Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức

1. CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1. BẤT ĐẲNG THỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa : Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề "a > b", "a B " là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến "A > B " đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực. 2. Tính chất : * a > b và b > c Þ a > c * a > b Û a + c > b + c * a > b và c > d Þ a + c > b + d * Nếu c > 0 thì a > b Û ac > bc Nếu c b Û ac b ³ 0 Þ a > b * a ³ b ³ 0 Û a2 ³ b2 *a > b ³ 0 Þ an > bn 3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. * - a £ a £ a với mọi số thực a . * x 0 ) éx > a * x > a Û ê ( Với a > 0 ) êx < - a ëê 4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm a + b Cho a ³ 0, b ³ 0, ta có ³ ab . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b 2 Hệ quả : * Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau * Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau b) Đối với ba số không âm a + b + c Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0, ta có ³ 3 abc . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 3 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN. 1. Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau: • Ta đi chứng minh A - B ³ 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. • Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực a,b,c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau 2 a2 + b2 æa + bö a) ab £ b) ab £ ç ÷ 2 èç 2 ø÷ 182
2. c) 3 a2 b2 c2 a b c 2 d) a b c 2 3 ab bc ca Lời giải a) Ta có a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 ³ 0 Þ a2 + b2 ³ 2ab. Đẳng thức Û a = b . 2 æa + bö b) Bất đẳng thức tương đương với ç ÷ - ab ³ 0 èç 2 ø÷ a2 2ab b2 4ab a b 2 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b c) BĐT tương đương 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b 2 b c 2 c a 2 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c d) BĐT tương đương a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2 : Cho năm số thực a,b,c,d,e. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) . Lời giải Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b2) + ( - ac + c2) + ( - ad + d2) + ( - ae + e2) 4 4 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d)2 + ( - e)2 ³ 0 Þ đpcm. 2 2 2 2 a Đẳng thức xảy ra Û b = c = d = e = . 2 1 1 2 Ví dụ 3 : Cho ab ³ 1. Chứng minh rằng : + ³ . a2 + 1 b2 + 1 1 + ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 2 Ta có + - = ( - ) + ( - ) a2 + 1 b2 + 1 1 + ab a2 + 1 1 + ab b2 + 1 1 + ab ab - a2 ab - b2 a - b b a a - b b - a + a2b - b2a = + = ( - ) = . (a2 + 1)(1 + ab) (b2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b2 1 + a2 1 + ab (1 + b2)(1 + a2) a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2(ab - 1) = = ³ 0 (Do ab ³ 1) . 1 + ab (1 + b2)(1 + a2) (1 + ab)(1 + b2)(1 + a2) 1 1 2 Nhận xét : Nếu - 1 < b £ 1 thì BĐT có chiều ngược lại : + £ . a2 + 1 b2 + 1 1 + ab Ví dụ 4: Cho số thực x . Chứng minh rằng a) x 4 + 3 ³ 4x b) x4 5 x2 4x c) x12 x4 1 x9 x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x 4 - 4x + 3 ³ 0 x 1 x3 x2 x 3 0 x 1 2 x2 2x 3 0 x 1 2 x 1 2 1 0 (đúng với mọi số thực x ) 183
