Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số - Bài 1: Đại cương về hàm số

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số - Bài 1: Đại cương về hàm số

1. CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đ1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa Cho D è Ă , D ạ ặ. Hàm số f xỏc định trờn D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ẻ D với một và chỉ một số y ẻ Ă . x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giỏ trị của hàm số f tại x . Kớ hiệu: y = f (x ). D được gọi là tập xỏc định của hàm số f . 2. Cỏch cho hàm số Cho bằng bảng Cho bằng biểu đồ Cho bằng cụng thức y = f (x ). Tập xỏc định của hàm số y = f (x ) là tập hợp tất cả cỏc số thực x sao cho biểu thức f (x ) cú nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f (x ) xỏc định trờn tập D là tập hợp tất cả cỏc điểm M (x; f (x)) trờn mặt phẳng toạ độ với mọi x ẻ D . Chỳ ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x ) là một đường. Khi đú ta núi y = f (x ) là phương trỡnh của đường đú. 4. Sư biến thiờn của hàm số Cho hàm số f xỏc định trờn K . Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) trờn K nếu " x1,x2 ẻ K : x1 f (x2) 5. Tớnh chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f (x ) cú tập xỏc định D . Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với " x ẻ D thỡ - x ẻ D và f (– x ) = f (x ) . Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với " x ẻ D thỡ - x ẻ D và f (– x ) = - f (x ) . Chỳ ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tõm đối xứng. 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G ) là đồ thị của y = f (x ) và p > 0, q > 0; ta cú Tịnh tiến (G ) lờn trờn q đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x ) + q Tịnh tiến (G ) xuống dưới q đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x ) – q Tịnh tiến (G ) sang trỏi p đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x + p) Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị thỡ được đồ thị y = f (x – p) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: TèM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRèNH. 1. Phương phỏp giải. Tập xỏc định của hàm số y = f (x) là tập cỏc giỏ trị của x sao cho biểu thức f (x) cú nghĩa Chỳ ý : Nếu P(x) là một đa thức thỡ: 1 * cú nghĩa Û P(x) ạ 0 P(x) * P(x) cú nghĩa Û P(x) ³ 0 42
2. 1 * cú nghĩa Û P(x) > 0 P(x) 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau x 2 + 1 x + 1 a) y = b) y = x 2 + 3x - 4 (x + 1)(x 2 + 3x + 4) 2x 2 + x + 1 x c) y = d) y 3 2 2 x + x - 5x - 2 x2 1 2x2 Lời giải 2 x 1 a) ĐKXĐ: x 3x 4 0 x 4 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D Ă \ 1; 4. b) ĐKXĐ: x 1 x2 3x 4 0 x 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D Ă \ 1. x 2 3 2 c) ĐKXĐ: x x 5x 2 0 3 5 x 2 3 5 3 5  Suy ra tập xỏc định của hàm số là D Ă \ 2; ;  . 2 2  2 d) ĐKXĐ: x2 1 2x2 0 x2 2x 1 x2 2x 1 0 2 7 2 x x 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 2 7 x 2 Suy ra tập xỏc định của hàm số là 2 7 2 7 2 7 2 7  D Ă \ ; ; ;  . 2 2 2 2  Vớ dụ 2: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau x + 1 x + 2 a) y = b) y = (x - 3) 2x - 1 x x 2 - 4x + 4 5 - 3 x x + 4 c) y = d) y = x 2 + 4x + 3 x 2 - 16 Lời giải x 3 x 3 a) ĐKXĐ: 1 2x 1 0 x 2 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D ; \ 3 . 2 43
