Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 2: Tổ hợp. Xác suất (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 2: Tổ hợp. Xác suất (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT TỔ HỢP Vấn đề 1. Quy tắc đếm Phương pháp . 1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc H . Giả sử H có k phương án H1 ,H2 , ,Hk thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực hiện phương án H1 , có m2 cách thực hiện phương án H2 , , có mk cách thực hiện phương án Hk và mỗi cách thực hiện phương án Hi không trùng với bất kì cách thực hiện phương án Hj ( i j;i, j 1,2, ,k ) thì có m1 m2 mk cách thực hiện công việc H . b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập A1 ,A2 , ,An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2   An A1 A2 An 2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H1 ,H2 , ,Hk . Công đoạn H1 có m1 cách thực hiện, công đoạn H2 có m2 cách thực hiện, , công đoạn Hk có mk cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m1.m2 mk cách. b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập A1 ,A2 , ,An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2   An A1 . A2 An . 3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn? 4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 51
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H1 ,H2 , ,Hn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn Hi ( i 1,2, ,n ). Nhận xét: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm. Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp ta phải chia hành động trong mỗi trường hợp đó thành phương án hành động nhỏ liên tiếp nhau Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phương án thực hiện các hành các hành động nhỏ đó. * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là: +) Tất cả n phần tử đều phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất hiện một lần. +) Có thứ tự giữa các phần tử. * Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn. Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau: Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án. Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b . 2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập một số tự nhiên x a1 an ta cần lưu ý: * ai 0,1,2, ,9 và a1 0 . 52
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * x là số chẵn an là số chẵn * x là số lẻ an là số lẻ * x chia hết cho 3 a1 a2 an chia hết cho 3 * x chia hết cho 4 an 1an chia hết cho 4 * x chia hết cho 5 an 0,5 * x chia hết cho x là số chẵn và chia hết cho 3 * x chia hết cho 8 an 2an 1an chia hết cho 8 * x chia hết cho 9 a1 a2 an chia hết cho 9 . * x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11. * x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75 . Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Các ví dụ Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B. Lời giải. Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có 6.7 42 cách đi từ thành phố A đến B. Ví dụ 2. Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? Lời giải. Đặt y 23 , xét các số x abcde trong đó a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập 0,1,y,4,5 . Có P5 P4 96 số như vậy Khi ta hoán vị 2,3 trong y ta được hai số khác nhau Nên có 96.2 192 số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 3. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để : 1. 3 học sinh nữ ngồi kề nhau 2. 2. 2 học sinh nam ngồi kề nhau. Lời giải. 1. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 3!.3! 36 2. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2!.4! 48 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 53
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 4. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1. A và F ngồi ở hai đầu ghế 2. A và F ngồi cạnh nhau 3. A và F không ngồi cạnh nhau Lời giải. 1. Số cách xếp A, F: 2! 2 Số cách xếp B,C,D,E : 4! 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2.24 48 2. Xem AF là một phần tử X , ta có: 5! 120 số cách xếp X,B,C,D,E . Khi hoán vị A,F ta có thêm được một cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. 3. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 6! 240 480 cách Ví dụ 5. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 . Lời giải. Lời giải. Gọi x abcd; a,b,c,d 0,1,2,4,5,6,8 . Cách 1: Tính trực tiếp Vì x là số chẵn nên d 0,2,4,6,8 . TH 1: d 0 có 1 cách chọn d . Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a 1,2,4,5,6,8 Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b 1,2,4,5,6,8\ a Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c 1,2,4,5,6,8\ a,b Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 120 số. TH 2: d 0 d 2,4,6,8 có 4 cách chọn d Với mỗi cách chọn d , do a 0 nên ta có 5 cách chọn a 1,2,4,5,6,8\ d . Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b 1,2,4,5,6,8\ a Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c 1,2,4,5,6,8\ a,b Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4 400 số. Vậy có tất cả 120 400 520 số cần lập. Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) Gọi A { số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 } 54
