Lý thuyết Vật lí Lớp 12 - Chương 4: Dòng điện xoay chiều - Dạng 6: Bài toán cuộn cảm L biến thiên

Nội dung text: Lý thuyết Vật lí Lớp 12 - Chương 4: Dòng điện xoay chiều - Dạng 6: Bài toán cuộn cảm L biến thiên

1. CHƯƠNG VI CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CUỘN CẢM L BIẾN THIÊN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương pháp Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một hiệu điện thế xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng U và tấn số góc w không đổi u U0 cos t u Đoạn mạch AB gồm L là một cuộn dây thuần có giá trị thay đổi. R là điện trở thuần, tụ điện có điện dung C không đổi 1. Thay đổi L để UR ,P,I,cosj ,UC đạt giá trị lớn nhất. Tìm ZL tương ứng. 2. Thay đổi L để U . Tìm U và ZL khi đó. Lmax Lmax 3. Thay đổi L thấy khi L = L1 hoặc L = L2 thì công suất của mạch có giá trị như nhau. Tính ZC và tìm L để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại. 4. Thay đổi L thấy khi L = L1 hoặc L = L2 thì UL như nhau. Hỏi phải thay đổi độ tự cảm L bằng bao nhiêu thì U ? Lmax 5. Thay đổi L thấy khi L = L1 hoặc L = L2 thì UL như nhau. Khi đó độ lệch pha giữa u và i có giá trị tương ứng là 1 và 2 Thay đổi L để U thì độ lệch pha giữa u và I là 0 . Tìm mối liên hệ giữa 0 , 1, 2 Lmax 6. Thay đổi L để U , U . Tìm ZL khi đó RLmax RLmin Lời giải 1. Thay đổi L để UR;P;I; cos ;UC đạt giá trị lớn nhất. Tìm ZL tương ứng Trang 1
2. UR U R IR 2 2 R ZL ZC RU 2 P RI 2 R2 Z Z 2 L C U Ta thấy I 2 2 R ZL ZC R cos 2 2 R ZL ZC UZC UC IZC R2 Z Z 2 L C Tử số của tất cả các đại lượng trên đều không thay đổi khi L thay đổi. Do đó các đại lượng trên đạt giá trị 2 lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất. Dễ thấy vì ZL ZC 0 và dấu bằng xảy ra khi Z L = ZC nên mẫu nhỏ nhất khi ZL = ZC. Vậy với ZL=ZC thì UR;P;I; đạt giá trị lớn nhất. U R U max U 2 P max R U Các giá trị cực đại tương ứng là Imax R cos max 1 UZ U C Cmax R Bài toán được giải quyết xong. 2. Thay đổi L để ULmax. Tìm ULmax và ZL khi đó. Suy ra các hệ quả quan trọng khi thay đổi L để ULmax. Cách 1: Thuần đại số Ta viết biểu thức của UL theo L và khảo sát xem U L lớn nhất khi nào. Ta có UZL U L IZL 2 2 R ZL ZC Trang 2
3. Vì khi L thay đổi thì cả tử và mẫu thay đổi, do đó để việc khảo sát đơn giản, ta sẽ chia cả tử và mẫu cho ZL để tử số là hằng số. Ta có U U U U L 1 2 2 R2 Z 2 Z Y R ZL ZC C C 2 2 1 ZL ZL ZL 1 Vậy để UL lớn nhất thì Y phải nhỏ nhất. Thật vậy nếu đặt X thì khi đó rõ ràng Y là một tam thức ZL 2 2 2 bậc hai: Y R ZC .X 2ZC .X 1 Vì hệ số của tam thức bậc hai này luôn dương nên ta có Y lớn nhất khi b 1 2Z R2 Z 2 X C Z C 2 2 L 2a ZL 2 R ZC ZC 2 2 2 2 ZC R ZC R Khi đó: Ymin 2 2 2 2 a R ZC R ZC Suy ra giá trị lớn nhất của UL là U U U U U R2 Z 2 Lmax 2 Lmax C Ymin R R 2 2 R ZC U R2 Z 2 Vậy U R2 Z 2 khi Z C Lmax C L R ZC Nhận xét: Lời giải bằng đại số cho ta lời giải trong sáng, tự nhiên và dễ nghĩ. Chỉ có điều ta phải tính toán nhiều, và từ lời giải này ta khó có thể suy ra các hệ quả quan trọng. Chúng ta sang một lời giải bằng cách sử dụng giản đồ véctơ sau đây. Trang 3
