Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

1. CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc. b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: Cung tròn bán kính R có số đo a (0 £ a £ 2p ), có số đo a0 (0 £ a £ 360) và có độ dài là l thì: pa a a l = Ra = .R do đó = 180 p 180 0 æ180ö p Đặc biệt: 1rad = ç ÷ , 10 = rad . èç p ø÷ 180 2. Góc và cung lượng giác. a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm). b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng. Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường v tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động + theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng V chuyển động theo một chiều trên đường tròn. M • Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia O m Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov) - U u • Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm þ đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV • Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó p 25 quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) thì nói nó quay góc 2 7 25 50p - .3600 (hay - ) 7 7 þ • Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) là số đo của cung lượng giác UV c) Hệ thức Sa-lơ. • Với ba tia Ou, Ov,Ow tùy ý ta có: Sđ(Ou,Ov) + Sđ(Ov,Ow) = Sđ(Ou,Ow) + k2p (k Î Z ) Sđ(Ou,Ov)- Sđ(Ou,Ow) = Sđ(Ow,Ov) + k2p (k Î Z ) • Với ba điểm tùy ý U,V ,W trên đường tròn định hướng ta có : þ þ þ SđUV + SđVW = SđUW + k2p (k Î Z ) þ þ þ SđUV - SđUW = SđWV + k2p (k Î Z ) 366
2. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau: Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k Î Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720,6000,- 37045' 30''. 5p 3p b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: , ,- 4. 18 5 Lời giải p p 2p p 10p a) Vì 10 = rad nên 720 = 72. = ,6000 = 600. = , 180 180 5 180 3 0 0 0 æ45ö æ 30 ö æ4531ö 4531 p - 37045' 30'' = - 370 - ç ÷ - ç ÷ = ç ÷ = . » 0,6587 èç60ø÷ èç60.60ø÷ èç 120 ø÷ 120 180 0 0 0 æ180ö 5p æ5p 180ö 3p æ3p 180ö b) Vì 1rad = ç ÷ nên = ç . ÷ = 50o, = ç . ÷ = 108o, èç p ø÷ 18 èç18 p ÷ø 5 èç 5 p ÷ø 0 0 æ 180ö æ720ö - 4 = - ç4. ÷ = - ç ÷ » - 2260048'. èç p ø÷ èç p ø÷ Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3p 1 a) b) 510 c) 4 3 Lời giải pa Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra = .R nên 180 3p a) Ta có l = Ra = 36. = 27p » 84,8m 4 pa p51 51p b) Ta có l = .R = .36 = » 32,04m 180 180 5 1 c) Ta có l = Ra = 36. = 12m 3 Ví dụ 3: Cho hình vuông A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều þ þ quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A0Ai , Ai Aj (i, j = 0,1,2,3,4,i ¹ j ). Lời giải þ · A1 A0 Ta có A0OA0 = 0 nên sđA0A0 = k2p , k Î Z þ · p p A OA = nên sđA A = + k2p , k Î Z 0 1 2 0 1 2 O · þ A OA = p nên sđA A = p + k2p , k Î Z 0 2 0 1 A2 A3 367
