Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 1+2

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 1+2

1. CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH Đ1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRèNH A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa. Cho hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ) cú tập xỏc định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df ầ Dg . Mệnh đề chứa biến " f (x ) = g(x )" được gọi là phương trỡnh một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xỏc định của phương trỡnh. x0 ẻ D gọi là một nghiệm của phương trỡnh f (x ) = g(x ) nếu " f (x0 ) = g(x0 )" là mệnh đề đỳng. Chỳ ý: Cỏc nghiệm của phương trỡnh f (x ) = g(x ) là cỏc hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ). 2. Phương trỡnh tương đương, phương trỡnh hệ quả. a) Phương trỡnh tương đương: Hai phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x ) và f2 (x ) = g2 (x ) được gọi là tương đương nếu chỳng cú cựng tập nghiệm. Kớ hiệu là f1 (x ) = g1 (x ) Û f2 (x ) = g2 (x ). • Phộp biến đổi khụng làm thay đổi tập nghiệm của phương trỡnh gọi là phộp biến đổi tương đương. b) Phương trỡnh hệ quả: f2 (x ) = g2 (x ) gọi là phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x ) nếu tập nghiệm của nú chứa tập nghiệm của phương trỡnh f1 (x ) = g1 (x ). Kớ hiệu là f1 (x ) = g1 (x ) ị f2 (x ) = g2 (x ) c) Cỏc định lý: Định lý 1: Cho phương trỡnh f (x ) = g(x ) cú tập xỏc định D ; y = h(x ) là hàm số xỏc định trờn D . Khi đú trờn D , phương trỡnh đó cho tương đương với phương trỡnh sau 1) f (x ) + h(x ) = g(x ) + h(x ) 2) f (x ).h(x ) = g(x ).h(x ) nếu h(x ) ạ 0 với mọi x ẻ D Định lý 2: Khi bỡnh phương hai vế của một phương trỡnh, ta được phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh đó cho. f (x ) = g(x ) ị f 2 (x ) = g2 (x ). Lưu ý: Khi giải phương trỡnh ta cần chỳ ý • Đặt điều kiện xỏc định(đkxđ) của phương trỡnh và khi tỡm được nghiệm của phương trỡnh phải đối chiếu với điều kiện xỏc định. • Nếu hai vế của phương trỡnh luụn cựng dấu thỡ bỡnh phương hai vế của nú ta thu được phương trỡnh tương đương. • Khi biến đổi phương trỡnh thu được phương trỡnh hệ quả thỡ khi tỡm được nghiệm của phương trỡnh hệ quả phải thử lại phương trỡnh ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: TèM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRèNH. 1. Phương phỏp giải. - Điều kiện xỏc định của phương trỡnh bao gồm cỏc điều kiện để giỏ trị của f (x ), g(x ) cựng được xỏc định và cỏc điều kiện khỏc (nếu cú yờu cầu trong đề bài) - Điều kiện để biểu thức • f (x ) xỏc định là f (x ) ³ 0 93
2. 1 • xỏc định là f (x ) ạ 0 f (x ) 1 • xỏc định là f (x ) > 0 f (x ) 2. Cỏc vớ dụ điển hỡnh. Vớ dụ 1: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau: 5 a) x + = 1 b) 1 + 3 - x = x - 2 x 2 - 4 x + 1 c) 1 + 2x - 3 = 3x - 2 d) 4 - 2x = x 3 - 3x + 2 Lời giải a) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là x 2 - 4 ạ 0 Û x 2 ạ 4 Û x ạ ± 2 ùỡ 3 - x ³ 0 ùỡ x Ê 3 b) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù Û ớù Û 2 Ê x Ê 3 ù x - 2 ³ 0 ù x ³ 2 ợù ợù ùỡ 3 ỡ ù x ³ ù 2x - 3 ³ 0 ù 3 c) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù Û ớ 2 Û x ³ ù 3x - 2 ³ 0 ù 2 2 ợù ù x ³ ợù 3 d) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ùỡ 4 - 2x ³ 0 ùỡ x Ê 2 ớù Û ớù ù x 3 - 3x + 2 ạ 0 ù x - 1 x 2 + x - 2 ạ 0 ợù ợù ( )( ) ùỡ x Ê 2 ùỡ x Ê 2 ù ỡ ù ù ù x < 2 Û ớ 2 Û ớ x ạ 1 Û ớ ù x - 1 x - 2 ạ 0 ù ù x ạ 1 ợù ( ) ( ) ù x ạ 2 ợù ợù Vớ dụ 2: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau rồi suy ra tập nghiệm của nú: a) 4x + 4x - 3 = 2 3 - 4x + 3 b) - x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27 2 c) x + x - 2 = - 3 - x d) (x - 3) (5 - 3x ) + 2x = 3x - 5 + 4 Lời giải ùỡ 3 ỡ ù x ³ ù 4x - 3 ³ 0 ù 3 a) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh làớù Û ớ 4 Û x = ù 3 - 4x ³ 0 ù 3 4 ợù ù x Ê ợù 4 3 Thử vào phương trỡnh thấy x = thỏa món 4 ùỡ 3ùỹ Vậy tập nghiệp của phương trỡnh là S = ớù ýù ợù 4ỵù 2 b) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là - x 2 + 6x - 9 ³ 0 Û - (x - 3) ³ 0 Û x = 3 Thay x = 3 vào thấy thỏa món phương trỡnh Vậy tập nghiệp của phương trỡnh là S = {3} 94