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt B { số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 } C { số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 } Ta có: C A B . Dễ dàng tính được: A 6.6.5.4 720 . Ta đi tính B ? x abcd là số lẻ d 1,5 d có 2 cách chọn. Với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a (vì a 0,a d ) Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c Suy ra B 2.5.5.4 200 Vậy C 520 . Ví dụ 6. Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 1. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5. 2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ. Lời giải. Gọi x a1 a8 là số cần tìm 1. Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên d 1,3,7 d có 3 cách chọn Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1 Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán. 2. Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a1 có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên a8 có 4 cách chọn. Các số còn lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 42.6.5.4.3.2.1 11520 số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 7. Cho tập A 0,1,2,3,4,5,6 1. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau 2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5. Lời giải. 1. Gọi số cần lập x abcd , a,b,c,d 0,1,2,3,4,5,6;a 0 Chọn a : có 6 cách; chọn b,c,d có 6.5.4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 55
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vậy có 720 số. 2. Gọi x abcde là số cần lập, e 0,5,a 0 e 0 e có 1 cách chọn, cách chọn a,b,c,d : 6.5.4.3 Trường hợp này có 360 số e 5 e có một cách chọn, số cách chọn a,b,c,d : 5.5.4.3 300 Trường hợp này có 300 số Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 8. Cho tập hợp số : A 0,1,2,3,4,5,6 .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. Lời giải. Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6} , {0,2,3,4} , {0,3,4,5} , {1,2,4,5} , {1,2,3,6} , 1,3,5,6 . Vậy số các số cần lập là: 4(4! 3!) 3.4! 144 số. Ví dụ 9. Từ các số của tập A 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau. Lời giải. Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ X 0,13,2,4,6. Gọi A1 ,A2 ,A3 tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập X 0,13,2,4,6 và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba. 3 Ta có: A1 A4 24; A2 A3 3.3.2 18 nên A 24 2.18 60 Vậy số các số cần lập là: 6.60 360 số. Ví dụ 10. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị. Lời giải. Cách 1: Gọi x a1a2 a6 , ai 1,2,3,4,5,6 là số cần lập Theo bài ra ta có: a1 a2 a3 1 a4 a5 a6 (1) Mà a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 1,2,3,4,5,6 và đôi một khác nhau nên a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 2 3 4 5 6 21 (2) 56
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Từ (1), (2) suy ra: a1 a2 a3 10 Phương trình này có các bộ nghiệm là: (a1 ,a2 ,a3 ) (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) Với mỗi bộ ta có 3!.3! 36 số. Vậy có cả thảy 3.36 108 số cần lập. Cách 2: Gọi x abcdef là số cần lập a b c d e f 1 2 3 4 5 6 21 Ta có: a b c d e f 1 a b c 11 . Do a,b,c 1,2,3,4,5,6 Suy ra ta có các cặp sau: (a,b,c) (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a,b,c và 3! cách chọn d,e,f Do đó có: 3.3!.3! 108 số thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 11.Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau 1. Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng một lần 2. Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. Lời giải. Đặt A {1,2,3} . Gọi S là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán 6! Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là 90 (vì các số có 23 dạng aabbcc và khi hoán vị hai số a,a ta được số không đổi) Gọi S1 ,S2 ,S3 là tập các số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau. Số phần tử của S3 chính bằng số hoán vị của 3 cặp 11,22,33 nên S3 6 Số phần tử của S2 chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng a,a,bb,cc 4! nhưng a,a không đứng cạnh nhau. Nên S 6 6 phần tử. 2 2 Số phần tử của S1 chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng a,a,b,b,cc nhưng a,a và b,b không đứng cạnh nhau nên 5! S 6 12 12 1 4 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: 90 (6 6 12) 76 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 57
