B. d cắt MN .C. d cắt AB . D. d cắt SO . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 .B. 1.C. 2 . D. 3 . Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a . 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a .B. . C. .D. . 15 30 15 15 Câu 24. Cho tứ diện ABCD, E nằm trên đoạn BC sao cho BC 3EC, F là điểm nằm trên BD sao cho CD 3DF . Gọi G là giao điểm của BF và DE . Giao tuyến của hai mặt phẳng ACG và ABD là:   A. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH 4HD  1  B. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH HD  4 C. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH 4HD  1  D. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH HD 4 Câu 25. Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R là giao SR điểm của SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 5
13. Câu 28. Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 .B. 6 . KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1.B. 2 . C. D. . 2 3 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. .B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ SA SC SB SD SB SD SI C. .D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao cho MA 3 BN 2 PD 1 SJ . J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? PS 5 SO 10 1 3 5 A. .B. .C. .D. . 11 11 4 2 Câu 32. Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các đei63m thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao     cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳngB. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng.D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng.     Câu 33. Cho tứ diện ABCD, E,U là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho EA 2EB, 5UA 4UB. F,G     là các điểm thuộc đường thẳng BC sao cho FC 5FB, GC 2GB. H, I là các điểm thuộc     đường thẳng CD sao cho HC 5HD, ID 5IC.J, K là các điểm nằm trên đường thẳng DA     sao cho JA 2JD, KD 5KA . Bốn điểm nào dưới đây lập nên một tứ diện? A. E, F, H, J .B. E,G, I, K .C. U,G, H, J . D. U, F, I, K . Câu 34. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). a) Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi MNP là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. b) Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN .B. SMNPQ 2SMPQ .C. . SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là trung điểm của SA, F,G lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC,CD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là:
14. A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F,G là các điểm thuộc cạnh SC, AB ( F không là trung điểm của SC ). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 37. Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là: A. Đa giác n 2 cạnh.B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh.D. Đa giác n 1 cạnh. Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác . B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác . B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 41. Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP 2PD . Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là: 5a2 51 5a2 147 5a2 147 5a2 51 A. S .B. S .C. S . D. S . 4 4 2 2 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S .B. S .C. S .D. S . 18 3 6 9 Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SQ của AB, AD, SC. Gọi Q là giao điểm của SD với MNP . Tính ? SD 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO. Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 45. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD. Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm của SP. Gọi R là giao điểm SR của SB với mặt phẳng MNP . Tính ? SB 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 5
15. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Đáp án D. Câu 2. Đáp án B. Câu 3. Đáp án A. Câu 4. Đáp án A. Theo quy tắc vẽ hình, các đoạn thẳng song song được vẽ bằng các đoạn thẳng song song nên đáp án D bị loại. Trung điểm được vẽ ở chính giữa đoạn nên ý C bị loại. Nét khuất được vẽ bởi nét đứt đoạn, nét với góc nhìn này với đáp án B thì hoặc AB đứt đoạn hoặc SC, SD đứt đoạn. Do đó chỉ có đáp án A đúng. Câu 5. Đáp án C. Hình A, B, D sai khi vẽ các đường không nhìn thấy bằng nét liền. Câu 6. Đáp án D. - Đáp án A, B sai, các em có thể lấy ví dụ ba điểm A, B,C phân biệt , thẳng hàng , thì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đó. - Đáp án C sai, vì theo tính chất thừa nhận, ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mp đi qua ba điểm. Câu 7. Đáp án B. Theo các tính chất thừa nhận, ta thấy (I), (II), (III) đúng và nếu hai mp có 1 điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung khác nữa. Điều đó đồng nghĩa với nhận xét (IV) là sai. Như vậy có 1 quy tắc sai. Câu 8. Đáp án A. - Nếu n điểm đã cho cùng thuộc một đường thẳng thì hiển nhiên n điểm thuộc cùng 1 mp. Do đó loại được đáp án B, C, D. - Nếu n điểm đã cho không cùng thuộc một đường thẳng thì trong chúng phải có 3 điểm không thẳng hàng. Khi đó ba điểm này xác định 1 mp, kí hiệu là mp P . Lấy một điểm trong n 3 điểm còn lại thì theo giả thiết điểm đó phải thuộc mp P . Suy ra tất cả các điểm đã cho cùng thuộc 1 mp. Câu 9. Đáp án C. Một đường thẳng cho trước có vô số mp đi q ua. Hai mp đã có 1 điểm chung thì có vô số điểm chung khác nữa. Còn có trường hợp 2 mp không có điểm chung nào. Có duy nhất 1 mp đi qua ba điểm phân biệt. Như vậy ta chọn ý C. Câu 10. Đáp án D. C 2 6 Số cách chọn 2 trong 4 điểm A, B,C, D là 4 . Vậy có 6 mp đi qua S và 2 trong 4 điểm A, B,C, D . Câu 11. Đáp án B. 3 Chọn 3 trong 5 điểm trên sẽ tạo nên 1 mp. Do đó, số mp tạo bởi 3 trong 5 điểm trên là C5 10 . Câu 12. Đáp án A. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O xác định 1 mp . Nên số các mp chứa 2 trong n đường n! thẳng trên là C 2 . n 2 n 2 ! Câu 13. Đáp án A . Dễ thấy PA,b không trùng nhau. Giả sử PA,b không chéo nhau, khi đó PA,b hoặc song song hoặc cắt nhau. Lúc đó, theo cách xác định 1 mp, ta thấy PA,b cùng thuộc 1 mp  . Các mp ,  đều chứa đường thẳng b và đi qua điểm A ở ngoài b nên 2 mp ,  trùng nhau. Suy ra điểm P phải thuộc mp (Vô lý). Như vậy PA,b chéo nhau. Câu 14. Đáp án D. Giả sử AJ, BI đồng phẳng, suy ra AJ, BI đồng phẳng do đó A, B,C, D cùng thuộc 1 mp (vô lý). Do đó AJ, BI không đồng phẳng, do đó AJ, BI chéo nhau. Chọn đáp án D.