Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

1. §5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN ➢ DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. Sử dụng phương pháp thế • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau ïì y + x 2 = 4x ïì 3x - 4y + 1 = 0 a) íï b) íï ï 2x + y - 5 = 0 ï xy = 3(x + y) - 9 îï îï Lời giải ïì 5 - 2x + x 2 = 4x a) Hệ phương trình tương đương íï ï y = 5 - 2x îï ïì éx = 1 ïì x 2 - 6x + 5 = 0 ï ê ïì x = 1 ïì x = 5 Û íï Û íï êx = 5 Û íï hoặc íï ï y = 5 - 2x ï ëê ï y = 3 ï y = - 5 îï ï y = 5 - 2x îï îï îï Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (1;3) và (5;- 5) . ïì 4y - 1 ï x = ï b) Hệ phương trình tương đương í 3 ï 4y - 1 4y - 1 ï y = 3( + y) - 9 îï 3 3 ïì 4y - 1 ï x = ïì 4y - 1 ï 3 ïì 11 ïì x = 3 ï x = ï ï x = ï Û í 3 Û í éy = 3 Û í 3 hoặc í 5 ï 2 ï ê ï ï y = ï 4y - 22y + 30 = 0 ï ê 5 ï y = 3 ï î ï êy = î î 2 îï ëê 2 æ11 ö æ 5ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là ç ;3÷ và ç3; ÷ . èç 3 ø÷ èç 2ø÷ Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau ì ïì x 3 = xy + 2 ï x(x + y + 1) - 3 = 0 a) ï b) ï í í 2 5 ï 2x - y = 3 ï (x + y) - + 1 = 0 î îï x 2 Lời giải ïì x 3 = x (2x - 3) + 2 a) Hệ phương trình tương đương với íï ï y = 2x - 3 îï ïì (x - 1)(x 2 - x + 2) = 0 ïì x = 1 Û íï Û íï ï y = 2x - 3 ï y = - 1 îï îï 116
2. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (1;- 1). b) ĐKXĐ: x ¹ 0 ïì 3 ï x + y = - 1 ï x Hệ phương trình tương đương với í 2 ï æ3 ö 5 ï ç - 1÷ - + 1 = 0 ï ç ÷ 2 îï èçx ø÷ x ì ïì 3 ï 3 ì ï y = - x - 1 ï x + y = - 1 ï 3 ï ï x ï y = - x - 1 ï x Û í Û í x Û í é ï 9 6 5 ï 2 ï x = 1 ï - + 1- + 1 = 0 ï x - 3x + 2 = 0 ï ê ï 2 2 îï ï êx = 2 îï x x x îï ëê ì ïì x = 2 ï x = 1 ï Û í và í 3 (thỏa mãn) ï y = 1 ï y = - î îï 2 æ 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (1;1) và ç2;- ÷. èç 2ø÷ 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.54: Giải các hệ phương trình ïì 2x + y = 5 ïì x 3y = 16 ïì x 3 - 8x = y 3 + 2y a) íï b) íï c) íï ï 4x 2 + y2 = 17 ï 3x + y = 8 ï x 2 - 3 = 3(y2 + 1) îï îï îï ïì x + y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: íï có nghiệm. ï 2x 2 - 3y2 = 1 îï ➢ DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG . 1. Phương pháp giải. a) Hệ đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng: ïì f (x,y) = 0 (I) íï với f (x;y ) = f (y;x ) và g(x;y ) = g(y;x ). ï g(x,y) = 0 îï (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Cách giải • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P. • Giải hệ (I') ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm (x;y ) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0. b) Hệ đối xứng loại 2 ïì f (x,y) = 0 (1) Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (II) íï ï f (y,x) = 0 (2) îï (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). ïì f (x,y) - f (y,x) = 0 (3) • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) íï ï f (x,y) = 0 îï éx = y • Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) (x - y).g(x,y) = 0 ê . êg(x,y) = 0 ëê 117
3. éïì f (x,y) = 0 êíï êï x = y • Như vậy (II) êîï . êì êï f (x,y) = 0 íï êï g(x,y) = 0 ëêîï • Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II). c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0;y0 ) thì (y0;x0 ) cũng là một nghiệm của nó. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau ì ì 2 2 ï x + xy + y = 2 + 3 2 ï x y + xy = 30 a) í b)íï . ï x 2 + y2 = 6 ï x 3 + y 3 = 35 îï îï Lời giải a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ: ì ì 2 ì 2 2 ï S + P = 2 + 3 2 ï S + 2S = 10 + 6 2 ï (S + 1) = (3 + 2) í Û ïí Û íï ï S2 - 2P = 6 ï S + P = 2 + 3 2 ï P = 2 + 3 2 - S îï îï îï ïì éS = 2 + 2 ï ê ì ì ï ê ï S = 2 + 2 ï S = - 4 - 2 Û ï S = - 4 - 2 Û ï hoặc ï í ëê í í ï ï P = 2 2 ï P = 6 + 4 2 ï P = 2 + 3 2 - S îï îï îï • Với S = 2 + 2 ;P = 2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình: éX = 2 X 2 - (2 + 2)X + 2 2 = 0 Û ê êX = 2 ëê • Với S = - 4 - 2;P = 6 + 4 2 ta có x, y là nghiệm phương trình: X 2 + (4 + 2)X + 6 + 4 2 = 0( vô nghiệm). Vậy hệ có nghiệm (x;y ) là (2; 2) và ( 2;2) . b) Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình trở thành: ïì 30 ï P = ïì SP = 30 ï ïì S = 5 ïì x + y = 5 ïì x = 2 ïì x = 3 ï Û ï S Û ï Û ï Û ï Ú ï . í 2 í æ 90ö í í í í ï S(S - 3P) = 35 ï ç 2 ÷ ï P = 6 ï xy = 6 ï y = 3 ï y = 2 î ï SçS - ÷= 35 î î î î îï èç S ÷ø Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau ïì x 2 + 2 3 2 3 2 ï 3x = ïì x + 2x = y ïì y = x - 3x + 2x ï 2 a) íï b) íï c) íï y ï y 3 + 2y = x ï x 2 = y 3 - 3y2 + 2y ï y2 + 2 îï îï ï 3y = îï x 2 Lời giải a) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: x 3 - y 3 + 3x - 3y = 0 Û (x - y)(x 2 + y2 + xy + 3) = 0 Û x = y éæ ö2 2 ù 2 2 ê y 3y ú (Vì x + y + xy + 3 = çx + ÷ + + 3 > 0) êèç 2ø÷ 4 ú ëê ûú Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x 3 + x = 0 Û x = 0 118
4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y ) = (0;0). b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: y2 - x 2 = x 3 - y 3 - 3(x 2 - y2) + 2(x - y) Û (x - y)(x 2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 1 Û (x - y) éx 2 + y2 + (x + y - 2)2 ù= 0 Û x = y 2 ë û (vì x 2 + y2 + (x + y - 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x 3 - 4x 2 + 2x = 0 Û x(x 2 - 4x + 2) = 0 éx = 0 éx = 0 Û ê Û ê êx 2 - 4x + 2 = 0 êx = 2 ± 2 ëê ëê Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0;0);(2 + 2;2 + 2) và (2 - 2;2 - 2) . c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và y ¹ 0 ïì x > 0 Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm (x;y ) thì íï . ï y > 0 îï ïì x 2 + 2 ï 3x = 2 2 ï 2 ïì 3xy = x + 2 (1) Ta có íï y Û íï ï y2 + 2 ï 3yx 2 = y2 + 2 (2) ï 3y = îï îï x 2 Trừ (1) và (2) ta được:(x - y)(3xy + x + y) = 0 Û x = y (vì 3xy + x + y > 0) Với x = y : (1) Û 3x 3 - x 2 - 2 = 0 Û (x - 1)(3x 2 + 2x + 2) = 0 Û x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y ) = (1;1) . ïì x 2 + xy + y2 = m + 6 Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình íï có nghiệm duy nhất. ï 2x + xy + 2y = m îï Lời giải Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x0;y0 ) thế thì (y0;x0 ) cũng là một nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm suy nhất ì 2 ï 3x0 = m + 6 thì x = y suy ra íï Þ 3x 2 = x 2 + 4x + 6 0 0 ï x 2 + 4x = m 0 0 0 îï 0 0 éx = - 1 Þ m = - 3 Û 2x 2 - 4x - 6 = 0 Û ê 0 0 0 ê x = 3 Þ m = 21 ëê 0 ïì x 2 + xy + y2 = 3 + Với m = - 3 hệ trở thành íï ï 2(x + y) + xy = - 3 îï ïì S = x + y ïì S2 - P = 3 Đặt íï , S2 ³ 4P hệ phương trình trở thànhíï ï P = xy ï 2S+ P = - 3 îï îï ïì éS = 0 ïì S2 + 2S = 0 ï ê ïì S = 0 ïì S = - 2 Û íï Û íï êS = - 2 Û íï hoặc íï ï P = - 2S- 3 ï ëê ï P = - 3 ï P = 1 îï ï P = - 2S- 3 îï îï îï 119
5. ïì S = 0 ïì x + y = - 2 éX = 3 ï ï 2 ê Khi í ta có í suy ra x,y là nghiệm của phương trình X - 3 = 0 Û ê ï P = - 3 ï xy = 1 X = - 3 îï îï ëê Do đó hệ có nghiệm là ( 3;- 3) và (- 3; 3) Suy ra m = - 3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất ïì x 2 + xy + y2 = 27 ïì (x + y)2 - xy = 27 + Với m = 21 hệ trở thành íï Û íï ï 2x + xy + 2y = 21 ï 2(x + y) + xy = 21 îï îï ïì S = x + y ïì S2 - P = 27 Đặt íï , S2 ³ 4P hệ phương trình trở thànhíï ï P = xy ï 2S+ P = 21 îï îï ïì éS = 6 ïì S2 + 2S - 48 = 0 ï ê ïì S = 6 ïì S = - 8 Û íï Û íï êS = - 8 Û íï hoặc íï (loại) ï P = - 2S + 21 ï ëê ï P = 9 ï P = 37 îï ï P = - 2S + 21 îï îï îï ïì S = 6 ïì x + y = 6 Khi íï ta có íï suy ra x,y là nghiệm của phương trình X 2 - 6X + 9 = 0 Û X = 3 ï P = 9 ï xy = 9 îï îï Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x;y ) = (3;3) Vậy với m = 21 thì hệ có nghiệm duy nhất ïì x + y = 2m - 1 Ví dụ 4: Cho (x;y ) là nghiệm của hệ phương trình íï . Tìm m để xy nhỏ nhất. ï x 2 + y2 = 2m2 + 2m - 3 îï Lời giải Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P. ïì S = 2m - 1 Hệ phương trình trở thành íï ï S2 - 2P = 2m2 + 2m - 3 îï ïì S = 2m - 1 ïì S = 2m - 1 Û íï Û íï ï (2m - 1)2 - 2P = 2m2 + 2m - 3 ï P = m2 - 3m + 2 îï îï 7 Điều kiện S2 ³ 4P suy ra (2m - 1)2 ³ 4(m2 - 3m + 2) Û 8m ³ 7 Û m ³ (*) 8 2 æ 3ö 1 1 Ta có P = xy = m2 - 3m + 2 = çm - ÷ - ³ - èç 2ø÷ 4 4 3 Dấu bằng xảy ra Û m = (thỏa mãn (*)) 2 3 Vậy m = thì xy đạt giá trị nhỏ nhất. 