Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3+4

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3+4

1. §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI ➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải. • Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. • Phương trình dạng f (x) = g(x) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau éf (x) = g(x) f (x) = g(x) Û ê hoặc f (x) = g(x) Û f 2(x) = g2(x) êf (x) = - g(x) ëê 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 . b) 3x - 2 = 3 - 2x c) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 d) 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0 Lời giải é ê 5 ± 45 é 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 éx 2 - 5x - 5 = 0 êx = a) Phương trình Û ê Û ê Û ê 2 ê2x + 1 = - (x 2 - 3x - 4) êx 2 - x - 3 = 0 ê 1 ± 13 ëê ëê êx = ëê 2 5 ± 45 1 ± 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = và . 2 2 3 b) Cách 1: Với 3 - 2x ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm 2 3 Với 3 - 2x ³ 0 Û x £ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra 2 2 2 Phương trình Û 3x - 2 = (3 - 2x ) Û 9x 2 - 12x + 4 = 4x 2 - 12x + 9 Û 5x 2 = 5 Û x = ± 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 1 . 2 Cách 2: Với 3x - 2 ³ 0 Û x ³ : Phương trình tương đương với 3 3x - 2 = 3 - 2x Û 5x = 5 Û x = 1 (thỏa mãn) 2 Với 3x - 2 < 0 Û x < : Phương trình tương đương với 3 - (3x - 2) = 3 - 2x Û x = - 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 1 . 17 c) Với 4x - 17 < 0 Û x < ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm 4 17 Với 4x - 17 ³ 0 Û x ³ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra 4 2 2 2 2 Phương trình Û x 2 - 4x - 5 = (4x - 17) Û (x 2 - 4x - 5) = (4x - 17) 115
2. é éx = 2 éx 2 - 8x + 12 = 0 ê ê Û (x 2 - 8x + 12)(x 2 - 22) = 0 Û ê Û ê êx = 6 ê x 2 - 22 = 0 ê ëê ëê êx = ± 22 ëê 17 Đối chiếu với điều kiện x ³ thấy chỉ có x = 6 và x = 22 thỏa mãn 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x = 22 . d) Ta có 2x - 5 ³ 0, 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 suy ra 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0. ïì 5 ï x = ï ïì 2x - 5 = 0 ï 2 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi íï Û íï éx = 1 Û x = . ï 2x 2 - 7x + 5 = 0 ï ê 2 îï ï ê 5 ï êx = îï ëê 2 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2 Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x) = g(x) (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau ïì g(x) ³ 0 ïì g(x) ³ 0 ï f (x) = g(x) Û íï Û íï éf (x) = g(x) ï f 2(x) = g2(x) ï ê îï ï êf (x) = - g(x) îï ëê éïì f (x) = g(x) êíï êï f (x) ³ 0 Hoặc f (x) = g(x) Û êîï êì êï - f (x) = g(x) íï êï f (x) < 0 ëêîï Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 2 a) (x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0 b) 4x (x - 1) = 2x - 1 + 1 9 x 2 - 2x - 2 c) x 2 + + 1 = 2x + 7 2 (x - 1) x - 1 Lời giải a) Đặt t = x + 1 ,t ³ 0 . ét = 1 Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û ê êt = 2 ëê éx = 0 Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ± 1 Û ê êx = - 2 ëê é x = 1 Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ± 2 Û ê êx = - 3 ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = - 3,x = - 2,x = 0 và x = 1 b) Phương trình tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0 Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 Þ t 2 = 4x 2 - 4x + 1 Þ 4x 2 - 4x = t 2 - 1 . 116
