›
›
›

Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc véc tơ trong không gian (Có lời giải)

docx 109 trang xuanthu 29/08/2022 2920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc véc tơ trong không gian (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_trac_nghiem_hinh_hoc_lop_11_chuong_3_ve.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập trắc nghiệm Hình học Lớp 11 - Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc véc tơ trong không gian (Có lời giải)

  1. CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT Cho các véc tơ tùy ý a,b,c và k,l ¡ . 1. Cộng véc tơ:    Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a b    Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N, K bất kỳ thì MN MK KN 2. Trừ véc tơ: a b a ( b)    Quy tắc ba điểm: MN KN KM .    Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD .     Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D ta có AC AB AD AA . 3. Tích véc tơ: Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k.a +) Cùng hướng với a nếu k 0 . +) Ngược hướng với a nếu k 0 . +) k.a k . a .    Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B,O tùy ý thì OA OB 2OI . 4. Tích vô hướng của hai véc tơ. +) Định nghĩa: a.b a . b .cos a,b . +) Hệ quả: a  b a.b 0 . 2 2 +) a a.a a . AB2 AC 2 BC 2 +) Với ba điểm A, B,C ta có AB.AC . 2  +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a,b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường  thẳng chứa b thì: a.b a .b .
  2. 5. Định nghĩa: Ba véc tơ a,b,c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng. 6. Các định lý: a) Cho a,b không cùng phương: a,b,c đồng phẳng m,n ¡ : c ma nb ( với m,n xác định duy nhất). b) Nếu ba véc tơ a,b,c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng: x ma nb kc với m,n,k xác định duy nhất. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .       Đặt AB b, AC c, AD d . Phân tích véc tơ MG theo d,b,c .  1 1 1   1 1 1  A. MG b c d .B. MG b c d . 6 3 3 6 3 3  1 1 1   1 1 1  C. MG b c d .D. MG b c d . 6 3 3 6 3 3 Lời giải Đáp án A A M B D G C
  3.  1    1 1  1   1   MG MB MC MD . AB MA AC MA AD 3 3 2 3 3 1  2  1  1  1  2 1  1  1  AB MA AC AD AB . AB AC AD 6 3 3 3 6 3 2 3 3 1  1  1  1 1 1  AB AC AD b c d 6 3 3 6 3 3 Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai?.      1   A. AC BD AD BC . B. MN AD BC . 2         C. AC BD AD BC 4NM . D. MC MD 4MN 0 . Lời giải: Đáp án D A M B D N C         A.Đúng vì: AC BD AD DC BC CD AD BC .         B. Đúng vì: AC BD AM MN ND BM MN NC       2MN AM BM ND NC 2MN            C.Đúng vì: AC BD AD BC 2AN 2BN 2 AN BN 2 NA NB 4NM . Vậy D sai   Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD AC . Giá tri của cos AB,CD là: 1 1 3 A. . B. 0 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải: Đáp án B
  4. Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN  CD . Tam giác ACD cân tại A nên AN  CD ta có:              AB.CD AB.CD AN NB .CD AN.CD NB.CD 0 cos AB,CD   0 . AB . CD   Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a;BC AD b;CA BD c . Giá trị của cos BC, DA là: a2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 A. . B. . C. .D. . b2 a2 b2 c2 Lời giải Chọn A          BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA 1 1 CB2 CD2 BD2 CB2 CA2 AB2 2 2 1 1 AB2 CD2 BD2 CA2 2a2 2c2 a2 c2 2 2   a2 c2 a2 c2 Vậy cos BC, DA .   2 BC . DA b Ví dụ 5. Trong mặt phẳng a cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AC BD AB CD .     B. SA SC SB CD (Với S là điểm tùy ý).     C. Nếu tồn tại điểm S mà SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành.     D. OA OB OC OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD . Lời giải Đáp án C         A. Sai vì AC BD AB CD AC AB DC DB 0 B  C (Vô lí) B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có         SA SC 2SO và SB SD 2SO ' SO SO ' O  O ' điều này không đúng nếu ABCD không phải là hình bình hành. C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B. Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?       A. MO, AB và B 'C . B. MO, AB và A' D ' .       C. MO, DC ' và B 'C .D. MO, A' D và B 'C '. Lời giải Đáp án A