3. þ · p p 3p A OA = nên sđA A = 2p - + k2p = + k2p , k Î Z 0 3 2 0 3 2 2 þ i p Như vậy sđA A = + k2p , i = 0,1,2,3, k Î Z 0 i 2 þ þ þ p Theo hệ thức salơ ta có sđA A =sđA A - sđA A + k2p = (j - i ). + k2p , k Î Z . i j 0 j 0 i 2 Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là: 33p 291983p a) b) - c) 30 4 3 Lời giải 33p a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là + k2p, k Î Z 4 33p 33 Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ + k2p £ 2p, k Î Z Û 0 £ + k2 £ 2, k Î Z 4 4 33 25 Û - £ k £ - , k Î Z Û k = - 4 8 8 33p p Suy ra a = + (- 4).2p = 4 4 291983p b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là - + k2p, k Î Z 3 291983p 291983 Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ - + k2p £ 2p, k Î Z Û 0 £ - + k2 £ 2, k Î Z 3 3 291983 291989 Û £ k £ , k Î Z Û k = 6 6 291983p p Suy ra a = - + 48664.2p = 3 3 c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là 30 + k2p, k Î Z 15 Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k2p £ 2p, k Î Z Û 0 £ + k £ 1, k Î Z p 15 p - 15 Û - £ k £ , k Î Z Û k = - 4 p p Suy ra a = 30 + (- 4).2p = 30 - 8p » 4,867 . p 29p 22 6p 41p Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo - . Trong các số - ; - ; ; , những số nào là 7 7 7 7 7 số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho? Lời giải Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó 29p æ p ö 22 æ p ö 6p æ p ö 41p æ p ö Vì - - ç- ÷= (- 2).2p , - - ç- ÷= - 3p , - ç- ÷= p và - ç- ÷= 3.2p nên các 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷ 7 èç 7 ø÷ 29p 41p số - ; là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho. 7 7 Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov) = a và sđ (Ou ', Ov ') = b . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k Î Z . Lời giải 368
4. Ta có sđ(Ou, Ov) = a và sđ(Ou ', Ov ') = b suy ra tồn tại a 0, p < a 0 £ p , f 0, p < b0 £ p và số nguyên k0,l0 sao cho a = a0 + k02p, b = b0 + l02p . · · Khi đó a 0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u 'Ov ' . éa = b Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a = b Û ê 0 0 0 0 êa = - b ëê 0 0 Û b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k Î Z . 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.0: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 200, 40025', - 270 .( chính xác đến 0,001) p 2p b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: ,- ,- 5. 17 7 39p mp Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo và (m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không? 7 9 Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3p 4 a) b) 490 c) 7 3 Bài 6.3: Tìm số đo a0 của góc lượng giác (Ou,Ov) với 0 £ a £ 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là: 0 a) 3950 b) - 10520 c) (20p ) Bài 6.4: Cho lục giác đều A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược þ þ chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A0Ai , Ai Aj (i, j = 0,1,2,3,4,5,i ¹ j ). þ þ p p Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Cho điểm M ,N sao cho sđ AM = , sđ AN = - . Các điểm 5 5 þ þ M ',N ' lần lượt là các điểm đối xứng của M ,N qua tâm đường tròn. Tìm số đo của cung AM ', AN ' và þ M 'N '. § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác. a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc. y t b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. B T Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA,OM = a gọi là ( ) S s H điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M(x;y) M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a . Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn O K A x lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là a + k2p,k Î Z . d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác (Ou,Ov) có 369