3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. b) Bất đẳng thức tương đương với x4 x2 4x 5 0 2 x4 2x2 1 x2 4x 4 0 x2 1 x 2 2 0 2 2 Ta có x2 1 0, x 2 2 0 x2 1 x 2 2 0 x2 1 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (không xảy ra) x 2 0 2 Suy ra x2 1 x 2 2 0 ĐPCM. c) Bất đẳng thức tương đương với x12 x9 x4 x 1 0 + Với x 1 : Ta có x12 x9 x4 x 1 x12 x4 1 x5 1 x Vì x 1 nên 1 x 0, 1 x5 0 do đó x12 x9 x4 x 1 0 . + Với x 1 : Ta có x12 x9 x4 x 1 x9 x3 1 x x3 1 1 Vì x 1 nên x 3 - 1 ³ 0 do đó x12 - x 9 + x 4 - x + 1 > 0. Vậy ta có x12 + x 4 + 1 > x 9 + x . Ví dụ 5: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng a) a4 + b4 - 4ab + 2 ³ 0 2 2 b) 2(a4 + 1) + (b2 + 1) ³ 2(ab + 1) c) 3(a2 + b2 )- ab + 4 ³ 2(a b2 + 1 + b a2 + 1) Lời giải a) BĐT tương đương với (a4 + b4 - 2a2b2 ) + (2a2b2 - 4ab + 2) ³ 0 2 2 Û (a2 - b2 ) + 2(ab - 1) ³ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1. b) BĐT tương đương với 2(a4 + 1) + (b4 + 2b2 + 1)- 2(a2b2 + 2ab + 1) ³ 0 Û (a4 + b4 - 2a2b2 ) + (2a2 - 4ab + 2b2 ) + (a4 - 4a2 + 1) ³ 0 Û (a2 - b2)2 + 2(a - b)2 + (a2 - 1)2 ³ 0(đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1. c) BĐT tương đương với 6(a2 + b2 )- 2ab + 8 - 4(a b2 + 1 + b a2 + 1) ³ 0 Û éa2 - 4a b2 + 1 + 4 b2 + 1 ù+ éb2 - 4b a2 + 1 + 4 a2 + 1 ù+ a2 - 2ab + b2 ³ 0 ëê ( )ûú ëê ( )ûú ( ) 2 2 2 Û (a - 2 b2 + 1) + (b - 2 a2 + 1) + (a - b) ³ 0(đúng) Đẳng thức không xảy ra. Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ³ y . Chứng minh rằng; 3 a) 4(x 3 - y 3 ) ³ (x - y ) b) x 3 - 3x + 4 ³ y 3 - 3y Lời giải 3 a) Bất đẳng thức tương đương 4(x - y )(x 2 + xy + y2 )- (x - y ) ³ 0 2 Û (x - y )é4(x 2 + xy + y2 )- (x - y ) ù³ 0 Û (x - y )é3x 2 + 3xy + y2 ù³ 0 ëê ûú ë û é 2 2 ù êæ y ö 3y ú Û 3(x - y ) çx + ÷ + ³ 0 (đúng với x ³ y ) ĐPCM. êèç 2ø÷ 4 ú ëê ûú 184
4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . b) Bất đẳng thức tương đương x 3 - y 3 ³ 3x - 3y - 4 1 3 Theo câu a) ta có x 3 - y 3 ³ (x - y ) , do đó ta chỉ cần chứng minh 4 1 3 (x - y ) ³ 3x - 3y - 4 (*), Thật vậy, 4 3 BĐT (*) Û (x - y ) - 12(x - y ) + 16 ³ 0 2 Û (x - y - 2)é(x - y ) + 2(x - y )- 8ù³ 0 ëê ûú 2 Û (x - y - 2) (x - y + 4) ³ 0 (đúng vớix ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy ra. Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng é ù a Î ëa;b ûÞ (a - a )(a - b ) £ 0 (* ) é ù a,b,c Î ëa;b ûÞ (a - a )(b - a )(c - a ) + (b - a)(b - b)(b - c) ³ 0(* * ) Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 c Þ ac + bc > c2 . Tương tự bc + ba > b2; ca + cb > c2 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT | a - b |< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. Ví dụ 8 : Cho a,b,c Î [0;1]. Chứng minh : a2 + b2 + c2 £ 1 + a2b + b2c + c2a Lời giải Cách 1: Vì a,b,c Î [0;1] Þ (1- a2)(1- b2)(1- c2) ³ 0 Û 1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 ³ a2 + b2 + c2 (*) Ta có : a2b2c2 ³ 0; a2b2 + b2c2 + c2a2 £ a2b + b2c + c2a nên từ (*) ta suy ra a2 + b2 + c2 £ 1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 £ 1 + a2b + b2c + c2a đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a2 (1- b) + b2 (1- c) + c2 (1- a) £ 1 é ù 2 2 2 Mà a,b,c Î ë0;1û Þ a £ a,b £ b,c £ c do đó a2 (1- b) + b2 (1- c) + c2 (1- a) £ a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) Ta chỉ cần chứng minh a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) £ 1 é ù Thật vậy: vì a,b,c Î ë0;1û nên theo nhận xét (* * ) ta có abc + (1- a)(1- b)(1- c) ³ 0 Û a + b + c - (ab + bc + ca) £ 1 Û a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) £ 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh Ví dụ 9 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ³ 0. 185