3. ùỡ x ³ 0 ùỡ x ³ 0 ù ù c) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù x - 2 ³ 0 Û ớù x ³ 2 ù ù ù - 3 - x ³ 0 ù x Ê - 3 ợù ợù Khụng cú giỏ trị nào của x thỏa món điều kiện Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = ặ ỡ 2 ù (x - 3) (5 - 3x ) ³ 0 d) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh là ớù (*) ù 3x - 5 ³ 0 ợù Dễ thấy x = 3 thỏa món điều kiện (*). ùỡ 5 ỡ ù x Ê ù 5 - 3x ³ 0 ù 5 Nếu x ạ 3 thỡ (*) Û ớù Û ớ 3 Û x = ù 3x - 5 ³ 0 ù 5 3 ợù ù x ³ ợù 3 5 Vậy điều kiện xỏc định của phương trỡnh là x = 3 hoặc x = 3 5 Thay x = 3 và x = vào phương trỡnh thấy chỉ cú x = 3 thỏa món. 3 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S = {3} . 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.0: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau: 5 a) = 3 x b) 1 + x - 2 = x - 1 x 2 - x - 1 x + 1 c) 1 + 2x - 4 = 2 - 4x d) 2x - 6 = x 2 - 3x + 2 Bài 3.1: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh sau rồi suy ra tập nghiệm của nú: a) 4x + 2 4x - 3 = 2 4x - 3 + 3 b) - x 2 + x - 1 + x = 1 c) 2x + x - 2 = 2 - x + 2 d) x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2 - x ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRèNH BẰNG PHẫP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ 1. Phương phỏp giải. Để giải phương trỡnh ta thực hiện cỏc phộp biến đổi để đưa về phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho đơn giản hơn trong việc giải nú. Một số phộp biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) cả hai vế của phương trỡnh mà khụng làm thay đổi điều kiện xỏc định của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh tương đương phương trỡnh đó cho. • Nhõn (chia) vào hai vế với một biểu thức khỏc khụng và khụng làm thay đổi điều kiện xỏc định của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho. • Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh ta thu được phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh đó cho. • Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh(hai vế luụn cựng dấu) ta thu được phương trỡnh tương đương với phương trỡnh đó cho. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau 1 5 x 2 1 a) 1 + = b) = - x - 2 x - 3 x 2 - x - 6 x - 2 x - 2 95
4. c) x + 3(x 4 - 3x 2 + 2) = 0 d) x - 1(x 2 - x - 2) = 0 Lời giải ùỡ x ạ 3 ùỡ x ạ 3 a) ĐKXĐ : ớù Û ớù ù x 2 - x - 6 ạ 0 ù x ạ - 2 ợù ợù Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với 1 5 1 + = Û (x - 3)(x + 2) + x + 2 = 5 x - 3 (x - 3)(x + 2) Û x 2 = 9 Û x = ± 3 Đối chiếu với điều kiện ta cú nghiệm của phương trỡnh là x = - 3. b) ĐKXĐ: x > 2 Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với - 1 ± 13 x 2 = 1- (x - 2) Û x 2 + x - 3 = 0 Û x = 2 Đối chiếu với điều kiện ta thấy khụng cú giỏ trị nào thỏa món Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. c) ĐKXĐ: x ³ - 3 ộ x + 3 = 0 Phương trỡnh tương đương với ờ ờx 4 - 3x 2 + 2 = 0 ởờ ộ x = - 3 ộx = - 3 ộ x = - 3 ờ ờ Û ờ Û ờx 2 - 1 = 0 Û ờx = ± 1 ờ(x 2 - 1)(x 2 - 2) = 0 ờ ờ ởờ ờx 2 - 2 = 0 ờx = ± 2 ởờ ởờ Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trỡnh là x = - 3, x = ± 1 và x = ± 2 . ỡ ỡ ù x ³ 0 ù x ³ 0 d) ĐKXĐ: ớ Û ớù Û x ³ 1 ù x - 1 ³ 0 ù x ³ 1 ợù ợù Với điều kiện đú phương trỡnh tương đương với ộx = 1 ộ ờ ờ x - 1 = 0 ờ ờ Û x = - 1 x 2 - x - 2 = 0 ờ ởờ ờx = 2 ởờ Đối chiếu với điều kiện ta cú ngiệm của phương trỡnh là x = 1 và x = 2 . Vớ dụ 2: Giải cỏc phương trỡnh sau a) 2x - 3 = 4x 2 - 15 b) . x 2 - 3x + 4 = 8 - 3x . c) 2x + 1 = x - 2 d) 2x + 1 = x - 1 Lời giải ùỡ 2x - 3 ³ 0 a) ĐKXĐ: ớù (*) ù 4x2 - 15 ³ 0 ợù Với điều kiện (*) phương trỡnh tương đương với 96