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 12 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9 . Lời giải. Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán. A { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9} Với mỗi số thuộc A có m chữ số (m 2008) thì ta có thể bổ sung thêm 2011 m số 0 vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng a1a2 a2011; ai 0,1,2,3, ,9 A0 a A|mà trong a không có chữ số 9} A1 a A| mà trong a có đúng 1 chữ số 9} 92011 1 Ta thấy tập A có 1 phần tử 9 Tính số phần tử của A0 Với x A0 x a1 a2011;ai 0,1,2, ,8 i 1,2010 và a2011 9 r với 2010 2010 r 1;9 ,r   ai . Từ đó ta suy ra A0 có 9 phần tử i 1 Tính số phần tử của A1 Để lập số của thuộc tập A1 ta thực hiện liên tiếp hai bước sau Bước 1: Lập một dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập 0,1,2 ,8 và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là 92009 Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9 2009 Do đó A1 có 2010.9 phần tử. Vậy số các số cần lập là: 92011 1 92011 2019.92010 8 1 92010 2010.92009 . 9 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ? 2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn. 58
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau . Bài 2 1. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người. 2. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra . 3. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D. 4. Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau. Bài 3 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ? 2. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Bài 4 1. Cho các chữ số 1, 2, 3, , 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011. 2. Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau. 3. Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5? Bài 5 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là: 1. Số chẵn 2. Số lẻ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 59
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. Số chia hết cho 5 4. Tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối. Bài 6 Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3 2. Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123. Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Phương pháp . 1. Giai thừa a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên dương n , tích 1.2.3 n được gọi là n - giai thừa và kí hiệu n!. Vậy n! 1.2.3 n . Ta quy ước 0! 1 . b) Tính chất: * n! n(n - 1)! . * n! n(n 1)(n 2) (n k 1).k! 2. Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n 1 ). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A. Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn . b) Số hoán vị của tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn n! 3. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. b) Số chỉnh hợp k Kí hiệu An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử n! Định lí: Ta có Ak . n (n k)! 4. Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. b) Số tổ hợp k Kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. n! Định lí: Ta có: Ck . n (n k)!k! Bài toán 01: Giải phương trình – Bất phương trình 60
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. Các ví dụ Ví dụ 1 A6 A5 1. Cho Cn 3 1140 . Tính A n n n 4 An 2 n 1 1 1 C C 2. Tính B , biết C1 2 n n n 45 2 2 2 n 1 n 1 A2 A3 An Cn Cn 4 3 An 1 3An 2 2 2 2 3. Tính M , biết C 2C 2C C 149 . n 1 ! n 1 n 2 n 3 n 4 Lời giải. n ¥ 1. ĐK: n 6 n! Ta có: Cn 3 1140 1140 n 20 n 3!(n 3)! n(n 1) (n 5) n(n 1) (n 4) Khi đó: A n 4 (n 4)(n 5) 256 n(n 1) (n 3) n ! 2 n C 2 !.(n 2)! C 1 2. Ta có: C1 n ; 2 n 2. n 1 ; ; n n 1 n 1 n 1 Cn n ! Cn n ! 1!.(n 1)! 1!.(n 1)! 2 n C C n(n 1) Nên C1 2 n n n 45 45 n 10 n 1 n 1 2 Cn Cn 1 1 1 1 9 B 1 . 2 2 2 n 10 A2 A3 An n ¥ 3. Điều kiện: n 3 2 2 2 2 Ta có: Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 2 2 149 n 5 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 ! – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 61
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. A4 3A3 3 Do đó: M 6 5 . 6! 4 Ví dụ 2 Giải các phương trình sau 2 2 1. . Px 120 2. PxAx 72 6(Ax 2Px ) Lời giải. x ¥ 1 Điều kiện: x 1 Ta có: P5 120 Với x 5 Px P5 120 phương trình vô nghiệm Với x 5 Px P5 120 phương trình vô nghiệm Vậy x 5 là nghiệm duy nhất. x ¥ 2. Điều kiện: x 2 2 Phương trình Ax Px 6 12(Px 6) 0 2 Px 6 x! 6 x 3 (P 6)(A 12) 0 . x x 2 Ax 12 x(x 1) 12 x 4 Ví dụ 3. Tìm n biết: 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n 1. Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn 256 0 1 2 n n 2. Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 243 1 2 2 3 n 2n 1 3. C2n 1 2.2C2n 1 3.2 C2n 1 (2n 1)2 C2n 1 2005 Lời giải. n! 1. Ta có: kCk .3n k k 3n k nCk 1 3n k n k!(n k)! n 1 n n n 1 k n k k 1 n k k n 1 k n 1 Suy ra:  kCn 3 n Cn 13 n  Cn 13 n.4 k 1 k 1 k 0 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1 3 Suy ra Cn 3 2Cn 3 3Cn 3 nCn 256 n.4 4.4 Từ đó ta tìm được n 4 . 0 1 2 n n n n 2. Ta có Cn 2Cn 4Cn 2 Cn (1 2) 3 nên ta có n 5 2n 1 k 1 k 1 k 3. Đặt S  ( 1) .k.2 C2n 1 k 1 62