5. Lời giải Vì a2 + b2 + c2 = 1 Þ a,b,c Î [- 1;1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 0 Û 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 (*) (1 + a + b + c)2 Mặt khác : ³ 0 Û 1 + a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 ( ) 2 Cộng (*) và ( ) ta có đpcm. Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu a ³ 4,b ³ 5,c ³ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 thì a + b + c ³ 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra a < 9,b < 8,c £ 7 do đó áp dụng (* ) ta có (a - 4)(a - 9) £ 0,(b - 5)(b - 8) £ 0,(c - 6)(c - 7) £ 0 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được: a2 + b2 + c2 - 13(a + b + c) + 118 £ 0 suy ra 1 a + b + c ³ (a2 + b2 + c2 + 118) = 16 vì a2 + b2 + c2 = 90 13 vậy a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4,b = 5,c = 7 é ù Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc ë- 1;1û và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng a4b2 + b4c2 + c4a2 + 3 ³ 2 a2012 + b2012 + c2012 Lời giải é ù 2 2 2 Vì ba số a, b, c thuộc ë- 1;1û nên 0 £ a ,b ,c £ 1 Suy ra(1- b2)(1 + b2 - a4) ³ 0 Û a4 + b4 - a4b2 £ 1 (*) 4 2012 4 2012 é ù Mặt khác a ³ a ,b ³ b đúng với mọi a, b thuộc ë- 1;1û Suy ra a4 + b4 - a4b2 ³ a2012 + b2012 - a4b2 ( ) a4b2 + c2012 + 1 Từ (*) và ( ) ta có a2012 + b2012 £ a4b2 + 1 hay ³ 1 a2012 + b2012 + c2012 b4c2 + a2012 + 1 c4a2 + b2012 + 1 Tương tự ta có ³ 1 và ³ 1 a2012 + b2012 + c2012 a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + a2012 + b2012 + c2012 + 3 Cộng vế với ta được ³ 3 a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + 3 Hay ³ 2 ĐPCM. a2012 + b2012 + c2012 3. Bài tập luyện tập Bài 4.0. Cho các số thực a, b, c là số thực. Chứng minh rằng: a) a + b + c ³ ab + bc + ca b) a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b c) a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c) d) a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc - ca) Bài 4.1: Cho a,b,c,d là số dương Chứng minh rằng a a + c a a b c a) < với < 1. b) + + < 2 b b + c b a + b b + c c + a a b c d c) 1 < + + + < 2 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 186
6. a + b b + c c + d d + a d) 2 0; x,y Î R ) . c + a c + b b) ³ . với a > b > 0; c > ab . c2 + a2 c2 + b2 a + b c + b 1 1 2 c) + ³ 4 với a,b,c > 0 và + = 2a - b 2c - b a c b d) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 > a3 + b3 + c3 với a,b,c là ba cạnh của tam giác Bài 4.3: Cho x ³ y ³ z ³ 0. Chứng minh rằng: a) xy 3 + yz3 + zx 3 ³ xz3 + zy 3 + yx 3 x 2y y2z z2x x 2z y2x z2y b) + + ³ + + . z x y y z x Bài 4.4: Cho bốn số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng: 1 1 1 + £ . 1 1 1 1 1 1 + + + a b c d a + c b + d é ù Bài 4.5: Cho a,b,c Î ë1;3û và thoả mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 £ 14 ➢ DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 2 2 (x + y) æx + y ö Đối với hai số:x 2 + y2 ³ 2xy; x 2 + y2 ³ ; xy £ ç ÷ . 2 èç 2 ø÷ 3 a3 + b3 + c3 æa + b + c ö Đối với ba số: abc £ , abc £ ç ÷ 3 èç 3 ø÷ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1: Cho a,b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng æa b öæa b ö 5 a) ç + ÷ç + ÷³ 4 b) (a + b) ³ 16ab (1 + a2 )(1 + b2 ) èçb a ø÷èçb2 a2 ø÷ Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b 2 + ³ 2 . = 2, + ³ 2 . = b a b a b2 a2 b2 a2 ab æa b öæa b ö 4 Suy ra ç + ÷ç + ÷³ (1) ç ÷ç 2 2 ÷ èçb a ø÷èçb a ø÷ ab Mặt khác ta có 2 = a2 + b2 ³ 2 a2b2 = 2ab Þ ab £ 1 (1) 187
