Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

1. Đ6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đú a,b,c là nhứng số cho trước với a ạ 0. Nghiệm của phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c ; D = b2 - 4ac và D ' = b'2- ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c . 2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau f (x ) = ax 2 + bx + c, (a ạ 0) D 0, " x ẻ Ă ùỡ b ùỹ D = 0 a.f (x ) > 0, " x ẻ Ă \ ớ - ý ợù 2aỵù a.f (x ) > 0, " x ẻ (- Ơ ;x1 ) ẩ (x2;+ Ơ ) D > 0 a.f (x ) 0 • ax 2 + bx + c > 0, " x ẻ R Û ớù ù D 0 • ax 2 + bx + c ³ 0, " x ẻ R Û ớù ù D Ê 0 ợù ùỡ a < 0 • ax 2 + bx + c < 0, " x ẻ R Û ớù ù D < 0 ợù ùỡ a < 0 • ax 2 + bx + c Ê 0, " x ẻ R Û ớù ù D Ê 0 ợù B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XẫT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương phỏp giải. Dựa vào định lớ về dấu của tam thức bậc hai để xột dấu của biểu thức chứa nú. * Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau • Phõn tớch đa thức P (x ) thành tớch cỏc tam thức bậc hai (hoặc cú cả nhị thức bậc nhất) • Lập bảng xột dấu củaP (x ) . Từ đú suy ra dấu của nú . P(x) * Đối với phõn thức (trong đú P (x ), Q (x ) là cỏc đa thức) ta làm như sau Q(x) • Phõn tớch đa thức P (x ), Q (x ) thành tớch cỏc tam thức bậc hai (hoặc cú cả nhị thức bậc nhất) P(x) • Lập bảng xột dấu của . Từ đú suy ra dấu của nú. Q(x) 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Xột dấu của cỏc tam thức sau a) 3x 2 - 2x + 1 b) - x 2 + 4x + 5 c) - 4x 2 + 12x - 9 241
2. d) 3x 2 - 2x - 8 e) 25x 2 + 10x + 1 f) - 2x 2 + 6x - 5 Lời giải a) Ta cú D ' = - 2 0 suy ra 3x 2 - 2x + 1 > 0, " x ẻ Ă ộx = - 1 b) Ta cú - x 2 + 4x + 5 = 0 Û ờ ờx = 5 ởờ Bảng xột dấu x - Ơ - 1 5 + Ơ - x 2 + 4x + 5 - 0 + | - Suy ra - x 2 + 4x + 5 > 0 Û x ẻ (- 1;5) và - x 2 + 4x + 5 0 Û x ẻ ỗ- Ơ ;- ữẩ (2;+ Ơ ) và 3x 2 - 2x - 8 0 suy ra 25x 2 + 10x + 1 > 0 " x ẻ Ă \ ớù - ýù ợù 5ỵù f) Ta cú D ' = - 1 0 và D ' = m2 - 3m + 2. * Nếu 1 0 " x ẻ R . ộm = 1 * Nếu ờ ị D ' = 0 ị f (x) ³ 0 " x ẻ R và f (x) = 0 Û x = - m ờm = 2 ởờ ộm > 2 * Nếu ờ ị D ' > 0 ị f (x) cú hai nghiệm ờm < 1 ởờ 242
3. 2 2 x1 = - m - m - 3m + 2 và x2 = - m + m - 3m + 2 . Khi đú: +) f (x) > 0 Û x ẻ (- Ơ ;x1) ẩ (x2;+ Ơ ) +) f (x) < 0 Û x ẻ (x1;x2) . Vớ dụ 3: Xột dấu của cỏc biểu thức sau x 2 - x - 2 a) (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) b) - x 2 + 3x + 4 x 2 - x + 6 c) x 3 - 5x + 2 d) x - - x 2 + 3x + 4 Lời giải 1 1 a) Ta cú - x 2 + x - 1 = 0 vụ nghiệm, 6x 2 - 5x + 1 = 0 Û x = hoặc x = 2 3 Bảng xột dấu x 1 2 - Ơ + Ơ 3 3 - x 2 + x - 1 - 0 - | - 6x 2 - 5x + 1 + | - 0 + (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) - 0 + 0 - ổ1 1ử Suy ra (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x ẻ ỗ ; ữ ốỗ3 2ứữ ổ 1ử ổ1 ử (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) õm khi và chỉ khi x ẻ ỗ- Ơ ; ữẩ ỗ ;+ Ơ ữ ốỗ 3ứữ ốỗ2 ứữ ộx = - 1 ộx = - 1 b) Ta cú x 2 - x - 2 = 0 Û ờ , - x 2 + 3x + 4 = 0 Û ờ ờx = 2 ờx = 4 ởờ ởờ Bảng xột dấu x - Ơ - 1 2 4 + Ơ x 2 - x - 2 + 0 - 0 + | + - x 2 + 3x + 4 - 0 + | + 0 - x 2 - x - 2 - x 2 + 3x + 4 - || - 0 + || - x 2 - x - 2 x 2 - x - 2 Suy ra dương khi và chỉ khi x ẻ (2;4), õm khi và chỉ khi - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 x ẻ (- Ơ ;- 1) ẩ (- 1;2) ẩ (4;+ Ơ ). c) Ta cú x 3 - 5x + 2 = (x - 2)(x 2 + 2x - 1) Ta cú x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = - 1 ± 2 Bảng xột dấu x - Ơ - 1- 2 - 1 + 2 2 + Ơ x - 2 - 0 - 0 - | + x 2 + 2x - 1 + 0 - | + 0 + x 3 - 5x + 2 - 0 + 0 - 0 + 243
4. Suy ra x 3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x ẻ (- 1- 2;- 1 + 2) ẩ (2;+ Ơ ), x 3 - 5x + 2 õm khi và chỉ khi x ẻ (- Ơ ;- 1- 2) ẩ (- 1 + 2;2). x 2 - x + 6 - x 3 + 2x 2 + 5x - 6 (x - 1)(- x 2 + x + 6) d) Ta cú x - = = - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 ộx = - 2 ộx = - 1 Ta cú - x 2 + x + 6 = 0 Û ờ , - x 2 + 3x + 4 = 0 Û ờ ờx = 3 ờx = 4 ởờ ởờ Bảng xột dấu x - Ơ - 2 - 1 1 3 4 + Ơ x - 1 - | - | - 0 + | + | + - x 2 + x + 6 - 0 + | + | + 0 - | - - x 2 + 3x + 4 - | - 0 + | + | + 0 - x 2 - x + 6 x - - x 2 + 3x + 4 - 0 + || - 0 + 0 - || + x 2 - x + 6 Suy ra x - dương khi và chỉ khi x ẻ (- 2;- 1) ẩ (1;3) ẩ (4;+ Ơ ), - x 2 + 3x + 4 x 2 - x + 6 x - õm khi và chỉ khi x ẻ (- Ơ ;- 2) ẩ (- 1;1) ẩ (3;4). - x 2 + 3x + 4 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.84: Xột dấu cỏc tam thức sau 1 a) f (x) = - 2x 2 + 3x - 1 b) g(x) = x 2 - x + 1 c) h(x) = - 2x 2 + x - 1. 4 Bài 4.85: Xột dấu cỏc biểu thức sau 8 a) f (x) = (x 2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x 2) b) f (x) = x 2 - 3x - 2 - . x 2 - 3x Bài 4.86: Xột dấu cỏc biểu thức sau 1 1 1 a) - - b) x 4 - 4x + 1. x + 9 x 2 3x + 7 c) + 5 d) x 3 - 3x + 2 x 2 - x - 2 Bài 4.87: Tựy theo giỏ trị của tham số m, hóy xột dấu của biểu thức g(x) = (m - 1)x 2 + 2(m - 1) + m - 3 ➢ DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIấN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUễN MANG MỘT DẤU. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m thỡ a) Phương trỡnh mx 2 - (3m + 2)x + 1 = 0 luụn cú nghiệm b) Phương trỡnh (m2 + 5)x 2 - ( 3m - 2)x + 1 = 0 luụn vụ nghiệm Lời giải 1 a) Với m = 0 phương trỡnh trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = suy ra phương trỡnh cú nghiệm 2 2 Với m ạ 0, ta cú D = (3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + 4 244
5. 2 2 Vỡ tam thức 9m + 8m + 4 cú am = 9 > 0, D 'm = - 20 0 với mọi m Do đú phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m . 2 b) Ta cú D = ( 3m - 2) - 4(m2 + 5) = - m2 - 4 3m - 16 2 2 Vỡ tam thức - m - 4 3m - 8 cú am = - 1 - 4 ợ ợù 4 1 Vậy với - 0, " x Û x 2 - x + m > 1, " x Û x 2 - x + m > 0, " x ùỡ a = 1 > 0 1 Û ớù Û m > ù D = 1- 4m < 0 ợù 4 245