4. Cách 2: Giản đồ véctơ Vẽ giản đồ véctơ trượt ta có các giản đồ như hình bên. Theo giản đồ véctơ và định lí hàm số sin trong tam giác, ta có U U L sin  sin 0 Từ phương trình này ta thấy ngay UL phụ thuộc vào góc  U R U U Vì sin  R , nên U R2 Z 2 sin  R2 Z 2 0 U 2 2 L R C R C RC R ZC Đẳng thức xảy ra khi sin  tương đương  nên ta có 2 U U R2 Z 2 Lmax R C 2 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:U RC UCU L , từ đó suy ra 2 2 2 2 R ZC ZL ZC R ZC ZL ZC Đây cũng chính là những kết quả ta thu được ở phương pháp đại số. Tuy nhiên, quan sát giản đồ và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có một số kết quả quan trọng sau đây mà phương pháp đại số rất khó nhìn nhận ra. Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 90 . Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có U 2 U 2 U 2 U 2 U 2 U 2 Lmax RC R C U 2 U U RC C Lmax U 2 U U U Lmax Lmax C 1 1 1 2 2 2 U R U U RC STUDY TIP Chúng ta không phải nhớ các công thức này, mà khi làm bài tập hãy nhớ giản đồ và vẽ giản đồ ra, xem xét các dữ kiện bài toán và sử dụng hợp lí. Tất cả chỉ xoay quanh các hệ thức lượng trong tam giác mà thôi! Trang 4
5. 3. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L2 thì công suất của mạch có giá trị như nhau. Tính Z C và tìm L để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại Vì có hai giá trị của L cho cùng giá trị công suất nên ta có U 2 U 2 P1 P2 R 2 R 2 R2 Z Z R2 Z Z L1 C L2 C Biểu thức trên tương đương với Z Z Z Z 2 2 L1 C L2 C ZL ZC ZL ZC 1 2 Z Z Z Z L1 C L2 C Z Z Vì khác nên từ phương trình trên ta có Z L1 L2 ZL ZL C 1 2 2 Mặt khác, khi thay đổi L để công suất cực đại thì ta có Z L = ZC, do đó ta có Z Z 1 Z Z L1 L2 L L L C L 2 2 1 2 1 Vậy với L L L thì công suất của mạch đạt giá trị cực đại. 2 1 2 Nhận xét Thay "công suất của mạch" ở đề bài bằng I;UR;UC;Z; cos thì ta vẫn thu được kết quả trên 4. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L 2 thì như nhau. Hỏi phải thay đổi độ tự cảm bằng bao nhiêu thì ILmax? Cách 1: Biến đổi thuần túy Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế thì ta có Z U Z U U U Z I Z I L1 L1 L1 L2 L1 1 L2 2 2 2 R2 Z Z R2 Z Z L1 C L2 C Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được Trang 5
