Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. Các công thức lượng giác 1. Các hằng đẳng thức: * sin2 cos2 1 với mọi k * tan .cot 1 với mọi 2 1 * 1 tan2 với mọi k2 cos2 1 * 1 cot2 với mọi k sin2 2. Hệ thức các cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau: và cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot b. Hai cung phụ nhau: và 2 cos( ) sin sin( ) cos 2 2 tan( ) cot cot( ) tan 2 2 c. Hai cung bù nhau: và sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot d) Hai cung hơn kém nhau : và sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot 3. Các công thức lượng giác a. Công thức cộng – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 5
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. cos(a b) cosa.cos bm sina.sin b sin(a b) sina.cos b cosa.sin b tana tan b tan(a b) 1m tana.tan b b) Công thức nhân sin 2a 2sina cosa cos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a 1 sin 3a 3sina 4sin3 a cos3a 4cos3 a 3cosa c. Công thức hạ bậc 1 cos2a 1 cos2a sin2 a cos2 a 2 2 1 cos2a tan2 a 1 cos2a d. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosa.cos b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sina.sin b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sina.cos b [sin(a b) sin(a b)] . 2 e. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b a b a b cosa cos b 2cos .cos cosa cos b 2sin .sin 2 2 2 2 a b a b a b a b sina sin b 2sin .cos sina - sin b 2cos .sin 2 2 2 2 sin(a b) sin(a b) tana tan b tana tan b . cosa cos b cosa cos b II. Tính tuần hoàn của hàm số Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho với mọi x D ta có x T D và f(x T) f(x) . Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T . III. Các hàm số lượng giác 1. Hàm số y sin x Tập xác định: D R Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 sin x 1 x R 6
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) , nghịch biến trên 2 2 3 mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) . 2 2 Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Hàm số y sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 . Đồ thị hàm số y sin x . y -5 - 3 -2 - 3 2 2 2 2 x 1 5 -3 -3 O 2 2 2 2 2. Hàm số y cosx Tập xác định: D R Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 cosx 1 x R Hàm số y cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ; k2 ) , đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) . Hàm số y cosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Hàm số y cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 . Đồ thị hàm số y cosx . Đồ thị hàm số y cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sin x ur theo véc tơ v ( ;0) . 2 y 1 -5 - 3 -2 - 3 2 2 2 2 x 5 -3 -3 O 2 2 2 3. Hàm số y tan x  Tập xác định : D ¡ \ k , k ¢  2  – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 7
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Tập giá trị: ¡ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k ; k 2 2 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. 2 Đồ thị y 5 - 3 -2 - 2 2 2 2 2 x -5 -3 O 2 2 4. Hàm số y cot x Tập xác định : D ¡ \ k , k ¢  Tập giá trị: ¡ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. Đồ thị y 5 - 3 -2 - 2 2 2 2 2 x -5 -3 O 2 2 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 8