7. æa b öæa b ö Từ (1) và (2) suy ra ç + ÷ç + ÷³ 4 ĐPCM. èçb a ø÷èçb2 a2 ø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 5 b) Ta có (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + 2ab + b2 ³ 2 2ab(a2 + b2 ) = 4 ab và (a3 + 3ab2 ) + (3a2b + b3 ) ³ 2 (a3 + 3ab2 )(3a2b + b3 ) = 4 ab(1 + b2 )(a2 + 1) Suy ra (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) ³ 16ab (a2 + 1)(b2 + 1) 5 Do đó (a + b) ³ 16ab (1 + a2 )(1 + b2 ) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 2: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng æ 1öæ 1öæ 1ö a) ça + ÷çb + ÷çc + ÷³ 8 èç bø÷èç c ÷øèç a ø÷ b) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc 3 c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ (1 + 3 abc ) d) a2 bc + b2 ac + c2 ab £ a3 + b3 + c3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1 a 1 b 1 c a + ³ 2 , b + ³ 2 , c + ³ 2 b b c c a a æ 1öæ 1öæ 1ö a b c Suy ra ça + ÷çb + ÷çc + ÷³ 8 . . = 8 ĐPCM. èç bø÷èç c ø÷èç a ø÷ b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 + a2 ³ 2 a2 = 2a , tương tự ta có 1 + b2 ³ 2b, 1 + c2 ³ 2c Suy ra a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 2(a2b + b2c + c2a) Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a2b + b2c + c2a ³ 3 a2b.b2c.c2a = 3abc Suy ra a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. c) Ta có (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + bc + ca) + (a + b + c) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có 2 ab + bc + ca ³ 33 ab.bc.ca = 3( 3 abc ) và a + b + c ³ 33 abc 2 3 Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 1 + 3( 3 abc ) + 33 abc + abc = (1 + 3 abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có æb + c ö æa + c ö æa + bö a2 bc £ a2 ç ÷, b2 ac £ b2 ç ÷, c2 ab £ c2 ç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b Suy ra a2 bc + b2 ac + c2 ab £ (1) 2 Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có 188
8. a3 + a3 + b3 b3 + b3 + a3 a3 + a3 + c3 a2b £ , b2a £ , a2c £ , 3 3 3 c3 + c3 + a3 b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 c2a £ , b2c £ , c2b £ 3 3 3 Suy ra a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b £ 2(a3 + b3 + c3 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra a2 bc + b2 ac + c2 ab £ a3 + b3 + c3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Ví dụ 3: Cho a,b,c,d là số dương. Chứng minh rằng a + b + c + d a) ³ 4 abcd 4 æa b c d ö b) ç + + + ÷(a + b)(b + c) ³ 16 èçb3 c3 d3 a3 ø÷ a + b + c 8abc c) + ³ 4. 3 abc (a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a + b ³ 2 ab,c + d ³ 2 cd và ab + cd ³ 2 ab. cd = 24 abcd a + b + c + d 2 ab + 2 cd Suy ra ³ ³ 4 abcd ĐPCM. 4 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d 4 + + + ³ 44 . . . = b3 c3 d3 a3 b3 c3 d3 a3 abcd æa b c d ö 4 Suy ra ç + + + ÷ a + b c + d ³ .2 ab.2 cd = 16 ĐPCM ç 3 3 3 3 ÷( )( ) èçb c d a ø÷ abcd Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . c) Áp dụng câu a) ta có 3 3 a + b + c 8abc æa + b + c ö 8abc 8(a + b + c) VT = 3. + ³ 44 ç ÷ = 44 3 ç 3 ÷ 3 abc (a + b)(b + c)(c + a) èç 3 abc ø÷ (a + b)(b + c)(c + a) 27(a + b)(b + c)(c + a) 3 8(a + b + c) Như vậy ta chỉ cần chứng minh 44 ³ 4 27(a + b)(b + c)(c + a) 3 Û 8(a + b + c) ³ 27(a + b)(b + c)(c + a) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có 3 3 æ(a + b) + (b + c) + (c + a)ö 8(a + b + c) ç ÷ (a + b)(b + c)(c + a) £ ç ÷ = èç 3 ø÷ 27 Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số không âm như sau: Cho n số không âm ai , i = 1,2, ,n . a + a + + a Khi đó ta có 1 2 n ³ n a a a . n 1 2 n 189