6. 1 Vậy với m > thỡ biểu thức k (x ) luụn dương. 4 Vớ dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau cú tập xỏc định là Ă với mọi giỏ trị của m . mx 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 a) y = b) y = (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 m2x 2 - 2mx + m2 + 2 Lời giải a) ĐKXĐ: (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 ạ 0 Xột tam thức bậc hai f (x ) = (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 Ta cú a = 2m2 + 1 > 0, D ' = 4m2 - 2(2m2 + 1) = - 2 0 " x ẻ Ă Do đú với mọi m ta cú (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 ạ 0, " x ẻ Ă Vậy tập xỏc định của hàm số là D = Ă 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 b) ĐKXĐ: ³ 0 và m2x 2 - 2mx + m2 + 2 ạ 0 m2x 2 - 2mx + m2 + 2 Xột tam thức bậc hai f (x ) = 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 và 2 2 2 2 Ta cú af = 2 > 0, D f ' = (m + 1) - 2(m + 1) = - m + 2m - 1 = - (m - 1) Ê 0 Suy ra với mọi m ta cú f (x ) = 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 ³ 0, " x ẻ Ă (1) Xột tam thức bậc hai g(x ) = m2x 2 - 2mx + m2 + 2 Với m = 0 ta cú g(x ) = 2 > 0, xột với m ạ 0 ta cú 2 2 2 2 2 2 ag = m > 0, D g ' = m - m (m + 2) = - m (m + 1) 0, " x ẻ Ă (2) 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thỡ ³ 0 và m2x 2 - 2mx + m2 + 2 m2x 2 - 2mx + m2 + 2 ạ 0 đỳng với mọi giỏ trị của x Vậy tập xỏc định của hàm số là D = Ă 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m thỡ a) Phương trỡnh x 2 - 2(m + 2)x - (m + 3) = 0 luụn cú nghiệm b) Phương trỡnh (m2 + 1)x 2 + ( 3m - 2)x + 2 = 0 luụn vụ nghiệm Bài 4.89: Tỡm cỏc giỏ trị của m để biểu thức sau luụn õm a) f (x ) = - x 2 - 2x - m b) g(x ) = 4mx 2 - 4(m - 1)x + m - 3 Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau cú tập xỏc định là Ă với mọi giỏ trị của m . 2x + 3m a) y = m2x 2 - 4mx + m2 - 2m + 5 b) y = x 2 + 2(1- m )x + 2m2 + 3 Bài 4.91: Tỡm m để a) 3x2 - 2(m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 ³ 0 " x ẻ R b) Hàm số y = (m + 1)x 2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 cú nghĩa với mọi x. x + m c) Ê 1 " x ẻ R x 2 + x + 1 246
7. Đ7. BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI A. TểM TẮT Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa và cỏch giải Bất phương trỡnh bậc hai (ẩn x ) là bất phương trỡnh cú một trong cỏc dạng f (x ) > 0, f (x) 0 d) - 36x 2 + 12x - 1 ³ 0 Lời giải 1 a) Tam thức f (x) = - 3x 2 + 2x + 1 cú a = - 3 1 3 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh : S = (- Ơ ;- ) ẩ (1;+ Ơ ) . 