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.56: Giải các hệ phương trình sau: ïì x + y + 2xy = 2 ïì x 3 + y 3 = 19 a) íï b) íï ï x 3 + y 3 = 8 ï x + y 8 + xy = 2 îï îï ( )( ) ïì x + y + 3xy = 5 ïì x + y + xy = - 2 c) íï d) íï ï 2x 2 + 2y2 - 3xy = 1 ï x 2 + y2 = 4 îï îï Bài 3.57: Giải các hệ phương trình sau: 120
6. ïì 3 2 ï = 2x + y ïì x = 3x + 2y ï 2 a) íï b) íï x ï y2 = 3y + 2x ï 3 îï ï = 2y + x îï y2 ì ï 3 2 2 ì 3 ï = x + 2y ï x = 2x - y ï x c) í 3 d) í ï y = 2y - x ï 3 2 2 îï ï = 2x + y îï y ïì x = y2 - y + m Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình íï có nghiệm duy nhất. ï y = x 2 - x + m îï ➢ DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. ì 2 2 ï a1x + b1xy + c1y = d1 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I) íï . ï a x 2 + b xy + c y2 = d îï 2 2 2 2 • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x 0, đặt y = tx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x . Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k . Giải phương trình này ta tìm được k , từ đó tìm được (x; y ). 2. Các ví dụ minh họa. ïì x 2 + 6y2 - 5xy = 0 (1) Ví dụ 1:Giải hệ phương trình sau:íï ï 4x 2 + 2xy + 6x = 27 (2) îï Lời giải Nếu x = 0 thay vào (1) Þ y = 0, thay vào (2) thấy (x;y ) = (0;0) là nghiệm của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình. ïì x 2 + 6t 2y2 - 5tx 2 = 0 Nếu x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta đượcíï ï 4x 2 + 2tx 2 + 6x = 27 îï ïì x 2(1 + 6t 2 - 5t) = 0 ïì 6t 2 - 5t + 1 = 0 (*) Û íï Û íï ï 4x 2 + 2tx 2 + 6x = 27 ï 4x 2 + 2tx 2 + 6x = 27 ( ) îï îï 1 1 (*) Û t = hoặc t = 2 3 1 Với t = thay vào ( ) ta được 4x 2 + x 2 + 6x = 27 Û 5x 2 + 6x - 27 = 0 2 é 3 êx = - 3 Þ y = - Û ê 2 ê 9 9 ê x = Þ y = ëê 5 10 1 2 Với t = thay vào ( ) ta được 4x 2 + x 2 + 6x = 27 Û 14x 2 + 18x - 81 = 0 3 3 121
7. é ê 9(1 + 15) 3(1 + 15) êx = - Þ y = - Û ê 14 14 ê ê 9( 15 - 1) 3( 15 - 1) ê x = Þ y = ë 14 14 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là æ 9 1 + 15 3 1 + 15 ö æ9 15 - 1 3 15 - 1 ö æ 3ö æ9 9 ö ç ( ) ( )÷ ç ( ) ( )÷ ç- 3;- ÷,ç ; ÷,ç- ;- ÷,ç ; ÷ . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2ø è5 10ø èç 14 14 ø÷ èç 14 14 ø÷ ïì x 2 - xy + y2 = 1 Ví dụ 2:Giải hệ phương trình íï ï 2x 2 - 3xy + 4y2 = 3 îï Lời giải Dễ thấy x = 0 không thoả hệ ïì x 2(t 2 - t + 1) = 1 (*) Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được íï ï x 2(2t 2 - 3t + 4) = 3 îï Suy ra 3(t 2 - t + 1) = 2t 2 - 3t + 4 Þ t = ± 1 Thay vào (*) thì é x = 1 Þ y = 1 Với t = 1 , ta có x 2 = 1 Û ê êx = - 1 Þ y = - 1 ëê é ê 3 3 1 êx = Þ y = - Với t = - 1 ta có x 2 = Û ê 3 3 3 ê 3 3 êx = - Þ y = ëê 3 3 æ ö æ ö ç 1 - 1÷ ç- 1 1 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là ç ; ÷, ç ; ÷, (- 1;- 1) và (1;1) èç 3 3 ø÷ èç 3 3 ø÷ ïì x 2 + 2xy + y2 = 11 Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ: íï có nghiệm ï x 2 + 2xy + 3y2 = 17 + m îï Lời giải Dễ thấy x = 0 không thoả hệ Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được ïì x 2 (3 + 2k + k2 ) = 11 (* ) íï ï x 2 1 + 2k + 3k2 = 17 + m îï ( ) Suy ra (17 + m )(1 + 2k + k2 ) = 11(1 + 2k + 3k2 ). Û (m - 16)k2 + 2(m + 6)k + m + 6 = 0 (* * ) 2 Ta có: 3 + 2k + k2 = (k + 1) + 2 > 0, " k Þ (* ) luôn có nghiệm x với mọi k do đó hệ ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm ẩn k . Với m = 16 : Phương trình ( ) trở thành 44k + 88 = 0 Û k = - 2. Vậy m = 16 thỏa mãn. Với m ¹ 16: Phương trình ( ) có nghiệm Û D 'k ³ 0 2 Û (m + 6) - (m - 16)(m + 6) ³ 0 Û 22(m + 6) ³ 0 Û m ³ - 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ³ - 6. 3. Bài tập luyện tập. 122