  5. D' C' A' B' D M C O A B Cách 1: Ta có MO// CDA' B ' ; AB / / A' B ' AB// CDA' B ' , B 'C ' nằm trong mặt phẳng    CDA' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng CDA' B ' .  1 1   1   1  1  Cách 2: Ta có MO A' B ' B 'C A' B ' B 'C ' AB B 'C . A'C 2 2 2 2    Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng. Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?       A. BC, BD, AD. B. AC; AD;MN.       C. BC; AD;MN. D. AC; DC;MA. Lời giải Đáp án C A M B D N C     AD AM MN ND     BC BM MN NC     1  1  AD BC 2MN MN AD BC 2 2    Vậy ba vecto BC; AD;MN. đồng phẳng. Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm trên đường thẳng CD      mà CN kCD . Nếu MN, AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là: 2 3 4 1 A. k . B. k . C. k . D. k . 3 2 3 2
  6. Lời giải Đáp án A A M N B Q D N C Qua M vẽ mặt phẳng song song với AD và BC . cắt AC tại P , BD tại Q và CD tại N . Ta có MP//PN //AD .    Các vecto MN, AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng nên đồng phẳng.  2  2 Ta có CN CD . Vậy k . 3 3  1  Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD.A B C D . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AD. N là điểm trên 1 1 1 1 2 đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N, P thẳng hàng.  MN Tính  . NP 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Lời giải Đáp án B P D1 C1 A1 B1 C D M A B        Đặt AB a, AD b, AA1 c và BN xBD1;CP yCC1 yc . STUDYTIP   Ta biểu thi hai vecto MN, NP theo các vecto a,b,c
  7.   Ba điểm M , N, P thẳng hàng nên MN .NP 1 .     Ta có: MN MA AB BN 1  1    b a xBD b a x BA BC BB 3 1 3 1 1 1 b a x a b c 1 x a x b xc 2 3 3 Ta lại có:      NP NB BC CP xBD1 b yc x b a c b yc  NP xa 1 x b y x c 3 Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1 x x 1 2 3 3 x 1 x . Giải hệ ta được , x , y . 3 3 5 2 x y x  MN 2 Vậy  . NP 3 Ví dụ 10. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là   trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là: 2 2 2 1 A. 2 B. 3 C. 6 D. 2 Đáp án: C Lời giải:    Đặt AB a; AC b; AD c;  1    1 AG (a b c) MG AG AM ( a 2b 2c) 3 6    1 PN AN AP (a b c) 2 Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1 1 a b c 1và a.b b.c c.a 1.1.cos600 2     MG.PN cos cos(MG, PN)   (*) MG . PN   1 Ta có: MG.PN ( a 2b 2c)(a b c) 12 1 2  2 2 1 ( a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12  1 1  1 2 MG ( a 2b 2c)2 ; PN (a b c)2 6 2 2 2
  8. Thay vào (*) ta được 1 1 2 cos 12 . (*) 1 2 3 2 6 . 2 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Cho ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:    1      A. AK AB AD AA B. AK AB BC AA 2 1 1       1  1  C. AK AB AD AA D. AK AB AD AA 1 2 2 1 Hướng dẫn giải      1    1  Có AK AC CK (AB AD) AA AB AD AA 2 1 2 1 A B D C K A1 B1 D1 C1 Chọn A Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 với M CD1  C1D . Khi đó:  1  1  1   1   1  AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 A. 2 2 2 B. 2 2    1   1  1   AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 C. 2 D. 2 2 Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)      1    1  1  Ta có: AM AD DM AD DC AD (DC DD ) AD AB AA 1 2 1 2 2 1 Chọn B       Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Khi đó: tổng 3 góc (D1 A1 ,CC1 ) (C1B,DD1 ) (DC1 ,A1 B) là: A. 1800 B. 2900 C.3600 D. 3150 Hướng dẫn giải
  9. A B D C K A1 B1 D1 C1 Ta có:   (D A ,CC ) 900 1 1  1   (C B,DD ) (C B,CC ) 1350 1 1 1 1 (DC ,A B) (DC , D C) 900 1 1  1 1   0 0 0 0 (D1 A1 ,CC1 ) (C1B,DD1 ) (DC1 ,A1 B) 90 135 90 315 Chọn D       Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , đặt (AC, DC1 );  (DA1 ,BB1 );  (AA1 ,C1C) Khi đó: là   : A. 3600 B. 3750 C. 3150 D. 2750 Hướng dẫn giải ( hình câu 3)     (AC, DC ) (AC, AB ) 600  1  1  (DA ,BB ) (DA ,A A) 1350  1  1  1 1 0  (AA1 ,C1C) (AA1 , A1 A) 180   600 1350 1800 3750 Chọn B   Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB.AD 12 . Tính   (SC. SA)2 . A. 76B. 28C. 52D. 40 Hướng dẫn giải