3 2 b) Tam thức f (x ) = x + x - 12 cú a = 1 > 0 và cú hai nghiệm x1 = - 4; x2 = 3 ( f (x) trỏi dấu với hệ số a ). Suy ra x 2 + x - 12 0 và D = 0 ( f (x) cựng dấu với hệ số a ). 3 5 Suy ra 5x 2 - 6 5x + 9 > 0 Û x ạ 5 ùỡ 3 5ùỹ Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = Ă \ ớù ýù ù ù ợù 5 ỵù d) Tam thức f (x ) = - 36x 2 + 12x - 1 cú a = - 36 < 0 và D = 0 1 ổ1ử f (x) trỏi dấu với hệ số a nờn f (x ) õm với " x ạ và f ỗ ữ= 0 6 ốỗ6ứữ 1 Suy ra - 36x 2 + 12x - 1 ³ 0 Û x = 6 ùỡ 1ùỹ Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = ớù ýù ợù 6ỵù Vớ dụ 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm a) x 2 - mx + m + 3 = 0 b) (1 + m)x 2 - 2mx + 2m = 0 Lời giải a) Phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0 247
8. ộm ³ 6 Û m2 - 4(m + 3) ³ 0 Û m2 - 4m - 12 ³ 0 Û ờ ờm Ê - 2 ởờ Vậy với m ẻ (- Ơ ;- 2] ẩ [6;+ Ơ ) thỡ phương trỡnh cú nghiệm b) Với m = - 1 phương trỡnh trở thành 2x - 2 = 0 Û x = 1 suy ra m = - 1 thỏa món yờu cầu bài toỏn Với m ạ - 1 phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0 Û m2 - 2m (1 + m ) ³ 0 Û m2 + 2m Ê 0 Û - 2 Ê m Ê 0 Vậy với - 2 Ê m Ê 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm ộ ự Vớ dụ 3: Tỡm m để mọi x ẻ ở- 1;1ỷ đều là nghiệm của bất phương trỡnh 3x 2 - 2(m + 5)x - m2 + 2m + 8 Ê 0 (1) Lời giải 4 - m Ta cú 3x 2 - 2(m + 5)x - m2 + 2m + 8 = 0 Û x = m + 2 hoặc x = 3 4 - m 1 * Với m + 2 > Û 3m + 6 > 4 - m Û m > - ta cú 3 2 4 - m Bất phương trỡnh (1) Û Ê x Ê m + 2 3 ộ4 - m ự Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (1) là ờ ;m + 2ỳ ởờ 3 ỷỳ ộ ự Suy ra mọi x ẻ ở- 1;1ỷ đều là nghiệm của bất phương trỡnh (1) ùỡ 4 - m ộ4 - m ự ù - 1 ³ khi và chỉ khi ộ- 1;1ựè ờ ;m + 2ỳÛ ớ ở ỷ ờ ỳ 3 ở 3 ỷ ù 1 Ê m + 2 ợù ùỡ m ³ 7 Û ớù Û m ³ 7 ù m ³ - 1 ợù 1 Kết hợp với điều kiện m > - ta cú m ³ 7 thỏa món yờu cầu bài toỏn 2 4 - m 1 * Với m + 2 < Û m < - ta cú 3 2 4 - m Bất phương trỡnh (1) Û m + 2 Ê x Ê 3 ộ 4 - m ự Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (1) là ờm + 2; ỳ ởờ 3 ỷỳ ộ ự Suy ra mọi x ẻ ở- 1;1ỷ đều là nghiệm của bất phương trỡnh (1) ùỡ - 1 ³ m + 2 ộ 4 - m ự ù ộ ự ờ ỳ ù khi và chỉ khi ở- 1;1ỷè m + 2; Û ớ 4 - m ởờ 3 ỷỳ ù 1 Ê ợù 3 ùỡ m Ê - 3 Û ớù Û m Ê - 3 ù m Ê 1 ợù 1 Kết hợp với điều kiện m < - ta cú m Ê - 3 thỏa món yờu cầu bài toỏn 2 248
9. 1 3 1 * Với m = - ta cú bất phương trỡnh (1) Û x = nờn m = - khụng thỏa món yờu cầu bài 2 2 2 toỏn. Vậy m ẻ (- Ơ ;- 3] ẩ [7;+ Ơ ) là giỏ trị cần tỡm. Vớ dụ 4:Giải và biện luận bất phương trỡnh (m + 1)x 2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2 0 * - Ê m Ê ị ớù ị g(x) ³ 0 " x ẻ R ị bất phương trỡnh vụ nghiệm. ù D ' Ê 0 4 2 ợù ộ 1 ờm > ỡ ờ ù a > 0 * 2 ị ớù ị S = (x ;x ) , với ờ 1 ù D ' > 0 1 2 ờ- 1 0 1 2 ợù Kết luận m = - 1 bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S = (- Ơ ;- 1) 1 1 - Ê m Ê bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S = ặ 4 2 ộ 1 ờm > ờ 2 bất phương trỡnh cú tập nghiệm là S = (x ;x ) ờ 1 1 2 ờ- 1 2x 2 - 6 e) x 2 - 22x + 51 0 ộ Bài 4.95: Tỡm m để mọi x ẻ ở0;+ Ơ ) đều là nghiệm của bất phương trỡnh (m2 - 1)x 2 - 8mx + 9 - m2 ³ 0 249