8. ïì 3x 2 + 5xy - 4y2 = 38 Bài 3.59: Giải hệ phương trình sau: íï ï 5x 2 - 9xy - 3y2 = 15 îï ïì 3x 2 + 2xy + y2 = 11 Bài 3.60: Giải hệ phương trình : íï ï x 2 + 2xy + 3y2 = 17 îï ïì x 2 - 4xy + y2 = m Bài 3.61: Cho hệ phương trình : íï ï y2 - 3xy = 4 îï a) Giải hệ phương trình với m 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ➢ DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN . 1. Phương pháp giải. • Đưa về phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình trong hệ hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương trình tích. • Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau ïì 5xy ïì 4x 2 + 1 = y2 - 4x ïì 2xy + 3x + 4y = - 6 ï x + = 2 y + 1 ï ï ï 2 2 ( ) a) í 2 2 b) í 2 2 c) í x + y ï x + xy + y = 1 ï x + 4y + 4x + 12y = 3 ï 2 îï îï ï x - 1 = y 3 - 5y îï ( ) ( ) Lời giải ïì (x + 2)(2y + 3) = 0 a) Hệ phương trình tương đương với íï ï x 2 + 4y2 + 4x + 12y = 3 îï ïì x + 2 = 0 ïì 2y + 3 = 0 Û íï (1) hoặc íï (2) ï x 2 + 4y2 + 4x + 12y = 3 ï x 2 + 4y2 + 4x + 12y = 3 îï îï ïì x = - 2 ïì x = - 2 Ta có (1) Û íï Û íï (Vô nghiệm) ï x 2 - y2 + 2x - 4y = 5 ï y2 + 4y + 5 = 0 îï îï ïì 5 ïì 1 ïì 3 ïì 3 ï x = - ï x = ï y = - ï y = - ï ï (2) Û í 2 Û í 2 Û í 2 hoặc í 2 ï 2 2 ï 2 ï 3 ï 3 ï x - y + 2x - 4y = 5 ï 4x + 8x - 5 = 0 ï y = - ï y = - î î îï 2 îï 2 æ 5 3ö æ1 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm là ç- ;- ÷ và ç ;- ÷. èç 2 2÷ø èç2 2ø÷ ì 2 2 ï (2x + 1) = y ïì y = ± (2x + 1) b) Hệ phương trình tương đương với íï Û íï ï x 2 + xy + y2 = 1 ï x 2 + xy + y2 = 1 îï îï ì ïì y = 2x + 1 ï y = 2x + 1 ï Xét hệ í Û í 2 ï x 2 + xy + y2 = 1 ï x 2 + x 2x + 1 + 2x + 1 = 1 îï îï ( ) ( ) 123
9. é ïì x = 0 ê íï ïì y = 2x + 1 ê ï y = 1 ï ê îï ïì y = 2x + 1 ï é x = 0 ê Û ï Û ï Û ïì 5 í 2 í ê êï x = - ï 7x + 5x = 0 ï ê 5 êï î ï êx = - êí 7 îï ëê 7 êï 3 êï y = - ëïî 7 ì ïì y = - 2x - 1 ï y = - 2x - 1 ï Xét hệ í Û í 2 ï x 2 + xy + y2 = 1 ï x 2 - x 2x + 1 + 2x + 1 = 1 îï îï ( ) ( ) éïì x = 0 ïì y = - 2x - 1 êíï ïì y = - 2x - 1 ï êï y = - 1 Û ï Û ï éx = 0 Û êîï í 2 í ê êì ï 3x + 3x = 0 ï êï x = - 1 î ï êx = - 1 íï îï ëê êï y = 1 ëêîï æ 5 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (0;1),ç- ;- ÷,(0;- 1) và (- 1;1) . èç 7 7ø÷ c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và y ¹ 0 Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với 5xy 5xy x + = 2(y + 1) Û x - 2y + - 2 = 0 x 2 + y2 x 2 + y2 5xy - 2x 2 - 2y2 (x - 2y )(y - 2x ) Û x - 2y + = 0 Û x - 2y + = 0 x 2 + y2 x 2 + y2 é x = 2y Û (x - 2y )(x 2 + y2 - 2x + y ) = 0 Û ê êx 2 + y2 - 2x + y = 0 ëê Suy ra hệ phương trình tương đương với ïì x = 2y ïì x 2 + y2 - 2x + y = 0 ï ï í 2 (3) hoặc í 2 (4) ï x - 1 = y 3 - 5y ï x - 1 = y 3 - 5y îï ( ) ( ) îï ( ) ( ) ì ïì x = 2y ì ï x = 2y ï ï x = 2y ï Ta có (3) Û í 2 Û í Û í ï ï 9y2 - 7y + 1 = 0 ï 7 ± 13 ï (2y - 1) = y (3 - 5y ) îï ï y = îï îï 18 ïì 7 + 13 ïì 7 - 13 ï x = ï x = ï ï Û íï 9 hoặc íï 9 (thõa mãn) ï 7 + 13 ï 7 - 13 ï y = ï y = îï 18 îï 18 ì 2 2 ì 2 2 ì 2 2 ï x - 2x = - y - y ï x - 2x = - y - y ï x - 2x = - y - y ï (4) Û í 2 Û í 2 Û í 1 ï 1- y - y = y (3 - 5y ) ï 4y - 4y + 1 = 0 ï y = î î îï 2 ïì 3 ïì 1 ïì 3 ï x 2 - 2x + = 0 ï x = ï x = ï ï ï Û í 4 Û í 2 hoặc í 2 (thỏa mãn) ï 1 ï 1 ï 1 ï y = ï y = ï y = îï 2 îï 2 îï 2 124