5. 2 2 ( 2x - 3) = ( 4x 2 - 15) Û 2x - 3 = 4x2 - 15 ộ x = 2 2 ờ Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ờ 3 ờx = - ởờ 2 Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ cú x = 2 thỏa món Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2 2 ổ 3ử 7 b) ĐKXĐ: x 2 - 3x + 4 ³ 0 Û ỗx - ữ + ³ 0 (luụn đỳng với mọi x ) ốỗ 2ứữ 4 Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh ta được 2 x 2 - 3x + 4 = (8 - 3x ) Û x 2 - 3x + 4 = 9x 2 - 48x + 64 45 ± 105 8x 2 - 45x + 60 = 0 Û x = 16 45 - 105 Thay vào phương trỡnh ta thấy chỉ cú x = và đú là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. 16 2 2 c) Phương trỡnh tương đương với ( 2x + 1 ) = ( x - 2 ) Û 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 4x + 4 ộx = - 3 2 ờ Û 3x + 8x - 3 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 3 1 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là x = - 3 và x = . 3 2 2 d) Ta cú 2x + 1 = x - 1 ị (2x + 1) = (x - 1) ị 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 2x + 1 Û 3x 2 + 6x = 0 ộx = 0 ị ờ ờx = - 2 ởờ Thử vào phương trỡnh ta thấy khụng cú giỏ trị nào thỏa món Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. Vớ dụ 3: Tỡm nghiệm (x;y ) với x là số nguyờn dương của phương trỡnh sau 20 - 8x + 6x 2 - y2 = y 7 - 4x Lời giải ùỡ 20 ỡ ù x Ê ù 20 - 8x ³ 0 ù 7 Nếu phương trỡnh cú nghiệm (x;y ) thỡx phải thỏa món ớù Û ớ 8 Û x Ê ù 7 - 4x ³ 0 ù 7 4 ợù ù x Ê ợù 4 Vỡ x là số nguyờn dương nờn x = 1 Thay x = 1 vào phương trỡnh ta được 12 + 6 - y2 = y 3 (*) Điều kiện xỏc định của phương trỡnh (*) là 6 - y2 ³ 0 2 (*) ị 6 - y2 = 3(y - 2) ị 6 - y2 = 3(y - 2) 97
6. 3 ± 3 ị 4y2 - 12y + 6 = 0 ị y = 2 3 + 3 Thử vào phương trỡnh (*) thấy chỉ cú y = là thỏa món 2 ổ 3 + 3 ử ỗ ữ Vậy phương trỡnh cú nghiệm thỏa món đề bài là ỗ1; ữ. ốỗ 2 ứữ Vớ dụ 4: Tỡm m để cặp phương trỡnh sau tương đương a) mx 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2) b) 2x 2 + mx - 2 = 0 (3) và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 (4) Lời giải a) Giả sử hai phương trỡnh (1) và (2) tương đương ộ x = 1 Ta cú (1) Û (x - 1)(mx - m + 2) = 0 Û ờ ờmx - m + 2 = 0 ởờ Do hai phương trỡnh tương đương nờn x = 1 là nghiệm của phương trỡnh (2) Thay x = 1 vào phương trỡnh (2) ta được ộm = 4 (m - 2)- 3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û ờ ờm = - 5 ởờ ộx = 1 2 ờ • Với m = - 5 : Phương trỡnh (1) trở thành - 5x + 12x - 7 = 0 Û ờ 7 ờx = ởờ 5 ộ x = 1 2 ờ Phương trỡnh (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = 0 Û ờ 10 ờx = - ởờ 7 Suy ra hai phương trỡnh khụng tương đương ộ 1 ờx = • Với m = 4 : Phương trỡnh (1) trở thành 4x 2 - 6x + 2 = 0 Û ờ 2 ờx = 1 ởờ ộx = 1 2 ờ Phương trỡnh (2) trở thành 2x - 3x + 1 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 2 Suy ra hai phương trỡnh tương đương Vậy m = 4thỡ hai phương trỡnh tương đương. b) Giả sử hai phương trỡnh (3) và (4) tương đương Ta cú 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 Û (x + 2)(2x 2 + mx - 2) = 0 ộ x = - 2 Û ờ ờ2x 2 + mx - 2 = 0 ởờ Do hai phương trỡnh tương đương nờn x = - 2 cũng là nghiệm của phương trỡnh (3) 2 Thay x = - 2 vào phương trỡnh (3) ta được 2(- 2) + m (- 2)- 2 = 0 Û m = 3 98
7. ộx = - 2 2 ờ • Với m = 3 phương trỡnh (3) trở thành 2x + 3x - 2 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 2 2 Phương trỡnh (4) trở thành 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4 = 0 Û (x + 2) (2x + 1) = 0 ộx = - 2 ờ Û ờ 1 ờx = ởờ 2 Suy ra phương trỡnh (3) tương đương với phương trỡnh (4) Vậy m = 3. 