Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Đ3. BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Giải và biện luận bất phương trỡnh dạng ax + b 0 thỡ (1) Û x - suy ra tập nghiệm là S = ỗ- ;+ Ơ ữ a ốỗ a ứữ Cỏc bất phương trỡnh dạng ax + b > 0, ax + b Ê 0, ax + b ³ 0 được giải hoàn toỏn tương tự 2. Hệ bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn Để giải hệ bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trỡnh của hệ bất phương trỡnh. Khi đú tập nghiệm của hệ bất phương trỡnh là giao của cỏc tập nghiệm từng bất phương trỡnh. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRèNH DẠNG ax + b 3x + 4 c) (m2 + 9)x + 3 ³ m (1- 6x ) d) m (m2x + 2) 2 bõt phương trỡnh tương đương với x = 3 m - 2 Kết luận m = 2 bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x (cú tập nghiệm là S = Ă ). m > 2 bõt phương trỡnh cú nghiệm là x 3(cú tập nghiệm là S = (3;+ Ơ )) b) Bất phương trỡnh tương đương với (m - 2)x > 4 - m2 Với m = 2 bất phương trỡnh trở thành 0x > 0suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm. 4 - m2 Với m > 2 bõt phương trỡnh tương đương với x > = - m - 2 m - 2 4 - m2 Với m 2 bõt phương trỡnh cú nghiệm là x > - m - 2 m < 2 bõt phương trỡnh cú nghiệm là x < - m - 2 2 c) Bất phương trỡnh tương đương với (m + 3) x ³ m - 3 Với m = - 3 bất phương trỡnh trở thành 0x ³ - 6suy ra bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x . m - 3 Với m ạ - 3 bõt phương trỡnh tương đương với x ³ 2 (m + 3) Kết luận 222
2. m = - 3 bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x . m - 3 m ạ - 3 bõt phương trỡnh cú nghiệm là x ³ . 2 (m + 3) d) Bất phương trỡnh tương đương với Û (m3 - 1)x 0 ) m2 + m + 1 ốỗ 2ứữ 4 Với m = 1 bất phương trỡnh trở thành 0x 1 bõt phương trỡnh tương đương với x m2 + m + 1 Kết luận m = 2 bất phương trỡnh vụ nghiệm m - 1 m > 1 bõt phương trỡnh cú nghiệm là x . m2 + m + 1 Vớ dụ 2. Tỡm m để bất phương trỡnh (m2 - m )x + m < 6x - 2 vụ nghiệm. Lời giải Bất phương trỡnh tương đương với (m2 - m - 6)x < - 2 - m ùỡ m ạ - 2 Rừ ràng nếu m2 - m - 6 ạ 0 Û ớù bất phương trỡnh luụn cú nghiệm. ù m ạ 3 ợù Với m = - 2 bất phương trỡnh trở thành 0x < 0 suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm Với m = 3 bất phương trỡnh trở thành 0x < - 5 suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm Vậy giỏ trị cần tỡm là m = - 2 và m = 3. Vớ dụ 3. Tỡm m để bất phương trỡnh 4m2 (2x - 1) ³ (4m2 + 5m + 9)x - 12m cú nghiệm đỳng " x ẻ Ă . Lời giải Bất phương trỡnh tương đương với (4m2 - 5m - 9)x ³ 4m2 - 12m ỡ ù m ạ - 1 2 ù Dễ dàng thấy nếu 4m - 5m - 9 ạ 0 Û ớ 9 thỡ bất phương trỡnh khụng thể cú nghiệm đỳng " x ẻ Ă ù m ạ ợù 4 Với m = - 1 bất phương trỡnh trở thành 0x ³ 16 suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm 9 27 Với m = bõt phương trỡnh trở thành 0x ³ - suy ra bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x . 4 4 9 Vậy giỏ trị cần tỡm là m = . 4 Vớ dụ 4. Tỡm m để bất phương trỡnh (4m2 + 2m + 1)x - 5m ³ 3x - m - 1 cú tập nghiệm là [- 1;+ Ơ ) . Lời giải Bất phương trỡnh tương đương với (4m2 + 2m - 2)x ³ 4m - 1 Û (m + 2)(4m - 1)x ³ 4m - 1 ộm = - 2 ờ Với (m + 2)(4m - 1) = 0 Û ờ 1 thỡ bất phương trỡnh vụ nghiệm hoặc nghiệm đỳng với mọi x do đú ờm = ởờ 2 khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. 223