3. ét = - 1 Phương trình trở thành t 2 - 1- t - 1 = 0 Û t 2 - t - 2 = 0 Û ê êt = 2 ëê é 3 é2x - 1 = 2 êx = Vì t ³ 0 Þ t = 2 nên 2x - 1 = 2 Û ê Û ê 2 ê2x - 1 = - 2 ê 1 ëê êx = - ëê 2 3 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = và x = - . 2 2 c) ĐKXĐ: x ¹ 1 2 9 3 Phương trình tương đương x - 1 + = 7 x - 1- ( ) 2 (x - 1) x - 1 3 Đặt t = x - 1- x - 1 2 9 2 9 Suy ra t 2 = x - 1 + - 6 Þ x - 1 + = t 2 + 6 ( ) 2 ( ) 2 (x - 1) (x - 1) ét = 1 Phương trình trở thành t 2 + 6 = 7t Û t 2 - 7t + 6 = 0 Û ê êt = 6 ëê 3 x 2 - 2x - 2 x 2 - 2x - 2 Với t = 1 ta có x - 1- = 1 Û = 1 Û = ± 1 x - 1 x - 1 x - 1 é é ê ê 3 ± 13 êx 2 - 3x - 1 = 0 êx = Û ê Û ê 2 (thỏa mãn) êx 2 - x - 3 = 0 ê 1 ± 13 ê êx = ëê ëê 2 3 x 2 - 2x - 2 x 2 - 2x - 2 Với t = 6 ta có x - 1- = 6 Û = 6 Û = ± 6 x - 1 x - 1 x - 1 é 2 é êx - 8x + 4 = 0 êx = 4 ± 2 3 Û ê 2 Û ê (thỏa mãn) x + 4x - 8 = 0 x = - 2 ± 2 3 ëê ëê 3 ± 13 1 ± 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = , x = , x = 4 ± 2 3 và x = - 2 ± 2 3 . 2 2 Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau a) mx + 2m = mx + x + 1 (*) b) mx + 2x - 1 = x - 1 ( ) Lời giải é mx + 2m = mx + x + 1 a) Ta có mx + 2m = mx + x + 1 Û ê êmx + 2m = - mx + x + 1 ëê ( ) é x = 2m - 1 Û ê ê 2m + 1 x = - 2m - 1 (1) ëê( ) Giải (1) 1 Với 2m + 1 = 0 Û m = - phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x . 2 117
4. 1 Với 2m + 1 ¹ 0 Û m ¹ - phương trình tương đương với x = - 1 2 Kết luận 1 m = - phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x . 2 1 m ¹ - phương trình (*) có hai nghiệm là x = - 1 và x = 2m - 1 2 é mx + 2x - 1 = x - 1 b) Ta có mx + 2x - 1 = x - 1 Û ê êmx + 2x - 1 = - x - 1 ëê ( ) é(m + 1)x = 0 (2) Û ê ê(m + 3)x = 2 (3) ëê Với phương trình (2) ta có m = - 1 thì phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x m ¹ - 1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0 Với phương trình (3) ta có m = - 3 thì phương trình (3) vô nghiệm 2 m ¹ - 3 thì phương trình (3) có nghiệm x = m + 3 Kết luận m = - 1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x m = - 3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 2 m ¹ - 1 và m ¹ - 3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x = . m + 3 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 - (m + 1)x - 2m - 1 có ba nghiệm phân biệt. Lời giải Phương trình tương đương với é ù x (x + 1) = (x + 1)(mx - 2m - 1) Û x + 1 ëx - mx - 2m - 1 û= 0 é x = - 1 Û ê êx = mx - 2m - 1 (*) ëê émx - 2m - 1 = x é(m - 1)x = 1 + 2m (1) Ta có (*) Û ê Û ê êmx - 2m - 1 = - x ê(m + 1)x = 1 + 2m (2) ëê ëê Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt. Nếu m = - 1 thì phương trình (2) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt. é 1 + 2m êx = ê m - 1 Nếu m ¹ ± 1 thì (*) Û ê ê 1 + 2m êx = ë m + 1 Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 118
5. ïì 1 + 2m ï ¹ - 1 ïì m ¹ 0 ï m - 1 ï ï ï 2 ï 1 + 2m ï í ¹ - 1 Û íï m ¹ - ï m + 1 ï 3 ï ï 1 ï 1 + 2m 1 + 2m ï m ¹ - ï ¹ îï 2 îï m - 1 m + 1 ïì 1 2 ïü Vậy với m Ï íï - 1;- ;- ;0;1ýï thì phương trình có ba nghiệm phân biệt. îï 2 3 þï 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.24: Giải các phương trình sau a) | 3x 2 | x2 2x 3 b) x3 1 x2 3x 2 Bài 3.25: Giải các phương trình sau 4 2 2 2 x 6x 4 x 2 a) (2x - 1) - 3 2x - 1 - 4 = 0 b) x2 x Bài 3.26: Cho phương trình x2 2x 2 x 1 m 3 0 a) Giải phương trình khi m 2 b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 3.27: Giải và biện luận các phương trình sau a) mx + 2m = x + 1 b) mx + 2x = mx - 1 ➢ DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 2x + 1 x + 1 2 10 50 a) = b) 1 + = - . 3x + 2 x - 2 x - 2 x + 3 (2 - x)(x + 3) x + 3 4x - 2 x + 1 x - 1 2x + 1 c) = . d) + = (x + 1)2 (2x - 1)2 x + 2 x - 2 x + 1 Lời giải 2 a) ĐKXĐ: x ¹ - và x ¹ 2 . 3 Phương trình tương đương với (2x + 1)(x - 2) = (x + 1)(3x + 2) Û 2x 2 - 4x + x - 2 = 3x 2 + 2x + 3x + 2 Û x 2 + 8x + 4 = 0 Û x = - 4 ± 2 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là x = - 4 ± 2 3 . b) ĐKXĐ: x ¹ - 3 và x ¹ 2 . Phương trình tương đương với (2 - x )(x + 3)- 2(x + 3) = 10(2 - x )- 50 119