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 Ta có: ( 1) .k.2 C2n 1 ( 1) .(2n 1).2 C2n 0 1 2 2 2n 2n Nên S (2n 1)(C2n 2C2n 2 C2n 2 C2n ) 2n 1 Vậy 2n 1 2005 n 1002 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm số nguyên dương n sao cho: 2 1 6 5 4 1. An An 8 2. An 10An 3. Pn 1.An 4 15Pn 2 Bài 2 Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n 1 n 5 2 3 n n n 1. C C A 2. n! Cn .C2n .C3n 720 n 2 n 2 2 n 4. A3 Cn 1 14 n 1 C2 3 n 1 n 1 3. n 1 n 2 10 A4 24 Cn 6. n 3 n 4 4 23 A 143 An 1 Cn 5. n 4 n 2 ! 4Pn Bài 3 Giải các phương trình sau: 2 2 5 2 14 1. 3Cx 1 xP2 4Ax 2. x x x 2 2 C5 C6 C7 3. PxAx 72 6(Ax 2Px ) 1 2 3 2 2 x 2 2 3 3 x 3 5. Cx 6.Cx 6.Cx 9x 14x 4. CxCx 2CxCx CxCx 100 3 x 4 4 4 3 5 2 7. 24 Ax 1 Cx 23Ax 6. Cx 1 Cx 1 Ax 2 0 4 2 2 2 2 9. Cx 2Cx 1 3Cx 2 4Cx 3 130 3x 1 x2 2x 3 8. C2x 4 C2x 4 Bài 4 Giải các phương trình sau: x x y 1 y 2Ay 5Cy 90 Cx 1 Cx 1 2. 1. y 1 y 1 x x 3C 5C 5Ay 2Cy 80 x 1 x 1 Bài 5 Giải các bất phương trình sau: 1 2 2 6 3 Px 5 k 2 1. A2x Ax Cx 10 2. 60A 2 x (x k)! x 3 Bài toán 02: Bài toán đếm Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là: Tất cả n phần tử đều phải có mặt – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 63
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Mỗi phần tử xuất hiện một lần. Có thứ tự giữa các phần tử. 2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. 3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn. Loại 1: Đếm số Các ví dụ Ví dụ 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? Lời giải. Gọi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số 0,1,2,3,4,5,6 số 2 cách chọn được A là A3 6 . Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi abcd;a,b,c,d {A,0,2,4,6} là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 *TH1: Nếu a A có 1 cách chọn a và A4 chọn b,c,d . * TH 2: a A có 3 cách chọn a 2 + Nếu b A có 1 cách chọn b và A3 cách chọn c,d . 2 + Nếu c A có 1 cách chọn c và A3 cách chọn b,d . 2 3 2 2 Vậy có A3 A4 3 1.A3 1.A3 360 số thỏa mãm yêu cầu bài toán. Ví dụ 2. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 1. Gồm 4 chữ số 2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau 3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn 4. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 5. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Lời giải. 1 Gọi số cần lập là: x abcd . Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau a : có 6 cách chọn b : có 6 cách chọn c : có 6 cách chọn d : có 6 cách chọn Vậy có 64 1296 số 64
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử 3 Nên số cần lập là: A6 120 số. 3. Gọi số cần lập là : x abcd Vì x chẵn nên có 3 cách chọn d . Ứng với mỗi cách chọn d sẽ có 3 3 A5 cách chọn a,b,c . Vậy có 3.A5 180 số. 4. Gọi số cần lập là : x abcd 3 Vì a 1 nên a có 5 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn a ta có: A5 cách chọn 3 b,c,d . Vậy có 5.A5 300 số. 5. Gọi x là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau. Đặt y 12 khi đó x có dạng abcde với a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập y,3,4,5,6 nên có P5 5! 120 số. Khi hoán vị hai số 1,2 ta được một số khác nên có 120.2 240 số x Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: P6 240 480 số. Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần? Lời giải. Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3,a,b với a,b 0,1,4,5,6,7,8,9 , kể cả số 0 đứng đầu. Ta có được: 7! số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc các số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả 7! 420 số. 2!.3! 2 2 Vì có A8 cách chọn a,b nên ta có: 480.A8 26880 số. Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3,x với x 1,4,5,6,7,8,9 . 6! Tương tự như trên ta tìm được A1 420 số 2!.3! 7 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: 26460 . Ví dụ 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Lời giải. Gọi x a1a2a3a4 với 9 a1 a2 a3 a4 0 là số cần lập. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 65