3. Bài tập tự luyện. Bài 3.2: Giải cỏc phương trỡnh sau 1 6 2x 1 a) 1 + = b) = - 3 - x 2 - x 4 - x 2 3 - x 3 - x 3 - x c) x + 1(x 2 - 16) = 0 d) = 0 x 2 - 2x - 3 Bài 3.3: Giải cỏc phương trỡnh sau a) x - 2 = x 2 - 8 b) 3x 2 - x - 9 = x - 1. c) 2x + 3 = 2x - 3 d) 2x - 1 = 3x - 4 Bài 3.4: Tỡm m để cặp phương trỡnh sau tương đương a) x 2 + mx - 1 = 0 (1) và (m - 1)x 2 + 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (2) b) (2m - 2)x 2 - (2m + 1)x + m2 + m - 17 = 0 (3) và (2 - m )x 2 + 3x + 15 - m2 = 0 (4) Đ2. PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa. • Phương trỡnh bậc nhất một ẩn là phương trỡnh cú dạng ax + b = 0 với a,b là số thực và a ạ 0 • Phương trỡnh bậc hai một ẩn phương trỡnh cú dạng ax 2 + bx + c = 0 với a,b,c là số thực và a ạ 0 2. Giải và biện luận phương trỡnh ax + b = 0 (1). b b • Nếu a ạ 0 : (1) Û x = - do đú phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = - a a • Nếu a = 0: phương trỡnh (1) trở thành 0x + b = 0 Th1: Với b = 0 phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R Th2: Với b ạ 0 phương trỡnh vụ nghiệm 3. Giải và biện luận phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 • Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trỡnh dạng (1) • Nếu a ạ 0 : D = b2 - 4ac - b ± D Th1: D > 0 phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = 2a b TH2: D = 0 phương trỡnh cú nghiệm kộp x = - 2a 99
8. Th3: D 0 ù ù S > 0 ợù ùỡ D ³ 0 ù + Phương trỡnh (*) cú hai nghiệm õm khi và chỉ khi ớù P > 0 ù ù S < 0 ợù B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax + b = 0 . 1. Phương phỏp giải. Để giải và biện luận phương trỡnh dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đó nờu ở trờn. Lưu ý: ộ a ạ 0 • Phương trỡnh ax + b = 0 cú nghiệm Û ờ ờa = b = 0 ởờ ùỡ a = 0 • Phương trỡnh ax + b = 0 vụ nghiệm Û ớù ù b ạ 0 ợù • Phương trỡnh ax + b = 0 cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. a) (m - 1)x + 2 - m = 0 b) m (mx - 1) = 9x + 3 c) (m + 1)2x = (3m + 7)x + 2 + m Lời giải a) Phương trỡnh tương đương với (m - 1)x = m - 2 + Với m - 1 = 0 Û m = 1: Phương trỡnh trở thành 0x = - 1 Suy ra phương trỡnh vụ nghiệm. 100
9. m - 2 + Với m - 1 ạ 0 Û m ạ 1 : Phương trỡnh tương đương với x = m - 1 Kết luận m = 1 : Phương trỡnh vụ nghiệm m - 2 m ạ 1 : Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = m - 1 b) Ta cú m (mx - 1) = 9x + 3 Û (m2 - 9)x = m + 3 + Với m2 - 9 = 0 Û m = ± 3 : • Khi m = 3 : Phương trỡnh trở thành 0x = 6 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm • Khi m = - 3: Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R m + 3 1 + Với m2 - 9 ạ 0 Û m ạ ± 3: Phương trỡnh tương đương với x = = . m2 - 9 m - 3 Kết luận: m = 3 : Phương trỡnh vụ nghiệm m = - 3 : Phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R 1 m ạ ± 3: Phương trỡnh cú nghiệm x = m - 3 ộ 2 ự c) Phương trỡnh tương đương với ở(m + 1) - 3m - 7ỷx = 2 + m Û (m2 - m - 6)x = 2 + m ộm = 3 + Với m2 - m - 6 = 0 Û ờ : ờm = - 2 ởờ • Khi m = 3 : Phương trỡnh trở thành 0x = 5 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm • Khi m = - 2: Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R ộm ạ 3 m + 2 1 + Với m2 - m - 6 ạ 0 Û ờ : Phương trỡnh tương đương với x = = . ờm ạ - 2 2 ởờ m - m - 6 m - 3 Kết luận: m = 3 : Phương trỡnh vụ nghiệm m = - 2 : Phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R 1 m ạ 3 và m ạ - 2: Phương trỡnh cú nghiệm x = m - 3 Vớ dụ 2: Giải và biện luận phương trỡnh sau với a,b là tham số. a) a2 (x - a) = b2 (x - b) b) b(ax - b + 2) = 2(ax + 1) Lời giải a) Ta cú a2 (x - a) = b2 (x - b) Û (a2 - b2 )x = a3 - b3 + Với a2 - b2 = 0 Û a = ±b • Khi a = b : Phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R • Khi a = - b và b ạ 0: Phương trỡnh trở thành 0x = - 2b3 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm (Trường hợp a = - b,b = 0 ị a = b = 0 thỡ rơi vào trường hợp a = b ) a3 - b3 a2 + ab + b2 + Với a2 - b2 ạ 0 Û a ạ ±b: Phương trỡnh tương đương với x = = a2 - b2 a + b Kết luận a = b: phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ẻ R 101