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số Phương pháp . Hàm số y f(x) có nghĩa f(x) 0 và f(x) tồn tại 1 Hàm số y có nghĩa f(x) 0 và f(x) tồn tại. f(x) sin u(x) 0 u(x)  k , k ¢ cosu(x) 0 u(x) k , k ¢ . 2 1 sin x, cosx 1. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau: 2 1. y tan(x ) 2. y cot2( 3x) 6 3 Lời giải. 2 1. Điều kiện: cos(x ) 0 x k x k 6 6 2 3 2  TXĐ: D ¡ \ k , k ¢  . 3  2 2 2 2. Điều kiện: sin( 3x) 0 3x k x k 3 3 9 3 2  TXĐ: D ¡ \ k , k ¢  . 9 3  Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau: tan 2x tan 5x 1. y cot(3x ) 2. y sin x 1 6 sin 4x cos3x Lời giải. sin x 1 x k2 2 1. Điều kiện: sin(3x ) 0 k 6 x 18 3 n  Vậy TXĐ: D ¡ \ k2 , ; k,n ¢  2 18 3  2. Ta có: sin 4x cos3x sin 4x sin 3x 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 9
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x 7x 2cos sin 2 4 2 4 cos5x 0 x k 10 5 x Điều kiện: cos 0 x k2 2 4 2 7x k2 x sin 0 14 7 2 4 k 2m  Vậy TXĐ: D ¡ \ , n2 ,  . 10 5 2 14 7  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau: 1 sin 2x 1 cos3x 1. y 2. y cos3x 1 1 sin 4x 3. y tan(2x ) 1 cot2 x 4 4. y 1 sin 3x Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số sau: 1 tan 2x 1. y 2. y sin 2x cos3x 3 sin 2x cos2x cot x 3. y 4. y tan(x ).cot(x ) 2sin x 1 4 3 Bài 3 Tìm tập xác định của hàm số sau: 2. y tan 3x.cot 5x 1. y tan(2x ) 3 4. y tan 3x cot(x ) 2 sin x 3 3. y 2 tan 4x tan x 6. y sin 3x cos4x sin 3x 5. y sin8x sin 5x Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số Phương pháp . Cho hàm số y f(x) tuần hoàn với chu kì T * Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc ur ur tơ k.v (với v (T;0), k ¢ ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số. 10
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Số nghiệm của phương trình f(x) k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị y f(x) và y k . * Nghiệm của bất phương trình f(x) 0 là miền x mà đồ thị hàm số y f(x) nằm trên trục Ox . Chú ý: Hàm số f(x) a sin ux bcosvx c ( với u,v ¢ ) là hàm số tuần hoàn với 2 chu kì T ( (u,v) là ước chung lớn nhất). (u,v) Hàm số f(x) a.tan ux b.cot vx c (với u,v ¢ ) là hàm tuần hoàn với chu kì T . (u,v) Các ví dụ Ví dụ 1. 3x x Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f(x) cos .cos 2 2 Lời giải. 1 Ta có f(x) cosx cos2x hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T 2 . 2 0 Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau. 1. f(x) cosx cos 3.x 2. f(x) sin x2 Lời giải. 1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa f(x T) f(x) cos(x T) cos 3(x T) cosx cos 3x cosT 1 Cho x 0 cosT cos 3T 2 cos 3T 1 T 2n m m 3 vô lí, do m,n ¢ là số hữu tỉ. 3T 2m n n Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. 2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn T 0 : f(x T) f(x) sin(x T)2 sin x2 x ¡ Cho x 0 sinT2 0 T2 k T k f(x k ) f(x) x ¡ . 2 Cho x 2k ta có: f( 2k ) sin k2 sin(k2 ) 0 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 f(x k ) sin k2 k sin 3k 2k 2 sin(2k 2) f(x k ) 0 . Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn. Ví dụ 3. Cho a,b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số c f(x) a sincx bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi là số hữu tỉ. d Lời giải. * Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn T 0 : f(x T) f(x) x a sincT bcosdT b cosdT 1 Cho x 0,x T a sincT bcosdT b sincT 0 dT 2n c m ¤ . cT m d 2n c c k 2 k 2l * Giả sử ¤ k,l ¢ : . Đặt T d d l c d Ta có: f(x T) f(x) x ¡ f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 k 2l T . c d Ví dụ 4. Cho hàm số y f(x) và y g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ T1 lần lượt là T1 ,T2 . Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì các hàm số T2 f(x) g(x); f(x).g(x) là những hàm số tuần hoàn. Lời giải. T Vì 1 là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n; n 0 sao cho T2 T1 m nT1 mT2 T T2 n Khi đó f(x T) f(x nT1) f(x) và g(x T) g(x mT2 ) g(x) Suy ra f(x T) g(x T) f(x) g(x) và f(x T).g(x T) f(x).g(x) , f(x T) f(x) . Từ đó ta có điều phải chứng minh. g(x T) g(x) Nhận xét: 1. Hàm số f(x) a sin ux bcosvx c ( với u,v ¢ ) là hàm số tuần hoàn với 2 chu kì T ( (u,v) là ước chung lớn nhất). (u,v) 12
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Hàm số f(x) a.tan ux b.cot vx c (với u,v ¢ ) là hàm tuần hoàn với chu kì T . (u,v) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 . 1. f(x) sin x , T 2 2. f(x) tan 2x, T . 0 0 2 Bài 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau. 1. y sin 2x sin x 2. y tan x.tan 3x 3. y sin 3x 2cos2x Bài 3 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 1. y sin 2x sin x 2. y tan x.tan 3x 3. y sin 3x 2cos2x 4. y sin x Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Các ví dụ Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 2sin x Lời giải. Hàm số y 2sin x TXĐ: D ¡ Hàm số y 2sin x là hàm số lẻ Hàm số y 2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 . Nghịch biến trên mỗi 2 khoảng k2 ; k2 . 2 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k ;0), k2 ; 2 . 2 y -5 - 3 2 2 2 x -3 O 5 2 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y tan 2x Lời giải. Hàm số y tan 2x  TXĐ: D ¡ \ k ,k ¢  4 2  Hàm số y tan 2x là hàm số lẻ Hàm số y tan 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T . 2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k . 4 Các đường tiệm cận: x k . 4 2 k Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;0) . 2 y 7 3 5 -7 -5 -3 - 4 4 4 4 4 4 4 4 x O Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 1 2cos2 x Lời giải. Hàm số y 1 2cos2 x Ta có: y 2 cos2x TXĐ: D ¡ Hàm số y 2 cos2x là hàm số chẵn Hàm số y 2 cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T . 14
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , nghịch biến trên mỗi 2 khoảng k ; k . 2 k Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;1), k ; 3 . 2 y 3 1 x -2 - O 3 -3 - 2 2 2 2 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y sin 2x Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 2 cosx Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y 4sin xcosx 1 2. y 4 3sin2 2x Lời giải. 1 Ta có y 2sin 2x 1 . Do 1 sin 2x 1 2 2sin 2x 2 1 2sin 2x 1 3 1 y 3 . * y 1 sin 2x 1 2x k2 x k . 2 4 * y 3 sin 2x 1 x k . 4 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1. 2. Ta có: 0 sin2 x 1 1 4 3sin2 x 4 * y 1 sin2 x 1 cosx 0 x k . 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. * y 4 sin2 x 0 x k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y 6cos2 x cos2 2x 2. y (4sin x 3cosx)2 4(4sin x 3cosx) 1 Lời giải. 1. Ta có: y 6cos2 x (2cos2 x 1)2 4cos4 x 2cos2 x 1 2 2 Đặt t cos x t 0;1 . Khi đó y 4t 2t 1 f(t) t 0 1 7 f(t) 1 Vậy min y 1 đạt được khi cosx 0 x k 2 max y 1 đạt được khi cos2 x 1 x k 2. Đặt t 4sin x 3cosx 5 t 5 x ¡ Khi đó: y t2 4t 1 (t 2)2 3 2 Vì t 5; 5 7 t 2 3 0 (t 2) 49 Do đó 3 y 46 Vậy min y 3; max y 46 . Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : y (3sin x 4cosx)2 6sin x 8cosx 2m 1 Lời giải. Đặt t 3sin x 4cosx 5 t 5 Ta có: y t2 2t 2m 1 (t 1)2 2m 2 Do 5 t 5 0 (t 1)2 36 y 2m 2 min y 2m 2 Hàm số chỉ nhận giá trị dương y 0 x ¡ min y 0 2m 2 0 m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y 2sin2 x 4sin xcosx (3 2m)cos2 x 2 xác định với mọi x Lời giải. Hàm số xác định với mọi x 16