5. số đo a , xác định điểm M (x;y ) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa cosa = x, sin a = y sin a æ p ö tan a = ça ¹ + kp ÷ cosa èç 2 ÷ø cosa cot a = (a ¹ kp ) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K ,H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T ,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At,Bs . Khi đó ta có: sin a = OH, cosa = OK , tan a = AT ,cot a = BS e) Tính chất: • sin a,cosa xác định với mọi giá trị của a và - 1 £ sin a £ 1,- 1 £ cosa £ 1. p • tan a được xác định khi a ¹ + kp , cot a xác định khia ¹ kp 2 • sin a = sin(a + k2p ),cosa = cos(a + k2p ) tan a = tan(a + kp ),cot a = cot (a + kp ) f) Dấu của các giá trị lượng giác: Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác. Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. p p p p 2p 3p 3p 0 p 2p Góc a 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin a 1 2 3 3 2 0 1 0 –1 0 2 2 2 2 2 cosa 3 2 1 1 2 1 0 - - –1 0 1 2 2 2 2 2 tan a 3 0 1 3 || - 3 –1 0 || 0 3 cot a 3 3 || 3 1 0 - –1 || 0 || 3 3 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 370
6. 1) sin2 a + cos2 a = 1 1 p 2) 1 + tan2 a = (a ¹ + kp) cos2 a 2 1 3) 1 + cot 2 a = (a ¹ kp) sin2 a kp 4) tan a.cot a = 1 (a ¹ ) 2 3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt. p Góc đối nhau (a và - a ) Góc bù nhau(a và p - a ) Góc phụ nhau(a và - a ) 2 æp ö cos(- a) = cosa sin(p - a) = sin a sinç - a ÷= cosa èç2 ø÷ æp ö sin(- a) = - sin a cos(p - a) = - cosa cosç - a ÷= sin a èç2 ø÷ æp ö tan(- a) = - tan a tan(p - a) = - tan a tanç - a ÷= cot a èç2 ø÷ æp ö cot(- a) = - cot a cot(p - a) = - cot a cot ç - a ÷= tan a èç2 ø÷ p p Góc hơn kém p (a và p + a ) Góc hơn kém (a và + a ) 2 2 æp ö sin(p + a) = - sin a sinç + a ÷= cosa èç2 ø÷ æp ö cos(p + a) = - cosa cosç + a ÷= - sin a èç2 ø÷ æp ö tan(p + a)= tan a tanç + a ÷= - cot a èç2 ÷ø æp ö cot(p + a)= cot a cot ç + a ÷= - tan a èç2 ÷ø Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang, hơn p kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối. 2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau • Góc a và góc a + k2p,k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. 371
7. k2p • Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a + ( với k là số nguyên và m m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới (m - 1) rồi biểu diễn các góc đó. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: p 11p a) b) - c) 1200 d) - 7650 4 2 Lời giải p 1 a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 2p 8 y p B Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo . M2 1 4 M1 13p p b) Ta có - = - + (- 3).2p do đó điểm biểu diễn bởi góc 2 2 A x 11p p A' O - trùng với góc - và là điểm B ' . 