6. éx = 10 Û x 2 - 7x - 30 = 0 Û ê êx = - 3 ëê Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10 . 1 c) ĐKXĐ: x ¹ - 1 và x ¹ . 2 Phương trình tương đương với x + 3 2 2 = Û (x + 3)(2x - 1) = 2(x + 1) (x + 1)2 2x - 1 Û x = 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 . d) ĐKXĐ: x ¹ ± 2 và x ¹ - 1 Phương trình tương đương với 2 (x + 1) (x - 2) + (x - 1)(x + 1)(x + 2) = (2x + 1)(x - 2)(x + 2) Û (x 2 + 2x + 1)(x - 2) + (x 2 - 1)(x + 2) = (2x + 1)(x 2 - 4) Û x 3 - 2x 2 + 2x 2 - 4x + x - 2 + x 3 + 2x 2 - x - 2 = 2x 3 - 8x + x 2 - 4 éx = 0 Û x 2 + 4x = 0 Û ê (thỏa mãn điều kiện) êx = - 4 ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = - 4 và x = 0 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 4 3 2 1 a) + = + . 2x + 1 2x + 2 2x + 3 2x + 4 1 1 1 3 b) + + = x 2 + 5x + 4 x 2 + 11x + 28 x 2 + 17x + 70 4x - 2 4 5 c) 1 + = 2 2 (2 - x ) x Lời giải ïì 3 1ïü a) ĐKXĐ: x Ï íï - 2;- ;- 1;- ýï îï 2 2þï Phương trình tương đương với 4 2 1 3 4x + 10 - 4x - 10 - = - Û = 2x + 1 2x + 3 2x + 4 2x + 2 4x 2 + 8x + 3 4x 2 + 12x + 8 1 1 4x 10 2 2 0 4x 8x 3 4x 12x 8 4x 10 4x2 8x 3 4x2 12x 8 0 2 4x 10 0 4x 10 8x 20x 11 0 2 8x 20x 11 0 5 x 2 (thỏa mãn điều kiện) 5 3 x 4 120
7. 5 3 5 Vậy phương trình có nghiệm là x và x = - 4 2 ïì 1ïü b) Điều kiện: x Ï íï - 10;- 7;- 4;- 1; ýï îï 2þï Phương trình tương đương với 1 1 1 3 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - 2 1æ 1 1 ö 1æ 1 1 ö 1æ 1 1 ö 3 Û ç - ÷+ ç - ÷+ ç - ÷= 3èçx + 1 x + 4ø÷ 3èçx + 4 x + 7ø÷ 3èçx + 7 x + 10ø÷ 4x - 2 1æ 1 1 ö 3 éx = - 3 Û ç - ÷= Û x 2 + 7x + 12 = 0 Û ê ç ÷ êx = - 4 3èx + 1 x + 10ø 4x - 2 ëê Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - 3. c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và x ¹ 2 . 4x 2 Phương trình tương đương với x 2 + = 5 2 (2 - x ) 4x 2 4x 2 4x 2 Û x 2 - + + - 5 = 0 2 2 - x (2 - x ) 2 - x 2 2 æ 2x ö 4x 2 æ x 2 ö 4x 2 Û çx - ÷ + - 5 = 0 Û ç ÷ + - 5 = 0 èç 2 - x ø÷ 2 - x èç2 - x ø÷ 2 - x x 2 Đặt t = , phương trình trở thành 2 - x ét = 1 t 2 + 4t - 5 = 0 Û ê êt = - 5 ëê x 2 é x = 1 Với t = 1 ta có = 1 Û x 2 + x - 2 = 0 Û ê (thỏa mãn) êx = - 2 2 - x ëê x 2 Với t = - 5 ta có = - 5 Û x 2 - 5x + 10 = 0 (vô nghiệm) 2 - x Vậy phương trình có nghiệm là x = - 2 và x = 1 Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. x - m x 2 + mx + 2 a) = 2 (1) b) = 1 (2) x + 1 x 2 - 1 x 2 + mx + 2 3x + mx + 2 c) = 2m + 6 (3) d) = m (4) 3 - x x + 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x ¹ - 1 Phương trình tương đương với x - m = 2(x + 1) Û x = - m - 2 Đối chiếu với điều kiện ta xét - m - 2 ¹ - 1 Û m ¹ - 1 Kết luận m ¹ - 1 phương trình (1) có nghiệm là x = - m - 2 121
8. m = - 1 phương trình (1) vô nghiệm b) ĐKXĐ: x 2 - 1 ¹ 0 Û x ¹ ± 1 Phương trình (2) Û x 2 + mx + 2 = x 2 - 1 Û mx = - 3 (2') Với m = 0 : Phương trình (2') trở thành 0x = - 3 suy ra phương trình (2') vô nghiệm do đó phương trình (2) vô nghiệm - 3 Với m ¹ 0 phương trình (2') tương đương với x = m - 3 - 3 Đối chiếu điều kiện xét ¹ ± 1 Û m ¹ ± 3 suy ra m ¹ ± 3 thì phương trình (2') có nghiệm x = và là m m nghiệm của phương trình (2). Còn m = 3 thì phương trình (2') có nghiệm là x = - 1, m = - 3 thì phương trình (2') có nghiệm là x = 1do đó phương trình (2) vô nghiệm. Kết luận m Î {- 3;0;3} phương trình (2) vô nghiệm - 3 m Ï {- 3;0;3} phương trình (2) có nghiệm x = m c) ĐKXĐ: x ¹ 3 Phương trình (3) Û x 2 + mx + 2 = (3 - x )(2m + 6) Û x 2 + (3m + 4)x - 6m - 16 = 0 é x = 2 Û (x - 2)(x + 3m + 8) = 0 Û ê êx = - 3m - 8 ëê 5 Đối chiếu điều kiện ta xét - 3m - 8 ¹ 3 Û m ¹ - 3 Kết luận 5 m = - phương trình (3) có nghiệm là x = - 2 3 5 m ¹ - phương trình có nghiệm là x = 2 và x = - 3m - 8 3 d) ĐKXĐ: x ¹ - 1 TH1: Nếu m < 0 ta có VP(4) ³ 0, VT (4) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm TH2: Nếu m ³ 0 phương trình tương đương với é3x + mx + 2 = m (x + 1) 3x + mx + 2 = m x + 1 Û ê ê3x + mx + 2 = - m x + 1 ëê ( ) é m - 1 é m - 2 êx = ê x = ê 2 Û ê 3 Û ê ê ê - m - 2 ê(2m + 3)x = - m - 2 êx = ë ë 2m + 3 m - 1 m - 1 • Với x = ta xét ¹ - 1 Û m ¹ - 1(luôn đúng) do đó với m ³ 0 thì phương trình (4) luôn 2 2 m - 1 nhận x = là nghiệm 2 122