10. a = - b và b ạ 0: phương trỡnh vụ nghiệm a2 + ab + b2 a ạ ±b: Phương trỡnh cú nghiệm là x = a + b b) Ta cú b(ax - b + 2) = 2(ax + 1) Û a(b - 2)x = b2 - 2b + 2 ộa = 0 + Với a(b - 2) = 0 Û ờ ờb = 2 ởờ 2 • Khi a = 0 : Phương trỡnh trở thành 0x = b2 - 2b + 2, do b2 - 2b + 2 = (b - 1) + 1 > 0 nờn phương trỡnh vụ nghiệm. • Khi b = 2 : Phương trỡnh trở thành 0x = 2 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm ùỡ a ạ 0 b2 - 2b + 2 + Với a(b - 2) ạ 0 Û ớù : Phương trỡnh tương đương với x = . ù b ạ 2 ợù a(b - 2) Kết luận a = 0 hoặc b = 2 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm b2 - 2b + 2 a ạ 0 và b ạ 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x = a(b - 2) Vớ dụ 3: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 b) m (4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Lời giải a) Ta cú (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m - 2)x = m2 - 1 ùỡ m ạ - 1 Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 hay m2 - m - 2 ạ 0 Û ớù ù m ạ 2 ợù Vậy với m ạ - 1 và m ạ 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất b) Ta cú m (4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Û (4m2 - m - 1)x = 3m2 - 2m 1 ± 17 Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất Û a ạ 0 hay 4m2 - m - 1 ạ 0 Û m ạ 8 1 ± 17 Vậy vớim ạ thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 8 Vớ dụ 4: Tỡm m để đồ thị hai hàm số sau khụng cắt nhau y = (m + 1)x 2 + 3m2x + m và y = (m + 1)x 2 + 12x + 2 . Lời giải Đồ thị hai hàm số khụng cắt nhau khi và chỉ khi phương trỡnh (m + 1)x 2 + 3m2x + m = (m + 1)x 2 + 12x + 2 vụ nghiệm Û 3(m2 - 4)x = 2 - m vụ nghiệm ùỡ m2 - 4 = 0 ùỡ m = ± 2 Û ớù Û ớù Û m = - 2 ù 2 - m ạ 0 ù m ạ 2 ợù ợù Vậy với m = - 2 là giỏ trị cần tỡm. 3. Bài tập luyờn tập. Bài 3.5: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. 102
11. a) (2m - 4)x + 2 - m = 0 b) (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1 Bài 3.6: Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau: x + a - b x + b - a b2 - a2 a) - = (1) a b ab ax - 1 2 a(x 2 + 1) b) + = (2) x - 1 x + 1 x 2 - 1 Bài 3.7: Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm. a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 b) m2 (x - m ) = x - 3m + 2 Bài 3.8: Tỡm điều kiện của a,b để phương trỡnh sau cú nghiệm . a) a(bx - a + 2) = (a + b - 1)x + 1 2x - a 2x - b b) - b = - a (a,b ạ 0) a b ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax 2 + bx + c = 0. 1. Phương phỏp giải. Để giải và biện luận phương trỡnh dạng ax 2 + bx + c = 0 ta làm theo như cỏc bước đó nờu ở trờn. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. a) x 2 - x + m = 0 b) (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 c) (2m2 + 5m + 2)x 2 - 4mx + 2 = 0 Lời giải a) Ta cú D = 1- 4m 1 1 ± 1- 4m Với D > 0 Û 1- 4m > 0 Û m : Phương trỡnh vụ nghiệm 4 Kết luận 1 1 ± 1- 4m m : Phương trỡnh vụ nghiệm 4 3 b) + TH1: Với m + 1 = 0 Û m = - 1 khi đú phương trỡnh trở thành 2x - 3 = 0 Û x = 2 + TH2: Với m + 1 ạ 0 Û m ạ - 1 khi đú phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai Ta cú D ' = m2 - (m - 2)(m + 1) = m + 2 m ± m + 2 Khi D > 0 Û m + 2 > 0 Û m > - 2 khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = m + 1 103
12. Khi D = 0 Û m + 2 = 0 Û m = - 2 khi đú phương trỡnh cú nghiệm là x = 2 Khi D - 2 và m ạ - 1 : Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x = m + 1 m 0 Û - 2(5m + 2) > 0 Û m - phương trỡnh vụ nghiệm. 5 Kết luận 1 m = - 2 phương trỡnh cú nghiệm x = - 4 1 m = - phương trỡnh cú nghiệm x = - 1 2 2 m = - phương trỡnh cú nghiệm (kộp) x = - 5 5 2 1 2m ± - 2(5m + 2) m - phương trỡnh vụ nghiệm. 5 Vớ dụ 2: Giải và biện luận phương trỡnh sau với a,b là tham số. ax 2 - 2(a + b)x + a + 2b = 0 104