6. Z 2 Z 2 L1 L2 R2 Z 2 Z 2 2Z Z R2 Z 2 Z 2 2Z Z C L1 L1 C C L2 L2 C 2 2 Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì ZL ZC R ZC với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax Z 2 Z 2 Thay vào biểu thức trên ta được L1 L2 Z Z Z 2 2Z Z Z Z Z 2 2Z Z L C L1 L1 C L C L2 L2 C Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được Z 2 Z 2 Z 2Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 L1 L2 L L1 L2 L1 L2 2Z Z L1 L2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vì L1 L2 nên ZL Z Z Z 2 Z Z L 2 L L L1 L1 L L1 L2 1 2 Với L là giá trị làm cho ULmax Cách 2: Sử dụng định lí Viet Vì khi thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L 2 thì U L như nhau nên ta có Z và Z là hai nghiệm của L1 L2 phương trình 2 UZL 2 2 2 U U L R ZL ZC ZL 0 2 2 U L R ZL ZC 2 U 2 2 2 1 2 . ZL 2ZC .ZL R ZC 0 U L Đây là một phương trình bậc hai theo ZL. Theo định lí Viet, ta có b Z Z L1 L2 a ZL ZL b 2Z 1 2 C 1 c Z Z c R2 Z 2 Z Z L1 L2 C L1 L2 a 2 2 R ZC Mà khi thay đổi L để U Lmax thì ta có ZL 2 ZC Trang 6
7. 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ (1) và (2) ta có Z 2 Z Z L 2 L L L L1 L2 1 2 STUDY TIP Định lí Viet đã giúp chúng ta suy ra kết quả bài toán một cách ngắn gọn và không phải tính toán nhiều 5. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L2 thì UL như nhau. Khi có độ lệch pha giữa u và i có giá trị tương ứng là 1 và 2 . Thay đổi L để U Lmax thì độ lệch pha giữa u và i là 0 . Tìm mối liên hệ giữa 0 , 1 , 2 - Cách 1: Đại số thuần túy Ta cần tìm mối liên hệ giữa các giá trị đại số 0 , 1, 2 nên ta nghĩ đến dùng công thức tan . Khi thay đổi L để U Lmax thì ta có 2 2 2 2 R ZC R ZC ZL ZC ZC ZL ZC ZC R tan 0 0 0 0 Z Z R R ZC tan L C 0 R 2 1 1 1 tan 0 cos 0 0 cos 0 cos 0 Suy ra 0 0 2 sin 0 1 1 0 1 cot2 0 sin 0 sin 0 Độ lệch pha giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện u i được xác định thông qua Z Z tan L C Z Z R tan Z Z R tan R L C L C UZL U ZC R tan U ZC R tan Mặt khác ta có U L 2 2 R2 R2 tan2 R 1 tan2 R ZL ZC U ZC R tan U ZC R tan cos 0 1 1 2 2 cos cos U U Z R Z cos Rsin R2 Z 2 C cos sin R C R C 2 2 2 2 ZC R ZC R Trang 7
8. U 1 1 R2 Z 2 cos sin R C 2 2 1 tan 0 1 cot 0 U U R2 Z 2 R2 Z 2 cos cos sin sin C cos R C 0 0 R 0 Như vậy, ta có một công thức rất quan trọng sau U L U Lmax cos 0 Theo bài ra, khi L = L1 hoặc L = L2 thì U = U nên L1 L2 cos 1 0 cos 2 0 1 0 2 0 1 2 2 0 Cách 2: Sử dụng giản đồ Theo định lí hàm số sin trong tam giác, ta có U L U U Lmax U L U Lmax sin  sin  sin 0 Ở đây và  là độ lớn của góc kí hiệu trên giản đồ. Ta có  2 0 U L U Lmax sin  0 U Lmax cos  0 2 Ta có  chính là độ lệch pha giữa u và i trong trường hợp L thay đổi; 0 chính là độ lệch pha giữa u và i khi U Lmax. Do đó ta có  và 0 0 . Như vậy, ta cũng có U L U Lmax cos 0 Trang 8