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2sin2 x 4sin xcosx (3 2m)cos2 x 2 0 x ¡ (1) cosx 0 (1) đúng cosx 0 khi đó ta có: (1) 2 tan2 x 4 tan x (3 2m) 2(1 tan2 x) 0 4 tan2 x 4 tan x 1 2m x ¡ (2 tan x 1)2 2 2m x ¡ 2 2m 0 m 1 Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x,y thỏa mãn sin2 x sin2 y sin(x y) ( ) . Chứng minh rằng: x y 2 Lời giải. Ta có hàm số y sin x,y cosx đồng biến trên khoảng 0; 2 Và x,y, x, y 0; . 2 2 2 sin x sin y cos y x y 2 2 Giả sử x y 2 y x sin y sin x cosx 2 2 Suy ra: sin2 x sin2 y sin x.sin x sin y.sin y sin xcos y sin ycosx sin(x y) Mâu thuẫn với ( ) sin x sin y cos y x y 2 2 Giả sử x y 2 y x sin y sin x cosx 2 2 Suy ra: sin2 x sin2 y sin x.sin x sin y.sin y sin xcos y sin ycosx sin(x y) Mâu thuẫn với ( ) Nếu x y ( ) đúng. 2 Vậy ( ) x y . 2 Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau : sin x 2cosx 1 1. y 3sin x 4cosx 5 2. y sin x cosx 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 17
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 1. Xét phương trình : y 3sin x 4cosx 5 3sin x 4cosx 5 y 0 phương trình có nghiệm 32 42 (5 y)2 y2 10y 0 0 y 10 Vậy min y 0 ; max y 10 . 2. Do sin x cosx 2 0 x ¡ hàm số xác định với x ¡ sin x 2cosx 1 Xét phương trình : y sin x cosx 2 (1 y)sin x (2 y)cosx 1 2y 0 Phương trình có nghiệm (1 y)2 (2 y)2 (1 2y)2 y2 y 2 0 2 y 1 Vậy min y 2; max y 1 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y 2sin x 3 2. y 1 2cos2 x 1 2 3. y 1 3sin 2x 4. y 3 2cos 3x 4 4 6. y 5. y 1 2 sin 2x 1 2sin2 x Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y 2sin2 x cos2 2x 2. y 3sin x 4cosx 1 3. y 3sin x 4cosx 1 4. y 2sin2 x 3sin 2x 4cos2 x 5. y sin2 x 3sin 2x 3cos2 x 6. y 2sin 3x 1 7. y 3 4cos2 2x 8. y 1 2 4 cos3x 9. y 4sin6x 3cos6x 3 3sin 2x cos2x 10. y 11. y 2 1 2 sin2 x sin 2x 4cos x 1 Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: a sin x bcosx a2 b2 sin(x ) Trong đó 0; 2 và a,b không đồng thời bằng 0. Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 2 1. y 2cos(3x ) 3 2. y 3 2sin 2x 4 3 4. y tan2 x 4 tan x 1 3. y sin x 2 sin2 x 5. y tan2 x cot2 x 3(tan x cot x) 1 18
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 5 Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos4x 2m 1 xác định với mọi x . Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y 2 3sin 3x 2. y 1 4sin2 2x 3. y 1 3 2sin x 4. y 3 2 2 sin2 4x 5. y 4sin 3x 3cos3x 1 6. y 3 cosx sin x 4 sin 2x 2cos2x 3 7. y 2sin2 3x 4sin 3xcos3x 1 2sin 2x cos2x 4 8. y 9. y 3cosx sin x 2 sin6x 4cos6x 10 2 2 11. y 3(3sin x 4cosx) 4(3sin x 4cosx) 1 sin 2x 3sin 4x 10. y 2cos2 2x sin 4x 2 Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x ¡ 1. (3sin x 4cosx)2 6sin x 8cosx 2m 1 3sin 2x cos2x 2. m 1 sin 2x 4cos2 x 1 4sin 2x cos2x 17 3. 2 . 3cos2x sin 2x m 1 Bài 8 Cho x,y 0; thỏa cos2x cos2y 2sin(x y) 2 . Tìm giá trị nhỏ 2 sin4 x cos4 y nhất của P . y x ksin x 1 Bài 9 Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y lớn hơn 1. cosx 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin x m (1) * Nếu: m 1 Phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1  ; sin m 2 2 x k2 (1) sin x sin ( k ¢ ). x k2 Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arcsin m . sin m – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 19