9. Ví dụ 4: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng a) a2b + b2c + c2a £ 3 ab bc ca 3 b) + + £ 3 + c2 3 + a2 3 + b2 4 Lời giải 2 a) Ta có (a2 + b2 + c2 ) = 9 Û a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2b2 = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có a4 + b4 ³ 2a2b2, b4 + c4 ³ 2b2c2, c4 + a4 ³ 2c2a2 Cộng vế với vế lại ta được a4 + b4 + c4 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 (2) Từ (1) và (2) ta có a2b2 + b2c2 + c2a2 £ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + a2b2 ³ 2 a2.a2b2 = 2a2b, tương tự ta có b2 + b2c2 ³ 2b2c, c2 + c2a2 ³ 2c2a Cộng vế với vế ta được a2 + b2 + c2 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ 2(a2b + b2c + c2a) (4) Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a2b + b2c + c2a £ 3 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. b) Áp dụng BĐT côsi ta có 3 + a2 = 3 + (3 - b2 - c2 ) = (3 - b2 ) + (3 - c2 ) ³ 2 (3 - b2 )(3 - c2 ) bc bc 1 b2 c2 1æ b2 c2 ö 1æ b2 c2 ö Þ £ = . £ ç + ÷= ç + ÷ 2 2 2 ç 2 2 ÷ ç 2 2 2 2 ÷ 3 + a 2 (3 - b2 )(3 - c2 ) 2 3 - c 3 - b 4èç3 - c 3 - b ø÷ 4èçb + a c + a ø÷ ab 1æ a2 b2 ö ca 1æ c2 a2 ö Tương tự ta có £ ç + ÷, £ ç + ÷ 3 + c2 4èça2 + c2 b2 + c2 ø÷ 3 + b2 4èçc2 + b2 a2 + b2 ø÷ ab bc ca 3 Cộng vế với vế ta được + + £ ĐPCM. 3 + c2 3 + a2 3 + b2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. • Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. • Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ³ a + b + c (hoặc xyz ³ abc ), ta thường đi chứng minh x + y ³ 2a (hoặcab £ x 2 ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. • Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên). Ví dụ 5: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: ab bc ac a b c 1 1 1 a) + + ³ a + b + c b) + + ³ + + c a b b2 c2 a2 a b c Lời giải ab bc ab bc a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2b c a c a bc ac ac ba Tương tự ta có + ³ 2c, + ³ 2a . a b b c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æab bc ac ö ab bc ac 2ç + + ÷³ 2(a + b + c) Û + + ³ a + b + c ĐPCM èç c a b ø÷ c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . 190
10. a 1 a 1 2 b) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = b2 a b2 a b b 1 2 c 1 2 Tương tự ta có + ³ , + ³ c2 b c a2 c a Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 + + + + + ³ + + Û + + ³ + + ĐPCM. b2 c2 a2 a b c a b c b2 c2 a2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 6: Cho a,b,c dương sao cho a2 + b2 + c2 = 3 . Chứng minh rằng a3b3 b3c3 c3a3 a) + + ³ 3abc c a b ab bc ca b) + + ³ 3. c a b Lời giải a3b3 b3c3 a3b3 b3c3 a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2b3ac c a c a b3c3 c3a3 c3a3 a3b3 Tương tự ta có + ³ 2abc3, + ³ 2a3bc a b b c æa3b3 b3c3 c3a3 ö Cộng vế với vế ta có 2ç + + ÷³ 2abc(a2 + b2 + c2 ) èç c a b ø÷ a3b3 b3c3 c3a3 Û + + ³ 3abc . ĐPCM c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 æab bc ca ö b) BĐT tương đương với ç + + ÷ ³ 9 èç c a b ø÷ 2 2 2 2 2 2 æabö æbc ö æca ö æabö æbc ö æca ö Û ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + 2(a2 + b2 + c2 ) ³ 9 Û ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ 2 2 2 2 æabö æbc ö æabö æbc ö Áp dụng BĐT côsi ta cóç ÷ + ç ÷ ³ 2 ç ÷ .ç ÷ = 2b2 èç c ø÷ èç a ø÷ èç c ø÷ èç a ø÷ 2 2 2 2 æbc ö æca ö æca ö æabö Tương tự ta có ç ÷ + ç ÷ ³ 2c2, ç ÷ + ç ÷ ³ 2a2 èç a ø÷ èç b ø÷ èç b ø÷ èç c ø÷ 2 2 2 æabö æbc ö æca ö Cộng vế với vế và rút gọn ta được ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 ĐPCM. èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Ví dụ 7: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a) 8(a + b)(b + c)(c + a) £ (3 + a)(3 + b)(3 + c) b) (3 - 2a)(3 - 2b)(3 - 2c) £ abc Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 æ(a + b) + (b + c)ö (3 + a) ç ÷ (a + b)(b + c) £ ç ÷ = èç 2 ÷ø 4 2 2 (3 + c) (3 + a) Tương tự ta có (b + c)(c + a) £ , (c + a)(a + b) £ 4 4 191