9. - m - 2 - m - 2 • Với x = ta xét ¹ - 1 Û m ¹ - 1 (luôn đúng) do đó với m ³ 0 thì phương trình (4) 2m + 3 2m + 3 - m - 2 luôn nhận x = là nghiệm 2m + 3 Kết luận m < 0 phương trình (4) vô nghiệm m - 1 - m - 2 m ³ 0 phương trình (4) có hai nghiệm x = và x = 2 2m + 3 Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số a và b để phương trình a b a2 - b2 - = (*) x - a x - b x 2 - (a + b)x + ab a) Có nghiệm duy nhất b) Có nghiệm Lời giải ĐKXĐ: x ¹ a và x ¹ b a(x - b)- b(x - a) a2 - b2 Phương trình tương đương với = (x - a)(x - b) x 2 - (a + b)x + ab Û (a - b)x = a2 - b2 ( ) a) Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm duy nhất khác a và b ì ï a - b ¹ 0 ï 2 2 ïì a ¹ b ïì a ¹ b ï a - b ï ï Û íï ¹ a Û íï a + b ¹ a Û íï a ¹ 0 ï a - b ï ï ï a2 - b2 ï a + b ¹ b ï b ¹ 0 ï ¹ b îï îï îï a - b ïì a ¹ b ï Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi íï a ¹ 0 ï ï b ¹ 0 îï b) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm khác a và b Với a = b thì phương trình ( ) trở thành 0x = 0 suy ra phương trình ( ) có nghiệm đúng với mọi x do đó phương trình (*) có nghiệm. a2 - b2 Với a ¹ b thì phương trình ( ) tương đương với x = = a + b a - b ïì a + b ¹ a ïì a ¹ 0 Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi íï Û íï ï a + b ¹ b ï b ¹ 0 îï îï ïì a ¹ 0 ï Vậy phương trình (*) có nghiệm khi íï b ¹ 0 hoặc a b . ï ï a ¹ b îï 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.28: Giải các phương trình sau: 13 1 6 a) + = 2x 2 + x - 21 2x + 7 x 2 - 9 123
10. 4 1 1 4 b) 2x3 3x2 8x 12 2x 3 x2 4 2x2 7x 6 x + 1 x - 2 x - 3 x + 4 c) + + + = 4 x - 1 x + 2 x + 3 x - 4 Bài 3.29: Giải phương trình 2x 13x x 4 + 3x 2 + 1 a) + = 6 b) = 3 3x 2 - 5x + 2 3x 2 + x + 2 x 3 + x 2 - x 1 1 c) + = 15 x 2 (x + 1)2 Bài 3.30: Giải phương trình 2 2 x 1 x 1 x 2 2(x 1) 13(x 1) a) 12 b) 2 2 6 x 2 x 3 x 3 3x x 3x 7x 6 ax - 1 2 a(x 2 + 1) Bài 3.31: Giải và biện luận phương trình sau + = x - 1 x + 1 x 2 - 1 a b Bài 3.32: Tìm điều kiện a,b để phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt. x b x a ➢ DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Phân tích thành tích. – Đặt ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) x 2 + 2x + 4 = 2 - x b) x - 2x - 5 = 4 Lời giải ïì x 2 + 2x + 4 ³ 0 a) ĐKXĐ: íï Û x £ 2 ï 2 - x ³ 0 îï Với điều kiện đó phương trình tương đương với éx = - 1 x 2 + 2x + 4 = 2 - x Û x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê êx = - 2 ëê Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1 và x = - 2 . 5 b) ĐKXĐ: 2x - 5 ³ 0 Û x ³ . 2 x - 2x - 5 = 4 Û 2x - 5 = x - 4 (*) TH1: Với x - 4 < 0 Û x < 4 ta có VT (*) ³ 0, VP(*) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm TH2: Với x - 4 ³ 0 Û x ³ 4 ta có hai vế không âm nên phương trình (*) tường đương với 2 éx = 3 2x - 5 = (x - 4) Û x 2 - 10x + 21 = 0 Û ê êx = 7 ëê 124
11. Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 . Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương: ïì f (x) = g(x) • f (x) = g(x) Û íï ï f (x) ³ 0 (hay g(x) ³ 0) îï ì 2 ï f (x) = [g(x) ] • f (x) = g(x) íï ï g(x) ³ 0 îï Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) x = 3x 2 + 1 - 1 b) 2x - 1 + x 2 - 3x + 1 = 0 Lời giải a) Phương trình tương đương với ì ì ï x ³ 0 ï x ³ 0 í Û í ï x 2 = 3x 2 + 1 - 1 ï 3x 2 + 1 = x 2 + 1 îï îï ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 Û íï Û íï Û íï ï 3x 2 + 1 = (x 2 + 1)2 ï x 4 - x 2 = 0 ï x 2 x 2 - 1 = 0 îï îï îï ( ) ïì x ³ 0 ï éx = 0 Û íï éx = 0 Û ê ï ê êx = 1 ï êx = ± 1 ëê îï ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1 b) Ta có 2x - 1 + x 2 - 3x + 1 = 0 Û 2x - 1 = - x 2 + 3x - 1 ïì - x 2 + 3x - 1 ³ 0 ì 2 ï ï - x + 3x - 1 ³ 0 Û í 2 Û í ï 2x - 1 = - x 2 + 3x - 1 ï (x - 1)2(x 2 - 4x + 2) = 0 îï ( ) îï ïì - x 2 + 3x - 1 ³ 0 ïì - x 2 + 3x - 1 ³ 0 ï ï é x = 1 Û íï é x = 1 Û íï é x = 1 Û ê ï ê ï ê êx = 2 - 2 ï êx 2 - 4x + 2 = 0 ï êx = 2 ± 2 ëê îï ëê îï ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 - 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x 2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt. Lời giải ïì 1 ï x ³ - Phương trình Û í 2 . ï 3x 2 + (4 - m)x - 1 = 0 (*) îï 1 Phương trình đã cho có hai nghiệm Û (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng - Û đồ thị hàm số 2 1 y = 3x 2 + (4 - m)x - 1 trên [ - ;+ ¥ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. 2 1 b m - 4 Xét hàm số y = 3x 2 + (4 - m)x - 1 trên [ - ;+ ¥ ) . Ta có - = 2 2a 6 125
12. m - 4 1 1 + TH1: Nếu £ - Û m £ 1 thì hàm số đồng biến trên [ - ;+ ¥ ) nên m £ 1 không thỏa mãn 6 2 2 yêu cầu bài toán. m - 4 1 + TH2: Nếu > - Û m > 1 : 6 2 Ta có bảng biến thiên x 1 m - 4 - 2 6 + ¥ æ 1ö y ç- ÷ + ¥ èç 2ø÷ y æm - 4ö y ç ÷ èç 6 ø÷ 1 Suy ra đồ thị hàm số y = 3x 2 + (4 - m)x - 1 trên [ - ;+ ¥ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 2 æ 1ö æm - 4ö 2m - 9 1 Û y ç- ÷³ 0 > y ç ÷Û ³ 0 > (- m2 + 8m - 28) (1) èç 2ø÷ èç 6 ø÷ 4 12 2 Vì - m2 + 8m - 28 = - (m - 4) - 12 1) 2 9 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp. Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp; A B A B A B • A B A B A B 2 2 3 A 3 B 3 A 3 A 3 B 3 B A B 3 3 • A B 2 2 2 2 3 A 3 A 3 B 3 B 3 A 3 A 3 B 3 B Với A, B không đồng thời bằng không. Ví dụ 4: Giải các phương trình sau 2 2(x - 1) a) = x + 20 b) 3x 2 3 x 2 2 (3 - 7 + 2x ) c) 33 x + x 2 + 8 = x 2 + 15 + 2 Lời giải 7 7 2x 0 x a) ĐKXĐ: 2 3 7 2x x 1 126
13. 2 2 2(x - 1) (3 + 7 + 2x ) Phương trình Û = x + 20 2 2 (3 - 7 + 2x ) (3 + 7 + 2x ) 2 x 1 2 10 2x 6 7 2x x 20 2 2x 2 10 2x 6 7 2x 2 x 20 7 2x 5 x 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ngjiệm x 9 2 b) ĐKXĐ: x 3 Nhẩm ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau Phương trình 3x 2 1 3 x 1 0 3x 2 1 3x 2 1 3 x 1 3 x2 3 x 1 0 3x 2 1 3 x2 3 x 1 3x 3 x 1 3 1 0 x 1 0 (*) 3x 2 1 3 x2 3 x 1 3x 2 1 3 x2 3 x 1 2 3 2 3 3 1 3 3 1 Do x x 1 x 0 nên 0 2 4 3x 2 1 3 x2 3 x 1 Phương trình (*) x 1(thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. c) Phương trình được viết lại như sau: 33 x - 2 = x 2 + 15 - x 2 + 8 8 Vì x 2 + 15 - x 2 + 8 > 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 33 x - 2 hay x > 27 Ta có phương trình tương đương với: 33 x - 3 = x 2 + 15 - 4 + 3 - x 2 + 8 x - 1 x 2 - 1 x 2 - 1 Û 3 = - 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 15 + 4 x + 8 + 3 1 x + 1 x + 1 Û (x - 1)( + - ) = 0 ( ) 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 8 + 3 x + 15 + 4 8 x + 1 x + 1 Vì x > suy ra - > 0 nên 27 x 2 + 8 + 3 x 2 + 15 + 4 1 x + 1 x + 1 + - > 0 2 2 2 3 x + 3 x + 1 x + 8 + 3 x + 15 + 4 Phương trình ( ) x 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau a) (x + 3) 2x 2 + 1 = x 2 + x + 3 b) (3x 1) x2 3 3x2 2x 3 Lời giải a) Ta thấy x = - 3 không là nghiệm của phương trình 127