3. x 0 x 0 x 0 2 b) ĐKXĐ: x2 4x 4 0 x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 x 2 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D  2; \ 0;2 . 5 5 5 x x 3 3 5 5 5 3 x 0 3 x c) ĐKXĐ: 2 x 1 3 3 x 4x 3 0 x 1 x 3 x 1 x 3 5 5 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D ; \ 1 . 3 3 2 x 4 d) ĐKXĐ: x 16 0 x 4 x 4 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D ; 4  4; . Vớ dụ 3: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau 3 x 2 - 1 x a) y = b) y = x 2 + 2x + 3 x - x - 6 ùỡ 1 ù khi x ³ 1 c) y x 2 x 3 d) y = ớù x ù ù x + 1 khi x < 1 ợù Lời giải a) ĐKXĐ: x2 2x 3 0 đỳng với mọi x Suy ra tập xỏc định của hàm số là D Ă . x 0 x 0 x 0 b) ĐKXĐ: x 2 x x 6 0 x 9 x 3 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D 0; \ 9 . x 2 0 x 2 c) ĐKXĐ: x 2 x 3 0 x 3 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D  2; . 1 d) Khi x 1 thỡ hàm số là y luụn xỏc định với x 1. x Khi x 1 thỡ hàm số là y x 1 xỏc định khi x 1 x 1 1 x 1 x 1 0 x 1 Do đú hàm số đó cho xỏc định khi x 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D  1; . mx Vớ dụ 4: Cho hàm số: y = với m là tham số x - m + 2 - 1 a) Tỡm tập xỏc định của hàm số theo tham số m 44
4. b) Tỡm m để hàm số xỏc định trờn 0;1 Lời giải x m 2 0 x m 2 a) ĐKXĐ x m 2 1 x m 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D m 2; \ m 1 . b) Hàm số xỏc định trờn 0;1 0;1  m 2;m 1  m 1; 0;1  m 2;m 1 m 2 m 2 0;1  m 1; m 1 0 m 1 Vậy m ;1 2 là giỏ trị cần tỡm. x Vớ dụ 5: Cho hàm số y = 2x - 3m + 4 + với m là tham số. x + m - 1 a) Tỡm tập xỏc định của hàm số khi m 1 b) Tỡm m để hàm số cú tập xỏc định là 0; Lời giải 3m 4 2x 3m 4 0 x ĐKXĐ: 2 x m 1 0 x 1 m 1 x a) Khi m 1 ta cú ĐKXĐ : 2 x 0 1 Suy ra tập xỏc định của hàm số là D ; \ 0 . 2 3m 4 6 3m 4 6 b) Với 1 m m khi đú tập xỏc định của hàm số là D ; \ 1 m . Do đú m 2 5 2 5 khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. 6 3m 4 Với m khi đú tập xỏc định của hàm số là D ; . 5 2 3m 4 4 Do đú để hàm số cú tập xỏc định là 0; 0 m (thỏa món) 2 3 4 Vậy m là giỏ trị cần tỡm. 3 3. Bài tập luyện tập : Bài 2.0. Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau: 2 x - 1 2 a) y = . b) y = x + 2 - . x - 2 x - 1 3 x - 1 c) y = . d) y = x + x 2 - 4x + 4 . x 2 + x + 1 ùỡ 1 x + 1 ù khi x ³ 1 e) y = . f) y = f (x) = ớù 2 - x 2 ù x - x - 6 ù 2 - x khi x < 1 ợù Bài 2.1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau: 45