10. ổ 7ử Bài 4.96: Cho hàm số f (x ) = x 2 + bx + 1 với b ẻ ỗ3, ữ. Giải bất phương trỡnh f (f (x )) > x . ốỗ 2ứữ ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI MỘT ẨN. 1. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Giải cỏc hệ bất phương trỡnh sau: ùỡ 2x 2 + 9x + 7 > 0 ùỡ 2x 2 + x - 6 > 0 a) ớù b) ớù ù x 2 + x - 6 0 ợù Lời giải ùỡ ộx ³ - 1 ù ờ ỡ 2 ù ù 2x + 9x + 7 > 0 ù ờ 7 a) Ta cú ớ Û ớ ờx Ê - Û - 1 3 b) Ta cú ớù Û ớù ở Û ờ ù 3x 2 - 10x + 3 > 0 ù ộx > 3 ờx Ê - 2 ợù ù ờ ởờ ù ờ 1 ù ờx < ợù ởờ 3 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trỡnh là S = (- Ơ ;- 2] ẩ (3;+ Ơ ) . ỡ ỡ 2 ù 1 Ê x Ê 4 ù - x + 5x - 4 ³ 0 ù c) Ta cú ớù Û ớù ù x 2 + x - 13 Ê 0 ù - 1- 53 - 1 + 53 ợù ù Ê x Ê ợù 2 2 - 1 + 53 Û 1 Ê x Ê 2 ộ ự ờ - 1 + 53 ỳ Vậy tập nghiệm hệ bất phương trỡnh là S = ờ1; ỳ. ởờ 2 ỷỳ ùỡ ộx ³ - 1 ù ờ ù ờx Ê - 3 ỡ 2 ù ởờ ù x + 4x + 3 ³ 0 ù ù 2 ù 5 3 d) Ta cú ớù 2x - x - 10 Ê 0 Û ớ - 2 Ê x Ê Û 1 Ê x Ê ù ù 2 2 ù 2 ù ù 2x - 5x + 3 Ê 0 ù 3 ợù ù 1 Ê x Ê ù 2 ợù ộ 3ự Vậy tập nghiệm hệ bất phương trỡnh là S = ờ1; ỳ. ởờ 2ỷỳ 250
11. ùỡ mx 2 - x - 5 Ê 0 Vớ dụ 2: Cho hệ bất phương trỡnh ớù ù 1- m x 2 + 2mx + m + 2 ³ 0 ợù ( ) a) Giải hệ bất phương trỡnh khi m = 1 b) Tỡm m để hệ bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x Lời giải a) Khi m = 1 hệ bất phương trỡnh trở thành ùỡ 1- 21 1 + 21 2 ù Ê x Ê ùỡ x - x - 5 Ê 0 ù 1- 21 1 + 21 ớù Û ớù 2 2 Û Ê x Ê ù 2x + 3 ³ 0 ù 3 2 2 ợù ù x ³ - ợù 2 ộ ự ờ1- 21 1 + 21ỳ Vậy tập nghiệm hệ bất phương trỡnh là S = ờ ; ỳ ởờ 2 2 ỷỳ ùỡ - x - 5 Ê 0 b) Khi m = 0 hệ bất phương trỡnh trở thành ớù (vụ nghiệm) do đú m = 0 khụng thỏa ù x 2 + 2 ³ 0 ợù món yờu cầu bài toỏn Khi m = 1 theo cõu a ta thấy cũng khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn ùỡ m ạ 0 Khi ớù ta cú hệ bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x khi và chỉ khi cỏc bất phương trỡnh ù m ạ 1 ợù trong hệ bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x ỡ ỡ ùỡ m 0 ù m < 1 ù ớ 2 ù ù ù D ' = m - 1- m m + 2 Ê 0 ù 2 ù ù 2 ( )( ) ù 2m + m - 2 Ê 0 ợù ợ ợù ùỡ m < 0 ù ù 1 ù m Ê - ù - 1- 17 1 Û ớù 20 Û Ê m Ê - ù m < 1 4 20 ù ù - 1- 17 - 1 + 17 ù Ê m Ê ợù 4 4 - 1- 17 1 Vậy Ê m Ê - là giỏ trị cần tỡm. 4 20 Vớ dụ 3: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hệ sau cú nghiệm ùỡ x 2 - 3x + 2 Ê 0 ớù . ù mx 2 - 2 2m + 1 x + 5m + 3 ³ 0 ợù ( ) Lời giải Ta cú bất phương trỡnh x 2 - 3x + 2 Ê 0 Û 1 Ê x Ê 2. Yờu cầu bài toỏn tương đương với bất phương trỡnh: 2 ộ ự mx – 2(2m + 1)x + 5m + 3 Ê 0 (1) cú nghiệm x ẻ S = ở1;2ỷ. Ta đi giải bài toỏn phủ định là: tỡm m để bất phương trỡnh (1) vụ nghiệm trờn S Tức là bất phương trỡnh f (x ) = mx 2 - 2(2m + 1)x + 5m + 3 < 0 (2) đỳng với mọi x ẻ S . 251
