Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 8: Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 8: Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

1. §8. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI ➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. + Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. *Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương. ïì g(x) ³ 0 ï f (x) = g(x) Û íï éf (x) = g(x) ï ê ï êf (x) = - g(x) îï ëê éf (x) = g(x) f (x) = g(x) Û ê êf (x) = - g(x) ëê ïì g(x) > 0 f (x) g(x) Û êï g(x) ³ 0 êï íï éf (x) g(x) ëêîï ëê Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 2x 2 - 3x - 1 = - x 2 + 2x + 1 b) x 2 - 5x + 4 = x 3 - 3x + 4 c) x 2 - 5x + 4 - x + 1 = x 2 + x d) x 2 - 3x + 1 + x - 1 = 12(x - 3) Lời giải ïì - x 2 + 2x + 1 ³ 0 ïì x 2 - 2x - 1 £ 0 ï ï a) Ta có phương trình Û íï é2x 2 - 3x - 1 = - x 2 + 2x + 1 Û íï é3x 2 - 5x - 2 = 0 ï ê ï ê ï ê2x 2 - 3x - 1 = - (- x 2 + 2x + 1) ï êx 2 - x = 0 îï ëê îï ëê ïì 1- 2 £ x £ 1 + 2 ï éx = 2 ï éx = 2 ê ï ê ê 1 ï ê 1 êx = - Û í êx = - Û ê 3 ï ê 3 ê ï ê êx = 0 ï êx = 0 ê ï ê êx = 1 ï x = 1 ë îï ëê ïì 1ïü Vậy nghiệm của phương trình là x Î íï 0;1;2;- ýï îï 3þï b) Với 1 £ x £ 4 Þ x 2 - 5x + 4 ³ 0 ta có Phương trình Û - (x 2 - 5x + 4) = x 3 - 3x + 4 Û x 3 + x 2 - 8x + 8 = 0 259
2. Áp dụng BĐT côsi ta có x 3 + 4 + 2 ³ 33 8x 3 = 6x, x 2 + 2 ³ 2 2x Suy ra x 3 + x 2 - 8x + 8 ³ 6x + 2 2x - 8x = (2 2 - 2)x > 0 Do đó phương trình vô nghiệm. éx > 4 Với ê Þ x 2 - 5x + 4 > 0 ta có êx 4, ta có phương trình Û x 2 - 5x + 4 - (x + 1) = x 2 + x Û x = (loại) 7 3 Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = . 7 ïì x ³ 3 d) Ta có phương trình íï ï x 2 - 3x + 1 + x - 1 = 12 x - 3 îï ( ) ïì x ³ 3 ïì x ³ 3 Û íï Û íï ï x 2 - 3x + 1 + x - 1 = 12 x - 3 ï x 2 - 14x + 36 = 0 îï ( ) îï ì ï x ³ 3 Û í Û x = 7 ± 13 ï x = 7 ± 13 îï Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ± 13 . Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) x 2 - x - 1 ³ x - 1 b) - x 2 + 3x + 2 x - 2. Lời giải a) Với x < 1 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 1 Với x ³ 1 ta có bất phương trình tương đương với ïì x ³ 1 ïì x ³ 1 ï ï íï éx 2 - x - 1 ³ x - 1 Û íï éx 2 - 2x ³ 0 ï ê ï ê ï êx 2 - x - 1 £ 1- x ï êx 2 - 2 £ 0 îï ëê îï ëê 260
3. ïì x ³ 1 ï ì ï ï x ³ 1 ï é x ³ 2 ï éx ³ 2 Û íï ê Û íï éx ³ 2 Û ê ï ê x £ 0 ï ê ê1 £ x £ 2 ï ê ï êx £ 2 ëê ï ê- 2 £ x £ 2 îï ëê îï ëê Vậy nghiệm của bất phương trình là x Î (- ¥ ; 2] È [2;+ ¥ ) b) Với x 2 - 3x + 2 3 Û 2x 2 - 6x > 0 Û ê êx 3 Đối chiếu với điều kiện ê suy ra nghiệm bất phương trình là ê êx £ 1 êx x - 2 Với x 0suy ra bất phương trình tương đương với 2x 2 - 5x + 3 - (x - 1) > x - 2 Û 2x 2 - 6x + 4 > x - 2 Û 2x 2 - 6x + 4 > x - 2(vì x ³ 2 Þ 2x 2 - 6x + 4 = (x - 1)(2x - 4) ³ 0) éx > 2 2 ê Û 2x - 7x + 6 > 0 Û ê 3 êx 2 Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î ¡ \ {2} . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt - x 2 - x + 6 = 4x + m . Lời giải Ta có - x 2 - x + 6 = 4x + m Û - x 2 - x + 6 - 4x = m Xét hàm số f (x ) = - x 2 - x + 6 - 4x ïì - x 2 - 5x + 6 khi x Î é- 3;2ù Ta có f (x ) = íï ë û ï x 2 - 3x - 6 khi x Î - ¥ ;- 3 È 2;+ ¥ îï ( ) ( ) 261