14. x 2 + x + 3 Xét x ¹ - 3, phương trình Û 2x 2 + 1 = x + 3 x 2 2x 2 x 2 é x = 0 Û 2x 2 + 1 - 1 = Û = Û ê x + 3 2 x + 3 ê2 x + 3 = 2x 2 + 1 + 1 (*) 2x + 1 + 1 ëê ( ) Phương trình (*) Û 2x 2 + 1 = 2x + 5 ïì 5 ïì 5 ï x ³ - ï x ³ - Û í 2 Û í 2 ï 2x 2 + 1 = 4x 2 + 25 + 20x ï x 2 + 10x + 12 = 0 îï îï ïì 5 ï x ³ - Û íï 2 Û x = 5 + 13 (thỏa mãn) ï ï x = - 5 ± 13 îï Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = - 5 + 13 1 b) Ta thấy x không là nghiệm của phương trình 3 1 3x2 2x 3 Xét x , phương trình đã cho x2 3 3 3x 1 1 8 Đến đây, chú ý 3x2 2x 3 3(x )2 0 3 3 1 Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn x x2 3 2x 0 3 3x2 2x 3 Do đó phương trình đã cho x2 3 2x 2x 3x 1 x2 3 4x2 3x2 2x 3 6x2 2x x2 3 2x 3x 1 2 3(1 x2 ) 3(1 x2 ) x 1 2 2 x 3 2x 3x 1 x 3 2x 3x 1 * TH1: x2 1 x 1 1 Nhưng x 1 không thoả mãn x nên phương trình có nghiệm x 1 3 * TH2: x2 3 2x 3x 1 x2 3 x 1 x 1 2 2 x 1 (thỏa mãn) x 3 x 1 2x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải các phương trình sau x2 x 1 a) x 2 + x 2 + 11 = 31 b) (x + 5)(2 - x) = 3 x 2 + 3x c) 3 x x2 x 1 Lời giải a) Đặt t = x 2 + 11, t ³ 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: ét = 6 t 2 + t - 42 = 0 Û ê êt = - 7 ëê 128
15. Vì t ³ 0 Þ t = 6, thay vào ta có x 2 + 11 = 6 x 2 + 11 = 36 Û x = ± 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 5 b) Phương trình Û x 2 + 3x + 3 x 2 + 3x - 10 = 0 Đặt t = x 2 + 3x, t ³ 0. Phương trình đã cho trở thành ét = 2 t 2 + 3t - 10 = 0 Û ê . êt = - 5 ëê Vì t ³ 0 Þ t = 2, thay vào ta có x 2 + 3x = 2 é x = 1 Û x 2 + 3x - 4 = 0 Û ê êx = - 4 ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 4 . c) ĐKXĐ: x 0 Dễ thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 1 Xét x 0 , phương trình x2 x 1 3 x. x2 x 1 x 1 3 x 1 x x 1 1 Đặt t x 1 , t 1 x t 2 1 x x 2 2 t 1 Phương trình trở thành t 2 3t t 3t 2 0 t 2 1 • Với t 1 ta có x 1 1 x2 x 1 x x 1(thỏa mãn) x 1 5 21 • Với t 2 ta có x 1 2 x2 5x 1 0 x x 2 5 21 Vậy phương trình có nghiệm là x và x 1. 2 Nhận xét: Phương trình có dạng af x b f x c 0 ta đặt f x t . Ví dụ 7: Giải các phương trình sau a) 4x - 1 + 4x 2 - 6x + 1 = 0 b) 3x2 2x 9 3x2 2x 2 7 1 1 2x2 8x 1 c) 3 x + 8 = 9x + + d) 5 x x x 2x 1 Lời giải 1 a) ĐKXĐ: x 4 t 2 1 Đặt t 4x 1, t 0 x 4 2 t 2 1 t 2 1 Phương trình trở thành t 4 6 1 0 4 4 4t t 4 2t 2 1 6 t 2 1 4 0 t 4 4t 2 4t 1 0 t 1 t3 t 2 3t 1 0 129
16. t 1 2 2 t 1 t 2t 1 0 (loại t 1 2 ) t 1 2 1 Với t 1 ta có 1 4x 1 x 2 2 2 Với t 1 2 ta có 1 2 4x 1 4x 1 3 2 2 x 2 1 2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x và x . 2 2 b) Đặt t = 3x 2 - 2x + 2 , điều kiện t ³ 0. Khi đó 3x 2 - 2x + 9 = t 2 + 7 . Phương trình trở thành t 2 + 7 + t = 7 ïì t £ 7 Û t 2 + 7 = 7 - t Û íï ï t 2 + 7 = t 2 - 14t + 49 îï ïì t £ 7 Û íï Û t = 3 ï t = 3 îï Với t = 3 ta có 3x 2 - 2x + 2 = 3 é ê 1 + 22 êx = Û 3x 2 - 2x + 2 = 9 Û 3x 2 - 2x - 7 = 0 Û ê 3 ê 1- 22 êx = ëê 3 1 22 Vậy phương trình có hai nghiệm x . 3 c) ĐKXĐ: x > 0. Phương trình tương đương với æ ö ç 1 ÷ 1 3ç x - ÷+ 8 = 9(x + ) . èç 3 x ø÷ 9x 1 1 2 1 2 Đặt t = x - Þ t 2 = x + - Þ x + = t 2 + 3 x 9x 3 9x 3 Phương trình trở thành: é 2 æ ö êt = ç 2 2÷ 2 ê 3 3t + 8 = 9çt + ÷Û 9t - 3t - 2 = 0 Û ê èç 3÷ø 1 êt = - ëê 3 é x = 1 2 1 2 ê Với t = ta có x - = Û 3x - 2 x - 1 = 0 Û ê 1 Û x = 1 3 3 x 3 ê x = - ëê 3 1 1 1 Với t = - ta có x - = - 3 3 x 3 é ê - 1 + 13 ê x = 7 - 13 Û 3x + x - 1 = 0 Û ê 6 Û x = ê - 1- 13 18 ê x = ëê 6 130
17. 7 - 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = . 18 d) ĐK: x ³ 0. Dễ thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Xét x 0 . Khi đó phương trình tương đương với 1 1 10x x + 5 x = 2x 2 + 1 + 8x Û 5( x + ) = 2(x + ) + 4 2 x 4x 1 1 Đặt t = x + ³ 2 x. = 2 Þ t ³ 2 2 x 2 x 1 Suy ra x + = t 2 - 1. Phương trình trở thành: 4x 1 5t = 2(t 2 - 1) + 4 Û 2t 2 - 5t + 2 = 0 Û t = 2 (thỏa mãn) hoặc t (loại) 2 1 3 ± 2 2 Với t = 2 ta có x + = 3 Û 4x 2 - 12x + 1 = 0 Û x = (thỏa mãn) 4x 2 3 ± 2 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 1 1 1 Nhận xét: Phương trình có chứa af x và a2 f 2 x thì ta đặt ẩn phụ là t af x bf x b2 f 2 x bf x Ví dụ 8: Giải phương trình 2 