3. 1 1 Với m > ị (m + 2)(4m - 1) > 0 bất phương trỡnh tương đương với x ³ 4 m + 2 1 Do đú để bất phương trỡnh cú tập nghiệm là [- 1;+ Ơ ) thỡ = - 1 Û m = - 3 (khụng thỏa món) m + 2 1 1 Với - 2 0 bất phương trỡnh tương đương với x ³ m + 2 1 Do đú để bất phương trỡnh cú tập nghiệm là [- 1;+ Ơ ) thỡ = - 1 Û m = - 3 (thỏa món) m + 2 Vậy m = - 3 là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 5: Tỡm m để hai bất phương trỡnh sau tương đương (m - 1)x + 2m - 3 ³ 0(1) và (m + 1)x + m - 4 ³ 0 (2). Lời giải * Với m = 1 bất phương trỡnh (1) trở thành 0.x - 1 ³ 0(vụ nghiệm), bất phương trỡnh (2) trở thành 3 2x - 3 ³ 0 Û x ³ do đú hai bất phương trỡnh khụng tương đương. 2 5 * Với m = - 1 bất phương trỡnh (1) trở thành - 2x - 5 ³ 0 Û x Ê - , bất phương trỡnh (2) trở thành 2 0.x - 5 ³ 0(nghiệm đỳng với mọi x ) do đú hai bất phương trỡnh khụng tương đương. 3 - 2m 4 - m * Với m > 1 ta cú (1) Û x ³ , (2) Û x ³ m - 1 m + 1 3 - 2m 4 - m Suy ra hai bất phương trỡnh tương đương Û = m - 1 m + 1 Û m2 + 4m - 7 = 0 Û m = - 2 ± 11 Đối chiếu với điều kiện m > 1 suy ra m = - 2 + 11 . 3 - 2m 4 - m * Với - 1 < m < 1 ta cú (1) Û x Ê , (2) Û x ³ do đú hai bất phương trỡnh khụng tương m - 1 m + 1 đương. 3 - 2m 4 - m * Với m < - 1 ta cú (1) Û x Ê , (2) Û x Ê m - 1 m + 1 3 - 2m 4 - m Suy ra hai bất phương trỡnh tương đương Û = m - 1 m + 1 Û m2 + 4m - 7 = 0 Û m = - 2 ± 11 Đối chiếu với điều kiện m < - 1 suy ra m = - 2 - 11 Vậy hai bất phương trỡnh tương đương khi m = - 2 ± 11 . 2. Cỏc bài tập luyện tập. Bài 4.66: Giải và biện luận cỏc bất phương trỡnh: a) m(x - m) Ê x - 1. b) 3x + m2 ³ m(x + 3). Bài 4.67: a) Tỡm m để bất phương trỡnh mx - 2 Ê x - m vụ nghiệm. b) Tỡm m để bất phương trỡnh m2 (x - 1) ³ 9x + 3m cú nghiệm đỳng " x ẻ Ă . Bài 4.68: Cho hàm số f (x ) = (2m + 1)x - 3m + 2. ộ ự a) Tỡm m để phương trỡnh f (x ) = 0 cú nghiệm x ẻ ở0;1ỷ. 224
4. ộ ự b) Tỡm m để f (x ) ³ 0 với mọi x ẻ ở- 1;2ỷ. Bài 4.69: Tỡm m để bất phương trỡnh m (2x - 1) ³ 2x + 1 cú tập nghiệm là [1;+ Ơ ) . Bài 4.70: Tỡm m để hai bất phương trỡnh sau tương đương (2 - m )x + 2m + 4 ³ 0 và (m + 1)x + m2 - 4 ³ 0. ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1. Giải cỏc hệ bất phương trỡnh sau: ùỡ 5 ỡ ù 6x + 4x + 5 ù a) ớù b) ớ 7 ù 5x - 4 7 ù 5x - 2 > 4x + 5 ù ớ Û ớ 3 ù 5x - 4 - 1 ợù Vậy hệ bất phương trỡnh cú nghiệm là - 1 < x < 7. ùỡ ù x ³ 2 ù ù 5 11 5 d) Hệ bất phương trỡnh tương đương với ớù x < Û Ê x Ê ù 2 5 2 ù 11 ù x ³ ợù 5 11 5 Vậy hệ bất phương trỡnh cú nghiệm là Ê x Ê . 5 2 Vớ dụ 2. Tỡm m để hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm. ùỡ 2x - 1 Ê x + 2 ùỡ m (mx - 1) < 2 a) ớù b) ớù ù m m + 1 x + 4m ³ m - 2 x + 3m2 + 6 ù m mx - 2 ³ 2m + 1 ợù ( ) ( ) ợù ( ) Lời giải 225