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. *Các trường hợp đặc biệt: 1. sin x 1 x k2 2 2 sin x 1 x k2 2 3. sin x 0 x k 2. Phương trình: cosx m (2) * Nếu: m 1 phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1  [0; ]: cos m x k2 (2) cosx cos ( k Z ). x k2 0 Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết arccosm . cos m * Các trường hợp đặc biệt: 1. cosx 1 x k2 2. cosx 1 x k2 3. cosx 0 x k 2 3. Phương trình : tan x m (3) Với m  ; : tan m 2 2 (3) tanx tan x k . Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arctan m . tan m * Các trường hợp đặc biệt: 1. tan x 1 x k 4 2. tan x 1 x k 4 3. tan x 0 x k 4. Phương trình: cot x m (4) Với m  ( ; ) : cot m 2 2 20
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt (4) cot x cot x k . Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arcco t m . cot m * Các trường hợp đặc biệt: 1. cot x 1 x k 4 2. co t x 1 x k 4 3. cot x 0 x k 2 Ghi chú: u v k2 * sin u sin v (k ¢ ) * u v k2 cosu cosv u v k2 (k ¢ ) u v k * tan u tan v (k,n ¢ ) u,v n 2 u v k * cot u cot v (k,n ¢ ) u,v n Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a sin x bcosx c (1) ; với a,b,c ¡ và a2 b2 0 . Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 và đặt a b cos ;sin . a2 b2 a2 b2 c c (1) sinx.cos cosx.sin sin(x ) (2). a2 b2 a2 b2 Chú ý: (1) có nghiệm (2) có nghiệm a2 b2 c2 . 1 3 sin x 3 cosx 2 sin x cosx 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cosx 2 sin x cosx 2sin(x ) 2 2 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 21
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1 sin x cosx 2 sin x cosx 2 sin(x ) . 2 2 4 Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác 2 sin u(x) sin u(x) cosu(x) cosu(x) Là phương trình có dạng : a b c 0 tan u(x) tan u(x) cot u(x) cot u(x) sin u(x) cosu(x) Cách giải: Đặt t ta có phương trình : at2 bt c 0 tan u(x) cot u(x) Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x sin u(x) Khi đặt t , ta co điều kiện: t 1;1 cosu(x) Dạng 4. Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f(sin x,cosx) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a(sin x cosx) bsin xcosx c 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t2 1 sin xcosx t sin x cosx 2 sin x 2 4 t 2; 2 Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x cosx) bsin xcosx c 0 (3’) Để giải phương trình này ta cũng đặt t 2; 2 t sin x cosx 2 sin x 2 4 1 t sin xcosx 2 Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. 22
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. sin x cos2x 0 2. cos2 x sin 2x 0 3. 2sin(2x 350 ) 3 4. sin(2x 1) cos(3x 1) 0 Lời giải. 1. Phương trình cos2x sin x cos( x) 2 2 2x x k2 x k 2 6 3 , k ¢ . 2x x k2 x k2 2 2 2. Phương trình cos2 x 2sin xcosx 0 cosx 0 cosx 0 cosx(cosx 2sin x) 0 1 2sin x cosx tan x 2 x k 2 ,k ¢ . 1 x arctan k 2 3 3. Phương trình sin(2x 350 ) sin600 2 0 95 0 0 0 0 2x 35 60 k360 x k.180 2 . 2x 350 1800 600 k3600 1550 x k.1800 2 4. Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 1 2 3x 1 2x 1 k2 x 2 k2 2 2 . 2 3x 1 2x 1 k2 x k 2 10 5 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 23