a) (x + 1) - 2 2x(x 2 + 1) = 0 b) 10 x 3 + 1 = 3(x 2 + 2) c) 4 + x + 1 = 3 x 2 - 1 + 2 x - 1 Lời giải a) ĐKXĐ: 2x (x 2 + 1) ³ 0 Û x ³ 0 Đặt 2x = a, x 2 + 1 = b; a ³ 0,b ³ 0 2 Suy ra a2 + b2 = 2x + x 2 + 1 = (x + 1) 2 Phương trình trở thành a2 + b2 - 2ab = 0 Û (a - b) = 0 Û a = b 2 Suy ra 2x = x 2 + 1 Û 2x = x 2 + 1 Û (x - 1) = 0 Û x = 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 b) ĐKXĐ: x 3 + 1 ³ 0 Û x ³ - 1. Phương trình Û 10 (x + 1)(x 2 - x + 1) = 3(x 2 + 2) Đặt x + 1 = a, x 2 - x + 1 = b , a ³ 0, b ³ 0 Suy ra a2 + b2 = x 2 + 2 khi đó Phương trình trở thành 10ab = 3(a2 + b2 ) Û 3a2 - 10ab + 3b2 = 0 é3a = b Û (3a - b)(a - 3b) = 0 Û ê êa = 3b ëê Với 3a = b ta có 3 x + 1 = x 2 - x + 1 Û 9(x + 1) = x 2 - x + 1 Û x 2 - 10x - 8 = 0 Û x = 5 ± 33 (thỏa mãn điều kiện) 131
18. Với a = 3b ta có x + 1 = 3 x 2 - x + 1 Û x + 1 = 9(x 2 - x + 1) Û 9x 2 - 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 ± 33. c) ĐKXĐ: x ³ 1 Đặt x + 1 = a, x - 1 = b; a ³ 0,b ³ 0 Phương trình trở thành 4 + a = 3ab + 2b Mặt khác a2 + b2 = 2 suy ra 2(a2 + b2 ) + a = 3ab + 2b Û (a - 2b)(2a + b + 1) = 0 Û a = 2b (do 2a + b + 1 > 0) 5 Suy ra x + 1 = 2 x - 1 Û x + 1 = 4(x - 1) Þ x = (thỏa mãn) 3 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 3 Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 a) (2x - 1) + m = x 2 - x + 1 (1) b) 3 x - 1 + m x + 1 = 24 x 2 - 1 (2) Lời giải a) Đặt t = x 2 - x + 1 2 Þ t 2 = x 2 - x + 1 Þ (2x - 1) = 4x2 - 4x + 1 = 4t 2 - 3 2 æ 1ö 3 3 3 Vì x 2 - x + 1 = çx - ÷ + ³ nên t ³ èç 2ø÷ 4 4 2 Phương trình (1) trở thành 4t 2 - 3 + m = t Û - 4t 2 + t + 3 = m (1') 3 Xét hàm số y = - 4t 2 + t - 3 với t ³ 2 b 1 3 Ta có - = < 2a 8 2 Bảng biến thiên x 3 + ¥ 2 y - 12 + 3 2 - ¥ 3 Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (1') có nghiệm t ³ 2 3 - 12 + 3 Û đồ thị hàm số y = - 4t 2 + t - 3 trên [ ;+ ¥ ) cắt đường thẳng y = m Û m £ . 2 2 - 12 + 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m £ 2 b) ĐKXĐ: x ³ 1 . 132
19. Chia cả hai vế cho x + 1 ta có x - 1 4 x 2 - 1 x - 1 x - 1 (2) Û 3 + m = 2 Û - 3 + 24 = m x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x - 1 2 Đặt t = 4 = 4 1- Þ 0 £ t < 1 x + 1 x + 1 Phương trình (2) trở thành - 3t 2 + 2t = m (2') b 1 æ1ö 1 Xét hàm số y = - 3t 2 + 2t trên [0;1) , ta có - = , y ç ÷= 2a 3 èç3ø÷ 3 Bảng biến thiên x 1 0 1 3 y 1 3 0 - 1 Phương trình (2) có nghiệm Û phương trình (2') có nghiệm t Î [0;1) 1 Û đồ thị hàm số y = - 3t 2 + 2t trên [0;1) cắt đường thẳng y = m Û - 1 < m £ 3 1 Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi - 1 < m £ 3 Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại toán không chứa tham số thì có thể không nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải. Nhưng với bài toán chứa tham số thì chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ. Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ 10: Giải phương trình 3 x + 3 = 3x 2 + 4x - 1 Lời giải ĐKXĐ: x ³ - 3 Phương trình Û - 27(x + 3)- 3 x + 3 + 3x 2 + 31x + 80 = 0 Đặt t = x + 3 (t ³ 0) phương trình trở thành - 27t 2 - 3t + 3x 2 + 31x + 80 = 0 2 - 3x - 16 x + 5 Có D = (18x + 93) suy ra t = ,t = t 1 9 2 3 - 3x - 16 - 3x - 16 · x + 3 = Vô nghiệm vì với x ³ - 3 thì < 0 9 9 x + 5 · x + 3 = Û x 2 + x - 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = - 2 3 Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = - 2 Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành - 27(x + 3)- 3 x + 3 + 3x 2 + 31x + 80 = 0 để sau khi đặt ẩn phụ t = x + 3 thì phương trình ẩn t 2 có V= (18x + 93) ( là bình phương của một nhị thức) Nếu ta tách không hợp lý thì V không là bình phương của một nhị thức hoặc là một hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theo hướng trên là không thể thực hiện được. Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như sau: 133