12. 3 • m = 0 ta cú (2) Û - 2x + 3 nờn (2) khụng đỳng với " x ẻ S 2 • m ạ 0 tam thức f (x ) cú hệ số a = m , biệt thức ' = - m2 + m + 1 Bảng xột dấu m 1- 5 1 + 5 - Ơ 0 + Ơ 2 2 m - | - 0 + | + - m2 + m + 1 - 0 + | + 0 - 1 + 5 ùỡ a > 0 1 + 5 +) m ³ ta cú: ớù nờn f (x ) ³ 0, " x ẻ Ă , suy ra m ³ khụng thỏa món ù ' Ê 0 2 ợù 2 ỡ ổ ử 1- 5 ù a 2 Do đú: f (x ) x ờx 0 Û 0 ù 2 2 ợù ù ờ 1 ù ờm x ) 1 m 2 m 1 2 Suy ra f (x ) 2 ù ' + 1 > 0 ợù 1 ợù Vỡ m > 0 nờn ( ) vụ nghiệm. 252
13. 1 Từ đú, ta thấy (2) đỳng với " x ẻ S Û m 0 ợù ợù x 2 - 2x - 7 1 x 2 - 2x - 2 c) - 4 Ê Ê 1 d) Ê Ê 1 x 2 + 1 13 x 2 - 5x + 7 Bài 4.98: Tỡm m để bất phương trỡnh m2x + m(x + 1) - 2(x - 1) > 0 nghiệm đỳng với mọi ộ ự x ẻ ở- 2;1ỷ ùỡ x 2 - (1 + 2m )x + 2m Ê 0 Bài 4.99: Giải và biện luận hệ bất phương trỡnh ớù ù x 2 + 2 + m x + 2m Ê 0 ợù ( ) Bài 4.100: Tỡm m để bất phương trỡnh 2x 2 - (2m + 1)x + m2 - 2m + 2 Ê 0 nghiệm đỳng với ộ1 ự mọi x ẻ ờ ;2ỳ. ởờ2 ỷỳ Bài 4.101: Cho phương trỡnh: x 2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0(1) a) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x ³ 1. b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x Ê 1. c) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x1 0 b) x 4 - 5x 2 + 2x + 3 Ê 0 Lời giải a) Bảng xột dấu x 1- 5 1 1 + 5 - Ơ + Ơ 2 2 2 1- 2x - | - 0 + | + x 2 - x - 1 + 0 – | – 0 + VT - 0 + 0 - 0 + Dựa vào bảng xột dấu, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là: ổ1- 5 1ử ổ1 + 5 ử ỗ ữ ỗ ữ S = ỗ ; ữẩ ỗ ;+ Ơ ữ ốỗ 2 2ứữ ốỗ 2 ứữ b) Bất phương trỡnh (x 4 - 4x 2 + 4) - (x 2 - 2x + 1) Ê 0 Û (x 2 - 2)2 - (x - 1)2 Ê 0 Û (x 2 + x - 3)(x 2 - x - 1) Ê 0. Bảng xột dấu 253
14. x - 1- 13 1- 5 - 1 + 13 1 + 5 - Ơ + Ơ 2 2 2 2 x 2 + x - 3 + 0 – | – 0 + | + x 2 - x - 1 + | + 0 – | – 0 + VT + 0 – 0 + 0 – 0 + Dựa vào bảng xột dấu, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là: ộ ự ộ ự ờ- 1- 13 1- 5 ỳ ờ- 1 + 13 1 + 5 ỳ S = ờ ; ỳẩ ờ ; ỳ. ởờ 2 2 ỷỳ ởờ 2 2 ỷỳ Vớ dụ 2: Giải cỏc bất phương trỡnh : x 2 - 1 2x 2 + 1 a) > 0 b) x 2 + 10 Ê (x 2 - 3)(- 3x 2 + 2x + 8) x 2 - 8 Lời giải a) Bảng xột dấu x 4 - Ơ - 3 - - 1 1 3 2 + Ơ 3 x 2 - 1 + | + | + 0 - 0 + | + | + x 2 - 3 + 0 - | - | - | - 0 + | + - 3x 2 + 2x + 8 - | - 0 + 0 + | + | + 0 - VT - || + || - 0 + 0 - || + || - Dựa vào bảng xột dấu, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là: ổ 4ử S = ỗ- 3;- ữẩ (- 1;1) ẩ ( 3;2) ốỗ 3ứữ 2x 2 + 1 2x 2 + 1 b) Ta cú x 2 + 10 Ê Û - (x 2 + 10) ³ 0 x 2 - 8 x 2 - 8 2x 2 + 1- (x 2 - 8)(x 2 + 10) 81- x 4 Û ³ 0 Û ³ 0 2 2 x - 8 x - 8 (9 - x 2 )(9 + x 2 ) 9 - x 2 Û ³ 0 Û ³ 0 x 2 - 8 x 2 - 8 Bảng xột dấu