2 2 M3 120 1 c) Ta có = . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau. B' 360 3 0 Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 120 . d) Ta có - 7650 = - 450 + (- 2).3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc - 450 . 45 1 = . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm ) 360 8 ¼ 0 Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 765 . Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý). p p x = kp ; x = + kp ; x = - + kp 1 2 3 3 3 Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào? Lời giải k2p • Ta có x = do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x = kp 1 2 1 Với k = 0 Þ x1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A k = 1 Þ x1 = p được biểu diễn bởi A ' p 2kp p • x = + do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x = + kp 2 3 2 2 3 372
8. p y k = 0 Þ x = được biểu diễn bởi M 2 3 1 B M4 M1 4p k = 1 Þ x = được biểu diễn bởi M 3 2 p k2p • x = - + do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc 3 3 2 A' O A x p có số đo dạng x = - + kp 3 3 p k = 0 Þ x = - được biểu diễn bởi M M2 M3 3 3 3 B' 2p k = 1 Þ x = được biểu diễn bởi M . 6 3 4 • Do các góc lượng giác x1,x2,x3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A 'M 2M 3 nên các góc kp lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x = . 3 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: p 17p a) b) - c) - 450 d) 7650 3 4 p p Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là x = + k (k là số 4 2 nguyên tùy ý). Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy p ý). x = kp ; x = + kp 1 2 2 Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?  DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt • Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 7p 5p 7p 1 2sin 2550° cos(- 188°) a) A = sin + cos9p + tan(- ) + cot b) B = + 6 4 2 tan 368° 2cos638° + cos98° p 3p 5p c) C = sin2 25° + sin2 45° + sin2 60° + sin2 65° d) D = tan2 .tan .tan 8 8 8 Lời giải 373
9. æ p ö æ p ö æp ö a) Ta có A = sinçp + ÷+ cos(p + 4.2p )- tançp + ÷+ cot ç + 3p ÷ èç 6 ø÷ èç 4 ø÷ èç2 ø÷ p p p 1 5 Þ A = - sin + cosp - tan + cot = - - 1- 1 + 0 = - 6 4 2 2 2 1 2sin(300 + 7.360°)cos(80 + 180°) b) Ta có B = + tan(80 + 360°) 2cos(- 900 + 80 + 2.360°) + cos(900 + 8°) 1 0 0 0 2. - cos8 1 2sin 30 (- cos8 ) 1 ( ) B = + = + 2 = tan 80 2cos(80 - 900 )- sin 80 tan 80 2cos(900 - 80 )- sin 80 1 cos80 1 cos80 = - = - = 0 tan 80 2sin 80 - sin 80 tan 80 sin 80 c) Vì 250 + 650 = 900 Þ sin 650 = cos250 do đó 2 2 0 æ 2 ö æ1ö 2 2 2 2 ç ÷ ç ÷ C = (sin 25° + cos 25) + sin 45° + sin 60° = 1 + ç ÷ + ç ÷ èç 2 ø÷ èç2÷ø 7 Suy ra C = . 4 æ ö é æ ö ù ç p 3p ÷ ç p ÷ 5p d) D = - çtan .tan ÷.êtanç- ÷tan ú èç 8 8 ø÷ ëê èç 8 ø÷ 8 ûú p 3p p p 5p p 3p p 5p æ p ö Mà + = ,- + = Þ tan = cot , tan = cot ç- ÷ 8 8 2 8 8 2 8 8 8 èç 8 ÷ø æ ö é æ ö æ öù ç p p ÷ ç p ÷ ç p ÷ Nên D = - çtan .cot ÷.êtanç- ÷cot ç- ÷ú= - 1. èç 8 8 ø÷ ëê èç 8 ø÷ èç 8 ø÷ûú p Ví dụ 2: Cho - a > - p Þ 0 > - a > - suy ra tanç - a ÷ 0 2 2 2 èç 2 ø÷ p Và 0 0 2 æ p ö Vậy cosç- + a ÷.tan(p + a ) > 0. èç 2 ÷ø 3p 14p 14p d) Ta có < < 2p Þ sin < 0. 2 9 9 p 3p < a < p Þ < p + a < 2p suy ra cot (p + a ) < 0. 2 2 374