4. Bảng biến thiên x 5 3 - ¥ - 3 - 2 + ¥ 2 2 f (x ) + ¥ + ¥ 99 4 12 - 4 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt đường thẳng 99 y = m tại bốn điểm phân biệt Û 12 < m < . 4 99 Vậy 12 < m < là giá trị cần tìm. 4 Nhận xét: Nghiệm của phương trình f (x ) = g(m ) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x ) và đường thẳng y = g(m ). Từ đó suy ra Phương trình f (x ) = g(m ) có nghiệm Û đường thẳng y = g(m ) cắt đồ thị hàm số y = f (x ) Số nghiệm phương trình f (x ) = g(m ) Û số giao điểm của đường thẳng y = g(m ) và đồ thị hàm số y = f (x ). Do đó khi gặp bài toán liên quan đến phương trình f (x,m ) = 0 mà ta có thể cô lập được m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải. Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 2 - 3x + 2 ³ 3x 2 + 5x + 3m2 + 5m . Lời giải Bất phương trình Û x 2 - 3x + 2 - 3x 2 - 5x ³ 3m2 + 5m Xét hàm số f (x ) = x 2 - 3x + 2 - 3x 2 - 5x ïì - 2x 2 - 8x + 2 khi x Î (- ;1] È [2;+ Ta có f (x ) = íï ï - 4x 2 - 2x - 2 khi x Î 1;2 îï ( ) Bảng biến thiên x 1 - ¥ - 2 - 1 2 + ¥ 4 f (x ) 10 - 8 - 22 - ¥ - ¥ Từ đó ta có: max f (x ) = f (- 2) = 10 Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10 ³ 3m2 + 5m - 5 - 145 - 5 + 145 Û 3m2 + 5m - 10 £ 0 Û £ m £ 6 6 262
5. - 5 - 145 - 5 + 145 Vậy £ m £ là giá trị cần tìm. 6 6 Nhận xét . Cho hàm số y = f (x ) xác định trên D Bất phương trình f (x ) ³ k (f (x ) £ k) có nghiệm trên DÛ max f (x ) ³ k ( min f (x ) £ k ) với D D điều kiện tồn tại max f (x ) ( min f (x )). D D Bất phương trình f (x ) ³ k (f (x ) £ k) nghiệm đúng với x D Û min f (x ) ³ k ( D max f (x ) £ k ) với điều kiện tồn tại max f (x ) ( min f (x )). D D D Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau 2 (x 2 + 1) 1 a) 3(x 2 - 4x )- x - 2 > 12 b) £ 3 x + - 2 x 2 x c) x 4 - 2x 2 + 4x - (2x + 5) x 2 - 1 + 7 = 0 Lời giải a) Đặt t = x - 2 ,t ³ 0 Þ t 2 = x 2 - 4x + 4 Bất phương trình trở thành 3(t 2 - 4)- t > 12 é t > 3 2 ê Û 3t - t - 24 > 0 Û ê 8 êt 3 suy ra éx - 2 > 3 éx > 5 x - 2 > 3 Û ê Û ê êx - 2 < - 3 êx < - 1 ëê ëê Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î (- ¥ ;- 1) È (5;+ ¥ ). b) ĐKXĐ: x ¹ 0 1 1 Bất phương trình Û x 2 + + 4 £ 3 x + x 2 x 1 1 Đặt t = x + Þ t 2 = x 2 + + 2 x x 2 1 1 1 Ta có t = x + = x + ³ 2 x . = 2 Þ t ³ 2 x x x Bất phương trình trở thành t 2 + 2 £ 3t Û t 2 - 3t + 2 £ 0 Û 1 £ t £ 2 Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2 1 éx 2 + 1 = 2x Do đó 2 = x + Þ 2 x = x 2 + 1 Û ê Û x = ± 1(thỏa mãn) êx 2 + 1 = - 2x x ëê Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ± 1. 2 c) Phương trình Û (x 2 - 1) - (2x + 5) x 2 - 1 + 4x + 6 = 0 Đặt t = x 2 - 1 , t ³ 0 Phương trình trở thành t 2 - (2x + 5)t + 4x + 6 = 0 263