x - Ơ - 3 - 2 2 2 2 3 + Ơ 9 - x 2 - 0 + | + | + 0 - x 2 - 8 + | + 0 - | + | + VT - 0 + || - || + 0 - Dựa vào bảng xột dấu, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là S = [ - 3;- 2 2) ẩ (2 2;3] Vớ dụ 3: Giải bất phương trỡnh sau x 2 - x - 2 x 2 + 1 - x + 1 a) ³ 0 b) Ê 0 x 2 - x - 1 x 2 + 3x - 6 Lời giải a) Vỡ x 2 - x + 2 > 0 nờn x 2 - x - 2 ( x 2 - x - 2)( x 2 - x + 2) (x 2 - x - 2)(x 2 - x + 2) ³ 0 Û ³ 0 Û ³ 0 x 2 - x - 1 x 2 - x - 1 x 2 - x - 1 Bảng xột dấu 254
15. x 1- 5 1 + 5 - Ơ - 1 2 2 2 + Ơ x 2 - x - 2 + 0 - | - | - 0 + x 2 - x + 2 + | + | + | + | + x 2 - x - 1 + | + || - || + 0 + (x 2 - x - 2)(x 2 - x + 2) + 0 - || + || - 0 + x 2 - x - 1 Dựa vào bảng xột dấu, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là ổ1- 5 1 + 5 ử ỗ ữ S = (- Ơ ;- 1] ẩ ỗ ; ữẩ [2;+ Ơ ) ốỗ 2 2 ứữ ùỡ x ³ - 1 ùỡ x + 1 ³ 0 ù ùỡ x ³ - 1 ù ù x ạ 3 ù b) ĐKXĐ: ớ 2 Û ớ Û ớ ù x + 3x - 6 ạ 0 ù ù x ạ 3 ợ ù x ạ - 2 3 ợ ợù Vỡ x 2 + 1 + x + 1 > 0 nờn 2 2 x 2 + 1 - x + 1 ( x + 1 - x + 1)( x + 1 + x + 1) Ê 0 Û Ê 0 x 2 + 3x - 6 x 2 + 3x - 6 x 2 - x Û Ê 0 x 2 + 3x - 6 Bảng xột dấu x - Ơ - 2 3 0 1 3 + Ơ x 2 - x + 0 + 0 - 0 + | + x 2 + 3x - 6 + 0 - | - | - 0 + x 2 - x + || - 0 + 0 - || + x 2 + 3x - 6 Dựa vào bảng xột dấu và đối chiếu điều kiện, ta cú tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là ộ ự S = ở- 1;0ỷẩ [1; 3) Nhận xột: Ở cõu b chỳng ta phải đặt điều kiện thỡ khi đú cỏc phộp biến đổi trờn mới đảm bảo là phộp biến đổi tương đươc. ổ x + 1 ử Vớ dụ 4: Tỡm m để bất phương trỡnh x - m2 - m ỗ3 - ữ 0 ù 2 Ta cú (* ) Û ớ x 3 - x 2 - 3x + 3 Û ớ (x - 1)(x - 3) ( ) ù 2 ù ù x > m + m ù x > m2 + m ợù ùợ Bảng xột dấu x - 3 - 57 - 3 + 57 - Ơ - 3 1 3 2 + Ơ 6 6 x - 1 - - - - 0 + + + x - 2 - - - - - - 0 + 3x 2 + 3x - 4 + 0 - - 0 + + + + x 2 - 3 + + 0 - - - 0 + + 255
16. (x - 2)(3x2 + 3x - 4) (x - 1)(x2 - 3) + 0 - || + 0 - || + || - 0 + (x - 2)(3x 2 + 3x - 4) Tập nghiệm của bất phương trỡnh 0 d) 0 ùỡ x > - 1 Bài 4.103: Ta cú bpt Û ớù Û ớù ù m2 - 3m - x > 0 ù x 0 , ax 2 + bx + c ³ 0 , ùỡ a > 0 ax 2 + bx + c 0 ùỡ a 0 Lời giải Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x 2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 > 0 Đặt f (x) = 3x 2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 xem y là tham số khi đú f (x ) là tam thức bậc hai ẩn x cú hệ số ax = 3 > 0 và 2 2 2 D x ' = (y + 1) - 3(5y + 1) = - 14y + 2y - 2 256
