Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 2: Đại cương về bất phương trình

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 2: Đại cương về bất phương trình

1. §2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn Cho hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ) có tập xác định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df Ç Dg . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f (x ) g(x ), f (x ) £ g(x ), f (x ) ³ g(x ) được gọi là bất phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình. x0 Î D gọi là một nghiệm của bất phương trình f (x ) 0 với mọi x Î D 3) f (x ).h(x ) > g(x ).h(x ) nếu h(x ) 0 f (x ) 2. Các ví dụ điển hình. Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 212
2. 5 x + 1 a) x + 4x - 3 - 7 x - 2 x - 2 Lời giải ïì x - 3 ³ 0 ïì x ³ 3 a) Điều kiện xác định của bất phương trình làíï Û íï Û x = 3 ï 3 - x ³ 0 ï x £ 3 îï îï Thử vào bất phương trình thấy x = 3 thỏa mãn Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S = {3} b) Điều kiện xác định của bất phương trình là 2 - x 2 + 4x - 4 ³ 0 Û - (x - 2) ³ 0 Û x = 2 Thay x = 2 vào thấy thỏa mãn bất phương trình Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S = {3} ïì x ³ 0 ïì x ³ 0 c) Điều kiện xác định của bất phương trình là íï Û íï Û x > 2 ï x - 2 > 0 ï x > 2 îï îï Với điều kiện đó bất phương trình tương đương với x < 2 Û x < 4 Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Æ ì 2 ï (x - 1) (3 - 4x ) ³ 0 d) Điều kiện xác định của bất phương trình là íï (*) ï 4x - 3 ³ 0 îï Dễ thấy x = 1 thỏa mãn điều kiện (*). ïì 3 ì ï x £ ï 3 - 4x ³ 0 ï 3 Nếu x ¹ 1 thì (*) Û íï Û í 4 Û x = ï 4x - 3 ³ 0 ï 3 4 îï ï x ³ îï 4 3 Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x = 1 hoặc x = 4 3 Thay x = 1 hoặc x = vào bất phương trình thấy đều thỏa mãn. 4 ïì 3ïü Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = íï 1; ýï . îï 4þï 3. Bài tập luyện tập. 213
3. Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 1 x 1 a) x - 3 x 2 - 6x + 9 x + 2 Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó: a) 2x + 2x - 1 ³ 2 1- 2x + 1 b) - x 2 + x - 1 £ 2 2 c) x + 1- x - 7 ➢ DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG. 1. Phương pháp giải. Để giải bất phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về bất phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) cả hai vế của bất phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương bất phương trình đã cho. • Nhân (chia) vào hai vế của bất phương trình với một biểu thức luôn dương(hoặc luôn âm) và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được bất phương trình cùng chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình đã cho. • Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế luôn dương) ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. • Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x 1 0 (*) : 1 1 x x a) 3x 1 b) 3x 1 x 3 x 3 3x 1 3x 1 Lời giải 1 Ta có 3x 1 0 x 3 1 1 a) 3x 1 (1) không tương đương 3x 1 0 vì x 3 là nghiệm của bất phương trình (*) nhưng x 3 x 3 không là nghiệm của bất phương trình (1). x x 1 b) 3x 1 3x 1 0 x 3x 1 3x 1 3 x x Do đó 3x 1 tương đương 3x 1 0 . 3x 1 3x 1 Ví dụ 2: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm. x x 1 a) x2 2x 3 0 b) 2 x 1 x Lời giải a) Ta có x2 2x 0 x2 2x 3 0 do đó bất phương trình vô nghiệm. b) ĐKXĐ: x 0 . x x 1 x x 1 Áp dụng BĐT côsi ta có 2 . 2 x 1 x x 1 x 214
4. Suy ra bất phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x . 1 2 1 a) x 1 x2 2x 1 b) x 1 x2 1 x2 1 Lời giải a) BPT x 1 x2 2x 1 0 x 1 x 1 2 0 Do x 1 0, x 1 2 0 với mọi x nên x 1 x 1 2 0 với mọi x . Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . b) BPT x 1 2 0 x 1 2 0 (đúng với mọi x ) Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phương trình x 1 x 1 như sau Bất phương trình tương đương với x 1 2 x 1 2 x2 2x 1 x2 2x 1 4x 0 x 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S [0; ) . Theo em ban Nam giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. Lời giải Bạn Nam đã mắc sai lầm ở phép biến đổi bình phương hai vế Lời giải đúng là: • Với x 1 ta có x 1 0, x 1 0 suy ra nghiệm của bất phương trình là x 1 x 1 • Với x 1: Bất phương trình tương đương với 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1 4x 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S ¡ . 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.57: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x 1 0 : 1 1 a) 3x 1 b) 3x 1 x 1 x 1 x 3 x 3 Bài 4.58: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm. a) x 1 x 4 b) x 1 x2 x 1 Bài 4.59: Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x . x2 2 a) x 1 2x2 2x 1 0 b) 2 x2 1 Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phương trình x 1 2x 2 1 0 như sau Bất phương trình tương đương với 1 2x 2 1 0 2x 2 1 2x 2 1 x 2 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S [ ; ) . 2 215
5. Theo em ban Bình giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó. • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , Nghiệm của các bất phương trình dạng ax by c,ax by c,ax by c cũng được định nghĩa tương tự. • Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng d : ax by c 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0 . Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax by c 0 Bước 2. Xét một điểm M x0 ; y0 không nằm trên (d). • Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 . • Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0. Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax by c 0 hoặc ax by c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. 216
6. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: • Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. • Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: x 2y 2x y 1 a) 2x y 0 b) 2 3 y 2 Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng d : 2x y 0 . Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường O 1 x thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;0 . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa (d) điểm M 1;0 (Miền không được tô màu trên hình vẽ). x 2y 2x y 1 b) Ta có 3 x 2y 2 2x y 1 0 y 2 3 x 4y 2 0 x 4y 2 0 Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng : x 4y 2 0 Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã -2 O 1 x cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (không kể đường thẳng Δ ) và không chứa điểm O 0;0 (Miền không được tô màu trên hình vẽ). -2 Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: y x y 0 x y 2 0 a) b) 2x 3y 6 0 (d') x 3y 3 0 2 x 2y 1 0 1 Lời giải -3 -2 O 1 2 x (d) 217
7. a) Vẽ các đường thẳng d : x y 2 0 , d ' : x 3y 3 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình x y 2 0 và x 3y 3 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng d và d ' . b) Vẽ các đường thẳng d : x y 0, d ' : 2x 3y 6 0 và y d " : x 2y 1 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (d') Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 là nghiệm của bất phương trình (d) 2x 3y 6 0 và x 2y 1 0 . Do đó O 0;0 thuộc miền 2 nghiệm của bất phương trình 2x 3y 6 0 và x 2y 1 0 . 1 Xét điểm M 1;0 ta thấy 1;0 là nghiệm của bất phương trình -3 -2 -1 O 1 2 3 x x y 0 do đó điểm M 1;0 thuộc miền nghiệm bất phương trình x y 0 . (d") Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng d " Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phương trình x y x3 y3 0 . Lời giải Ta có x y x3 y3 0 x y x y x2 xy y2 0 y x y 0 x y 0 x y x y 0 (1) hoặc (2) x y 0 x y 0 (d) 2 Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền 1 nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2). -2 -1 O 1 2 x Vẽ các đường thẳng d : x y 0 , d ' : x y 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Xét điểm M 1;0 , ta có 1;0 là nghiệm của các bất (d') phương trình của hệ (1) do đó M 1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1). Xét điểm N 1;0 , ta có 1;0 là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó N 1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2). Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng d , d ' . 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.61: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: x y a) x 3y 0 b) x y 1 2 Bài 4.62: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: 218
8. x y 2 0 x y 2 0 a) b) 2x 3y 6 0 x y 3 0 x 2y 3 0 ➢ DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ. Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Lưu ý: Ta thừa nhận kết quả sau "Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P x; y ax by b 0 trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác". Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? Lời giải Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là: 800.000x 4.000000y (đồng) Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức: 800.000x 4.000.000y 16.000.000 hay x 5y 20 0 Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x 5, y 4 . Đồng thời do x, y là thời lượng nên x 0, y 0. Hiệu quả chung của quảng cáo là: x 6y . y Bài toán trở thành: Xác định x, y sao cho: M x; y x 6y đạt giá trị lớn nhất. x 5y 20 0 Với các điều kiện x 5 (*) (d) 0 y 4 4 3 Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương x trình (*) O 5 20 219
9. Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng d : x 5y 20 0, d ' : x 5, d '' : y 4 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác) không tô màu trên hình vẽ Giá trị lớn nhất của M x; y x 6y đạt tại một trong các điểm 5;3 , 5;0 , 20;0 Ta có M 5;3 23, M 5;0 5, M 20;0 20 suy ra giá trị lớn nhất của M x; y bằng 23 tại 5;3 tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất. Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? Lời giải Phân tích bài toán: Gọi x ( x 0 ) là số kg loại I cần sản xuất, y ( y 0 ) là số kg loại II cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x 4y , thời gian là 30x 15y có mức lời là 40000x 30000y Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra 2x 4y 200 hay x 2y 100 0 , 30x + 15y £ 1200 hay 2x y 80 0 . ïì x + 2y - 100 £ 0 ï ï 2x + y - 80 £ 0 Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ íï (*) sao cho L x; y 40000x 30000y đạt ï x ³ 0 ï ï y ³ 0 îï giá trị lớn nhất. y Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng d : x 2y 100 0, d ' : 2x y 80 0 80 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt 50 phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ 40 Giá trị lớn nhất của L x; y 40000x 30000y đạt tại một x O 20 40 100 trong các điểm 0;0 , 40;0 , 0;50 , 20;40 . Ta có L 0;0 0, L 40;0 1600000, L 0;50 1500000, L 20;40 2000000 suy ra giá trị lớn nhất của L x; y là 2000000 khi x; y 20;40 . Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất. 220
10. 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.63: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất? Bài 4.64: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần 0,06kg đường, 0,08kg đậu và cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07kg đường, 0,04kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết)? Bài 4.65: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau: Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm. Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất? 221