5. ỡ x Ê 3 ùỡ x Ê 3 ù ù ù 2 a) Hệ bất phương trỡnh tương đương với ớ 2 2 Û ớ 3m - 4m + 6 ù (m + 2)x ³ 3m - 4m + 6 ù x ³ ợ ợù m2 + 2 3m2 - 4m + 6 Suy ra hệ bất phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi Ê 3 Û m ³ 0. m2 + 2 Vậy m ³ 0 là giỏ trị cần tỡm. ùỡ m2x Û m 13 5 13 72 Vậy m > là giỏ trị cần tỡm. 13 ùỡ (m - 1)x Ê - 2 ù b) Hệ bất phương trỡnh tương đương với ớ 14 ù x > ợù 3 ùỡ 0x Ê - 2 ù Với m = 1 hệ bất phương trỡnh trở thành ớ 14 (hệ bpt vụ nghiệm) ù x > ợù 3 ùỡ - 2 ù x Ê ù Với m > 1 hệ bất phương trỡnh ớ m - 1 suy ra hệ bất phương trỡnh vụ nghiệm ù 14 ù x > ợù 3 - 2 14 4 Û Ê Û - 6 Ê 14(m - 1) Û m ³ m - 1 3 7 Do đú m > 1 thỡ hệ bất phương trỡnh vụ nghiệm 226
6. ùỡ - 2 ù x ³ ù Với m ợù 3 Vậy giỏ trị cần tỡm là m ³ 1. ùỡ 2m (x + 1) ³ x + 3 Vớ dụ 4. Tỡm m để hệ bất phương trỡnh ớù cú nghiệm duy nhất. ù 4mx + 3 ³ 4x ợù Lời giải ùỡ (2m - 1)x ³ 3 - 2m Hệ bất phương trỡnh tương đương vớiớù ù 4m - 4 x ³ - 3 ợù ( ) 3 - 2m - 3 Giả sử hệ bất phương trỡnh cú nghiệm duy nhất thỡ = 2m - 1 4m - 4 3 5 Û 8m2 - 26m + 15 = 0 Û m = hoặc m = 4 2 ùỡ ổ3 ữử 3 3 ù ỗ - 1ữx ³ 3 - ùỡ x ³ 3 Với m = hệ phương trỡnh trở thành ớù ốỗ2 ứữ 2 Û ớù Û x = 3 ù ù x Ê 3 4 ù - x ³ - 3 ợù ợù 5 ùỡ 4x ³ - 2 1 Với m = hệ phương trỡnh trở thành ớù Û x ³ - ù 6x ³ - 3 2 ợù 2 3 Vậy giỏ trị cần tỡm là m = . 4 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.71: Giải cỏc hệ bất phương trỡnh sau: ùỡ 4x - 5 ùỡ 4 1 ù 2x - 5 ù 1 ù ợù ù m x + 2 (m - 2)x + m ợù x y 2 2 Bài 4.74: Tỡm m để phương trỡnh 15x 11xy 2y 7 cú nghiệm thỏa món . 2m2x 3my 0 ➢ DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRèNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. 227
7. mx - m + 1 Vớ dụ 1: Giải và biện luận bất phương trỡnh > 0 x - 1 Lời giải ĐKXĐ: x ạ 1 ùỡ x > 1 ùỡ x 0 ù mx - m + 1 1 ùỡ x 0 ta cú (3) Û ớ 1- m và (4) Û ớ 1- m ù x > ù x 1 Û m và (4) Û x 1 và (4) Û x khi đú (3) Û x > 1 và (4) Û x 1 ùỡ x 1, (4) trở thành ớù (vụ nghiệm) ù 0x + 1 > 0 ù 0x + 1 1 ùỡ x ợù m ợù m 1- m 1 ổ 1- m ử ổ1- m ử Nếu > 1 Û m tập nghiệm bất phương trỡnh là S = ỗ- Ơ ; ữẩ (1;+ Ơ ) 2 ốỗ m ứữ m = 0 tập nghiệm bất phương trỡnh là S = (1;+ Ơ ) ùỡ 1- m ùỹ m 2. a) Giải bất phương trỡnh khi m = 1 b) Tỡm m để bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x Lời giải 228