20. B1: Viết (1) Û m (x + 3)- 3 x + 3 + 3x 2 + (4 - m )x - 1- 3m = 0 (m ¹ 0) B2: Đặt t = x + 3 (t ³ 0) pt trở thành mt 2 - 3t + 3x 2 + (4 - m )x - 1- 3m = 0 2 2 Có D t = - 12mx - 4m (4 - m )x + 12m + 4m + 9 = f (x ) ïì - 12m > 0 ïì - 12m > 0 B3: Tìm m sao cho íï Û íï Û m = - 27 ï D / = 0 ï D / = 4m m + 27 m2 + m + 1 = 0 îï f îï f ( )( ) Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên Ví dụ 11: Giải phương trình 60 - 24x - 5x 2 = x 2 + 5x - 10 Lời giải ĐKXĐ: 60 - 24x - 5x 2 ³ 0 1 1 Đặt t = 60 - 24x - 5x 2 (t ³ 0) pt trở thành t 2 + t - x 2 - x = 0 Û t 2 + 6t - x 2 - 6x = 0 6 6 / 2 Phuơng trình ẩn t này có D = (x + 3) nên ta tìm đượct1 = x,t2 = - x - 6 ïì x ³ 0 · 60 - 24x - 5x 2 = x Û íï Û x = - 2 + 14 ï x 2 + 4x - 10 = 0 îï ïì - x - 6 ³ 0 · 60 - 24x - 5x 2 = - x - 6 Û íï Û x = - 3 - 13 ï x 2 + 6x - 4 = 0 îï Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 2 - 14,x2 = - 3 - 13 Ví dụ 12: Giải phương trình (x + 3) (4 - x )(12 + x ) = 28 - x Lời giải ĐKXĐ: - x 2 - 8x + 48 ³ 0 - 1 - 1 t = - x 2 - 8x + 48 (t ³ 0) phương trình trở thành t 2 + (x + 3)t + x 2 - 3x - 4 = 0 (t ³ 0) 2 2 Phương trình bậc hai ẩn t có D t = 1 từ đó có t = x + 2,t = x + 4 ïì x + 2 ³ 0 · - x 2 - 8x + 48 = x + 2 Û íï Û x = - 3 + 31 ï x 2 + 6x - 22 = 0 îï ïì x + 4 ³ 0 · - x 2 - 8x + 48 = x + 4 Û íï Û x = - 4 + 4 2 ï x 2 + 8x - 16 = 0 îï Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 = - 3 + 31,x2 = - 4 + 4 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.33: Giải các phương trình sau a) 2x + 1 = 3x + 1 b) x 3 - x = 4x + 4 c) x 4 + 3x + 1 = x 4 - x 2 - 1 d) 2x + 6x 2 + 1 = x + 1 e) 2 x + 3 = 9x 2 - x - 4 f) x 2 + x + 7 = 7 Bài 3.34: Giải các phương trình sau: a) x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 b) 33 x 2 + x 2 + 8 - 2 = x 2 + 15 c) 5x - 1 + 3 9 - x = 2x 2 + 3x - 1 d) 3 x + 6 + x 2 = 7 - x - 1 Bài 3.35: Giải các phương trình sau 134
21. 2 a) x 2 + x + 2 = x 2 + x b) (2x - 1) = x 2 - x + 1 c) 13x + 2(3x + 2) x + 3 + 42 = 0 d) x 2 - 2x - 22 - - x 2 + 2x + 24 = 0 x + 1 1 e) = x - f) 4x - 1 + 4x 2 - 6x + 1 = 0 x + 1 - 3 - x 2 1 g) x 2 + 2x x - = 3x + 1 h) x 2 + 3 x 4 - x 2 = 2x + 1 x Bài 3.36: Giải các phương trình sau a) 4x 2 + 22 + 3x - 2 = 21x b) x (1- 5 x + 3) = 3(x 2 - 4) c) 51 x - 2 = 3x 2 - 58x + 110 d) x 2 + x 3x - 1 + 2 = 6x 2(x + 3) Bài 3.37: Giải phương trình x + x 2 - 9 = . (x - 3)2 x 3 + 2x 2 - 3x + 1 Bài 3.38: Giải phương trình x 2 - x + 1 = x 2 + 2 ➢ DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Loại 1: Đưa về phương trình tích. 1. Phương pháp giải éf x = 0 ê 1 ( ) êf x = 0 ê 2 ( ) Để giải phương trình f (x ) = 0 ta phân tích f (x ) = f1 (x ).f2 (x ) fn (x ) khi đó f (x ) = 0 Û ê ê êf x = 0 ëên ( ) Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: • Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng a2 - b2 = 0, a3 - b3 = 0, • Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta luôn có sự phân thích: f (x) = (x - a)g(x) . * Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau: n n- 1 Cho đa thức f (x) = anx + an- 1x + + a1x + a0 + Nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0 . + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f (x) = 0 có một nghiệm bằng 1. + Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình f (x) = 0 có một nghiệm bằng -1. * Để phân tích f (x) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau: Nếu f (x) có nghiệm là x = x0 thì f (x) chứa nhân tử ( x – x0 ) tức là : n- 1 n - 2 f (x ) = ( x – x0 ).g(x ) , trong đó g(x ) = bn- 1x + bn - 2x + + b1x + b0 Với hệ số bi được xác định như sau: Lược đồ Hoócne a n an - 1 a1 a0 a bn- 1 = an bn- 2 = a.an + an- 1 b1 = a.a2 + a1 0 135