13. Lời giải + TH1: Với a = 0 phương trỡnh trở thành - 2bx + 2b = 0 Û bx = b Khi b = 0 phương trỡnh là 0x = 0 do đú phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x Khi b ạ 0 phương trỡnh cú nghiệm là x = 1 + TH2: Với a ạ 0 phương trỡnh là phương trỡnh bậc hai 2 Ta cú D ' = (a + b) - a(a + 2b) = b2 a + b Khi b = 0 phương trỡnh cú nghiệm kộp x = a ộ a + b + b a + 2b ờx = = Khi b ạ 0 phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là ờ a a ờ a + b - b ờ x = = 1 ởờ a Kết luận a = b = 0 phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x a = 0 và b ạ 0 phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 1 a + b a ạ 0 và b = 0 phương trỡnh cú nghiệm kộp x = a a + 2b a ạ 0 và b ạ 0 phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là x = và x = 1 a Vớ dụ 3: Tỡm m để phương trỡnh mx 2 + x + m + 1 = 0 a) Cú nghiệm kộp. b) Cú hai nghiệm phõn biệt Lời giải a) Với m = 0 phương trỡnh trở thành phương trỡnh bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. Với m ạ 0 m ạ 0 phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai nờn nú cú nghiệm kộp khi và chỉ khi ỡ ỡ ỡ ùỡ m ạ 0 ù a ạ 0 ù m ạ 0 ù m ạ 0 ù 1 ớ Û ớ Û ớ 2 Û ớ 1 Û m = ù D = 0 ù 1- 4m (m + 1) = 0 ù 4m - 4m + 1 = 0 ù m = 2 ợ ợ ợ ợù 2 1 Vậy m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp 2 b) Với m = 0 phương trỡnh trở thành phương trỡnh bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. Với m ạ 0 phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai nờn nú cú hai nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi 2 1 D > 0 Û 1- 4m (m + 1) > 0 Û 4m2 - 4m + 1 > 0 Û (2m - 1) > 0 Û m ạ 2 1 Vậy m ạ 0 và m ạ thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt. 2 3. Bài tập luyện tập Bài 3.9: Tỡm m để phương trỡnh x 2 - 3mx + (2m2 - m - 1) = 0 cú nghiệm kộp tỡm nghiệm kộp đú Bài 3.10: Cho phương trỡnh: mx 2 - 2mx + m + 1 = 0 a) Giải phương trỡnh đó cho khi m = - 2. b) Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú nghiệm Bài 3.11: Giải và biện luận phương trỡnh a) (m - 2)x 2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0 b) (m - 2)x 2 - (2m - 1)x + m + 2 = 0 105
14. Bài 3.12: Tựy thuộc vào giỏ trị của tham số m , hóy tỡm hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y = 2x + m và Parabol (P): y = (m – 1)x 2 + 2mx + 3m – 1. ➢ DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH Lí VI-ẫT. Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trỡnh bậc hai, phõn tớch thành nhõn tử. Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh 2x 2 - mx + 5 = 0. Biết phương trỡnh cú một nghiệm là 2. Tỡm m và tỡm nghiệm cũn lại Lời giải 5 Cỏch 1: Vỡ phương trỡnh cú nghiệm nờn theo hệ thức Viột ta cúx x = 1 2 2 5 Giả sử x = 2 suy rax = . 1 2 4 m 5 m 13 Mặt khỏc x + x = ị 2 + = ị m = . 1 2 2 4 2 2 13 5 Vậy m = và nghiệm cũn lại là 2 2 13 Cỏch 2: Thay x = 2 vào phương trỡnh ta được 8 - 2m + 5 = 0 Û m = . 2 5 5 Theo hệ thức Viột ta cú x x = mà x = 2 nờn x = . 1 2 2 1 2 4 13 5 Vậy m = và nghiệm cũn lại là . 2 2 Vớ dụ 2: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) f (x) = 3x 2 - 14x + 8 b) g(x) = - x 4 + 5x 2 - 4 c) P(x;y) = 6x 2 - 11xy + 3y2 . d) Q(x;y) = 2x 2 - 2y2 - 3xy + x - 2y . Lời giải ộ 2 ờx = a) Phương trỡnh 3x 2 - 14x + 8 = 0 Û ờ 3 ờx = 4 ởờ ổ 2ử Suy ra f (x) = 3ỗx - ữ(x - 4) = (3x - 2)(x - 4) ốỗ 3ứữ 2 2 ộx = 1 b) Phương trỡnh - x 4 + 5x 2 - 4 = 0 Û - (x 2 ) + 5x 2 - 4 = 0 Û ờ ờx 2 = 4 ởờ Suy ra g(x) = - (x 2 - 1)(x 2 - 4) = - (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) 106
15. c) Xột phương trỡnh 6x 2 - 11xy + 3y2 = 0 ẩn x . 2 2 2 D x = (11y ) - 4.18y = 49y ộ y ờx = 11y ± 7y ờ 3 Suy ra phương trỡnh cú nghiệm là x = Û ờ 12 3y ờx = ởờ 2 ổ y ửổ 3y ử Do đú P(x;y) = 6ỗx - ữỗx - ữ= (3x - y )(2x - 3y ) ốỗ 3ứữốỗ 2 ứữ d) Xột phương trỡnh 2x 2 - 2y2 - 3xy + x - 2y = 0( ẩn x ) Û 2x 2 + (1- 3y )x - 2y2 - 2y = 0 2 2 2 2 D x = (1- 3y ) - 8(- 2y - 2y ) = 25y + 10y + 1 = (5y + 1) ộ x = 2y 3y - 1 ± (5y + 1) ờ Suy ra phương trỡnh cú nghiệm là x = Û ờ - y - 1 4 ờx = ởờ 2 ổ - y - 1ử Do đú Q(x;y) = 2(x - 2y )ỗx - ữ= (x - 2y )(2x + y + 1) ốỗ 2 ứữ Vớ dụ 3: Phõn tớch đa thức f (x ) = x 4 - 2mx 2 - x + m2 - m thành tớch của hai tam thức bậc hai ẩn x . Lời giải Ta cú f (x ) = 0 Û x 4 - 2mx 2 - x + m2 - m = 0 Û m2 - (2x 2 + 1)m + x 4 - x = 0 2 2 4 2 2 D m = (2x + 1) - 4(x - x ) = 4x + 4x + 1 = (2x + 1) ộ 2x 2 + 1 + 2x + 1 ờm = = x 2 + x + 1 Suy ra f (x ) = 0 Û ờ 2 ờ 2x 2 + 1- 2x - 1 ờ m = = x 2 - x ởờ 2 Vậy f (x ) = (m - x 2 - x - 1)(m - x 2 + x ). Loại 2: Bài toỏn liờn quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1,x2 của phương trỡnh bậc hai. Vớ dụ 4: Cho phương trỡnh x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 với m là tham số. Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 sao cho 3 3 a) x1 + x2 = 2x1x2 (x1 + x2 ) 4 4 2 b) x1 - x2 = 16m + 64m 107