  10. S 4 A 4 D 6 7.42 cm B C    2    2  2   (SC. SA)2 . AC (AB AD) AB AD 2AB.AD 62 42 2( 12) 28 Chọn B Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng B. Ba vectơ a,b,c đồng phẳng thì có c ma nb, với m, n là các số duy nhất   C. Ba vectơ đồng phẳng khi có d ma nb pc với d là vec tơ bất kỳ D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó Phương án B: Sai a, b phải không cùng phương. Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?  1       A. OG (OA OB OC) B. GA GB GC 0 4  2     1    C. AG (AB AC AD) D. AG (AB AC AD) 3 4 Hướng dẫn giải
  11. A M G B D N C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD   G là trung điểm của MN GM GN 0    GA GB GC 0 B đúng             Ta có: OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD       4OG (GA GB GC GD) 4OG A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C. Chọn C  Câu 8: Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng xét các vectơ x 2a b; y 4a 2b; z 3a 2c Chọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau: A.Hai vec tơ y, z cùng phương  B. Hai vec tơ x, y cùng phương  C.Hai vec tơ x, z cùng phương   D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng Hướng dẫn giải   Ta thấy y 2x nên x, y cùng phương. Chọn B     Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , Tìm giá trị của k thích hợp đểAB B1C1 DD1 k AC1 ) A.k=4B. k=1C. k=0D. k=2 Hướng dẫn giải A1 B1 D1 C1 A B D C       Có AB B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 k 1
  12. Chọn B     Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Đặt AA1 a; AB b;AC c; BC1 d trong các đẳng thức sau đẳng  thức nào đúng.  A. a b c d 0 B. a b c d  C. b c d 0 D. a b c Hướng dẫn giải A C A1 B1 B D1 C1 A B C1 A1 D C B1       Ta có: b c d AB AC BC CB BC 0 Chọn C Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a,b,c có một vec tơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng C.Nếu giá của ba vectơ a,b,c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng D.Nếu trong ba vectơ a,b,c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn A Câu 12: Cho ABCD.A B C D là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:   1 1 1 1    A. AC A C 2AC B. AC CA 2CC 0 1 1   1  1  1 C. AC1 A1C AA1 D. CA1 AC CC1 Hướng dẫn giải
  13. A B D C A1 B1 D1 C1         Ta có: AC1 A1C AA1 AC1 AA1 AC1 A1C C1 A1 Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:   A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA 0   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD     C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành    D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD Hướng dẫn giải Chọn C Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A' B'C ' D' Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB' A' và BCC ' B' . Khẳng định nào sau đây là sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng  1  1  B. IK AC A'C ' 2  2  C.Bà vec tơ BD, IK, B 'C ' không đồng phẳng    D. BD 2IK 2BC Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung  điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.Các vec tơ BD, AC, MN không đồng phẳng    B. Các vec tơ MN, DC, PQ đồng phẳng    C. Các vec tơ AB, DC, PQ đồng phẳng    D. Các vec tơ AC, DC, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải
  14. A B D C A1 B1 D1 C1 A P M E B F D Q N C Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1 NE / / AB, NE AB 3 NE / /MF, NE / /MF 1 MF / / AB, MF AB 3    NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC, MN có giá song song hoặc nằm trên mặt    phẳng (MFNE) BA, DC, MN đồng phẳng    BD, AC, MN không đồng phẳng. Chon A Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:       a2 3 A. AD CD BC DA 0 B. AB.AC       2 C. AC.AD AC.CD D. AD.CD 0 Hướng dẫn giải ( sử dụng hình câu 7) Phương án A:          AD CD BC DA (AD DA) (BC CD) 0 BD 0 A sai   a 2 Phương án B: AB.AC a.a.cos600 = B sai 2         2 Phương án B AC.AD AC.CD AC(AD DC) 0 AC 0 C sai Chọn D Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:        1  A. B M B B B A B C B. C M C C C D C B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1   1  1      C.C M C C C D C B D. BB B A B C 2B D 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