10. æ7 + 13 7 + 13 ö æ7 - 13 7 - 13 ö æ1 1ö æ3 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là ç ; ÷,ç ; ÷,ç ; ÷ và ç ; ÷ èç 9 18 ø÷ èç 9 18 ÷ø èç2 2ø÷ èç2 2ø÷ Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau ì æ ö ï ç 1 ÷ 2 3 3 2 ï ç2 - ÷ y = 2 ïì x + 3 = xy ïì x + 2y + 2y = 2xy (x + 1) ï èç 2x + y ø÷ a) íï b) íï c) íï ï y2 + 5x 2 = 4xy + 3 ï 3xy = 2 x 2 - y ï æ 1 ö îï ï ( ) ï ç ÷ î ï ç2 + ÷ x = 2 îï èç 2x + y ø÷ Lời giải ïì xy - x 2 = 3 a) Hệ phương trình tương đương với íï ï y2 + 5x 2 = 4xy + xy - x 2 îï ( ) ïì xy - x 2 = 3 ïì xy - x 2 = 3 Û íï Û íï ï 6x 2 - 5xy + y2 = 0 ï 2x - y 3x - y = 0 îï ïî ( )( ) ïì xy - x 2 = 3 ïì xy - x 2 = 3 Û íï (1) hoặc íï (2) ï 2x - y = 0 ï 3x - y = 0 îï îï ì 2 ì ì ì ï x = 3 ï x = ± 3 ï x = 3 ï x = - 3 Giải hệ (1): (1) Û íï Û í Û íï hoặc íï ï y = 2x ï y = 2x ï y = 2 3 ï y = - 2 3 îï ïî îï îï ì ì ì ï 6 ï 6 ì 2 ï 6 ï x = ï x = - ï 2x = 3 ï x = ± ï ï Giải hệ (2): (2) Û íï Û íï Û íï 2 hoặc íï 2 ï y = 3x ï 2 ï ï îï ï y = 3x ï 3 6 ï 3 6 îï ï y = ï y = - îï 2 îï 2 æ 6 3 6 ö æ 6 3 6 ö ç ÷ ç ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3;2 3), (- 3;- 2 3), ç ; ÷ và ç- ;- ÷. èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ ïì x 3 - 2y 3 - 2x 2y + 2y (y - x ) = 0 b) Hệ phương trình tương đương với íï ï 2y = 2x 2 - 3xy îï ïì x 3 - 2y 3 - 2x 2y + (2x 2 - 3xy )(y - x) = 0 ïì x 3 - 3x 2y + 3xy2 - 2y 3 = 0 Û íï Û íï ï 2y = 2x 2 - 3xy ï 2y = 2x 2 - 3xy îï îï ïì (x - 2y )(x 2 - xy + y2 ) = 0 ïì x - 2y = 0 ïì x 2 - xy + y2 = 0 Û íï Û íï (3) hoặc íï (4) ï 2y = 2x 2 - 3xy ï 2y = 2x 2 - 3xy ï 2y = 2x 2 - 3xy îï îï îï ïì x = 2y ïì x = 2y ïì x = 2y ï Giải hệ (3): (3) Û íï Û íï Û íï éy = 0 ï 2y = 8y2 - 6y2 ï 2y2 - 2y = 0 ï ê îï îï ï êy = 1 îï ëê ïì x = 0 ïì x = 2 Û íï hoặc íï ï y = 0 ï y = 1 îï îï 2 æ y ö 3y2 Giải hệ (4): Ta có x 2 - xy + y2 = çx - ÷ + ³ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0và x = y = 0 èç 2ø÷ 4 thỏa mãn phương trình thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là x = y = 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (0;0) và (2;1). 125
11. ïì x ³ 0 c) ĐKXĐ: íï và 2x + y ¹ 0 ï y ³ 0 îï Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. Xét xy ¹ 0 ta có ïì 1 1 ï 1- = (*) ï 2(2x + y ) y Hệ phương trình tương đương với í ï 1 1 ï 1 + = ï îï 2(2x + y ) x 1 1 1 1 1 Cộng vế với vế ta được 2 = + (5), trừ vế với vế ta được - = - (6) y x 2x + y y x æ öæ ö 2 ç 1 1 ÷ç 1 1 ÷ Nhân hai vế của phương trình (5) và (6) ta được - = ç - ÷ç + ÷ 2x + y èç y x ø÷èç y x ø÷ 2 1 1 Û - = - Û - 2xy = (x - y )(2x + y ) 2x + y y x éy = - x Û 2x 2 + xy - y2 = 0 Û (x + y )(2x - y ) = 0 Û ê êy = 2x ëê Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có y = 2x thỏa mãn, thay vào (*) ta được é ê 2 + 2 1 1 ê x = 1- = Û 8x - 4 2. x - 1 = 0 Û ê 4 8x 2x ê 2 - 2 ê x = (VN ) ëê 4 3 + 2 2 3 + 2 2 Û x = Þ y = (thỏa mãn) 8 4 æ3 + 2 2 3 + 2 2 ö ç ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) = ç ; ÷. èç 8 4 ø÷ Nhận xét: Đây là loại hệ phương trình có thể biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp(cùng bậc) từ đó dễ dàng phân tích thành nhân tử. Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau ïì x 2 - 2y2 + xy + 3x + 2 = 0 ïì x 2 + y2 + xy = 3 a) íï b) íï ï x 2 + y2 = x + y ï x 2 + 2xy + 9 = 7x + 5y îï îï Lời giải ïì (x - y + 1)(x + 2y + 2) = 0 a) Hệ phương trình tương đương với íï ï x 2 + y2 = x + y îï ïì éx - y + 1 = 0 ï ê ïì x - y + 1 = 0 ïì x + 2y + 2 = 0 Û íï êx + 2y + 2 = 0 Û íï (1) hoặc íï (2) ï ëê ï x 2 + y2 = x + y ï x 2 + y2 = x + y ï x 2 + y2 = x + y îï îï îï ïì y = x + 1 ì ì ï ï y = x + 1 ï x = 0 Giải hệ (1): (1) Û í 2 Û í Û í ï x 2 + x + 1 = x + x + 1 ï 2x 2 = 0 ï y = 1 îï ( ) îï îï ïì x = - 2y - 2 ì ï ï x = - 2y - 2 Giải hệ (2): (2) Û í 2 Û í (vô nghiệm) ï - 2y - 2 + y2 = - 2y - 2 + y ï 5y2 + 9y + 6 = 0 îï ( ) îï 126
12. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y ) = (0;1) b) Cộng hai phương trình của hệ ta có 2x 2 + y2 + 3xy - 7x - 5y + 6 = 0 Û (y + 2x - 3)(y + x - 2) = 0 éy + 2x - 3 = 0 ïì y = 3 - 2x Û ê Û íï êy + x - 2 = 0 ï y = 2 - x ëê îï ïì x 2 + xy + y2 = 3 ïì x 2 + xy + y2 = 3 Suy ra hệ phương trình tương đương với íï (3) hoặc íï (4) ï y = 3 - 2x ï y = 2 - x îï îï ì 2 2 2 ï x + x (3 - 2x ) + (3 - 2x ) = 3 ïì 3x - 9x + 6 = 0 Giải hệ (3): (3) Û íï Û íï ï y = 3 - 2x ï y = 3 - 2x îï îï ïì éx = 1 ï ê ïì x = 1 ïì x = 2 Û íï êx = 2 Û íï hoặc íï ï ëê ï y = 1 ï y = - 1 ï y = 3 - 2x îï îï îï ì 2 2 2 ï x + x (2 - x ) + (2 - x ) = 3 ïì x - 2x + 1 = 0 ïì x = 1 Giải hệ (4): (4) Û íï Û íï Û íï ï y = 2 - x ï y = 2 - x ï y = 1 îï îï îï Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (1;1) và (2;- 1) Nhận xét: + Để phân tích phương trình một phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem một ẩn, ẩn còn lại là tham số từ đó dựa vào ứng dụng của định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét) + Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình không thể phân tích được thành tích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực a sao cho x 2 + 2xy - 7x - 5y + 9 + a (x 2 + xy + y2 ) = 3a Û (1 + a )x 2 + (2y + ay - 7)x + ay2 - 5y + 9 - 3a = 0 có thể phân tích thành nhân tử. Điều này có được 2 2 2 2 2 khi D x = (2y + ay - 7) - 4(1 + a )(ay - 5y + 9 - 3a ) = (4 - 3a )y + (6a - 8)y + 12a - 24a + 13 2 2 2 4 3 là số chính phương hay D 'y = (3a - 4) - (4 - 3a )(12a - 24a + 13) = 36a - 72a + 72a - 36 = 0 Û a = 1 hoặc a = - 1. Từ đó ta có lời giải như trên(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế). Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau ïì ì ï 1 y 2 x ï x ï + = + 2 ï 2 + 6y + x - 2y = a) í x y b) í y ï x ï ï 2y2 - 2y + 1 = 3xy ï x 1- 8y = x 2 + 2y îï îï ( ) Lời giải a) Điều kiện xác định: x > 0,y ¹ 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 1 y 2 x + = + 2 Û y x + y2 = 2x x + 2xy Û y2 + y( x - 2x) - 2x x = 0 x x y Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có 2 2 2 D x = ( x - 2x) + 8x x = x + 4x x + 4x = ( x + 2x) > 0. Do đó, phương trình này có hai nghiệm là (2x - x) - ( x + 2x) (2x - x) + ( x + 2x) y = = - x và y = = 2x 2 2 127
13. ì ì ï y = - x ï y = 2x Suy ra hệ phương trình tương đương với í (3) hoặc íï (4) ï 2y2 - 2y + 1 = 3xy ï 2y2 - 2y + 1 = 3xy îï îï ïì y = - x ï 2 2 Ta có (3) Û í 2 (vô nghiệm vì y + (y - 1) > 0, - 3x x 0 thì phương trình vô nghiệm. Ta xét y £ 0 ta có (2) Û 4y2 = x - 2y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì ì 2 ì 2 ì 2 ï 4y = x - 2y ï 4y = x - 2y ï 4y = x - 2y íï Û íï Û í ï x 1- 8y = x 2 + 2y ï x 2 + 8xy = 4y2 ï x = - 4y ± 2 5y îï ( ) îï îï 128
14. ì 2 ì 2 ï 4y = x - 2y ï 4y = x - 2y Û íï (2') hoặc Û íï (2'') ï x = - 4 + 2 5 y ï x = - 4 - 2 5 y îï ( ) îï ( ) ïì é y = 0 ï ê ïì 2 ï ï 4y = (- 6 + 2 5)y ï ê - 3 + 5 Hệ phương trình (2') tương đương với íï Û íï êy = ï x = - 4 + 2 5 y ï ëê 2 îï ( ) ï ï x = - 4 + 2 5 y îï ( ) ì ï x = 11- 5 5 ï Û x = y = 0 hoặc í - 3 + 5 ï y = îï 2 ïì é y = 0 ï ê ïì 2 ï ï 4y = (- 6 - 2 5)y ï ê 3 + 5 Hệ phương trình (2") tương đương với íï Û íï êy = - ï x = - 4 - 2 5 y ï ëê 2 îï ( ) ï ï x = - 4 - 2 5 y îï ( ) ì ï x = 11 + 5 5 ï Û x = y = 0 hoặc í 3 + 5 ï y = - îï 2 æ - 3 + 5 ö æ 3 + 5 ö ç ÷ ç ÷ Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình ç11- 5 5; ÷ và ç11 + 5 5;- ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ - 3 + 5 ö æ 3 + 5 ö ç ÷ ç ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là ç11- 5 5; ÷ và ç11 + 5 5;- ÷. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ïì x 3 + 2xy2 = 2x 2y + 4 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình íï . ï x 2 + 2y2 = xy + x + 2y îï Lời giải Nhân phương trình thứ hai với - 2 rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được (x 3 + 2xy2 )- 2(x 2 + 2y2 ) = (2x 2y + 4)- 2(xy + x + 2y ) Û (x 3 - 2x 2 ) + (2xy2 - 4y2 ) = (2x 2y - 2xy - 4y ) + (4 - 2x ) Û x 2 (x - 2) + 2y2 (x - 2) = y (x - 2)(2x + 2)- 2(x - 2) Û (x - 2)(x 2 - 2xy + 2y2 - 2y + 2) = 0 2 2 Û (x - 2)é(x - y ) + (y - 1) + 1ù= 0 ëê ûú 2 2 Û x = 2 (vì (x - y ) + (y - 1) + 1 > 0) Thay x = 2 vào phương trình thứ hai ta có 4 + 2y2 = 2y + 2 + 2y Û 2y2 - 4y + 2 = 0 Û y = 1 Vậy phương trình có nghiệm là (x;y ) = (2;1) Nhận xét: Việc nhân vào với - 2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực a khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được (x 3 + 2xy2 ) + a (x 2 + 2y2 ) = (2x 2y + 4) + a (xy + x + 2y ) Û (2x + 2a )y2 - (2x 2 + ax + 2a )y + x 3 + ax 2 - ax - 4 = 0 129