6. ét = 2x + 3 Û (t - 2x - 3)(t - 2) = 0 Û ê ê t = 2 ëê ïì 2x + 3 ³ 0 ï Với t = 2x + 3 ta có 2x + 3 = x 2 - 1 Û íï x 2 - 1 = 2x + 3 ï ï x 2 - 1 = - 2x - 3 îï ïì 2x + 3 ³ 0 ì ï ï 3 ï 2 ï x ³ - Û íï éx - 2x - 4 = 0 Û íï 2 Û x = 1 ± 5 ï ê ï ï êx 2 + 2x + 2 = 0 ï x = 1 ± 5 îï ëê îï éx 2 - 1 = 2 Với t = 2 ta có 2 = x 2 - 1 Û ê Û x 2 = 3 Û x = ± 3 êx 2 - 1 = - 2 ëê Vậy phương trình có nghiệm là x Î {- 3;1- 5;1 + 5; 3} . Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x 2 - 2x + m = x - 1 có nghiệm. Lời giải Phương trình tương đương với 2 2 ì 2 2 ì 2 2 2 2 ï (x - 2x + m ) = (x - 1) ï (x - 2x ) + 2m (x - 2x ) + m = x - 2x + 1 íï Û íï ï x ³ 1 ï x ³ 1 îï îï 2 ì 2 2 2 ï (x - 2x ) + (2m - 1)(x - 2x ) + m - 1 = 0 (*) Û íï ï x ³ 1 îï 2 Đặt t = x 2 - 2x , vì x ³ 1 Þ t = (x - 1) - 1 ³ - 1 Phương trình (*) trở thành t 2 - (2m - 1)t + m2 - 1 = 0 ( ) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm t ³ - 1 Û Đồ thị hàm số f (t ) = t 2 - (2m - 1)t + m2 - 1 trên [ - 1;+ ¥ ) cắt trục hoành. Ta có b 2m - 1 - = 2a 2 2m - 1 1 + TH1: Nếu > - 1 Û m > - ta có 2 2 Bảng biến thiên x 2m - 1 - ¥ - 1 2 + ¥ f (- 1) + ¥ f (x ) æ2m - 1ö f ç ÷ èç 2 ø÷ Suy ra phương trình đã cho có nghiệm 2 æ2m - 1ö æ2m - 1ö æ2m - 1ö 5 Û f ç ÷£ 0 Û ç ÷ - (2m - 1)ç ÷+ m2 - 1 £ 0 Û m < èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 4 264
7. 1 1 5 Kết hợp với điều kiện m > - suy ra - - 1 suy ra m = - thảo mãn yêu cầu bài 4 2 2 2 toán 2m - 1 1 + TH3: Nếu 0 nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Lời giải 2 Bất phương trình tương đương với (x - 1) - m x - 1 + 1 > 0 Với x = 1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m Với x ¹ 1. Đặt t = x - 1 Þ t > 0 t 2 + 1 Bất phương trình trở thành t 2 - mt + 1 > 0 Û > m (*) t Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ¹ 1 khi và chỉ khi bất phương trình (*) t 2 + 1 nghiệm đúng với mọi t > 0 Û min > m t > 0 t t 2 + 1 2t Ta có ³ = 2, đẳng thức xảy ra Û t = 1 t t t 2 + 1 Suy ra min = 2, do đó m 0 t Vậy m < 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.113: Giải các phương trình sau a) 3x - 2 = x 2 + 2x + 3 b) | 2x 2 - 7x + 2 |= x + 2 2x 1 1 c) x 2 - 3x + 2 - x + 2 = x 2 - 3x d) = + x + 1 x + 1 x - 1 Bài 4.114: Giải các bất phương trình sau 265
8. a) x 2 - 5x + 4 > x - 2 b) x 2 - x - 6 x + 2 d) 2x - 1 + 3x - 2 £ x + 3 1 1 e) x 3 - £ 3 x - x 3 x Bài 4.115: Biện luận số nghiệm của phương trình : x - 1 - x 2 - 3x + 2 = 5m - 3. Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: - 2x 2 + 10x - 8 = m - 5x + x 2 . Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2x 2 - 3x - 2 ³ 5m - 8x - 2x 2 nghiệm đúng với mọi x . Bài 4.118: Cho bất phương trình x 2 - 4x - 3 | x - 2 | + 2m - 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 4.119: Cho bất phương trình x 2 - 2mx + 2 x - m - m2 + 2 > 0 a) Giải bất phương trình khi m = 2 b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với " x Î ¡ ➢ DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng. + Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử) Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế không âm thì mới thu về bất phương trình tương đương cùng chiều + Đặt ẩn phụ + Đánh giá 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương đương như sau Phương trình: ïì f (x) ³ 0 ( hoặc g(x ) ³ 0) f (x) = g(x) Û íï ï f (x) = g(x) îï ïì g(x) ³ 0 ï f (x) = g(x) Û í 2 ï f (x) = [g(x) ] îï Bất phương trình: ïì f (x) > g(x) f (x) > g(x) Û íï ï g(x) ³ 0 îï ì ï f (x) ³ 0 ï f (x) 0 ï 2 ï f (x) < [g(x) ] îï 266
9. éìï g(x) g(x) Û êî êïì g(x) ³ 0 êï êí 2 êï f (x) > [g(x) ] ëîï Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) x 3 - x + 1 = - 2x 2 - x + 2 b) 2x 2 + 3x - 1 = 3 - x 2 1 1 c) x + 4 - 1- x = 1- 2x d) x - + 1- = x x x Lời giải ïì - 2x 2 - x + 2 ³ 0 a) Ta có phương trình Û íï ï x 3 - x + 1 = - 2x 2 - x + 2 îï ïì - 1- 17 - 1 + 17 ï £ x £ ïì - 1- 17 - 1 + 17 ï 4 4 ï £ x £ ï Û íï Û íï é x = - 1 ï 4 4 ï ê ï x 3 + 2x 2 - 1 = 0 ï ê îï ï - 1 ± 5 ï êx = îï ëê 2 é x = - 1 ê Û ê - 1 ± 5 êx = ëê 2 ïì - 1- 5 - 1 + 5ïü Vậy phương trình có nghiệm là x Î íï ;- 1; ýï . ï ï îï 2 2 þï ïì 3 - x 2 ³ 0 ï b) Phương trình Û í 2 ï 2x 2 + 3x - 1 = 3 - x 2 îï ( ) ì ì ï - 3 £ x £ 3 ï - 3 £ x £ 3 Û í Û í ï x 4 - 8x 2 - 3x + 10 = 0 ï x - 1 x + 2 x 2 - x - 5 = 0 îï ïî ( )( )( ) ïì - 3 £ x £ 3 ï ï é x = - 2 ï ê Û íï ê Û x = 1 ï êx = 1 ï ê ï ê 1 ± 21 ï x = îï ëê 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. 1 c) ĐKXĐ: - 4 £ x £ 2 Phương trình Û x + 4 = 1- 2x + 1- x Û x + 4 = 1- 2x + 2 (1- 2x)(1- x) + 1- x ïì 2x + 1 ³ 0 Û 2x + 1 = (1- 2x)(1- x) Û íï ï (2x + 1)2 = (1- 2x)(1- x) îï 267
10. ïì 1 ï x ³ - Û í 2 Û x = 0(thỏa mãn điều kiện) ï 2x 2 + 7x = 0 îï Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 . ïì x > 0 ï ï 1 ï x - ³ 0 ì ï ï x ³ 1 ï x ï d) Phương trình Û í 1 Û í 1 1 ï 1- ³ 0 ï x - = x - 1- ï x îï x x ï 1 1 ï x - + 1- = x îï x x ì ï x ³ 1 ïì x ³ 1 Û ï Û ï í 1 1 1 í 2 2 ï x - = x 2 + 1- - 2x 1- ï x - x - 2 x - x + 1 = 0 îï x x x î ì ì ì ï x ³ 1 ï x ³ 1 ï x ³ 1 ï 1 + 5 Û í Û ïí Û íï Û x = ï 2 ï x 2 - x - 1 = 0 ï 1 ± 5 ï x - x = 1 îï ï x = 2 î îï 2 1 + 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) - 5x 2 + 8x - 3 + 5x - 3 = 1- x + 1 b) x 2 + (3 - x ) 2x - 1 = x (3 2x 2 - 5x + 2 - x - 2) Lời giải ïì - 5x 2 + 8x - 3 ³ 0 ï 3 a) ĐKXĐ: íï 5x - 3 ³ 0 Û £ x £ 1 ï 5 ï 1- x ³ 0 îï Phương trình (5x - 3)(1- x ) + 5x - 3 = 1- x + 1 Û ( 5x - 3 - 1)( 1- x + 1) = 0 4 Û 5x - 3 = 1 Û x = (thỏa mãn điều kiện) 5 4 Vậy phương trình có nghiệm x = . 5 ïì 2x 2 - 5x + 2 ³ 0 ï b) ĐKXĐ: íï 2x - 1 ³ 0 Û x ³ 2 ï ï x - 2 ³ 0 îï Phương trình Û ( x - 2 2x - 1 - x x - 2) + 3x - x 2 - 3 2x - 1 + x 2x - 1 = 0 Û x - 2( 2x - 1 - x ) + x (3 - x ) + 2x - 1(x - 3) = 0 é ê 2x - 1 = x Û ( 2x - 1 - x)( x - 2 - 3 + x) = 0 Û ê x - 2 = 3 - x ëê 268