9. Theo bài ra, khi L = L1 hoặc L = L2 thì U = U nên L1 L2 cos 1 0 cos 2 0 1 0 2 0 1 2 2 0 6. Thay đổi L để U RLmax, URLmin. Tìm ZL khi đó 2 2 2 2 U R ZL U Ta có U RL I R ZL 2 2 2 2 R ZL ZC R ZL ZC 2 2 R ZL Rõ ràng để URLmax thì T min. 2 2 R ZL ZC Đặt T 2 2 ta thực hiện việc khảo sát hàm số T theo biến số Z L để tìm giá trị của Z L sao R ZL cho T min .Ta hoàn toàn có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của T. Hoặc có thể dùng phương pháp đạo hàm, khảo sát hàm số. Đạo hàm theo biến số ZL ta thu được 2 Z Z R2 Z 2 2Z R2 Z Z 2 L C L L L C T ZL 2 2 2 R ZL 2 2 2 Cho T ZL 0 ta có: ZC ZL ZC ZL ZC R 0 Z 4R2 Z 2 Z C C 0 L1 Nghiệm của phương trình bậc hai này là: 2 Z 4R2 Z 2 Z C C 0 L2 2 Lập bảng biến thiên ta thấy ngay: Z 4R2 Z 2 U (T min) khi Z C C RLmax L 2 Khi đó thay vào biểu thức tính URL ta có Trang 9
10. U U U RLmax 2 2 4R2 Z 2 Z 4R2 4R2 Z 2 Z R2 C C C C 2 2 4R2 4R2 Z 2 Z 2 C C 4R2 Z 2 Z R2 C C 2 U U 2 2 2 2 2 2 2 4R ZC 2ZC 4R ZC 4R ZC ZC 2 2 2 2 4R2 Z 2 Z 2 4R ZC 2ZC 4R ZC C C U 2RU U 2 RLmax 2 2 2 2 4R Z Z 4R Z Z C C C C 4R2 Z 2 Z 4R2 Z 2 Z C C C C UR U (T max) khi Z 0 . Khi đó U RLmax L RLmin 2 2 R ZC Các công thức rút ra ở trên là những công thức bắt buộc phải nhớ. Tuy nhiên, ta không nên học vẹt mà hãy hiểu bản chất vì sao lại có công thức đó, để trong trường hợp quên thì ta còn biết cách thiết lập lại. Tổng kết lại, ta có các kết quả sau: 1. Thay đổi L để UR ; P; I; cos , UC đạt giá trị lớn nhất. Tìm ZL tương ứng. U R U max U 2 P max R U Imax ZL ZC R cos max 1 UZ U C Cmax R 2. Thay đổi L để U Lmax . Tìm U Lmax và Z L khi đó. Suy ra các hệ quả quan trọng khi thay đổi L để ULmax. Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 90 . Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có Trang 10
11. U 2 U 2 U 2 U 2 U 2 U 2 Lmax RC R C U 2 U U RC C Lmax U 2 U U U Lmax Lmax C 1 1 1 2 2 2 U R U U RC 3. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L 2, thì công suất của mạch có giá trị như nhau. Tính Z C và tìm L để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại. Z Z 1 Z Z L1 L2 L L L C L 2 2 1 2 4. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L 2 thì UL như nhau. Hỏi phải thay đổi độ tự cảm L bằng bao nhiêu thì ULmax. 1 1 1 1 1 1 1 1 Z 2 Z Z L 2 L L L L1 L2 1 2 5. Thay đổi L thấy khi L = L 1 hoặc L = L2 thì UL như nhau. Khi có độ lệch pha giữa u và i có giá trị tương ứng là 1 và 2 . Thay đổi L để ULmax thì độ lệch pha giữa u và i là 0 . Tìm mối liên hệ giữa 0 , 1, 2 U L U Lmax cos 0 1 2 2 0 6. Thay đổi L để U RLmax ,U RLmin . Tìm ZL khi đó. 2RU Z 4R2 Z 2 U khi Z C C RLmax 2 2 L 2 4R ZC ZC UR U khi Z 0 RLmin 2 2 L R ZC Trang 11