15. Ta sẽ chọn a sao cho đúng với mọi y , suy ra 2x + 2a = 2x 2 + ax + 2a = x 3 + ax 2 - ax - 4 = 0 (*) Ta có 2x 2 + ax + 2a = 0 Û 2x (x + a )- ax + 2a = 0 Þ - ax + 2a = 0 Þ x = 2 Þ a = - 2 Dễ thấy x = 2, a = - 2 thỏa mãn (*) do đó ta có lời giải như trên. Ví dụ 6: Giải các hệ phương trình sau ïì 2x 2 + 3y = y2 + x + 3 ïì x 3 = 8y 3 + 3y a) íï b) íï ï 2y2 + 8 = x 2 + x + 7y ï x 2 + y = 4y2 + x îï îï Lời giải a) Cộng vế với vế của hai phương trình ta có 2x 2 + 3y + 2y2 + 8 = y2 + x + 3 + x 2 + x + 7y 2 2 Û x 2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 0 Û (x - 1) + (y - 2) = 0 ïì x = 1 Û x - 1 = y - 2 = 0 Û íï ï y = 2 îï Thay x = 1; y = 2 vào hệ thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y ) = (1;2). b) Phương trình thứ hai nhân với - 3 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta được x 3 - 3(x 2 + y ) = 8y 3 + 3y - 3(4y2 + x ) Û x 3 - 3x2 + 3x - 1 = 8y2 - 12y2 + 3y - 1 3 3 Û (x - 1) = (2y - 1) Û x = 2y Thay vào phương trình thứ hai ta được 2 (2y ) + y = 4y2 + 2y Û y = 0 Þ x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y ) = (0;0). Nhận xét: Các biến x, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau do đó ta sẽ chọn a bằng cách lấy phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với a rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho đưa về dạng phương n n trình (ax + b) = ± (a 'y + b') . Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ. Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: ïì 2x 2 - y2 - 4 x - y = 1 ì 2 2 ï ( ) ï 3x + y = y a) í 2 b) í ï x 2 x - 2 + 2 = xy - 2y xy - 4x ï x 2 x 2 + 45 = y y 3 - 15 îï ( ) ( )( ) îï ( ) ( ) Lời giải ïì 2 x 2 - 2x - y2 - 4y = 1 ï ( ) ( ) a) Hệ phương trình tương đương với í 2 ï x 2 - 2x - x 2 - 2x y2 - 4y + 2 = 0 îï ( ) ( )( ) ïì a = x 2 - 2x ïì 2a - b = 1 Đặt íï khi đó hệ trở thành íï ï b = y2 - 4y ï a2 - ab + 2 = 0 îï îï ïì b = 2a - 1 ïì b = 2a - 1 ïì b = 2a - 1 ï Û íï Û íï Û íï éa = - 1 ï a2 - a(2a - 1) + 2 = 0 ï a2 - a - 2 = 0 ï ê îï îï ï êa = 2 îï ëê 130
16. ïì a = - 1 ïì a = 2 Û íï hoặc íï ï b = - 3 ï b = 3 îï îï ïì x = 1 ïì a = - 1 ïì - 1 = x 2 - 2x ïì x 2 - 2x + 1 = 0 ï Với íï ta có íï Û íï Û íï éy = 1 ï b = - 3 ï - 3 = y2 - 4y ï y2 - 4y + 3 = 0 ï ê îï îï îï ï êy = 3 îï ëê 2 2 ì ïì a = 2 ïì 2 = x - 2x ïì x - 2x - 2 = 0 ï x = 1 ± 3 Với íï ta có íï Û íï Û íï ï b = 3 ï 3 = y2 - 4y ï y2 - 4y - 3 = 0 ï y = 2 ± 7 îï îï îï îï Vậy hệ có nghiệm (x;y ) là (1;1),(1;3),(1 + 3;2 + 7),(1 + 3;2 - 7),(1- 3;2 + 7) và (1- 3;2 - 7). ïì 3x 2 + y = y2 ïì y2 - 3x 2 = y b) Hệ phương trình tương đương với íï Û íï (*) ï y 4 - x 4 = 15 3x 2 + y ï y 4 - x 4 = 15y2 îï ( ) îï • Với y = 0 từ hệ suy ra x = 0 . ïì 3x 2 ï y - = 1 ï y • Với y ¹ 0 ta có hệ phương trình (*) tương đương với íï ï x 4 ï y2 - = 15 îï y2 x 2 ïì y - 3z = 1 Đặt = z , hệ trở thành íï ï y2 - z2 = 15 y îï ïì y = 3z + 1 ì ï ï y = 3z + 1 ïì y = 3z + 1 ï é z = 1 Û ï Û ï Û ï ê í 2 2 í 2 í ï (3z + 1) - z = 15 ï 8z + 6z - 14 = 0 ï ê 7 îï î ï êz = - îï êë 4 ïì 17 ì ï y = - ï y = 4 ï Û íï hoặc í 4 ï z = 1 ï 7 îï ï z = - îï 4 ì ì ï y = 4 ì ì ï y = 4 ï ï y = 4 ï y = 4 Với í suy ra í x 2 Û í Û í ï z = 1 ï ï x 2 = 4 ï x = ± 2 îï ï = 1 îï ïî îï y ïì 17 ïì 17 ïì 17 ïì 17 ï y = - ï y = - ï y = - ï y = - ï ï ï ï Với í 4 suy ra íï 4 Û í 4 Û íï 4 ï 7 ï x 2 7 ï 119 ï 119 ï z = - ï = - ï x 2 = ï x = ± îï 4 îï y 4 îï 16 îï 4 æ 119 17ö æ 119 17ö ç ÷ ç ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y ) là (2;4),(- 2;4),ç ;- ÷ và ç- ;- ÷. èç 4 4 ÷ø èç 4 4 ø÷ Ví dụ 8: Giải các hệ phương trình sau: 131