  15. A B D C Hướng dẫn giải A1 B1 A aD1 B C1 M a D C A A1 B1 D1 C1 P       1  M Ta có C1M C1D1 D1D DM C1D1 C1C C1B1 2 E Chọn B B F D    Q Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA GB GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện).N CGọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A A.GA 2OG B. GA 4OG     C. GA 3OG D. GA 2OG A P M E N B F D G B Q C D N H O M C Hướng dẫn giải Gọi M, N là trung điểm của BC, AD G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD NH là đường trung bình của A AOD và OG là đường trung bình của MNH 1 1 1 1 1 OG NH . AO OG NH .AO 2 2 2 2 4   hay GA 3OG Chọn C N Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượtG là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau, khẳng định nào sai? B A.Các vec tơ AB, DC, MN đồng phẳng D    H B. Các vec tơ MN, AB, AC không đồngO phẳng M C x M A B N y
  16. A B D C A1 B1 D1 C1 A P M E B F D Q N C A N G B D H O M C    C. Các vec tơ AN, CM , MN đồng phẳng    D. Các vec tơ AC, BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A M P B Q D N C Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD    Ba vec tơ AB , DC, MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ này đồng phẳng A đúng    Ba vec tơ AB , AC, MN không đồng phẳng B đúng    Ba vec tơ AN ,CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào C sai Chọn C ' ' ' ' Câu 20: Cho hình  lập phương ABCD.A B C D , có cạnh A.Hãy tìm  mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. AD'.CC ' a2 B. AD'.AB' a2    C. AB'.CD' 0 D. AC a 3 Hướng dẫn giải A a B a D C A' B' D' C'       Xết phương án A có: AD '.CC ' AD '.AA ' AD ' . AA ' cos450 a2 Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao choA độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c AB). Gọi là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN c2 AB2 c2 AB2 A. B. 2(1 cos ) 2(1 cos ) P M E B F D Q N C A N G B D H O M C A M P B Q D N C
  17. A a B a D C A' B' D' C' A P M E B F D Q N C A N G B D H O M C c2 AB2 c2 AB2 C. D. 2(1 cos ) 2(1 cos ) Hướng dẫn giải x M A B N y  2    Ta có: c2 MN 2 MN (MA AB BN)2 c2 AB2 AB2 2AM.BN.(1 cos ) AM.BN. 2(1 cos ) c2 AB2 Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1 cos ) Chọn A   AM 2 AB2 BN 2 2AM.BN AM 2 AB2 BN 2 2AM.BN.cos Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a vàb . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2. Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
  18. Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a vàb thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức u.v cos cos u,v . u . v Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 450 . B. 300 . C. 600 . D. 900 Đáp án A. Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC nên: M· N, AP A· C, AP . Ta tính góc P· AC . Vì A D P vuông tại D nên 2 2 2 2 a a 5 A P A D D P a . 2 2 2 a 5 3a 2 2 2 AA P vuông tại A nên AP A A A P a . 2 2 a2 a 5 CC P vuông tại C nên CP CC 2 C P2 a2 . 4 2 Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có: CP2 AC 2 AP2 2AC.AP.cosC· AP 1 cosC· AP 2 cosC· AP 45 90 Nên ·AC; AP C· AP 45 hay M· N; AP 45. Chọn A.           MN.AP Phương pháp 2: Ta có MN.AP MN . AP .cos MN, AP cos MN, AP   * MN . AP        Ta có: MN.AP MB BN AA A D D P             MB.AA MB.A D MB.D P BN.AA BN.A D BN.D P
  19. a a a 3a2 0 0 . 0 .a 0 1 2 2 2 4   a 2 3a 3 2a2 MN . AP . 2 2 2 4 3a2   1 Thay 1 , 2 vào ta được: cos MN, AP 4 ·MN, AP 450. 2 3 2a 2 4 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC, AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AB và CD . A. 450. B. 300 . C. 600 . D. 900 . Đáp án C. Lời giải Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a . Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: IM 2 IN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1 cos M· IN M· IN 1200 . 2.IM.IN 2.a.a 2 Vì IM / / AB, IN / /CD ·AB,CD ·IM , IN 1800 1200 600 . Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , B C . Lời giải Chọn D Phương pháp 1: Gọi H là trung điểm của BC , là góc giữa AA và B C .