5. 2 - x + x + 2 a) y = 6 - 3x - x - 1 b) y = x 3x - 2 + 6x 2x + 1 c) y = d) y = 6 - x + 4 - 3x 1 + x - 1 2x + 9 x 2 - 2x + 3 e) y = f) y = (x + 4) x + 3 x - 3 x + 2 1 2x 2 g) f (x) = h) y = 1- 1 + 4x x 2 - 3x + 2 Bài 2.2: Tỡm giỏ trị của tham số m để: x + 2m + 2 a) Hàm số y = xỏc định trờn (- 1;0) x - m x b) Hàm số y = cú tập xỏc định là 0; x - m + 1 Bài 2.3: Tỡm giỏ trị của tham số m để: 2x a) Hàm số y = x - m + 1 + xỏc định trờn (- 1;3). - x + 2m b) Hàm số y = x + m + 2x - m + 1 xỏc định trờn (0;+ Ơ ). 1 c) Hàm số y = - x - 2m + 6 - xỏc định trờn (- 1;0). x + m  DẠNG TOÁN 2: XẫT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ 1. Phương phỏp giải. * Sử dụng định nghĩa Hàm số y = f (x) xỏc định trờn D : ùỡ " x ẻ D ị - x ẻ D ã Hàm số chẵn Û ớù . ù f (- x) = f (x) ợù ùỡ " x ẻ D ị - x ẻ D ã Hàm số lẻ Û ớù . ù f (- x) = - f (x) ợù Chỳ ý : Một hàm số cú thể khụng chẵn cũng khụng lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng * Quy trỡnh xột hàm số chẵn, lẻ. B1: Tỡm tập xỏc định của hàm số. B2: Kiểm tra Nếu " x ẻ D ị - x ẻ D Chuyển qua bước ba Nếu$x0 ẻ D ị - x0 ẽ D kết luận hàm khụng chẵn cũng khụng lẻ. B3: xỏc định f x và so sỏnh với f x . Nếu bằng nhau thỡ kết luận hàm số là chẵn Nếu đối nhau thỡ kết luận hàm số là lẻ Nếu tồn tại một giỏ trị $x0 ẻ D mà f (- x0 ) ạ f (x0 ), f (- x0 ) ạ - f (x0 ) kết luận hàm số khụng chẵn cũng khụng lẻ. 46
6. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: a) f (x) = 3x 3 + 23 x b) f (x) = x 4 + x 2 + 1 1 c) f (x ) = x + 5 + 5 - x d) f (x) = 2 + x + 2 - x Lời giải a) Ta cú TXĐ: D Ă 3 Với mọi x Ă ta cú x Ă và f (- x) = 3(- x ) + 23 - x = - (3x 3 + 23 x ) = - f (x) Do đú f (x) = 3x 3 + 23 x là hàm số lẻ b) Ta cú TXĐ: D Ă 4 2 Với mọi x Ă ta cú x Ă và f (- x) = (- x ) + (- x ) + 1 = x 4 + x 2 + 1 = f (x) Do đú f (x) = x 4 + x 2 + 1 là hàm số chẵn x 5 0 x 5 c) ĐKXĐ: 5 x 5 5 x 0 x 5 Suy ra TXĐ: D  5;5 Với mọi x  5;5 ta cú x  5;5 và f (- x) = (- x ) + 5 + 5 - (- x ) = x + 5 + 5 - x = f (x) Do đú f (x ) = x + 5 + 5 - x là hàm số chẵn 2 x 0 x 2 d) ĐKXĐ: 2 x 2 2 x 0 x 2 Suy ra TXĐ: D  2;2 Ta cú x0 2  2;2 nhưng x0 2  2;2 1 Vậy hàm số f (x) = 2 + x + khụng chẵn và khụng lẻ. 2 - x Vớ dụ 2: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: a) f (x) = x 4 - 4x + 2 b) f (x ) = x + 2 - x - 2 ỡ ù - 1 Khi x 0 ợù Lời giải a) Ta cú TXĐ: D Ă f 1 f 1 Ta cú f 1 7, f 1 1 f 1 f 1 Vậy hàm số khụng chẵn và khụng lẻ b) Ta cú TXĐ: D Ă Với mọi x Ă ta cú x Ă và f (- x) = (- x ) + 2 - (- x )- 2 = x - 2 - x + 2 Suy ra f x f x Do đú f (x ) = x + 2 - x - 2 là hàm số chẵn. c) Ta cú x2 1 x2 x x x2 1 x 0 với mọi x . Suy ra TXĐ: D Ă 47
7. Mặt khỏc x2 1 x2 x x x2 1 x 0 do đú 2 (x + x 2 + 1) f (x) = - 2x 2 - 1 = 2x x 2 + 1 ( x 2 + 1 + x )( x 2 + 1 - x ) 2 Với mọi x Ă ta cú x Ă và f (- x) = 2(- x ) (- x ) + 1 = - 2x x 2 + 1 = - f (x ) x + x 2 + 1 Do đú f (x) = - 2x 2 - 1 là hàm số lẻ. x 2 + 1 - x d) Ta cú TXĐ: D Ă Dễ thấy mọi x Ă ta cú x Ă Với mọi x 0 ta cú x 0 suy ra f x 1, f x 1 f x f x Với mọi x 0 ta cú x 0 suy ra f x 1, f x 1 f x f x Và f 0 f 0 0 Do đú với mọi x Ă ta cú f x f x ùỡ - 1 Khi x 0 ợù x 2 (x 2 - 2) + (2m2 - 2)x Vớ dụ 3: Tỡm m để hàm số: f (x ) = là hàm số chẵn. x 2 + 1 - m Lời