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. X 0; 1; 2; ; 8; 9 . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy có C10 210 số. Ví dụ 5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Lời giải. Gọi n a1a2a3a4a5a6 là một số thỏa yêu cầu bài toán thì a3 a4 a5 8 . Có hai bộ 3 số có tổng bằng 8 trong các số 1,2, ,8,9 là : 1; 2; 5 và 1; 3; 4 3 Nếu a3 ;a4 ;a5 1; 2; 5thì a3 ,a4 ,a5 có 3! cách chọn và a1 ,a2 ,a6 có A6 cách 3 chọn suy ra có 3!A6 720 số thỏa yêu cầu. Nếu a3 ;a4 ;a5 1; 2; 5thì cũng có 720 số thỏa yêu cầu. Vậy có 720 720 1400 số thỏa yêu cầu Loại 2: Xếp đồ vật – Phân công công việc Các ví dụ Ví dụ 1. Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn Lời giải. Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: 8 8 8 C13 C11 C12 1947 . 8 Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C18 1947 41811 . Ví dụ 2 Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? Lời giải. 2 Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) C12 2 Vậy có : C12 3 69 bắt tay. Ví dụ 3 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn Lời giải. 66
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: 8 8 8 C13 C11 C12 1947 . 8 Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C18 1947 41811 . Ví dụ 4 Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10 câu trung bình và 15 câu dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ, Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2? Lời giải. Ta có các trường hợp sau 2 2 1 TH 1: Đề thi gồm 2 D, 2 TB, 1 K: C15.C10.C5 2 1 2 TH 1: Đề thi gồm 2 D, 1 TB, 2 K: C15.C10.C5 3 1 1 TH 1: Đề thi gồm 3 D, 1 TB, 1 K: C15.C10.C5 Vậy có: 56875 đề kiểm tra. Ví dụ 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên Lời giải. Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền. Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 8 cách chọn nền. Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 18 cách chọn nền. Vậy có 8.18 144 cách chọn nền cho mỗi người Ví dụ 6. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Lời giải. 2 Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách. Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. 2 +) chọn 1 nữ và 2 nam có 5.C13 cách. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 67
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 +) chọn 2 nữ và 1 nam có 13.C5 cách. 3 +) chọn 3 nữ có C5 cách. 2 2 2 3 Vậy có A15 5.C13 13.C5 C5 111300 cách. Ví dụ 7. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Lời giải. Cách 1: Ta có các trường hợp sau 3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam. chọn ra 1 trong 3 nữ ta có 3 cách. 2 chọn ra 2 trong 5 nam ta có C5 cách 2 Suy ra có 3C5 cách chọn 3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam. 2 chọn ra 2 trong 3 nữ có C3 cách. chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách. 2 Suy ra có 5C3 cách chọn. 3 người chọn ra gồm 3 nữ có 1 cách. 2 2 Vậy có 3C5 5C3 1 46 cách chọn. 3 Cách 2: Số cách chọn 3 người bất kì là: C8 3 Số cách chọn 3 người nam cả là: C5 Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là: 3 3 C8 C5 46 cách. Ví dụ 8. Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Lời giải. Số cách chia lớp thành 3 tổ thỏa yêu cầu có 3 trường hợp 3 7 * TH1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam có C7C26 cách chọn 2 9 Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam có C4C19 cách chọn 2 10 Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam có C2C10 1 cách chọn 68
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 7 2 9 Vậy có C7C26 C4C19 cách chia thành 3 tổ trong TH này 2 8 3 8 * TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C7C26C5C18 cách chia. 2 8 2 9 * TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C7C26C5C18 cách chia. 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 Vậy có tất cả C7C26 C4C19 + C7C26C5C18 + C7C26C5C18 cách chia Ví dụ 9. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra Lời giải. 10 * Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. * Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó. 10 +) Chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 10 +) Chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 cách. 10 +) Chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. 10 10 10 10 Vậy có C20 C16 C13 C11 176451 đề kiểm tra. Ví dụ 10. Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu: 1. Thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại 2. Thầy giáo muốn sau khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn. Lời giải. 6 1. Tặng hai thể loại Toán, Văn có : A11 cách 6 Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có : A12 cách 6 Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có : A13 cách 6 6 6 Số cách tặng: A11 A12 A13 2233440 2. Số cách tặng hết sách Toán : 5!.13 1560 Số cách tặng hết sách Văn: 6! 720 6 Số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán: A18 1560 720 13363800 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 69