8. a) Khi m = 1 bất phương trỡnh trở thành - 3x + 2 > 2 ùỡ - 3x + 2 ³ 0 2 Û ớù Û x Ê - ù - 3x + 2 ³ 4 ợù 3 2 Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh là S = (- Ơ ;- ] 3 b) ĐKXĐ: (m2 - 4)x - m + 3 ³ 0 (*) Giả sử bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x thỡ khi đú (*) đỳng mọi x Suy ra m2 - 4 = 0 Û m = ± 2 Với m = 2 ta cú bất phương trỡnh trở thành 0.x - 2 + 3 > 2 (vụ nghiệm) Với m = - 2 ta cú bất phương trỡnh trở thành 0.x + 2 + 3 > 2 (đỳng với mọi x ) Vậy m = - 2 là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 3: Cho bất phương trỡnh x - 1(x - 2m + 2) ³ 0 a) Giải bất phương trỡnh khi m = 2 ộ ự b) Tỡm m để mọi x ẻ ở2;3ỷ đều là nghiệm của bất phương trỡnh đó cho. Lời giải a) Khi m = 2 bất phương trỡnh trở thành x - 1(x - 2) ³ 0 ộ ờ x - 1 = 0 ờ Bất phương trỡnh tương đương với ờùỡ x - 1 ³ 0 ớù ờù x - 2 ³ 0 ởờợù ộx = 1 ờ ộx = 1 Û ờùỡ x ³ 1 Û ờ ờớù ờx ³ 2 ờù x ³ 2 ởờ ởờợù Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh là S = {1} ẩ [2;+ Ơ ) . ộ ộ x = 1 ờ x - 1 = 0 ờ ờỡ ờỡ b) Bất phương trỡnh tương đương với ờù x - 1 ³ 0 Û ờù x ³ 1 ớù ớ ờù x - 2m + 2 ³ 0 ờù x ³ 2m - 2 ởờợù ởờợù 3 ộ x = 1 + TH1: 2m - 2 > 1 Û m > : Ta cú bất phương trỡnh Û ờ ờx ³ 2m - 2 2 ởờ Suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh là S = {1} ẩ [2m - 2;+ Ơ ) . ộ ự Do đú mọi x ẻ ở2;3ỷ đều là nghiệm của bất phương trỡnh (*) ộ ự Û ở2;3ỷè S Û 2m - 2 Ê 2 Û m Ê 2 3 Suy ra < m Ê 2 thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2 3 ộx = 1 + TH2: 2m - 2 = 1 Û m = : Ta cú bất phương trỡnh Û ờ Û x ³ 1 ờx ³ 1 2 ởờ 3 Suy ra m = thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2 3 ộx = 1 + TH3: 2m - 2 < 1 Û m < : Ta cú bất phương trỡnh Û ờ Û x ³ 1 ờx ³ 1 2 ởờ 229
9. 3 Suy ra m 0 (1) nghiệm đỳng với mọi x 0 ta cú (1) Û mx > - 4 Û x > - m ổ 4 ử Suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh (1) là S = ỗ- ;+ Ơ ữ ốỗ m ứữ Bất phương trỡnh (1) nghiệm đỳng với mọi x 0(đỳng với mọi x ) Do đú m = 0 thỏa món yờu cầu bài toỏn. 4 + TH3: m - 4 Û x 0, " x ẻ (- 8;8) Xột hàm số f (x ) = mx + 4 . Ta biết đồ thị là một đường thẳng do đú ùỡ f (- 8) ³ 0 f (x) = mx + 4 > 0, " x ẻ (- 8;8) Û ớù ù f (8) ³ 0 ợù ùỡ 1 ỡ ù m Ê ù - 8m + 4 ³ 0 ù 1 1 Û ớù Û ớ 2 Û - Ê m Ê ù 8m + 4 ³ 0 ù 1 2 2 ợù ù m ³ - ợù 2 1 1 Vậy - Ê m Ê là giỏ trị cần tỡm. 2 2 x b) Đặt t = bất phương trỡnh trở thành mt - 2m - 3 < 0 x 2 + 1 230
10. x x 1 1 Với x > 0 ta cú Ê = khi đú 0 - 2 2 ợù 2 ợù 3 Vậy m ³ - là giỏ trị cần tỡm. 2 ùỡ f (a ) > 0 Nhận xột : Bất phương trỡnh f (x ) = ax + b > 0, " x ẻ ộa;b ựÛ ớù , Bất phương trỡnh ở ỷ ù f b > 0 ợù ( ) ùỡ f (a ) ³ 0 f (x ) = ax + b > 0, " x ẻ (a;b ) Û ớù . Cỏc trường hợp khỏc tương tự. ù f b ³ 0 ợù ( ) Vớ dụ 5: Cho phương trỡnh (m + 1)x 2 - (4m + 3)x + 4m + 1 = 0 (1). Tỡm m để phương trỡnh (1) a) Cú một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2. b) Cú ớt nhất một nghiệm lớn hơn 2 Lời giải Đặt y = x - 2 ị x = y + 2 khi đú phương trỡnh (1) trở thành 2 (m + 1)(y + 2) - (4m + 3)(y + 2) + 4m + 1 = 0 Û (m + 1)y2 + 4(m + 1)y + 4(m + 1)- (4m + 3)y - 2(4m + 3) + 4m + 1 = 0 Û (m + 1)y2 + y - 1 = 0 (2) a) Phương trỡnh (1) cú một nghiệm lớn hơn 2 một nghiệm nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú hai nghiệm trỏi + TH1: Với m = - 1 phương trỡnh (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = - 1 khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn TH2: Với m ạ - 1 phương trỡnh (2) là phương trỡnh bậc hai do đú nú cú hai nghiệm trỏi dấu - 1 Û P 0 Û m > - 1 m + 1 Vậy với m > - 1 thỡ phương trỡnh (1) b) Ta cú phương trỡnh (1) cú ớt nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú ớt nhất một nghiệm dương. • Với m = - 1 phương trỡnh (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = - 1 thỏa món yờu cầu bài toỏn • Với m ạ - 1 phương trỡnh (2) là phương trỡnh bậc hai + TH1: Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm dương phõn biệt ỡ ù 1 + 4(m + 1) > 0 ùỡ D > 0 ù ù ù 1 ùỡ 5 ù ù - > 0 ù m > - 5 Û ớ S > 0 Û ớ m + 1 Û ớ 4 Û - 0 ù 1 ợù ợù ù - > 0 ợù m + 1 + TH2: Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm trỏi dấu Û m > - 1 (theo cõu a) + TH3: Phương trỡnh (2) cú nghiệm kộp dương 1 4 m 1 0 5 0 m 5 1 4 m S 0 0 4 m 1 m 1 231
11. + TH4: Phương trỡnh (2) cú một nghiệm dương và một nghiệm bằng khụng 1 0 S 0 m 1 P 0 1 (khụng tồn tại giỏ trị nào của m ) 0 0 m 1 1 4 m 1 0 5 Vậy m ³ - là giỏ trị cần tỡm. 4 Nhận xột: Để so sỏnh nghiệm phương trỡnh bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với số thực a ta đặt y = x - a và quy về việc xột dấu nghiệm của phương trỡnh bậc hai 2. Bài tập luyện tập 2x + m - 1 Bài 4.75: Giải và biện luận bất phương trỡnh > 0 x + 1 Bài 4.76: Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh 2x 2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Cú hai nghiệm khỏc dấu b) Cú hai nghiệm phõn biệt đều õm c) Cú hai nghiệm phõn biệt đều dương d) Cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau ộ 2 2 ự Bài 4.77: Giải và biện luận bất phương trỡnh 4 - x ở(m + 1)x - 5m ỷÊ 0 Bài 4.78: a) Với giỏ trị nào của m thỡ bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x ẻ [ - 2;3) . ổ 4x ử 2x b) Cho bất phương trỡnh ỗ1 + ữm + 0 (1) (trong đú P (x ) là tớch cỏc nhị thức bậc nhất.) • Cỏch giải: Lập bảng xột dấu củaP (x ) . Từ đú suy ra tập nghiệm của (1). b) Giải bất phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu P(x) • Dạng > 0 (2) (trong đú P (x ), Q (x ) là tớch những nhị thức bậc nhất.) Q(x) 232
12. P(x) • Cỏch giải: Lập bảng xột dấu của . Từ đú suy ra tập nghiệm của (2). Q(x) Chỳ ý: 1) Khụng nờn qui đồng và khử mẫu. 2) Rỳt gọn bớt cỏc nhị thức cú lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rỳt gọn để trỏnh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trỡnh chứa ẩn trong dấu giỏ trị tuyệt đối(GTTĐ) • Tương tự như giải phương trỡnh chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tớnh chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. ộA 0 ta cú A B Û ờ . ờA > B ởờ B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG 1: LẬP BẢNG XẫT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Lập bảng xột dấu cỏc biểu thức sau a) - 2x + 3 b) 4x - 12 c) x 2 - 4 d) - 2x 2 + 5x - 2 Lời giải 3 a) Ta cú - 2x + 3 = 0 Û x = , a 2 0 . 