  20. Ta có AA / /BB và B C / /BC nên góc giữa ·AA , B C B·B , BC . Ta tính góc ·B BH ABC vuông tại A nên ta có: BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a . 1 AH BC a A H AA 2 AH 2 4a2 a2 a 3 . 2 Vì AH  A B C nên A B H vuông tại A B H A H 2 A B 2 a2 3a2 2a . B B2 BH 2 B H 2 4a2 a2 4a2 1 cos B· BH Chọn A 2B B.BH 2.2a.a 4 Phương pháp 2: Ta có              AA .B C AH HA .BC AH.BC HA .BC AH.BC cos cos AA ; B C   2 2 AA . B C 2a.2a 4a 4a 1     1 1 AB AC AC AB AC 2 AB2 3a2 a2 2 2 2 1 . 4a2 4a2 4a2 4 Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . 3 3 3 2 A. .B. . C. . D. . 4 6 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Gọi N là trung điểm AD ta có: MN //AC ·AC; BM M· N; BM . Ta tính góc a 3 B· MN . Ta có: BM BN (trung tuyến tam giác đều). 2 AC a MN . 2 2 Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: BM 2 MN 2 BN 2 MN 3 cos B· MN 0 . 2BM.MN 2BM 6 3 Vậy cos ·AC; BM . 6        AC.BM AC. CM CB Cách 2. cos cos AC, BM   AC . BM a 3 a. 2
  21. 2 2 a a a 2     a. cos1200 a.a.cos1200 a AC.CM AC.CB 2 4 2 3 4 . a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 6 2 2 2 2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Định nghĩa. Nếu đường thẳng a  P thì góc giữa đường thẳng a và P bằng 900 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với P thì góc giữa đường thẳng a và P là góc giữa a và hình chiếu a của a trên P . a a' P 2. Phương pháp tính. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và SBC . Giá trị tan sin  bằng? 1 7 1 19 7 21 1 20 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn C. Để xác định góc giữa SC và SAB ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . Ta BC  AB có: S là hình chiếu của S trên SAB , B là hình chiếu của C trên SAB vì . BC  SA
  22. Vậy SB là hình chiếu của SC trên SAB SC, SAB B· SC . BC a 1 SBC vuông tại B tan tan B· SC . SB SA2 AB2 7 Kẻ AH  SB tại H mà BC  SAB nên AH  BC . AH  SBC HC là hình chiếu vuông góc của AC trên SBC AC, SBC ·ACH  . 1 1 1 a 6 SAB vuông nên AH . AH 2 AS 2 AB2 7 AH 21 ACH vuông tại H sin  sin ·ACH . AC 7 7 21 Vậy tan sin  . 7 Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 . Tính góc giữa MN và SAO . 1 1 A. arcsin . B. arcsin . 2 5 5 3 1 C. arcsin . D. arcsin . 2 5 4 5 Lời giải Chọn A. S M A B P O N H D C Gọi P là trung điểm của AO MP là đường trung bình của SAO MP / /SO MP  ABCD Góc giữa MN và ABCD bằng góc M· NP 60 . Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2 2 2 2 2 a 3 a 3 1 NP CN CP 2CN.CP.cos 45 a 2 2. . a 2. 4 4 2 4 2
  23. a 2 9a 2 3 2a2 11a2 3a2 5a2 + 4 8 4 2 8 4 8 Trong tam giác vuông MNP ta có : PN 5 15 15 MN .a và PM NP.tan 60 a SO 2MP .a . cos60 2 8 2 Gọi H là trung điểm CO NH / /BD NH  AC . Mà NH  SO NH  SAC do đó ·MN, SAC N· MH . 1 a 2 5a Ta có : HN OB , MN (tính trên) 2 4 2 NH 1 Vậy trong MHN ta có :sin N· MH . Nên nếu gọi là góc giữa MN và SAO thì: MN 2 5 1 1 sin hay arcsin 0 . 2 5 2 5 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có a là độ dài cạnh đáy và C· BS . Gọi là góc giữa cạnh bên với đáy. Tính sin theo . 1 A. sin 9 12sin2 .B. sin 9 12sin2 . 3 2 2 1 1 C.sin 9 4sin2 . D.sin 9 12sin2 . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A. S A C O a a H B Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S . 2 a 3 Ta có AO AH , SHB vuông tại H nên ta có: 3 3 THIẾU PHẦN 9 Ví dụ 12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và C· BS . Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính sin theo .