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 5 1. cosx 2sin 2x 0 2. sin3 xsin 3x cos3 xcos3x 2 3. sin2 2x cos2 2x cos3x 4. sin 2x.cos3x sin 5x.cos6x 5. sin x sin 2x sin 3x cosx cos2x cos3x 6. sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 7. cos2 3xcos2x cos2 x 0 Lời giải. 1. Phương trình cosx 4sin xcosx 0 cosx(1 4sin x) 0 cosx 0 x k 2 1 sin x 1 1 4 x arcsin k2 ,x arcsin k2 4 4 3sin x sin 3x cos3x 3cosx 2. Ta có sin3 x ;cos3 x 4 4 Nên phương trình đã cho tương đương với 5 sin 3x 3sin x sin 3x cos3x cos3x 3cosx 2 5 3 sin 3xsin x cos3xcosx 1 2 3 1 3cos4x cos4x x k , k ¢ . 2 2 12 2 3. Phương trình sin2 2x cos2 2x cos3x cos4x cos3x cos 3x 2 4x 3x k2 x k 7 7 4x 3x k2 x k2 1 1 4. Phương trình sin 5x sin x sin11x sin x 2 2 sin 5x sin11x x k hoặc x k 6 16 8 5. Phương trình (sin x sin 3x) sin 2x (cosx cos3x) cos2x 2sin 2xcosx sin 2x 2cos2xcosx cos2x 2 1 x k2 cosx 3 (2cosx 1)(sin 2x cos2x) 0 2 . sin 2x cos2x x k 8 2 6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 24
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x Phương trình 2 2 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x x k cosx 0 2 2cos7xcosx 2cos11xcosx . cos11x cos7x x k ; x k 2 9 7. Phương trình (1 cos6x)cos2x 1 cos2x 0 cos6x.cos2x 1 0 cos8x cos4x 2 0 2cos2 4x cos4x 3 0 cos4x 1 x k . 2 Nhận xét: * Ở cos6x.cos2x 1 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos6x 4cos3 2x 3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos2x . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t cos2 x Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng . Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 1. 3sin x 4cosx 0 2. sin 2x 3 cos2x 1 3. 2sin 3x 5 cos3x 5 4. 3cosx 3 sin x 1 5. sin7x cos2x 3(sin 2x cos7x) 6. sin 3x 3 cos3x 2sin 2x 7. sin x cosxsin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin3 x) Lời giải. 4 4 1. Phương trình 3sin x 4cosx tan x x arctan k . 3 3 1 2. Phương trình 2sin(2x ) 1 sin(2x ) sin 3 3 2 6 2x k2 x k 3 6 12 , k ¢ . 5 2x k2 x k 3 6 4 2 3. Ta có 22 5 9 52 phương trình vô nghiệm. 1 1 4. Phương trình 3 cosx sin x cos(x ) 3 6 2 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 25
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 x arccos k2 , k ¢ . 6 2 3 5. Phương trình sin7x 3 cos7x 3 sin 2x cos2x 7x x k2 x k cos(7x ) cos(x ) 6 3 36 3 , k ¢ . 6 3 7x x k2 x k 6 3 16 4 3x 2x k2 6. Phương trình sin(3x ) sin 2x 3 3 3x 2x k2 3 x k2 3 , k ¢ . 4 2 x k 15 5 3 1 3 1 7. Phương trình sin x sin 3x 3 cos3x 2cos4x sin x sin 3x 2 2 2 2 x k2 sin 3x 3 cos3x 2cos4x cos(3x ) cos4x 6 . 3 2 x k 42 7 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 1. cos( sin x) cos(3 sin x) 2. tan sin x 1 1 4 Lời giải. sin x k 3 sin x sin x k2 1. Phương trình n 3 sin x sin x n2 sin x 2 Xét phương trình sin x k . Do k ¢ và 1 sin x 1 nên ta có các giá trị của k : 1,0,1 Từ đó ta có các nghiệm: x m ,x m , m ¢ 2 n Xét phương trình sin x . Ta có các giá trị của n là: n 2,n 1,n 0 2 Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x l ,x l ,x l , l ¢ 2 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 26
23. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x m ,x m ,x m m ¢ . 2 6 2. Phương trình sin x 1 k 4 4 sin x 1 1 4k sin x 4k sin x 0 x m , m ¢ . Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 1. 3 1 sin x 3 1 cosx 2 2 sin 2x 2. 3sin2 x 5cos2 x 2cos2x 4sin 2x 2 2 x 2 2 x 3. 5sin x 2 3 1 sin x tan x 4. sin tan x cos 0 2 4 2 Lời giải. 1. Phương trình 3 sin x cosx 3 cosx sin x 2 2 sin 2x 7 sin(x ) cos(x ) 2 sin 2x sin(x ) sin 2x 6 6 12 7 7 2x x k2 x k2 12 12 . 7 5 2 2x x k2 x k 12 36 3 2. Phương trình đã cho tương đương với 3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sin xcosx 5sin2 x 8sin xcosx 3cos2 x 0 3 5tan2 x 8 tan x 3 0 tan x 1 hoặc tan x 5 3 x k hoặc x arctan k 4 5 3. Điều kiện : cosx 0 x k 2 sin2 x Phương trình 5sin x 2 3(1 sin x) cos2 x sin2 x 5sin x 2 3(1 sin x) 1 sin2 x sin2 x 5sin x 2 3 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin2 x 1 sin x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 27
24. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x k2 1 2sin2 x 3sin x 2 0 sin x sin 6 . 2 6 5 x k2 6 4. Điều kiện : cosx 0 x k . 2 sin2 x Phương trình 1 cos(x ) (1 cosx) 0 2 cos2 x sin2 x (1 sin x) (1 cosx) 0 1 sin2 x sin2 x (1 cosx) 0 1 sin x (1 cos2 x) (1 cosx)(1 sin x) 0 x k2 cosx 1 (1 cosx)(cosx sin x) 0 . tan x 1 x k 4 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 1. sin3 x cos3 x sin x cosx 2. 2cos3 x sin 3x 3. sin2 x 3tan x cosx 4sin x cosx Lời giải. 1. Phương trình sin3 x cos3 x (sin x cosx)(sin2 x cos2 x) 2cos3 x sin xcos2 x cosx.sin2 x 0 cosx sin2 x sin xcosx 2cos2 x 0 cosx 0 x k (Do sin2 x sin xcosx 2cos2 x 0 x ¡ ) 2 2. Phương trình 2cos3 x 3sin x 4sin3 x 4sin3 x 2cos3 x 3sin x(sin2 x cos2 x) 0 sin3 x 3sin xcos2 x 2cos3 x 0 tan3 x 3tan x 2 0 (do cosx 0 không là nghiệm của hệ) (tan x 1)(tan2 x tan x 2) 0 tan x 1 x k 4 tan x 2 x arctan( 2) k 28
25. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Điều kiện: cosx 0 Phương trình tan2 x 3tan x(1 tan2 x) 4 tan x 1 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 (tan x 1)(3tan2 x 2 tan x 1) 0 tan x 1 x k . 4 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 1. sin2 x 5sin xcosx 6cos2 x 0 2. sin2 x 3sinx.cosx 1 3. 3sin2 x 5cos2 x 2cos2x 4sin 2x 4. sin3 x cos3 x sin x cosx Lời giải. 1. Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta được: t tan x 2 tan x 1 x k tan x 5tan x 6 0 4 . tan x 6 x arctan6 k 2. Phương trình sin2 x 3sin x.cosx (sin2 x cos2 x) 2sin2 x 3cosxsin x cos2 x 0 Do cosx 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: t tan x tan x 1 x k 2 4 2 tan x 3tan x 1 0 1 . tan x 1 2 x arctan k 2 3. Phương trình đã cho tương đương với 3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sin xcosx 5sin2 x 8sin xcosx 3cos2 x 0 t tan x tan x 1 x k 2 4 5tan x 8 tan x 3 0 3 . tan x 3 5 x arctan k 5 4. Phương trình sin3 x cos3 x (sin x cosx)(sin2 x cos2 x) 2cos3 x sin xcos2 x cosx.sin2 x 0 cosx sin2 x sin xcosx 2cos2 x 0 cosx 0 x k 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 29
26. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2 2 1 7 2 (Do sin x sin xcosx 2cos x sin x cosx cos x 0 ). 2 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. cos3x cos2x cosx 1 0 2. 3cos4x 8cos6 x 2cos2 x 3 0 1 1 7 3. 4sin( x) 4. 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cosx sin x 3 4 sin(x ) 2 Lời giải. 1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x . Phương trình 4cos3 x 3cosx (2cos2 x 1) cosx 1 0 2cos3 x cos2 x 2cosx 1 0 . Đặt t cosx, t 1. 1 Ta có: 2t3 t2 2t 1 0 (t2 1)(2t 1) 0 t 1,t . 2 * t 1 cosx 1 sin x 0 x k 1 1 2 2 * t cosx cos x k2 . 2 2 3 3 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau phương trình cos3x cosx (1 cos2x) 0 2sin 2xsin x 2sin2 x 0 sin2 x(2cosx 1) 0 sin x 0 x k 1 2 . cosx x k2 2 3 2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x . Phương trình 3(2cos2 2x 1) (1 cos2x)3 1 cos2x 3 2 cos2x 0 x k cos2x(cos 2x 3cos2x 2) 0 4 2 . cos2x 1 x k 3 7 3. Trong phương trình có ba cung x; x ; x nên ta tìm cách chuyển ba 2 4 cung này về cùng một cung x 3 Ta có: sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cosx 2 2 2 30