16. c) A = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 đạt giỏ trị nhỏ nhất 2 2 d) B = 2(x1 + x2 ) + 16 - 3x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất Lời giải Ta cú phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 Û D ' ³ 0 2 1 Û (m + 1) - (m2 + 2) ³ 0 Û m ³ (*) 2 ỡ ù x1 + x2 = 2m + 2 Theo Viet ta cú: ớù ù x .x = m2 + 2 ợù 1 2 3 3 3 a) Ta cú x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 3x1x2 (x1 + x2 ) 3 3 3 Suy ra x1 + x2 = 2x1x2 (x1 + x2 ) Û (x1 + x2 ) - 3x1x2 (x1 + x2 ) = 2x1x2 (x1 + x2 ) 2 Û (x + x )ộ(x + x ) - 5x x ự= 0 1 2 ởờ 1 2 1 2 ỷỳ 2 Suy ra (2m + 2)ộ(2m + 2) - 5(m2 + 2)ự= 0 Û 2(m + 1)(- m2 + 8m - 6) = 0 ởờ ỷỳ ộ m + 1 = 0 ộ m = - 1 Û ờ Û ờ ờ- m2 + 8m - 6 = 0 ờm = 4 ± 10 ởờ ởờ Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ cú m = 4 ± 10 thỏa món Vậy m = 4 ± 10 thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2 b) Ta cú x 4 - x 4 = (x 2 + x 2 )(x 2 - x 2 ) = ộ(x + x ) - 2x x ựx - x x + x 1 2 1 2 1 2 ởờ 1 2 1 2 ỷỳ 1 2 1 2 Mà 2 2 2 2 x1 - x2 = (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1x2 = (2m + 2) - 4(m + 2) = 8m - 4 Suy ra 2 x 4 - x 4 = ộ(2m + 2) - 2(m2 + 2)ự 8m - 4 2m + 2 1 2 ởờ ỷỳ = (2m2 + 8m ) 8m - 4 2m + 2 4 4 2 2 2 Suy ra x1 - x2 = 16m + 64m Û (2m + 8m ) 8m - 4 2m + 2 = 16m + 64m Û (m2 + 4m )( 8m - 4 2m + 2 - 8) = 0 ộ m2 + 4m = 0 (1) Û ờ ờ 8m - 4 2m + 2 = 8 (2) ởờ ộm = 0 Ta cú (1) Û ờ (loại) ờm = - 4 ởờ 2 (2) Û (8m - 4)(2m + 2) = 64 Û 32m3 + 48m2 - 80 = 0 Û m = 1(thỏa món (*)) Vậy m = 1 thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2 2 c) Ta cú A = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 = m + 2 - 2(2m + 2)- 6 = m - 4m - 8 2 ị A = (m - 2) - 12 ³ - 12 Suy ra min A = - 12 Û m = 2 , m = 2 thỏa món (*) 108
17. Vậy với m = 2 thỡ biểu thức A đạt giỏ trị nhỏ nhất. 2 2 2 d) B = 2(x1 + x2 ) + 16 - 3x1x2 = 2(x1 + x2 ) - 4x1x2 + 16 - 3x1x2 2 = 2(2m + 2) - 4(m2 + 2) + 16 - 3(m2 + 2) = 4m2 + 16m + 16 - 3(m2 + 2) = 2m + 4 - 3(m2 + 2) = - 3m2 + 2m - 2 1 Xột hàm số y = - 3m2 + 2m - 2 với m ³ 2 Bảng biến thiờn x 1 + Ơ 2 y 7 - 4 - Ơ 7 1 Suy ra giỏ trị max y = - khi m = 1 m³ 4 2 2 7 1 Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức B là - khi m = . 4 2 Vớ dụ 5: Cho phương trỡnh x 2 - mx + m - 1 = 0 với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m 2x x + 3 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = 1 2 2 2 x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) Lời giải 2 a) Ta cú D = m2 - 4(m - 1) = (m - 2) ³ 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm với mọi giỏ trị của m b) Theo hệ thức Viột ta cú: x1 + x2 = m và x1x2 = m - 1 Suy ra hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m là x1x2 = x1 + x2 - 1 2 2 2 2 c) Ta cúx1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2m + 2 . 2x x + 3 2m + 1 Suy ra A = 1 2 = 2 2 2 x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 2m + 1 2m + 1- m2 - 2 (m - 1) Vỡ A - 1 = - 1 = = - Ê 0, " m ị A Ê 1, " m m2 + 2 m2 + 2 m2 + 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1 109