11. é ù2 é ù2 Nhân vế với vế lại ta được ë(a + b)(b + c)(c + a)û £ 64 ë(3 + a)(3 + b)(3 + c)û Suy ra 8(a + b)(b + c)(c + a) £ (3 + a)(3 + b)(3 + c) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . b) * TH1: Với (3 - 2a)(3 - 2b)(3 - 2c) £ 0: BĐT hiển nhiên đúng. * TH2: Với (3 - 2a)(3 - 2b)(3 - 2c) > 0: + Nếu cả ba số (3 - 2a), (3 - 2b), (3 - 2c) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ(3 - 2a) + (3 - 2b)ö ç ÷ 2 (3 - 2a)(3 - 2b) £ ç ÷ = c , tương tự ta có èç 2 ø÷ (3 - 2b)(3 - 2c) £ a2, (3 - 2c)(3 - 2a) £ b2 é ù2 2 2 2 Nhân vế với vế ta được ë(3 - 2a)(3 - 2b)(3 - 2c)û £ a b c Hay (3 - 2a)(3 - 2b)(3 - 2c) £ abc . + Nếu hai trong ba số(3 - 2a), (3 - 2b), (3 - 2c) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử 3 - 2a < 0, 3 - 2b < 0 suy racó 6 - 2a - 2b < 0 Û c < 0(không xảy ra) Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 . a2 b2 c2 a + b + c Ví dụ 8: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng + + ³ . b + c c + a a + b 2 Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : a2 b + c a2 b + c + ³ 2 . = a . b + c 4 b + c 4 b2 c + a c2 a + b Tương tự ta có + ³ b; + ³ c . c + a 4 a + b 4 Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc : a2 b2 c2 a + b + c + + + ³ a + b + c b + c c + a a + b 2 a2 b2 c2 a + b + c Û + + ³ b + c c + a a + b 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . a2 b + c Lưu ý :Việc ta ghép + và đánh giá như trên là vì những lí do sau: b + c 4 Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn a2 đại lượng khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b + c . b + c Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự a2 a đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c khi đó = và b + c = 2a do đó ta ghép như trên. b + c 2 Ví dụ 9: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a) + + ³ b + 1 c + 1 a + 1 2 a3 b3 c3 3 b) + + ³ b + 3 c + 3 a + 3 2 192
12. Lời giải a b c a) Đặt P = + + b + 1 c + 1 a + 1 Áp dụng BĐT côsi ta có a a 2a(b + 1) a a 2a(b + 1) 3 2a + + ³ 33 . . = b + 1 b + 1 4 b + 1 b + 1 4 2 Tương tự ta có b b 2b(c + 1) 3 2b c c 2c(a + 1) 3 2c + + ³ , + + ³ c + 1 c + 1 4 2 a + 1 a + 1 4 2 Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được 2 3 2 2P + (ab + bc + ca + a + b + c) ³ (a + b + c) 4 2 15 2 2 Û P ³ - (ab + bc + ca) (vì a + b + c = 3) 8 8 2 Mặt khác ta có (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca) (theo ví dụ 1) Do đó ab + bc + ca £ 3 15 2 2 3 2 Suy ra Û P ³ - .3 = ĐPCM. 8 8 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1. a3 b3 c3 b) Đặt Q = + + b + 3 c + 3 a + 3 a2 b2 c2 Ta có Q = + + a(b + 3) b(c + 3) c(a + 3) Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a(b + 3) = 2 4a(b + 3) £ 4a + b + 3 a2 4a2 Suy ra ³ , tương tự ta có a(b + 3) 4a + b + 3 b2 4b2 c2 4c2 ³ , ³ b(c + 3) 4b + c + 3 c(a + 3) 4c + a + 3 4a2 4b2 4c2 Cộng vế với vế lại ta được Q ³ + + = L 4a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 4a2 1 4a2 1 + (4a + b + 3) ³ 2 . (4a + b + 3) = a 4a + b + 3 16 4a + b + 3 16 Tương tự ta có 4b2 1 4c2 1 + (4b + c + 3) ³ b, + (4c + a + 3) ³ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16 1 Cộng vế với vế lại ta được L + é5(a + b + c) + 9ù³ a + b + c 16 ë û 3 3 Vì a + b + c = 3 nên L ³ suy ra Q ³ ĐPCM 2 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1. 193