2 Bảng xột dấu x 3 2 2x 3 + 0 b) Ta cú 4x - 12 = 0 Û x = 3, a 4 0 . Bảng xột dấu x 4 4x 12 0 + c) Ta cú x 2 - 4 = (x - 2)(x + 2), x - 2 = 0 Û x = 2, x + 2 = 0 Û x = - 2 Bảng xột dấu x 2 2 x 2 0 + | + x 2 | 0 + x2 4 + 0 0 + ộx = 2 2 ờ d) Ta cú- 2x + 5x - 2 = 0 Û ờ 1 ờx = ởờ 2 ổ 1ử Suy ra - 2x 2 + 5x - 2 = - 2(x - 2)ỗx - ữ= (x - 2)(1- 2x ) ốỗ 2ứữ Bảng xột dấu x 1 2 2 1 2x + 0 | x 2 | 0 + - 2x 2 + 5x - 2 0 + 0 Vớ dụ 2: Lập bảng xột dấu cỏc biểu thức sau - 2x + 3 4x - 12 a) b) x - 2 x 2 - 4x 4x 2 c) x 4 - x 2 (x + 2) d) 1- ( ) 2 (x + 1) 233
13. Lời giải a) Bảng xột dấu x 3 2 2 2x 3 + 0 | x 2 | 0 + - 2x + 3 x - 2 0 + || 4x - 12 4x - 12 b) Ta cú = x 2 - 4x x (x - 4) Bảng xột dấu x 0 3 4 4x 12 | 0 + | + x 0 + | + | + x 4 | | 0 + 4x - 12 x 2 - 4x || + 0 || + 2 c) Ta cú x (4 - x 2 )(x + 2) = x (2 - x )(x + 2) Bảng xột dấu x 2 0 2 x | 0 + | + 2 x + | + | + 0 x 2 0 + | + | + x (4 - x 2 )(x + 2) 0 0 + 0 2 4x 2 (x + 1) - 4x 2 (3x + 1)(1- x ) d) Ta cú 1- = = 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) Bảng xột dấu x 1 1 1 3 3x 1 | 0 + | + 1 x + | + | + 0 x 1 0 + | + | + 4x 2 1- 2 || 0 + 0 (x + 1) - 2x + m Vớ dụ 3: Tựy vào m xột dấu cỏc biểu thức sau . x - 2 Lời giải m a) Ta cú x 2 0 x 2, 2x m 0 x 2 m TH1: 2 m 4: 2 Bảng xột dấu x m 2 2 2x m + | + 0 x 2 0 + | + 234
14. - 2x + m || + 0 x - 2 - 2x + m ổ m ử - 2x + m ổm ử Suy ra > 0 Û x ẻ ỗ2; ữ và 0 Û x ẻ ỗ ;2ữ và < 0 Û x ẻ ỗ- Ơ ; ữẩ (2;+ Ơ ) x - 2 ốỗ 2 ứữ x - 2 ốỗ 2 ữứ 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.80: Lập bảng xột dấu cỏc biểu thức sau a) - 4x + 8 b) 3x + 9 c) x 2 + 4x + 3 d) - 3x 2 + 10x - 3 Bài 4.81: Lập bảng xột dấu cỏc biểu thức sau - 2x + 4 4x - 8 a) b) x - 3 x 2 - 3x x 2 c) x 9 - x 2 (x + 3) d) - 1 ( ) 2 (x + 1) ➢ DẠNG 2: ỨNG DỤNG XẫT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Giải cỏc bất phương trỡnh sau a) (x - 1)(2 - 3x ) ³ 0 b) (x - 2)(x 2 - 5x + 4) < 0 c) (2x - 1)(x 3 - 1) Ê 0 d) x ( 3x - 3)(3 - x 2 ) Ê 0 Lời giải ộx = 1 ờ a) Ta cú (x - 1)(2 - 3x ) = 0 Û ờ 2 ờx = ởờ 3 Bảng xột dấu x 2 1 3 x 1 | 0 + 2 3x + 0 | (x - 1)(2 - 3x ) 0 + 0 2 Suy ra bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S ;1 . 3 235
15. b) Ta cú (x - 2)(x 2 - 5x + 4) = (x - 2)(x - 1)(x - 4) Bảng xột dấu x 1 2 4 x 1 0 + | + | + x 2 | 0 + | + x 3 | | 0 + (x - 2)(x 2 - 5x + 4) 0 + 0 0 + Suy ra bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S ;1  2;4 . c) Ta cú (2x - 1)(x 3 - 1) Ê 0 Û (2x - 1)(x - 1)(x 2 + x + 1) Ê 0 2 ổ 1ử 3 Û (2x - 1)(x - 1) Ê 0(vỡ x 2 + x + 1 = ỗx + ữ + > 0) ốỗ 2ữứ 4 Bảng xột dấu x 1 1 2 x 1 | 0 + 2x 1 0 + | + (x - 1)(2 - 3x ) + 0 0 + 1 Suy ra bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S ;1 . 