giải ĐKXĐ: x2 1 m (*) Giả sử hàm số chẵn suy ra f x f x với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 x2 2 2m2 2 x Ta cú f x x2 1 m Suy ra f x f x với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 x2 2 2m2 2 x x2 x2 2 2m2 2 x với mọi x thỏa món điều kiện (*) x2 1 m x2 1 m 2 2m2 2 x 0 với mọi x thỏa món điều kiện (*) 2m2 2 0 m 1 x 2 (x 2 - 2) * Với m 1 ta cú hàm số là f (x ) = x 2 + 1 - 1 ĐKXĐ : x2 1 1 x 0 Suy ra TXĐ: D Ă \ 0 Dễ thấy với mọi x Ă \ 0 ta cú x Ă \ 0 và f x f x x 2 (x 2 - 2) Do đú f (x ) = là hàm số chẵn x 2 + 1 - 1 x 2 (x 2 - 2) * Với m 1 ta cú hàm số là f (x ) = x 2 + 1 + 1 TXĐ: D Ă 48
8. Dễ thấy với mọi x Ă ta cú x Ă và f x f x x 2 (x 2 - 2) Do đú f (x ) = là hàm số chẵn. x 2 + 1 + 1 Vậy m 1 là giỏ trị cần tỡm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.4:: Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số sau: x 3 + 5x x 2 + 5 a) f (x ) = b) f (x ) = c) f (x ) = x + 1 - 1- x x 2 + 4 x 2 - 1 x - 5 x 3 d) f (x ) = e) f (x ) = 3x 2 - 2x + 1 f) f (x ) = x - 1 x - 1 x - 1 + x + 1 x + 2 + x - 2 g) f (x) = h) f (x) = 2x - 1 + 2x + 1 x - 1 - x + 1 x (x 2 - 2) + 2m - 1 Bài 2.5: Tỡm m để hàm số: y = f (x ) = là hàm số chẵn. x - 2m + 1 Bài 2.6: Cho hàm số y = f (x ), y = g(x ) cú cựng tập xỏc định D. Chứng minh rằng a) Nếu hai hàm số trờn lẻ thỡ hàm số y = f (x ) + g(x ) là hàm số lẻ b) Nếu hai hàm số trờn một chẵn một lẻ thỡ hàm số y = f (x )g(x ) là hàm số lẻ Bài 2.7: a) Tỡm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng y = x 3 - (m2 - 9)x 2 + (m + 3)x + m - 3 . b) Tỡm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng y = x 4 - (m2 - 3m + 2)x 3 + m2 - 1. Bài 2.8: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng:y = x 2 + 3 - x + 3 + x . ➢ DẠNG TOÁN 3. XẫT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRấN MỘT KHOẢNG 1. Phương phỏp giải. C1: Cho hàm số y = f (x) xỏc định trờn K. Lấy x1,x2 ẻ K ; x1 0. ã Hàm số nghịch biến trờn K Û T 0. ã Hàm số nghịch biến trờn K Û T < 0. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Xột sự biến thiờn của hàm số sau trờn khoảng (1;+ Ơ ) 3 1 a) y = b) y x x - 1 x Lời Giải 3 3 3 x1 x2 a) Với mọi x1, x2 1; , x1 x2 ta cú f x2 f x1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 49
9. f x f x 3 Suy ra 2 1 x2 x1 x2 1 x1 1 f x2 f x1 3 Vỡ x1 1, x2 1 0 nờn hàm số y = nghịch biến trờn khoảng (1;+ Ơ ). x2 x1 x - 1 b) Với mọi x1, x2 1; , x1 x2 ta cú 1 1 1 f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 x1 x1x2 f x f x 1 Suy ra 2 1 1 x2 x1 x1x2 f x2 f x1 1 Vỡ x1 1, x2 1 0 nờn hàm số y x đồng biến trờn khoảng (1;+ Ơ ). x2 x1 x Vớ dụ 2: Cho hàm số y = x 2 - 4 a) Xột chiều biến thiờn cuả hàm số trờn (- Ơ ;0) và trờn (0;+ Ơ ) ộ ự b) Lập bảng biến thiờn của hàm số trờn ở- 1;3ỷ từ đú xỏc định giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trờn ộ ự ở- 1;3ỷ. Lời Giải TXĐ: D = R a) " x1,x2 ẻ Ă ,x1 0 2 2 2 2 Ta cú T = f (x2 )- f (x1 ) = (x2 - 4)- (x1 - 4) = x2 - x1 = (x2 - x1 ).