13. Ví dụ 10: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + + + 3 ³ 2(a + b + c). a2 b2 c2 Lời giải é ùé ùé ù 2 2 2 Ta có ë(a - 1)(b - 1)ûë(b - 1)(c - 1)ûë(c - 1)(a - 1)û= (a - 1) (b - 1) (c - 1) ³ 0 Do đó không mất tính tổng quát giả sử (a - 1)(b - 1) ³ 0 Û ab + 1 ³ a + b Û 2(ab + c + 1) ³ 2(a + b + c) 1 1 1 Do đó ta chỉ cần chứng minh + + + 3 ³ 2(ab + c + 1) a2 b2 c2 1 1 1 Û + + + 1 ³ 2(ab + c) a2 b2 c2 1 1 2 1 2 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ = 2c, + 1 ³ = 2ab(do abc = 1) a2 b2 ab c2 c 1 1 1 Cộng vế với vế ta được + + + 1 ³ 2(ab + c) ĐPCM. a2 b2 c2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1. Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 (x - 1) 1 a) f (x) = với x > 2 b) g(x) = 2x + với x > - 1 2 x - 2 (x + 1) 3 1 1 c) h(x ) = x + với x ³ 2 d) k (x ) = 2x + với 0 2 nên x - 2 > 0, > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x - 2 1 1 x - 2 + ³ 2 (x - 2). = 2 x - 2 x - 2 Suy ra f (x ) ³ 4 1 2 Đẳng thức xảy ra Û x - 2 = Û (x - 2) = 1 Û x = 1(loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x - 2 Vậy min f (x ) = 4 khi và chỉ khi x = 3 . b) Do x > - 1 nên x + 1 > 0. Áp dụng BĐT côsi ta có 1 1 g(x) = x + 1 + x + 1 + - 2 ³ 3 x + 1 . x + 1 . - 2 = 1 ( ) ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 (x + 1) (x + 1) 1 3 Đẳng thức xảy ra Û x + 1 = Û x + 1 = 1 Û x = 0 (thỏa mãn) 2 ( ) (x + 1) Vậy min g(x ) = 1 khi và chỉ khi x = 0 . æ3 3x ö x c) Ta có h(x ) = ç + ÷+ èçx 4 ø÷ 4 3 3x 3 3x Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 3 x 4 x 4 194
14. æ3 3x ö x 2 7 Mặt khác x ³ 2 suy ra h(x ) = ç + ÷+ ³ 3 + = èçx 4 ø÷ 4 4 2 ïì 3 3x ï = Đẳng thức xảy ra Û í x 4 Û x = 2 ï x = 2 îï 7 Vậy minh(x ) = khi và chỉ khi x = 2. 2 1 7 d) Ta có k (x ) = x + x + + 8x 2 8x 2 1 1 3 Áp dụng BĐT côsi ta có x + x + ³ 33 x.x. = 8x 2 8x 2 2 1 7 7 3 7 Mặt khác 0 0 ) m Do b,c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá æa2 ö 2bc £ b2 + c2 . Suy ra A £ ç + m + 1÷(1 + b2 + c2 ) = B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới èçm ø÷ 2 æx + y ö dạng xy £ ç ÷ để là xuất hiện a2 + b2 + c2 nên ta sẽ tách như sau èç 2 ø÷ 2 1 1 æ(a2 + m2 + m ) + (1 + b2 + c2 )ö 2 2 2 2 ç ÷ B = (a + m + m )(1 + b + c ) £ ç ÷ m m èç 2 ø÷ 1 2 Suy ra A £ (m2 + m + 2) 4m Dấu bằng xảy ra khi a = m, b = c,a2 + m2 + m = 1 + b2 + c2 và a2 + b2 + c2 = 1. 2 Từ đây ta có m = . Do đó ta có lời giải như sau: 3 Lời giải 4 4 3a2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + ³ a Þ 2a £ + và 2bc £ b2 + c2 9 3 2 3 195
15. æ3a2 2 ö Suy ra A £ ç + + 1÷(b2 + c2 + 1) èç 2 3 ø÷ Áp dụng BĐT côsi ta có æ ö2 2 10 2 2 ÷ 2 ça + + b + c + 1÷ æ3a 2 ö 3æ 10ö 3ç ÷ 98 ç + + 1÷ b2 + c2 + 1 = ça2 + ÷ b2 + c2 + 1 £ ç 9 ÷ = ç ÷( ) ç ÷( ) ç ÷ è 2 3 ø 2è 9 ø 2ç 2 ÷ 27 èç ø÷ ïì 2 ï a = ï 3 ïì 2 ï ï a = 98 ï b = c ï Suy ra A £ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï Û íï 3 27 ï 10 ï 5 ï a2 + = b2 + c2 + 1 ï b = c = ï 9 îï 18 ï a2 + b2 + c2 = 1 îï 98 2 5 Vậy max A = khi và chỉ khi a = và b = c = . 27 3 18 Ví dụ 13: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c2 = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 + c3 . Phân tích Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a + 4b + 3c2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau (m,n, p dương) c3 c3 a2 + m2 ³ 2am, b2 + n 2 ³ 2bn và + + 4p3 ³ 3pc2 2 2 Suy ra a2 + b2 + c3 + m2 + n 2 + 4p3 ³ 2am + 2bn + 3pc (*) Để 2am + 2bn + 3pc2 có thể bội số của 2a + 4b + 3c2 thì 2m 2n 3p n = = Û m = = p 2 4 3 2 Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = m,b = n,c = 2p 2 Hay a = m,b = 2m,c = 2m Þ 2m + 4.(2m ) + 3(2m ) = 68 17 Û 12m2 + 10m - 68 = 0 Û m = 2(nhận) hoặc m = - (loại) 6 Suy ra p = 2,n = 4 do đó ta có lời giải như sau Lời giải Áp dụng bĐT côsi ta có c3 c3 a2 + 4 ³ 4a, b2 + 16 ³ 8b và + + 32 ³ 6c2 2 2 Cộng vế với vế ta được a2 + b2 + c3 + 52 ³ 4a + 8b + 6c2 , kết hợp với 2a + 4b + 3c2 = 68 Suy ra a2 + b2 + c3 ³ 84 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2,b = 4,c = 4 Vậy min A = 84 Û a = 2,b = 4,c = 4 . Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau x 2 - x + 3 a) A = với x < 1 1- x 3 b) B = - x 2 + 4x + 21 - - x 2 + 3x + 10 với - 2 £ x £ 5. 196