2 d) Ta cú x ( 3x - 3)(3 - x 2 ) Ê 0 Û x 3(x - 3)( 3 - x )( 3 + x ) Ê 0 ộ 2 ờ x = 3 Û - 3x (x - 3) (x + 3) Ê 0 Û ờ x x + 3 ³ 0 ởờ ( ) Bảng xột dấu x 3 0 x | 0 + x 3 0 + | + (x - 1)(2 - 3x ) + 0 0 + Suy ra x (x + 3) ³ 0 Û x ẻ (- Ơ ;- 3] ẩ [0;+ Ơ ) Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (- Ơ ;- 3] ẩ [0;+ Ơ ) Vớ dụ 2: Giải cỏc bất phương trỡnh sau - 2x + 4 (x - 3)(x + 2) 1 1 a) Ê 0 b) < 1 c) Ê 2 2 (2x - 1)(3x + 1) x - 1 (x - 2) x + 4 Lời giải a) Bảng xột dấu x 1 1 2 3 2 3x 1 0 + | + | + 2x 1 | 0 + | + 2x 4 + | + | + 0 - 2x + 4 (2x - 1)(3x + 1) + || || + 0 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (- ; ) ẩ [2;+ Ơ ) 3 2 236
16. (x - 3)(x + 2) (x - 3)(x + 2) x + 5 b) Ta cú 0 Û > 0 x 2 - 1 x 2 - 1 (x - 1)(x + 1) Bảng xột dấu x 5 1 1 x 5 0 + | + | + x 1 | 0 + | + x 1 | | 0 + x + 5 (x - 1)(x + 1) 0 + || || + Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (- 5;- 1) ẩ (1;+ Ơ ) x 2 c) ĐKXĐ: x 4 1 1 1 1 Ta cú Ê Û - ³ 0 2 2 (x - 2) x + 4 x + 4 (x - 2) x2 4x x x 4 x x 4 0 0 0 x 4 x 2 2 x 4 x 2 2 x 4 Bảng xột dấu x 4 0 4 x 4 0 + | + | + x | 0 + | + x 4 | | 0 + x x 4 x 4 || + 0 0 + Kết hợp với điều kiện xỏc định suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (- 4;0] ẩ [4;+ Ơ ) Vớ dụ 3: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a) 2x + 1 3 c) x 1 x 2 3 Lời giải 1 a) Với x ta cú bất phương trỡnh tương đương với 2x + 1 1 2 1 Kết hợp với điều kiện x suy ra bất phương trỡnh cú tập nghiệm là 1; 2 1 1 Với x ta cú bất phương trỡnh tương đương với - 2x - 1 - 2 5 1 Kết hợp với điều kiện x suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S 1; . ộ 2x - 1 - 4 > 3 ộ2x - 1 > 7 b) Ta cú 2x - 1 - 4 > 3 Û ờ Û ờ ờ2x - 1 - 4 < - 3 ờ2x - 1 < 1 ởờ ởờ 2x 1 7 x 4 2x 1 7 x 3 1 2x 1 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (- Ơ ;- 3) ẩ (0;1) ẩ (4;+ Ơ ). c) Bảng xột dấu x 1 2 x 1 0 + | + 237
17. x 2 | 0 + Từ bảng xột dấu đú ta chia ra cỏc trường hợp sau Với x 1 ta cú bất phương trỡnh tương đương với x 1 x 2 3 3 3 (vụ nghiệm) Với 1 x 2 ta cú bất phương trỡnh tương đương với x 1 x 2 3 x 2 Kết hợp với điều kiện 1 x 2 suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm Với x 2 ta cú bất phương trỡnh tương đương với x 1 x 2 3 3 3 Kết hợp với điều kiện x 2 suy ra bất phương trỡnh cú nghiệm là x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = [2;+ Ơ ) . Vớ dụ 4: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: x - 2 - x x 1 1 x 1 2x 1 x 1 2 a) - 2 x x Kết hợp điều kiện x 2 suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh là S1 [2; ) Với x 2 ta cú bất phương trỡnh tương đương với 2 - x - x 2 - 2x 2 - 2x 3x - 2 0 Û > 0 x x x x Bảng xột dấu x 2 0 3 x 0 + | + 3x 2 | 0 + 3x - 2 x + || 0 + 2 Kết hợp điều kiện x 2 suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh là S ( ;0)  ( ;2) . 2 3 2 Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh là S S  S ( ;0)  ( ; ) 1 2 3 4 2 x 0 b) ĐKXĐ: x x 0 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 1 Ta cú 0 0 0 x4 x2 x4 x2 x4 x2 x2 x x x 1 1 0 0 0 x4 x2 x2 x 1 x 1 x x 1 Bảng xột dấu x 1 0 x 1 0 + | + x | 0 + 1 x x 1 + || || + Kết hợp điều kiện xỏc đinh suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh là S ( ; 1)  (0; ) \ 1 . 238