18. 2 1 2m + 1 1 2(2m + 1) + m2 + 2 (m + 2) 1 Và A + = + = = ³ 0, " m ị A ³ - , " m 2 m2 + 2 2 2(m2 + 2) 2(m2 + 2) 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 2 1 Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1, min A = - khi và chỉ khi m = - 2 2 2m + 1 Chỳ ý: Để tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = ta làm như sau m2 + 2 - km2 + 2m - 2k2 + 1 Xột A - k = . Khi đú để biểu thức đạt giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất thỡ tử số là biếu thức m2 + 2 f (m ) = - km2 + 2m - 2k2 + 1 phải biểu diễn được dưới dạng bỡnh phương hay ộ k = 1 2 ờ D m = 0 Û 1 + k (1- 2k ) = 0 Û - 2k + k + 1 = 0 Û ờ 1 . Vỡ vậy ta mới đi xột như trờn. ờk = - ởờ 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.13: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) f (x) = 2x 2 - 5x + 3 b) g(x) = 2x 4 - 14x 2 - 36 c) P(x;y) = 3x 2 - 5xy - 2y2 . d) Q(x;y) = x 2 - 2y2 - xy - 3y - 1. Bài 3.14: Phõn tớch đa thức f (x ) = 2x 3 + (m + 1)x 2 + 2mx + m2 + m (biến x với tham số m ) thành tớch một đó thức bậc hai và một bậc nhất. 2 Bài 3.15: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trỡnh: - x + 3x + 1 = 0 . Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức: 1 1 A = x 2 + x 2 ; B = x 3 x - 1 + x 3 x - 1 ; C = - . 1 2 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 2 x1 x2 2 2 Bài 3.16: Tỡm m để phương trỡnh 3x + 4(m - 1)x + m - 4m + 1 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt x1,x2 1 1 1 thỏa món: + = (x1 + x2 ). x1 x2 2 Bài 3.17: Cho phương trỡnh x 2 - 2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 với m là tham số. Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 sao cho a) x1 + x2 = 2x1x2 2 2 b) A = 2(x1 + x2 )- x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất x x c) B = 1 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất 2 2 x1 + x2 - x1x2 ➢ DẠNG TOÁN 4: Một số bài toỏn liờn quan đến nghiệm của phương trỡnh bậc hai. 1. Phương phỏp giải và cỏc vớ dụ minh họa. 110
19. • Bài toỏn 1: Tỡm điều kiện để hai phương trỡnh bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và a/ x 2 + b/ x + c/ = 0 cú nghiệm chung. Chỳng ta làm như sau: ỡ 2 ù ax0 + bx0 + c = 0 Bước 1: Giả sử hai phương trỡnh cú nghiệm chung là x thỡ ớù 0 ù a/ x 2 + b/ x + c/ = 0 ợù 0 0 Giải hệ tỡm được x0 ,suy ra giỏ trị của tham số Bước 2: Thế giỏ trị của tham số tỡm được vào hai phương trỡnh để kiểm tra và kết luận. Vớ dụ 1:Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để hai phương trỡnh x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 + x + a = 0 cú nghiệm chung Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trỡnh cú nghiệm chung là x0 thỡ ỡ 2 ù x0 + ax0 + 1 = 0 ớù ị (a - 1)x + 1- a = 0 ù x 2 + x + a = 0 0 ợù 0 0 Nếu a = 1 thay vào hai phương trỡnh ta thấy chỳng vụ nghiệm Nếu a ạ 1 thỡ x0 = 1 ị a = - 2 Điều kiện đủ: Với a = - 2 thỡ hai phương trỡnh trở thành x 2 - 2x + 1 = 0 và x 2 + x - 2 = 0 Giải hai pt này ta thấy chỳng cú nghiệm chung là x = 1 Vậy a = - 2 là giỏ trị cần tỡm Vớ dụ 2:Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (x 2 - 2mx + m - 1)(x 2 - 3x + 2m) = 0 cú bốn nghiệm phõn biệt Lời giải: ộx 2 - 2mx + m - 1 = 0 (1) Phương trỡnh tương đương với ờ ờx 2 - 3x + 2m = 0 2 ởờ ( ) Phương trỡnh đầu cú bốn nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi hai phương trỡnh (1)và(2) mỗi phương trỡnh phải cú hai nghiệm phõn biệt và chỳng khụng cú nghiệm chung. 2 ổ 1ử 3 * Ta cú D ' = m2 - m + 1 = ỗm - ữ + > 0, " m nờn phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi m . 1 ốỗ 2ứữ 4 9 Do đú điều kiện để cả hai phương trỡnh (1)và(2)cú hai nghiệm phõn biệt là D = 9 - 8m > 0 Û m < . 2 8 * Giả sử hai phương trỡnh (1)và(2)cú nghiệm chung là x0 thỡ ỡ 2 2 ù x0 - 2mx0 + m - 1 = 0 3x - x ớù ị x 2 - (3x - x 2 ).x + 0 0 - 1 = 0 ù x 2 - 3x + 2m = 0 0 0 0 0 ợù 0 0 2 3 2 ị 2x0 - 5x0 + 3x0 - 2 = 0 ị x0 = 2 ị m = 1 ộx = 0 Với m = 1 phương trỡnh (1) trở thành x 2 - 2x = 0 Û ờ , phương trỡnh (2) trở thành ờx = 2 ởờ ộx = 1 x 2 - 3x + 2 = 0 Û ờ do đú m = 1 thỡ hai phương trỡnh cú nghiệm chung. ờx = 2 ởờ Suy ra để khi hai phương trỡnh (1)và(2) khụng cú nghiệm chung là m ạ 1 . 9 Vậy để phương trỡnh đầu cú bốn nghiệm phõn biệt thỡ m < và m ạ 1 . 8 • Bài toỏn 2: Chứng minh trong cỏc phương trỡnh bậc hai cú ớt nhất một phương trỡnh cú nghiệm 111