10. 14p Vậy sin .cot (p + a ) > 0. 9 3. Bài tập luyện tập: Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau: sin 405° + sin 495° a) A = cos1830° + cos3660° 1 + cos1800° tan(- 390°) b) B = tan(- 420°) c) D = cos00 + cos200 + cos400 + + cos1600 + cos1800 d) E = tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 e) F = cos2 15° + cos2 35° + cos2 55° + cos2 75° Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau: 151p 85p 193p 37p a) A = 5sin2 + 3cos2 - 4tan2 + 7cot 2 . 6 3 6 3 p 2p p 3p b) B = cos2 + cos2 + cos2 + cos2 . 5 5 10 10 p 2p 5p 7p c) C = tan tan tan tan 9 9 18 18 Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau: 22p 3p æ 2p ö a) A = sin 500.cos(- 3000) b) B = sin 2150.tan c) C = cot .sinç- ÷ 7 5 èç 3 ø÷ Bài 6.12: Cho 00 < a < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) sin(a + 900) b) cot(a - 900) c) tan(2700 - a) d) cos(2a + 900) p Bài 6.13: Cho 0 < a < . Xét dấu của các biểu thức sau: 2 a) cos(a + p) b) tan(a - p) æ 2p ö æ 3p ö c) sinça + ÷ d) cosça - ÷ èç 5 ÷ø èç 8 ÷ø Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau: a) M = sin A + sin B + sinC b) N = cosA.cosB.cosC A B C c) P = cos .sin .cot d) Q = cot A tan B cotC 2 2 2  DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi + Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác. + Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) cos4 x + 2sin2 x = 1 + sin4 x sin x + cosx b) = cot 3 x + cot 2 x + cot x + 1 sin3 x 375
11. cot 2 x - cot 2 y cos2 x - cos2 y c) = cot 2 x.cot 2 y cos2 x.cos2 y æ p ö æp ö d) sin4 x + 4cos2 x + cos4 x + 4sin2 x = 3tançx + ÷tanç - x ÷ èç 3 ø÷ èç6 ø÷ Lời giải 2 a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1- 2sin2 x + (sin2 x ) 2 Û cos4 x = (1- sin2 x ) (*) Mà sin2 x + cos2 x = 1 Þ cos2 x = 1- sin2 x 2 Do đó (*) Û cos4 x = (cos2 x ) (đúng) ĐPCM. sin x + cosx 1 cosx b) Ta có VT = = + sin3 x sin2 x sin3 x 1 sin x Mà cot 2 x + 1 = và tan x = nên sin2 x cosx VT = cot 2 x + 1 + cot x (cot 2 x + 1) = cot 3 x + cot 2 x + cot x + 1 = VP ĐPCM. cot 2 x - cot 2 y 1 1 c) Ta có VT = = - = tan2 y - tan2 x cot 2 x.cot 2 y cot 2 y cot 2 x æ 1 ö æ 1 ö 1 1 cos2 x - cos2 y = ç - 1÷- ç - 1÷= - = = VP ĐPCM. èçcos2 y ø÷ èçcos2 x ø÷ cos2 y cos2 x cos2 x.cos2 y d) VT = sin4 x + 4(1- sin2 x ) + cos4 x + 4(1- cos2 x ) 2 2 2 2 = (sin2 x ) - 4sin2 x + 4 + (cos2 x ) - 4cos2 x + 4 = (sin2 x - 2) + (cos2 x - 2) = (2 - sin2 x ) + (2 - cos2 x ) = 4 - (sin2 x + cos2 x ) = 3 æ p ö æp ö p æp ö æ p ö Mặt khác vì çx + ÷+ ç - x ÷= Þ tanç - x ÷= cot çx + ÷ nên èç 3 ø÷ èç6 ø÷ 2 èç6 ø÷ èç 3 ø÷ æ p ö æ p ö VP = 3tançx + ÷cot çx + ÷= 3 Þ VT = VP ĐPCM. èç 3 ø÷ èç 3 ÷ø Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng B B sin3 cos3 2 - 2 = tan A.cot(B + C) æA + 2B + C ö æA + 2B + C ö cosç ÷ sinç ÷ èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ Lời giải Vì A + B + C = p nên 3 B 3 B 3 B 3 B sin cos sin cos æ ö 2 2 2 2 2 B 2 B VT = - = - = - çsin + cos ÷= - 1 æp B ö æp B ö B B èç 2 2 ÷ø cosç + ÷ sinç + ÷ - sin cos èç2 2 ø÷ èç2 2 ø÷ 2 2 VP = tan A.cot (p - A ) = tan A.(- cot A ) = - 1 Suy ra VT = VP . ĐPCM Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) æ3p ö æ3p ö a) A = cos(5p - x) - sinç + x ÷+ tanç - x ÷+ cot(3p - x) èç 2 ÷ø èç 2 ÷ø sin(900° + x) - cos(450° - x) + cot(1080° - x) + tan(630° - x) b) B = cos(450° - x) + sin(x - 630°) - tan(810° + x) - tan(810° - x) 376