(x1 + x2 ) Nếu x1,x2 ẻ (- Ơ ;0) ị T 0. Vậy hàm số y = f (x ) đồng biến trờn (0;+ Ơ ). 2 ộ ự b) Bảng biến thiờn của hàm số y = x - 4 trờn ở- 1;3ỷ x 1 0 3 3 5 y x2 4 4 Dựa vào bảng biến thiờn ta cú max y 5 khi và chỉ khi x 3, min y 4 khi và chỉ khi x 0 .  1;3  1;3 Vớ dụ 3: Xột sự biến thiờn của hàm số y = 4x + 5 + x - 1 trờn tập xỏc định của nú. Áp dụng giải phương trỡnh a) 4x + 5 + x - 1 = 3 b) 4x + 5 + x - 1 = 4x 2 + 9 + x Lời Giải 5 4x 5 0 x * ĐKXĐ: 4 x 1 x 1 0 x 1 Suy ra TXĐ: D 1; Với mọi x1, x2 1; , x1 x2 ta cú 50
10. f x2 f x1 4x2 5 x2 1 4x1 5 x1 1 4 x x x x 2 1 2 1 4x2 5 4x1 5 x2 1 x1 1 4 1 x x 2 1 4x2 5 4x1 5 x2 1 x1 1 f x f x 4 1 Suy ra 2 1 0 x2 x1 4x2 5 4x1 5 x2 1 x1 1 Nờn hàm số y = 4x + 5 + x - 1 đồng biến trờn khoảng 1; . a) Vỡ hàm số đó cho đồng biến trờn 1; nờn Nếu x 1 f x f 1 hay 4x + 5 + x - 1 > 3 Suy ra phương trỡnh 4x + 5 + x - 1 = 3 vụ nghiệm Nếu x 1 f x f 1 hay 4x + 5 + x - 1 4t + 5 + t - 1 Suy ra phương trỡnh đó cho vụ nghiệm Nếu x t f x f t hay 4x + 5 + x - 1 f (y) Û x > y (x < y) và f (x) = f (y) Û x = y " x,y ẻ D . Tớnh chất này được sử dụng nhiều trong cỏc bài toỏn đại số như giải phương trỡnh , bất phương trỡnh , hệ phương trỡnh và cỏc bài toỏn cực trị. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.9: Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số sau: a) y = 4 - 3x b) y = x 2 + 4x - 5. 2 x c) y = trờn (- Ơ ;2) và trờn (2;+ Ơ ) d) y = trờn (- Ơ ;1) x - 2 x - 1 Bài 2.10: Chứng minh rằng hàm số y x3 x đồng biến trờn Ă . Áp dụng giải phương trỡnh sau x3 x 3 2x 1 1 Bài 2.11: Cho hàm số y x 1 x2 2x a) Xột sự biến thiờn của hàm số đó cho trờn 1; 51
11. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trờn đoạn 2;5 ➢ DẠNG TOÁN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Phương phỏp giải. Cho hàm số y = f (x) xỏc định trờn D . Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả cỏc điểm M (x; f (x)) nằm trong mặt phẳng tọa độ với x ẻ D . Chỳ ý : Điểm M (x0;y0) ẻ (C )_ đồ thị hàm số y = f (x) Û y0 = f (x0) . Sử dụng định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số 2. Cỏc vớ dụ minh họa. ùỡ x 2 + 1 khi x > 2 ù Vớ dụ 1: Cho hai hàm số f (x ) = 2x 2 + 3x + 1 và g(x ) = ớù 2x - 1 khi - 2 Ê x Ê 2. ù ù 6 - 5x khi x 2 ùỡ x > 2 * Với x 2 ta cú g(x ) = 1 Û ớù Û ớù vụ nghiệm ù x 2 + 1 = 1 ù x = 0 ợù ợù ùỡ - 2 Ê x Ê 2 ùỡ - 2 Ê x Ê 2 Với 2 x 2 ta cú g(x ) = 1 Û ớù Û ớù Û x = 1 ù 2x - 1 = 1 ù x = 1 ợù ợù ùỡ x < - 2 ùỡ x < - 2 Với x 2 ta cú g(x ) = 1 Û ớù Û ớù vụ nghiệm ù 6x - 5 = 1 ù x = 1 ợù ợù Vậy g(x ) = 1 Û x = 1. Vớ dụ 2: Cho hàm số y = mx 3 - 2(m2 + 1)x 2 + 2m2 - m a) Tỡm m để điểm M 1;2 thuộc đồ thị hàm số đó cho b) Tỡm cỏc điểm cố định mà đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua với mọi m . 52