17. ïì 1 1 ï x 2 + y2 + + = 5 ïì ï 2 2 ï 3x - y = 3 x + y a) íï x y b) íï ï 2 ï 3x + y = 3 x - y ï xy - 1 = x 2 - y2 + 2 îï îï ( ) Lời giải ïì x ¹ 0 a) ĐKXĐ: íï ï y ¹ 0 îï ì ï 2 2 1 1 ï x + y + + = 5 Hệ phương trình tương đương với íï x 2 y2 ï ï x 2y2 - 1- x 2 + y2 = 2xy îï ì ïì 2 2 ï 2 2 1 1 ï æ 1ö æ 1ö ï x + y + + = 5 ï çx + ÷ + çy - ÷ = 5 ï x 2 y2 ï èç x ø÷ èç y ø÷ Û íï Û í ï 1 x y ï æ öæ ö ï xy - - + = 2 ï ç 1÷ç 1÷ ï ï çx + ÷çy - ÷= 2 îï xy y x îï èç x ø÷èç y ø÷ ïì 1 ï a = x + 2 2 ï ïì a + b = 5 Đặt íï x , khi đó hệ phương trình trở thành íï ï 1 ï ab = 2 ï b = y - îï îï y ì 2 ì 2 ï (a + b) - 2ab = 5 ï (a + b) = 9 ïì a + b = ± 3 Û íï Û íï Û íï ï ab = 2 ï ab = 2 ï ab = 2 îï îï îï ïì a + b = 3 éX = 1 Với hệ phương trình íï thì a,b là nghiệm của phương trình X 2 - 3X + 2 = 0 Û ê ï ab = 2 êX = 2 îï ëê Do đó hệ có nghiệm (a;b) là (2;1) và (1;2) ïì a + b = - 3 éX = - 1 Với hệ phương trình íï thì a,b là nghiệm của phương trình X 2 + 3X + 2 = 0 Û ê ï ab = 2 êX = - 2 îï ëê Do đó hệ có nghiệm (a;b) là (- 2;- 1) và (- 1;- 2) 1 1 Vì a = x + = x + ³ 2 nên chỉ còn hai trường hợp sau x x ïì 1 ì ï 2 = x + ì 2 ï x = 1 ï x ï x - 2x + 1 = 0 ï TH1: (a;b) = (2;1) khi đó ta có í Û í 2 Û í 1 ± 5 ï 1 ï y - y - 1 = 0 ï y = ï 1 = y - îï ï îï y îï 2 æ 1 + 5 ö æ 1- 5 ö ç ÷ ç ÷ Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y ) là ç1; ÷ và ç1; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ïì 1 ì ï - 2 = x + ì 2 ï x = - 1 ï x ï x + 2x + 1 = 0 ï TH2: (a;b) = (- 2;- 1) khi đó ta có í Û í 2 Û í - 1 ± 5 ï 1 ï y + y - 1 = 0 ï y = ï - 1 = y - îï ï îï y îï 2 æ - 1 + 5 ö æ - 1- 5 ö ç ÷ ç ÷ Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y ) là ç- 1; ÷ và ç- 1; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 132
18. æ 1 + 5 ö æ 1- 5 ö æ - 1 + 5 ö æ - 1- 5 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y ) là ç1; ÷,ç1; ÷, ç- 1; ÷ và ç- 1; ÷. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ì ï x + y = a b) Đặt íï , a ³ 0, b ³ 0 khi đó 2a2 + b2 = 3x + y, a2 + 2b2 = 3x - y ï x - y = b îï ïì a2 + 2b2 = 3a (1) Hệ phương trình trở thành íï ï 2a2 + b2 = 3b (2) îï Trừ vế với vế của hai phương trình (1) và (2) ta được é a = b b2 - a2 = 3(a - b) Û (a - b)(3 + a + b) = 0 Û ê êa = - b - 3 ëê éa = 0 Þ b = 0 Với a = b thay vào phương trình (1) suy ra 3a2 = 3a Û ê êa = 1 Þ b = 1 ëê 2 Với a = - b - 3 thay vào phương trình (1) suy ra (- b - 3) + b2 = 3b Û 2b2 - 3b + 9 = 0 (vô nghiệm) ì ï x + y = 0 ïì x + y = 0 ïì x = 0 TH1: a = b = 0 ta có íï Û íï Û íï ï x - y = 0 ï x - y = 0 ï y = 0 îï ïî ïî ì ï x + y = 1 ïì x + y = 1 ïì x = 1 TH2: a = b = 1 ta có íï Û íï Û íï ï x - y = 1 ï x - y = 1 ï y = 0 îï îï îï Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y ) là (0;0) và (1;0) Ví dụ 9: Giải các hệ phương trình ïì 5(x 2 + y2 ) = 6xy + 2 ïì 5(x 2 + y2 ) = y - 2x a) íï . b) íï ï 2x 2 + 3x = 2y2 + y + 3 ï 3 x 2 + y2 + 2x = y + 8xy îï îï ( ) Lời giải ì 2 2 ï (x + y ) + é2(x - y )ù = 2 a) Hệ phương trình tương đương với íï ë û ï x + y + 2 x - y + x + y 2 x - y = 3 îï ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ì 2 ïì a = x + y ïì a + b = 2 ï (a + b) - 2ab = 2 Đặt íï , hệ phương trình trở thành íï Û íï (*) ï b = 2(x - y ) ï a + b + ab = 3 ï a + b + ab = 3 îï îï îï ïì a + b = S ïì S2 - 2P = 2 Đặt íï , S2 ³ 4P khi đó hệ phương trình (*) trở thành íï ï ab = P ï S + P = 3 îï îï ïì éS = 2 ïì S2 - 2(3 - S) = 2 ïì S2 + 2S - 8 = 0 ï ê Û íï Û íï Û íï êS = - 4 ï P = 3 - S ï P = 3 - S ï ëê îï îï ï P = 3 - S îï ïì S = 2 ïì S = - 4 Û íï (thỏa mãn) hoặc íï (loại) ï P = 1 ï P = 7 îï îï ïì S = 2 ïì a + b = 2 Với íï ta có íï suy ra a,b là nghiệm của phương trình X 2 - 2X + 1 = 0 Û X = 1 ï P = 1 ï ab = 1 îï îï Do đó hệ phương trình (*) có nghiệm là (a;b) = (1;1) 133