17. 2 Xột tam thức g(y ) = - 14y + 2y - 2 cú hệ số ay = - 14 0 , ta cú thể sử dụng định lớ về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đú g(a ) ³ 0 Û D Ê 0. i ai Vớ dụ 2: Cho x,y,z là số thực. Chứng minh rằng x 2 + y2 + z2 + x 2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1 ³ 0. Lời giải Bất đẳng thức viết lại (1 + y2z2 )x 2 - 4xyz + y2 + z2 + y2z2 - 2yz + 1 ³ 0 Đặt f (x ) = (1 + y2z2 )x 2 - 4xyz + y2 + z2 + y2z2 - 2yz + 1, khi đú f (x ) là một tam thức bậc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hai ẩn x cú hệ số a = 1 + y z > 0 và D 'x = 4y z - (1 + y z )(y + z + y z - 2yz + 1) 2 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 4 ị D 'x = - (1 + y - 2yz + z - 2y z + y z - 2y z + y z + y z ) Áp dụng BĐT a2 + b2 ³ 2ab ta cú y 4z2 + y2z4 ³ 2y 3z3 , y 4z4 + 1 ³ 2y2z2 và y2 + z2 ³ 2yz Cộng vế với vế lại suy ra D 'x Ê 0 Do đú f (x ) ³ 0, " x,y,z . ĐPCM. Vớ dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc và x,y,z thỏa món: a2x + b2y + c2z = 0.Chứng minh rằng: xy + yz + zx Ê 0. Lời giải * Nếu trong ba số x,y,z cú một số bằng 0, chẳng hạn x = 0 ị b2y = - c2z . c2 ị xy + yz + zx = yz = - z2 Ê 0 . b2 b2y + c2z * x,y,z ạ 0.Do a2x + b2y + c2z = 0 ị x = - a2 b2y + c2z ị xy + yz + zx Ê 0 Û - (y + z) + yz Ê 0 a2 Û f (y) = b2y2 + (b2 + c2 - a2)yz + c2z2 ³ 0. Tam thức f (y) cú D = ộ(b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 ựz2 . y ở ỷ ùỡ | b - c | a ợù 2 2 2 2 2 2 ị (b + c - a ) 0. Xột tam thức : 2 2 2 2 f (x) = (a1 + a2 + + an )x - 2(a1b1 + a2b2 + + anbn )x 2 2 2 +b1 + b2 + + bn 257
18. 2 2 2 = (a1x - b1) + (a2x - b2) + + (anx - bn ) ³ 0 " x 2 ị D = (a1b1 + a2b2 + + anbn ) - 2 2 2 2 2 2 - (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) Ê 0 2 2 2 2 2 2 2 Û (a1b1 + a2b2 + + anbn ) Ê (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) a a a Đẳng thức cú Û 1 = 2 = = n . b1 b2 bn 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.104: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của y sao cho BĐT sau đỳng với " x,z ẻ R . x 2 + 9y2 + 5z2 + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + 1 ³ 0 . Bài 4.105: Cho x, y,z ³ 0thỏa món: xy + yz + zx + xyz = 4. Chứng minh rằng : x + y + z ³ xy + yz + zx . Bài 4.106: Cho cỏc số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: xzy + 2(x 2 + y2 + z2) + 8 ³ 5(x + y + z) (THTT). Bài 4.107: Cho cỏc số thực x,y thỏa món bất phương trỡnh5x 2 + 5y2 - 5x - 15y + 8 Ê 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y. Bài 4.108: Cho a,b là cỏc số thực thỏa món a2 + b2 = 4a - 3b. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2a + 3b. Bài 4.109: Cho cỏc số thực x,y,z thỏa món x 2 + y2 + z2 = 5 và x - y + z = 3 . Tỡm giỏ trị lớn x + y - 2 nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = z + 2 Bài 4.110: Cho a,b,c là số thực. Chứng minh rằng 2(a + b + c - ab - bc - ca + 1)2 + (ab + bc + ca - 2)2 ³ 3 Bài 4.111: Cho a và b là cỏc số thực thỏa món 9a2 + 8ab + 7b2 Ê 6. Chứng minh rằng 7a + 5b + 12ab Ê 9. Bài 4.112: Cho cỏc số thực khụng õm x,y,z thỏa món: x + y + z = 1 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của: P = 9xy + 10yz + 11zx . 258