11. é 2x - 1 = x 2 é x 2 - 2x + 1 = 0 ê ê êïì 3 - x ³ 0 êì Û êï Û êï x £ 3 êí 2 í ï x - 2 = 3 - x êï x 2 - 7x + 11 = 0 ëêïî ( ) ëêîï é x = 1 ê é x = 1 êïì x £ 3 ê Û êï Û ê êï ê 7 - 5 êí 7 ± 5 êx = ï x = ë 2 ëêîï 2 7 - 5 Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 suy ra x = thỏa mãn 2 7 - 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2 Ví dụ 3: Giải các phương trình 5( x + 3 + 3x - 2) = 5x 2 - 31x + 41 Lời giải ì ïì x ³ - 3 ï x + 3 ³ 0 ï 2 ĐKXĐ: í Û í 2 Û x ³ ï 3x - 2 ³ 0 ï x ³ 3 î îï 3 Phương trình tương đương với (5 x + 3 - x - 9) + (5 3x - 2 - 3x - 2) = 5x 2 - 35x + 30 - x 2 + 7x - 6 - x 2 + 7x - 6 Û + = 5x 2 - 35x + 30 5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2 æ ö 2 ç 1 1 ÷ Û (x - 7x + 6)ç + + 5÷= 0 èç5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2 ø÷ éx = 1 Û x 2 - 7x + 6 = 0 Û ê (thỏa mãn điều kiện) êx = 6 ëê Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 6. Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x = 1,x = 6 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung x 2 - 7x + 6. Đối với 5 x + 3 ta ghép thêm với ax + b , như thế sau khi trục 2 25(x + 3)- (ax + b ) căn thức ta có 5 x + 3 - (ax + b ) = như vậy để có đại nhân tử 5 x + 3 + (ax + b ) ì ï 5 1 + 3 - (a + b ) = 0 ïì a = 1 x 2 - 7x + 6 thì íï Û íï . Hoàn toàn tương tự với đại lượng ï 5 6 + 3 - a.6 + b = 0 ï b = 9 îï ( ) îï 5 3x - 2 . Do đó ta tách được như lời giải ở trên. Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau a) x + 1 ³ 2(x 2 - 1) b) (x + 5)(3x + 4) > 4(x - 1) c) 5x - 1 - x - 1 > 2x - 4 d) (x - 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9 Lời giải ïì 2(x 2 - 1) ³ 0 ï a) Bất phương trình Û íï x + 1 ³ 0 . ï ï 2(x 2 - 1) £ (x + 1)2 îï 269
12. ïì éx ³ 1 ïì éx ³ 1 ï ê ï ê ï êx £ - 1 ï êx £ - 1 ï ëê ï ëê é ï ï x = - 1 Û í x ³ - 1 Û í x ³ - 1 Û ê ï ï ê1 £ x £ 3 ï 2 ï ëê ï x - 2x - 3 £ 0 ï 1 £ x £ 3 ï ï îï îï é ù Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {- 1} È ë1;3û. éïì 4(x - 1) 16(x - 1)2 ëêîï éìï x x - 1 + 2x - 4 Û x + 2 > (2x - 4)(x - 1) Û x 2 + 4x + 4 > 2x 2 - 6x + 4(do x ³ 2 ) Û x 2 - 10x 3: ta có Bất phương trình Û x 2 - 4 £ x + 3 2 13 Û x 2 - 4 £ (x + 3) Û x ³ - 6 Kết hợp với điều kiệnx > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = (3;+ ¥ ). +) Vớix < 3 270
13. Bất phương trình Û x 2 - 4 ³ x + 3 ì ïì x + 3 > 0 ï x + 3 £ 0 ï Û í (I) hoặc í 2 (II) ï x 2 - 4 ³ 0 ï x 2 - 4 ³ x + 3 îï îï ( ) ïì x £ - 3 ï Ta có (I) Û íï éx ³ 2 Û x £ - 3 ï ê ï êx £ - 2 îï ëê ì ïì x > - 3 ï x > - 3 ï 13 (II) Û í Û í 13 Û - 3 . 1- x x - 3 x - 3 2x - 3 4 c) 8 + 3 ³ 6 2x - 3 + x + 1 x + 1 Lời giải a) * Nếu 1- x > 0 Û x 25 îï * Nếu x > 1 Þ luôn đúng vì VT 3 ï ëê îï ï x > 3 îï Bất phương trình Û 2(x 2 - 16) + x - 3 > 7 - x Û 2(x 2 - 16) > 10 - 2x kết hợp với điều kiện x ³ 4 ta có bất phương trình ïì x ³ 4 ïì 10 - 2x (10 - 2x)2 îï ïì x > 5 Ta có (I ) Û íï Û x > 5 ï x ³ 4 îï 271