12. 1 1 1 c) C = 2 - . + với p < x < 2p sin(x + 2013p ) 1 + cosx 1- cosx Lời giải a) Ta có cos(5p - x) = cos(p - x + 2.2p ) = cos(p - x ) = - cosx æ3p ö æ p ö æp ö sinç + x ÷= sinçp + + x ÷= - sinç + x ÷= - cosx èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ æ3p ö æ p ö æp ö tanç - x ÷= tançp + - x ÷= tanç - x ÷= cot x èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ cot(3p - x) = cot (- x ) = - cot x Suy ra A = - cosx - (- cosx ) + cot x + (- cot x ) = 0 b) Ta có sin(900° + x) = sin(1800 + 2.3600 + x ) = sin(1800 + x ) = - sin x cos(4500 - x ) = cos(900 + 3600 - x ) = cos(900 - x ) = sin x cot(1080° - x) = cot(3.360° - x) = cot (- x ) = - cot x tan(630° - x) = tan(3.180° + 900 - x) = tan(900 - x) = cot x sin(x - 630°) = sin(x - 2.3600 + 900 ) = sin(x + 900 ) = cosx tan(810° + x) = tan(4.180° + 900 + x) = tan(900 + x) = - cot x tan(810° - x) = tan(4.180° + 900 - x) = tan(90° - x) = cot x - sin x - sin x - cot x + cot x - 2sin x Vậy B = = sin x + cosx - (- cot x )- cot x sin x + cosx c) Ta có sin(x + 2013p ) = sin(x + p + 1006.2p ) = sin(x + p ) = - sin x nên 1 1- cosx + 1 + cosx C = 2 + . sin x (1- cosx )(1 + cosx ) 1 2 1 2 æ 1 ÷ö = 2 + . = 2 + . = 2ç1 + ÷ 2 2 ç ÷ sin x 1- cos x sin x sin x èç sin x sin x ø÷ Vì p < x < 2p Þ sin x < 0 nên æ 1 ö C = 2ç1- ÷= - 2 cot 2 x èç sin2 x ø÷ Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x . sin6 x + cos6 x + 2 a) A = sin4 x + cos4 x + 1 1 + cot x 2 + 2cot 2 x b) B = - 1- cot x (tan x - 1)(tan2 x + 1) c) C = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x Lời giải 2 a) Ta có Ta có sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a 3 3 sin6 a + cos6 a = (sin2 a ) + (cos2 a ) = (sin2 a + cos2 a )(sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a ) = sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1- 3sin2 a cos2 a 1- 3sin2 a cos2 a + 2 3(1- sin2 a cos2 a ) 3 Do đó A = = = 1- 2sin2 a cos2 a + 1 2(1- sin2 a cos2 a ) 2 377
13. Vậy A không phụ thuộc vào x . 1 2cos2 x 2 + 1 + 2 b) Ta có B = tan x - sin x 1 1 1- (tan x - 1) tan x sin2 x tan x + 1 2(sin2 x + cos2 x ) tan x + 1- 2 = - = = 1 tan x - 1 tan x - 1 tan x - 1 Vậy B không phụ thuộc vào x . 2 2 c) C = (1- cos2 x ) + 6cos2 x + 3cos4 x + (1- sin2 x ) + 6sin2 x + 3sin4 x = 4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1 2 2 = 2cos2 x + 1 + 2sin2 x + 1 ( ) ( ) = 2cos2 x + 1 + 2sin2 x + 1 = 3 Vậy C không phụ thuộc vào x . 3. Bài tập luyên tập. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa. Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau: æp ö a) A = cosç + x ÷+ cos(2p - x) + cos(3p + x) èç2 ø÷ æ7p ö æ3p ö b) B = 2cosx - 3cos(p - x) + 5sinç - x ÷+ cot ç - x ÷ èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ c) C = 2sin(900 + x )+ sin(9000 - x) + sin(2700 + x )- cos(900 - x ) 9p sin(5p + x) cos(x - ) tan(10p + x) d) D = 2 . 