12. Lời giải a) Điểm M 1;2 thuộc đồ thị hàm số đó cho khi và chỉ khi 2 = - m - 2(m2 + 1) + 2m2 - m Û m = - 2 Vậy m 2 là giỏ trị cần tỡm. b) Để N x; y là điểm cố định mà đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua, điều kiện cần và đủ là y = mx 3 - 2(m2 + 1)x 2 + 2m2 - m, " m 2m2 1 x2 m x3 1 2x2 y 0, m 1 x2 0 3 x 1 x 1 y 2 2 2x y 0 Vậy đồ thị hàm số đó cho luụn đi qua điểm N 1; 2 . n n- 1 Chỳ ý: Nếu đa thức anx + an- 1x + + a1x + a0 = 0 với mọi x ẻ K khi và chỉ khi an = an- 1 = = a0 x 2 - x + 1 Vớ dụ 3: Chứng minh rằng trờn đồ thị (C ) của hàm số y = tồn tại hai điểm A(x ;y ) và x + 1 A A ỡ ù 2xA + yA = 3 B(x ;y ) thỏa món: ớù . B B ù 2x + y = 3 ợù B B Lời giải 2 2 xA - xA + 1 xB - xB + 1 Ta cú A ẻ (C ) Û yA = , B ẻ (C ) Û yB = xA + 1 xB + 1 ùỡ x 2 - x + 1 ù 2x + A A = 3 ỡ ù A ù 2xA + yA = 3 ù x + 1 Do đú ớù Û ớù A (*) ù 2x + y = 3 ù x 2 - x + 1 ợù B B ù 2x + B B = 3 ù B ợù xB + 1 Với xA 1, xB 1 ta cú 1 7 2 xA 3xA 2xA 2 0 3 * 2 (thỏa món) 3xB 2xB 2 0 1 7 x B 3 ỡ ù 2xA + yA = 3 Suy ra tồn tại hai điểm A(x ;y ) và B(x ;y ) thuộc đồ thị C thỏa món: ớù . A A B B ù 2x + y = 3 ợù B B Vớ dụ 4: Tỡm trờn đồ thị hàm số y = - x 3 + x 2 + 3x - 4 hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Lời giải Gọi M ,N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . M (x0;y0 ) ị N (- x0;- y0 ) ỡ 3 2 ù y0 = - x0 + x0 + 3x0 - 4 Vỡ M , N thuộc đồ thị hàm số nờn ớù ù - y = x 3 + x 2 - 3x - 4 ợù 0 0 0 0 ỡ 3 2 ỡ 3 2 ù y0 = - x0 + x0 + 3x0 - 4 ù y = - x + x + 3x - 4 Û ớù Û ớù 0 0 0 0 ù 2x 2 - 8 = 0 ù x = ± 2 ợù 0 ợù 0 53
13. x0 2 x0 2 hoặc y0 2 y0 2 Vậy hai điểm cần tỡm cú tọa độ là 2; 2 và 2;2 . Vớ dụ 5: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 1 liờn tiếp sang phải hai đơn vị và xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào? b) Nờu cỏch tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x2 để được đồ thị hàm số y 2x2 6x 3. Lời giải a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 1 sang trỏi hai đơn vị ta được đồ thị hàm số y x 2 2 1 rồi tịnh tiến lờn trờn một đơn vị ta được đồ thị hàm số y x 2 2 hay y x2 4x 4 . Vậy hàm số cần tỡm là y x2 4x 6 . 2 2 3 15 b) Ta cú 2x 6x 3 2 x 2 2 Do đú tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x2 để được đồ thị hàm số y 2x2 6x 3 ta làm như sau 3 15 Tịnh tiến liờn tiếp đồ thị hàm số y 2x2 đi sang bờn trỏi đơn vị và lờn trờn đi đơn vị. 2 2 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.12: Cho hàm số y = f (x ) = - 3x 2 + m2x + m + 1(với m là tham số) a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để f (0) = 5. b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị của hàm sốy = f (x )đi qua điểm A(1;0). Bài 2.13: Tỡm cỏc điểm cố định mà đồ thị hàm số sau luụn đi qua với mọi m. a) y = x 3 + 2(m - 1)x 2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 + 1) m 1 x m 2 b) y x m 2 Bài 2.14: Cho hàm số f (x) = 2x 4 + (m - 1)x 3 + (m2 - 1)x 2 + 2(m2 - 3m + 2)x - 3 . Tỡm m để điểm M (1;0) thuộc đồ thị hàm số đó cho 1 Bài 2.15: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 2 liờn tiếp sang trỏi 2 đơn vị và xuống dưới đơn vị ta được 2 đồ thị của hàm số nào? b) Nờu cỏch tịnh tiến đồ thị hàm số y x3 để được đồ thị hàm số y x3 3x2 3x 6 . 54