18. 1 2x 1 0 x 1 2 x c) ĐKXĐ: x 1 0 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Vỡ x 1 2x 1 0, x 1 2 0 nờn bất phương trỡnh tương đương với x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2 x 1 2 0 x 1 x 2 x 3 0 x 1 Bảng xột dấu x 1 2 3 x 1 0 + | + | + x 2 + | + 0 | x 3 | | 0 + x 2 x 3 x 1 + || 0 + 0 Kết hợp với điều kiện xỏc định suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = (1;2] ẩ [3;+ Ơ ) . Nhận xột: * Đối với bất phương trỡnh phức tạp chỳng ta nờn đặt điều kiện xỏc định sau đú rồi rỳt gọn cho biểu thức chung hoặc rỳt gọn biểu thức luụn xỏc định một dấu. * Nhiều khi chỳng ta cần phải nhõn hay chia với một biểu thức luụn xỏc định một dấu nhằm khử đi căn thức hay dấu giỏ trị tuyệt đối thỡ bài toỏn trở nờn đơn giản hơn. x 2 2 2x 0 (1) Vớ dụ 5: Cho hệ bất phương trỡnh 2x 1 x 2 mx 2 (2) a) Giải hệ bất phương trỡnh khi m 1 b) Tỡm m để hệ bất phương trỡnh cú nghiệm Lời giải x 2 ĐKXĐ: 1 x 2 x 2 2 x 2 2 x Ta cú 1 0 1 2x 1 x 2 0 2x 1 x 2 Bảng xột dấu x 1 2 2 x 2 0 + | + 2x 1 | 0 + 1 2x 1 x 2 + || || + 1 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh (1) là S1 2;  2 2 a) Khi m 1 ta cú bất phương trỡnh 2 trở thành x 2 x 2 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là S2 ; 2 Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trỡnh là S S1  S2  . 239
19. b) Với m 0 bất phương trỡnh 2 trở thành 0.x 2 suy ra bất phương trỡnh vụ nghiệm do đú hệ bất phương trỡnh vụ nghiệm 2 • Với m 0 bất phương trỡnh (2) x m Đối chiếu với điều kiện ta cú 2 1 2 Nếu m 4 thỡ tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là S2 ; m 2 m 0 m 4 0 m 4 Hệ bất phương trỡnh cú nghiệm S1  S2 0 2 2 m 4 2 m 2 m 2 1 2 1  Nếu m 4 thỡ tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là S2 ; \  m 2 m 2 m 4 m 4 Hệ bất phương trỡnh cú nghiệm S1  S2 0 2 m 4 2 m 2 m 2 • Với m 0 bất phương trỡnh (2) x m Đối chiếu với điều kiện ta cú 2 2 Nếu 2 m 1 thỡ tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là S2 ; \ 2 m m 1 m 0 1 m 0 Hệ bất phương trỡnh cú nghiệm S1  S2 0 2 1 m 0 2 m 1 m 2 2 Nếu 2 m 1 thỡ tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là S2 ; m m m 1 m 1 Hệ bất phương trỡnh cú nghiệm S1  S2 0 2 (loại) 2 m 1 m Vậy hệ bất phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi 1 m 0 và m 2 . 3. Bài tập luyện tập Bài 4.82: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a) 3x2 10x 3 0 b) 2 x x2 2 2x 4 0 1 1 1 2 3 c) d) x 9 x 2 1 2x x 1 2x - 1 - x 2 x 2 e) > 1 f) 0 2x x2 1 x 4 2 x2 2x 3 g) 2 0 h) 0 4 9x 3 3x 1 3 4 5x Bài 4.83: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: x a) x - 2 4 c) 2x 3 3x 4 5 240