14. ïì x ³ 4 ï ïì 4 £ x £ 5 (II ) Û íï 10 - 2x ³ 0 Û íï . ï ï x 2 - 20x + 66 (10 - 2x)2 îï îï ì ï 4 £ x £ 5 í Û 10 - 34 0 îï 2 Bất phương trình Û 8 2x - 3 + 3 x + 1 = 6 (2x - 3)(x + 1) + 4 Û 4(2 2x - 3 - 1) + 3 x + 1(1- 2 2x - 3) ³ 0 Û (2 2x - 3 - 1)(4 - 3 x + 1) ³ 0 (8x - 13)(7 - 9x) Û ³ 0 (2 2x - 3 + 1)(4 + 3 x + 1) 7 13 Û (8x - 13)(7 - 9x) ³ 0 Û £ x £ 9 8 é3 13ù Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú. ëê2 8 ûú Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau a) (x + 1)(x + 4) 0 Þ x 2 + 5x + 4 = t 2 - 24 Bất phương trình trở thành t 2 - 24 0 Û - 1 0 Þ - x 2 + 2x = t 2 - 3. Bất phương trình trở thành - t 3 0 Û (t - 1)(t 2 + 2t + 2) > 0 Û t > 1 Do đó ta có - x 2 + 2x + 3 > 1 Û - x 2 + 2x + 3 > 1 Û x 2 - 2x - 2 < 0 Û 1- 3 < x < 1 + 3 . 272
15. Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = (1- 3;1 + 3) ïì 7x + 7 ³ 0 6 c) ĐKXĐ:íï Û x ³ : ï 7x - 6 ³ 0 îï 7 Đặt : t = 7x + 7 + 7x - 6,t ³ 0 Þ t 2 = 7x + 7 + 7x - 6 + 2 (7x + 7)(7x - 6) Þ 14x + 2 (7x + 7)(7x - 6) = t 2 - 1 Bất phương trình trở thành t 2 + t - 1 0. æ ö æ ö ç 1 ÷ ç 1 ÷ Bất phương trình Û 3ç x + ÷ 0 Þ t 2 = x + + 1 Þ x + = t 2 - 1 2 x 4x 4x Bất phương trình trở thành 3t 3 2 ê Û 2t - 3t - 9 > 0 Û ê 3 Û t > 3(do t > 0) êt 3 Û x + 1 + > 9 2 x 4x é ê 8 + 3 7 êx > Û 4x 2 - 36x + 1 > 0 Û ê 2 ê 8 - 3 7 êx + 1- x 2 x 2 - 1 Lời giải 273
16. ïì éx ³ 2 + 3 ì 2 ï ê é ï x - 4x + 1 ³ 0 ï ê ê x ³ 2 + 3 a) ĐKXĐ: í Û í êx £ 2 - 3 Û ê ï x ³ 0 ï ë ê0 £ x £ 2 - 3 î ï x ³ 0 ë îï Dễ thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình. 1 1 Với x > 0, bất phương trình tương đương với x + + x + - 4 ³ 3 x x 1 1 Đặt t = x + ,t > 0 Þ t 2 - 2 = x + , bất phương trình trở thành t 2 - 6 ³ 3 - t x x é 3 - t 3 ê ê êì êïì t £ 3 5 Û êï 3 - t ³ 0 Û êï Û t ³ ï êï 2 êí 2 2 í 5 êï t - 6 ³ (3 - t ) êï t ³ ëîï ëêîï 2 1 5 1 25 Từ đó ta có x + ³ Û x + + 2 ³ x 2 x 4 éx ³ 4 2 ê Û 4x - 17x + 4 ³ 0 Û ê 1 êx £ ëê 4 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình đã cho là é 1ù S = ê0; úÈ [4;+ ¥ ) ëê 4ûú b) ĐKXĐ: 1- x 2 > 0 Û - 1 1- x 2 1- x 2 x 2 x Û - 3 + 2 > 0. 1- x 2 1- x 2 x ét 0 Û ê 2 êt > 2 1- x ëê é- 1 x Û êï 0 £ x x 2 ëêîï é- 1 2 Û > 2 Û x > 2 1- x 2 Û íï 2 ï x 2 > 4(1- x 2) 1- x îï 2 Û < x < 1. 5 æ ö æ ö ç 1 ÷ ç 2 ÷ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: T = ç- 1; ÷È ç ;1÷. èç 2 ø÷ èç 5 ø÷ Ví dụ 8: Giải các bất phương trình sau 274
17. 3 a) x 3 - 3x 2 + 2 (x + 2) - 6x ³ 0 b) x 3 - 4x 2 - 5x + 6 £ 3 7x 2 + 9x - 4 Lời giải a) ĐKXĐ: x ³ - 2. Đặt y = x + 2, điều kiện y ³ 0 . Bất phương trình trở thành: x 3 - 3xy2 + 2y 3 ³ 0 éx = y é x + 2 = x 2 ê ê Û (x - y ) (x + 2y ) ³ 0Û Û ê êx + 2y ³ 0 2 x + 2 ³ - x ëê ëê ïì x ³ 0 Với x + 2 = x Û íï Û x = 2 ï x + 2 = x 2 îï éx ³ 0 ê éx ³ 0 Với 2 x + 2 ³ - x Û êïì x £ 0 Û ê Û x ³ 2 - 2 3 . êíï ê2 - 2 3 £ x £ 0 êï 4(x + 2) ³ x 2 ëê ëêîï Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = é2 - 2 3;+ ¥ ëê ) 3 b) Bất phương trình tương đương với (x + 1) - 7x 2 - 8x + 5 £ 3 7x 2 + 9x - 4 3 Û (x + 1) + x + 1 £ 3 7x 2 + 9x - 4 + 7x 2 + 9x - 4 Đặt a = x + 1, b = 3 7x 2 + 9x - 4 , bất phương trình trở thành : a3 + a £ b3 + b Û (a - b)(a2 + ab + b2 ) + a - b £ 0 Û (a - b)(a2 + ab + b2 + 1) £ 0 Û a £ b(do a2 + ab + b2 + 1 > 0) Suy ra x + 1 £ 3 7x 2 + 9x - 4 Û x 3 - 4x 2 - 6x + 5 £ 0 é ê - 1- 5 ê x £ Û (x - 5)(x 2 - x + 1) £ 0 Û ê 2 ê- 1 + 5 ê £ x £ 5 ëê 2 æ ù é ù ç - 1- 5 ú ê- 1 + 5 ú Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ç- ¥ ; úÈ ê ;5ú. èç 2 ûú ëê 2 ûú Ví dụ 9: Cho phương trình x + 1- x + x - x 2 = m a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất b) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm. Lời giải ĐKXĐ: 0 £ x £ 1 a) Giả sử phương trình cso nghiệm duy nhất x0 tức là ta có x0 + 1- x0 + x0 (1- x0 ) = m ta có thể viết lại là 1- x0 + x0 + (1- x0 )x0 = m do đó 1- x0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho 1 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì x = 1- x Û x = 0 0 0 2 1 + 2 2 thay vào ta có m = 2 275
18. 1 + 2 2 1 + 2 2 Với m = ta có phương trình x + 1- x + x - x 2 = (*) 2 2 x + 1- x 1 Áp dụng BĐT côsi ta có x - x 2 = x (1- x ) £ = 2 2 2 Mặt khác ( x + 1- x ) = 1 + 2 x (1- x ) £ 2 Þ x + 1- x £ 2 1 + 2 2 1 Suy ra x + 1- x + x - x 2 £ , đẳng thức xảy ra Û x = 2 2 Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1 + 2 2 Vậy m = là giá trị cần tìm. 2 b) Đặt t = x + 1- x Þ t 2 = 1 + 2 x (1- x ) 2 Theo câu a ta có 1 £ ( x + 1- x ) = 1 + 2 x (1- x ) £ 2 Suy ra 1 £ t £ 2 t 2 - 1 Phương trình trở thành t + = m Û t 2 + 2t - 1 = 2m ( ) 2 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm thỏa mãn 1 £ t £ 2 Û Đồ thị hàm số y = t 2 + 2t - 1 trên é1; 2ù cắt đường thẳng y = 2m . ëê ûú Xét hàm số y = t 2 + 2t - 1 trên é1; 2ù ëê ûú Bảng biến thiên t 1 2 1 + 2 2 y 0 1 1 + 2 2 Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û 1 £ 2m £ 1 + 2 2 hay Û £ m £ 2 2 Ví dụ 10: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ³ 1 3 x - 1 + m x + 1 ³ 24 x 2 - 1. Lời giải ĐKXĐ: x ³ 1. Chia hai vế phương trình cho x + 1 > 0 ta có x - 1 x - 1 Bất phương trình tương đương với 3 + m ³ 24 . x + 1 x + 1 x - 1 2 Đặt t = 4 = 4 1- Þ 0 < t < 1, " x ³ 1 x + 1 x + 1 Bất phương trình trở thành: 3t 2 + m ³ 2t Û - 3t 2 + 2t £ m (*) . Bất hương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û (*) nghiệm đúng t Î (0;1) Û m ³ max f (t ) với f (t ) = - 3t 2 + 2t . (0;1) Xét hàm số f (t ) = - 3t 2 + 2t trên (0;1) Bảng biến thiên 276
19. t 1 0 1 3 1 f (t ) 3 0 - 1 1 Từ bảng biến thiên suy ra max f (t ) = (0;1) 3 1 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û m ³ 3 1 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 3 Loại 3: Phương pháp đánh giá Đối với phương trình ta thường làm như sau Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất. Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về bất phương trình f (x ) = 0 trong đó f (x ) là tổng các bình phương. Cách 3: Với phương trình f (x) = g(x) có tập xác định D ïì f (x) ³ m(x) ïì f (x) = m(x) Nếu íï , " x Î D thì f (x) = g(x) Û íï . ï g(x) £ m(x) ï g(x) = m(x) îï îï Ví dụ 11: Giải các phương trình sau 6 8 a) + = 6 b) x - 1 + x x 3 - 3x + 2 = 1- x 3 - x 2 - x c) x - x - 1- x = 1 d) 4 x + 8 + x + 4 = 2x + 3 + 3x Lời giải a) ĐKXĐ: x 4 Þ > 2 và > = 4 2 3 - x 3 - x 2 - x 3 2 - 2 6 8 Þ + > 6 Þ phương trình vô nghiệm. 3 - x 2 - x 3 6 6 8 8 * Với < x < 2 ta có < 4 Þ < 2 và < = 4 2 3 - x 3 - x 2 - x 3 2 - 2 6 8 Suy ra + < 6 Þ phương trình vô nghiệm. 3 - x 2 - x 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = . 2 ì ïì x - 1 ³ 0 ï x - 1 ³ 0 ï b) ĐKXĐ: í Û í 2 Û x ³ 1 ï x 3 - 3x + 2 ³ 0 ï x - 1 x + 2 ³ 0 îï îï ( ) ( ) 277
20. Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Với x > 1 ta có x - 1 + x x 3 - 3x + 2 > 0, 1- x 1 ta có 2x + 3 > x + 4 Û 2x + 3 - x + 4 > 0 Và (x - 1)(9x + 8) > 0 Û 9x 2 - x - 8 > 0 Û x + 8 0 Û 9x 2 - x - 8 > 0 Û x + 8 > 9x 2 Û 4 x + 8 - 3x > 0 Suy ra phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1. Ví dụ 12: Giải các phương trình sau a) x 2 - 9x + 28 = 4 x - 1 b) 1- 2x + 1 + 2x = 2 - x 2 c) 20x + 38 = 4 x + 1 + 6 2x + 3 + 12 2x 2 + 5x + 3 Lời giải a) ĐKXĐ: x ³ 1 Phương trình tương đương với x 2 - 10x + 25 + (x - 1)- 4 x - 1 + 4 = 0 Û (x - 5)2 + ( x - 1 - 2)2 = 0 (*) Vì (x - 5)2 + ( x - 1 - 2)2 ³ 0 với mọi x nên ì ï x - 5 = 0 Phương trình (*) Û í Û x = 5 ï x - 1 - 2 = 0 îï Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. ïì 1- 2x ³ 0 1 1 b) ĐKXĐ: íï Û - £ x £ ï 1 + 2x ³ 0 îï 2 2 2 2 Phương trình tương đương với ( 1- 2x + 1 + 2x ) = (2 - x 2 ) 2 Û 2 + 2 1- 4x 2 = 4 - 4x 2 + x 4 Û ( 1- 4x 2 - 1) + x 4 = 0 ì ï x = 0 Û í Û x = 0 ï 1- 4x 2 - 1 = 0 îï Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 . 278
21. ïì x + 1 ³ 0 c) ĐKXĐ: íï Û x ³ - 1 ï 2x + 3 ³ 0 îï Phương trình tương đương với (x + 1- 4 x + 1 + 4) + (2x + 3 - 6 x + 1 + 9) + (9x + 9 - 12 (x + 1)(2x + 3) + 8x + 12) = 0 Û ( x + 1 - 2)2 + ( 2x + 3 - 3)2 + (3 x + 1 - 2 2x + 3)2 = 0 ì ï x + 1 - 2 = 0 ï Û íï 2x + 3 - 3 = 0 Û x = 3 (thỏa mãn điều kiện) ï ï 3 x + 1 - 2 2x + 3 = 0 îï Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Ví dụ 13: Giải các phương trình sau a) x 2 + x - 1 + - x 2 + x + 1 = x 2 - x + 2 2x 2 + x - 1 b) = x(x - 1) 1 + 3 x + 1 c) 3 x 2 - 1 + x = x 3 - 2 Lời giải a) Giả sử PT có nghiệm x . Theo bất đẳng thức côsi ta có : 1 + x 2 + x - 1 x 2 + x 1.(x 2 + x - 1) £ = 2 2 1- x 2 + x + 1 - x 2 + x + 2 1.(- x 2 + x + 1) £ = 2 2 Cộng vế với vế ta được x 2 + x - 1 + - x 2 + x + 1 £ x + 1 2 Suy ra x 2 - x + 2 £ x + 1 Û (x - 1) £ 0 Û x = 1 Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó nghiệm của nó phải thỏa mãn ïì x + 1 > 0 ï íï x (x - 1) ³ 0 Û x Î {- 1} È [1;+ ¥ ) ï ï 2x 2 + x - 1 ³ 0 îï Rõ ràng x = - 1 không là nghiệm của phương trình, ta xét x ³ 1 Phương trình đã cho Û 2x 2 + x - 1 = x 2 - x + 3 x(x 2 - 1) (*) Áp dụng BĐT côsi ta có x 2 - x 3(x + x 2 - 1) x 2 - x £ , 3 x(x 2 - 1) £ 2 2 x 2 - x 3(x + x 2 - 1) Suy ra VP(*) £ + = 2x 2 + x - 1 = VT (*) 2 2 1 ± 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 - x - 1 = 0 Û x = 2 1 + 5 Thử lại phương trình ta thấy x = là nghiệm của phương trình 2 1 + 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = . 2 279