  24. 1 A. sin 9 12sin2 .B. sin 9 12sin2 . 3 2 2 1 1 C. sin 9 4sin2 .D. sin 9 12sin2 . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A. Gọi H là trung điểm BC , O là chân đường cao hạ từ S . 2 3 Ta có AO AH a . 3 3 BH BH a a VSHB vuông tại H nên: sin SB SA SB SC . 2 SB sin 2sin 2sin 2 2 2 Trong tam giác vuông SAO ta có: a2 3 a SO SA2 AO2 a2 9 12sin2 . 4sin2 9 6sin 2 2 2 SO 1 Góc giữa cạnh bên và đáy là S· AO sin 9 12sin2 . SA 3 2 Ví dụ 13. Cho hình chóp đều S.ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính . 1 33 1 33 A. arcsin .B. arcsin . 4 8 1 33 2 33 C. arcsin . D. arcsin . 8 8 Lời giải Chọn B.
  25. Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là a AC a 2 . Giả sử thiết diện qua A là cắt SC , SB , SD lần lượt tại K , N , M . Theo giả thiết SC  ANKM MN  SC . Mặt khác: BD  SC (vì BD  SAC ) MN //BD MN  SAC MN  AK 1 S AK.MN . ANKM 2 S· CA AK AC sin a 2 sin . MN SO SO OO OO 1 (vì ·AO O ·ACK ; với O MN  AK ). BD SO SO SO 1 a 2 cot 1 MN OO a 2 cot 1 2 1 cot2 . 2 BD OC tan 2 2 MN BD 1 cot a 2 1 cot 0 . 2 1 1 1 2 2 2 Ta có SAMKN SABCD AK.MN a a 2 sin .a 2 1 cot a 2 2 2 2 2 2 2sin 1 sin 4sin sin 2 0 0 2 1 33 1 33 sin arcsin . 8 8 Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a . Tính diện tích tam giác SBD theo a . 3 3 3 6 A. a2 .B. a2 .C. a2 .D. a2 . 3 4 2 2 Lời giải Chọn C.
  26. BD  AC Gọi O AC  BD ta có: BD  SO . BD  SA 1 1 3 Khi đó S SO.BD SA2 AO2 .a 2 a2 . BCD 2 2 2 Ví dụ 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA AB a . Tính Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SBD . 1 1 1 2 A. arcsin .B. arcsin .C. arcsin .D. arcsin . 4 3 3 3 Lời giải Chọn C. Gọi H là hình chiếu của C lên SO O AC  BD (vì góc S·OC tù nên H nằm ngoài SO ). CH  SO · Ta có: CH  SBD SC, SBD C· SO . CH  BD a 6 SA SO a CH 1 Ta có: SAO : CHO 2 3 CH sin C· SO . SH CO a 2 3 SC 3 2 · 1 CSO arcsin . 3 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa ➢ Góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. ➢ Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 . 2. phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ❖ Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và  là · ,  a¶,b . Tính góc a¶,b . ❖ Phương pháp 2: ➢ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng và  . ➢ Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: · ,  a¶,b .
  27. Hay ta xác định mặt phẳng phụ  vuông góc với giao tuyến c mà   a ,    b . Suy ra · ,  a¶,b . ❖ Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt) ➢ Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A , B A , B  mà AB   thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H . Khi đó · ,  ·AHB . Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy ABCD bằng a và SA SB SC SD a . Tính cosin góc giauwx hai mặt phẳng SAB và SAD . 1 1 3 1 A. .B. .C. . D. . 4 3 2 3 Lời giải Chọn B. Gọi I là trung điểm SA . Do tam giác SAD và SAB đều nên BI  SA · SAB , SAD B· I, DI . DI  SA Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2 2 3 3 2 a a a 2 IB2 ID2 BD2 2 2 1 cos B· ID . 2IB.ID 3 3 3 2. a. a 2 2 1 Vậy cos ·SAB , SAD . 3 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vuông góc với ABCD và SA a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 10 5 10 10 A. arccos .B. arccos . C. arccos .D. arccos . 5 5 10 3 Nhận xét: Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta đi xác định hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SCD . Lời giải Chọn A.