11 cos(5p - x) sin( p + x) tan(7p - x) 2 Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) tan2 x - sin2 x = tan2 x.sin2 x tan3 x 1 cot 3 x b) - + = tan3 x + cot 3 x sin2 x sin x cosx cos2 x c) sin2 x - tan2 x = tan6 x(cos2 x - cot 2 x) tan2 a - tan2 b sin2 a - sin2 b d) = tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau 1 cos2 x - sin2 x a) - tan2 (1800 - x )- cos2 (1800 - x ) b) - cos2 x cos2 x cot 2 x - tan2 x sin3 x + cos3 x 1 + sin x 1- sin x c) d) + cos2 x + sin x(sin x - cosx) 1- sin x 1 + sin x 1 1 1 1 e) + . + ( 0 < x < p ). 1 + cosx 1- cosx 1 + sin x 1- sin x 1 1 1 1 1 1 f) ( + - - )( - ) . sin2 x cos2 x tan2 x cot 2 x sin2 x cos2 x Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a . a) (tan a + cot a)2 - (tan a - cot a)2 378
14. b) 2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a) 3 c) cot 2 300(sin8 a - cos8 a) + 4cos600(cos6 a - sin6 a) - sin6(900 - a)(tan2 a - 1) d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot 2 a + 2) Bài 6.19: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn æ B ö 10800 + A + C B A + C a) A = cos2 ç5400 + ÷+ cos2 + tan tan èç 2 ø÷ 2 2 2 æB ö æB ö sinç + 7200 ÷ cosç - 9000 ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ cos(A + C ) b) B = + - .tan B A + C A + C sin B cos sin 2 2  DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. • Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp. • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết: 1 2 3p a) sin a = và 900 0 và tan a = - 2 2 < 0 nên cosa < 0 379
15. 1 Vì vậy cosa = - 3 sin a æ 1ö 2 2 Ta có tan a = Þ sin a = tan a.cosa = - 2 2.ç- ÷= . cosa èç 3÷ø 3 1 1 d) Vì cot a = - 2 nên tan a = = - . cot a 2 1 1 1 1 1 Ta có cot 2 a + 1 = Þ sin2 a = = = Þ sin a = ± 2 2 2 sin a cot a + 1 (- 2) + 1 3 3 p 3p Do 0 2 2 3 Do đó sin a = . 3 cosa 3 6 Ta có cot a = Þ cosa = cot a.sin a = - 2. = - sin a 3 3 1 Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết sin a = và tan a + cot a 0 ) 1 Suy ra sin2 a = . 2 1 1 Ta lại có cos2 a = 1- sin2 a = 1- = 2 2 2 2 æ1ö æ1ö 1 Suy ra A = 2ç ÷ - ç ÷ = èç2ø÷ èç2ø÷ 4 2 tan a + 3cot a Ví dụ 3: a) Cho cosa = . Tính A = . 3 tan a + cot a sin a - cosa b) Cho tan a = 3. Tính B = sin3 a + 3cos3 a + 2sin a c) Cho cot a = 5 . Tính C = sin2 a - sin a cosa + cos2 a 380
16. Lời giải 1 1 tan a + 3 + 2 tan2 a + 3 2 a) Ta có A = tan a = = cos a = 1 + 2cos2 a 1 tan2 a + 1 1 tan a + tan a cos2 a 4 17 Suy ra A = 1 + 2. = 9 9 sin a cosa - 2 2 3 3 tan a (tan a + 1)- (tan a + 1) b) B = cos a cos a = sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3 + 2tan a tan2 a + 1 + + ( ) cos3 a cos3 a cos3 a 3(9 + 1)- (9 + 1) 2 Suy ra B = = 27 + 3 + 2.3(9 + 1) 9 sin2 a - sin a cosa + cos2 a æ cosa cos2 a ö c) Ta có C = sin2 a. = sin2 a ç1- + ÷ sin2 a èç sin a sin2 a ÷ø 1 1 6 - 5 = 1- cot a + cot 2 a = 1- 5 + 5 = 2 ( ) 2 ( ) 1 + cot a 1 + ( 5) 6 Ví dụ 4: Biết sin x + cosx = m a) Tìm sin x cosx và sin4 x - cos4 x b) Chứng minh rằng m £ 2 Lời giải 2 a) Ta có (sin x + cosx ) = sin2 x + 2sin x cosx + cos2 x = 1 + 2sin x cosx (*) m2 - 1 Mặt khác sin x + cosx = m nên m2 = 