16. Lời giải x 2 - x + 3 a) Ta có A = (1- x )(x 2 + x + 1) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 1 2(1- x ) + x 2 + x + 1 x 2 - x + 3 (1- x )(x 2 + x + 1) = 2(1- x ). x 2 + x + 1 £ = 2 2 2 2 2 x 2 - x + 3 Suy ra A ³ = 2 2 x 2 - x + 3 2 2 - 3 ± 13 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2(1- x ) = x 2 + x + 1 Û x 2 + 3x - 1 = 0 Û x = 2 - 3 ± 13 Vậy min A = 2 2 khi x = x< 1 2 x + 11 x + 11 b) Ta có B = = - x 2 + 4x + 21 + - x 2 + 3x + 10 (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5 - x) Với - 2 £ x £ 5 thì x + 11 ; x + 3 ; 7 - x ; x + 2 ; 5 - x là các số không âm nên theo BĐT côsi ta có : æ ö 1 1 ç(2x + 6) + (7 - x) ÷ x + 13 (x + 3)(7 - x) = (2x + 6)(7 - x) £ ç ÷= (1) 2 2èç 2 ø÷ 2 2 æ ö 1 1 ç(2x + 4) + (5 - x) ÷ x + 9 (x + 2)(5 - x) = (2x + 4)(5 - x) £ ç ÷= (2) 2 2èç 2 ø÷ 2 2 x + 11 Từ (1) và (2) suy ra (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5 - x) £ , từ đó ta có B ³ 2 . 2 1 Dấu bằng xảy ra Û (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng Û x = . 3 1 Vậy min B = 2 Û x = . - 2£ x£ 5 3 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. Ví dụ 15: Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của bc ca ab P = + + . a + 2 bc b + 2 ca c + 2 ab Lời giải æ ö æ ö bc 1ç a ÷ 1ç a ÷ Áp dụng BĐT côsi ta có = ç1- ÷£ ç1- ÷ a + 2 bc 2èç a + 2 bc ÷ø 2èç a + b + c ÷ø æ ö æ ö ca 1ç b ÷ ab 1ç c ÷ Tương tự ta có £ ç1- ÷, £ ç1- ÷ b + 2 ca 2èç a + b + c ø÷ c + 2 ab 2èç a + b + c ø÷ Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 1æ a b c ö P £ ç3 - - - ÷= 1 2èç a + b + c a + b + c a + b + c ø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy min P = 1 Û a = b = c Ví dụ 16: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 197
17. a b c 3 a) + + ³ . 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2 a2 b2 c2 b) + + ³ 1 a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có: a a(1 + b2 - b2 ) ab2 ab2 ab = = a - ³ a - = a - 1 + b2 1 + b2 1 + b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có ³ b - và ³ c - 1 + c2 2 1 + a2 2 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a b c ab + bc + ca ab + bc + ca + + ³ a + b + c - = 3 - 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2 2 2 Mặt khác ta có (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca) Þ ab + bc + ca £ 3. a b c 3 3 Do đó + + ³ 3 - = ĐPCM. 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : a2 a(a + 2b3 )- 2ab3 2ab3 2b3 a2 = ³ a - = a - . a + 2b3 a + 2b3 33 ab6 3 b2 2c 3 b c2 2a 3 c Tương tự ta có ³ b - , ³ c - b + 2c3 3 c + 2a3 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a2 b2 c2 2 + + ³ a + b + c - b3 a2 + a 3 c2 + c 3 b2 a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 3( ) Mặt khác a + b + c = 3 do đó ta chỉ cần chứng minh: b3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ 3. Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có : 1 2ab + b b3 a2 £ b.(a + a + 1) = 3 3 2bc + c 2ca + a Tương tự ta có c 3 b2 £ , a 3 c2 £ 3 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2 1 b3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ + + = (ab + bc + ca) + (a + b + c) 3 3 3 3 3 2 1 Từ đó suy ra: b3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ .3 + .3 = 3 ĐPCM. 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Ví dụ 17: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. c b a Chứng minh rằng + + ³ 1 1 + ab 1 + ac 1 + bc Lời giải c b a Đặt P = + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc Áp dụng BĐT côsi ta có 198