1 + 2sin a cosa hay sin a cosa = 2 Đặt A = sin4 x - cos4 x . Ta có A = (sin2 x + cos2 x )(sin2 x - cos2 x ) = (sin x + cosx )(sin x - cosx ) 2 2 Þ A2 = (sin x + cosx ) (sin x - cosx ) = (1 + 2sin x cosx )(1- 2sin x cosx ) æ m2 - 1öæ m2 - 1ö 3 + 2m2 - m4 Þ A2 = ç1 + ÷ç1- ÷= èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 4 3 + 2m2 - m4 Vậy A = 2 b) Ta có 2sin x cosx £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra 2 (sin x + cosx ) £ 2 Þ sin x + cosx £ 2 Vậy m £ 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.20: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết 3 a) sin a = với 00 < a < 900 5 1 b) cosb = với 0 < a < p 5 381
17. c) tan a = 2 và p 0 2 cot a + 3tana Bài 6.21: a) Cho cosa = . Tính A = 3 2cot a + tana 1 3cot a + 2tana + 1 b) Cho sina = . Tính B = 3 cot a + tana 2sina + 3cosa c) Cho tana = 2. Tính C = ; sina + cosa d) Cho cot a = 5. Tính D = 2cos2 a + 5sina cosa + 1 Bài 6.22: Biết tan x + cot x = m . tan6 x + cot 6 x a) Tìm tan2 x + cot 2 x b) c) Chứng minh m ³ 2 tan4 x + cot 4 x 12 Bài 6.23: Cho sin a cosa = . Tính sin3 a + cos3 a 25 Bài 6.24: Cho tana - cot a = 3. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = tan2 a + cot 2 a b) B = tana + cot a c) C = tan4 a - cot 4 a 3 Bài 6.25: Cho 3sin4 x + cos4 x = . Tính A = sin4 x + 3cos4 x . 4 §3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng: sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb+ sina.sinb tana + tanb tan(a + b) = 1- tana.tanb tana - tanb tan(a - b) = 1 + tana.tanb 2. Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi. sin 2a = 2sin a.cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a 2tan a tan 2a = 1- tan2 a b) Công thức hạ bậc. 1- cos2a sin2 a = 2 1 + cos2a cos2 a = 2 1- cos2a tan2 a = 1 + cos2a 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 382
18. 1 cosa cosb = écos(a + b) + cos(a - b)ù 2 ë û 1 sina sinb = - écos(a + b) - cos(a - b)ù 2 ë û 1 sina cosb = ésin(a + b) + sin(a - b)ù 2 ë û 4. Công thức biển đổi tổng thành tích. a + b a - b sin(a + b) cosa + cosb = 2cos .cos tana + tanb = 2 2 cosa.cosb a + b a - b sin(a - b) cosa - cosb = - 2sin .sin tana - tanb = 2 2 cosa.cosb a + b a - b sin(a + b) sina + sinb = 2sin .cos cot a + cot b = 2 2 sina.sinb a + b a - b sin(b - a) sina - sinb = 2cos .sin cot a - cot b = 2 2 sina.sinb B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt. 2. Các ví dụ minh họa. 7p 5p Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác sau: cos7950, sin180, tan ,cot . 12 8 Lời giải • Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên 3 2 1 2 6 - 2 cos7950 = cos750 = cos300 cos450 - sin 300 sin 450 = . - . = 2 2 2 2 4 • Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos360 Mà cos360 = cos(2.180 ) = 1- 2sin2 180 sin 540 = sin(180 + 360 ) = sin180 cos360 + sin 360 cos180 = sin180.(1- 2sin2 180 ) + 2sin180 cos2 180 = sin180.(1- 2sin2 180 ) + 2sin180 (1- sin2 180 ) = 3sin180 - 4sin3 180 Do đó 3sin180 - 4sin3 180 = 1- 2sin2 180 Û (sin180 - 1)(4sin2 180 + 2sin180 - 1) = 0 5 - 1 5 + 1 Û sin180 = 1 hoặc sin180 = hoặc sin180 = 2 2 5 - 1 Vì 0 < sin180 < 1 nên sin180 = . 2 383