Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n n0 . Nếu (1) P(n0 ) là đúng và (2) Nếu P(k) đúng, thì P(k 1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k n0 ; thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n n0 . Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n n0 , n0 ¥ ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau Bước 1: Kiểm tra P(n0 ) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k n0 , giả sử P(k) đúng ta cần chứng minh P(k 1) cũng đúng. Kết luận: P(n) đúng với n n0 . Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề P(k) đúng gọi là giả thiết quy nạp. Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) Q(n) (hoặc P(n) Q(n) ) đúng với n n0 , n0 ¥ ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q(n0 ) rồi chứng minh P(n0 ) Q(n0 ) Bước 2: Giả sử P(k) Q(k); k ¥ ,k n0 , ta cần chứng minh P(k 1) Q(k 1) . Các ví dụ Ví dụ 1. n(n 1) Chứng mình với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 2 3 n 2 Lời giải. 108 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt n(n 1) Đặt P(n) 1 2 3 n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : Q(n) 2 Ta cần chứng minh P(n) Q(n) n ¥ ,n 1 . 1(1 1) Bước 1: Với n 1 ta có P(1) 1, Q(1) 1 2 P(1) Q(1) (1) đúng với n 1 . Bước 2: Giả sử P(k) Q(k) với k ¥ ,k 1 tức là: k(k 1) 1 2 3 k (1) 2 Ta cần chứng minh P(k 1) Q(k 1) , tức là: (k 1)(k 2) 1 2 3 k (k 1) (2) 2 Thật vậy: VT(2) (1 2 3 k) (k 1) k(k 1) (k 1) (Do đẳng thức (1)) 2 k (k 1)(k 2) (k 1)( 1) VP(2) 2 2 Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n 1 . Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 3 5 2n 1 n2 Lời giải. Với n 1 ta có VT 1, VP 12 1 Suy ra VT VP đẳng thức cho đúng với n 1 . Giả sử đẳng thức cho đúng với n k với k ¥ ,k 1 tức là: 1 3 5 2k 1 k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n k 1, tức là: 2 1 3 5 (2k 1) (2k 1) k 1 (2) Thật vậy: VT(2) (1 3 5 2k 1) (2k 1) k2 (2k 1) (Do đẳng thức (1)) (k 1)2 VP(1.2) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n 1 . Ví dụ 3. 1.3.5 2n 1 1 Chứng minh rằng với n 1 , ta có bất đẳng thức: 2.4.6.2n 2n 1 109
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 1 1 * Với n 1 ta có đẳng thức cho trở thành : 2 3 đúng. 2 3 đẳng thức cho đúng với n 1 . * Giả sử đẳng thức cho đúng với n k 1 , tức là : 1.3.5 2k 1 1 (1) 2.4.6 2k 2k 1 Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n k 1, tức là : 1.3.5 2k 1 2k 1 1 (2) 2.4.6 2k 2k 2 2k 3 Thật vậy, ta có : 1.3.5 (2k 1) 2k 1 1 2k 1 2k 1 VT(2) . 2.4.6 2k 2k 2 2k 1 2k 2 2k 2 2k 1 1 Ta chứng minh: (2k 1)(2k 3) (2k 2)2 2k 2 2k 3 3 1 (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n 1 . Ví dụ 4. Chứng minh rằng với n 1,x 0 ta có bất đẳng thức: 2n 1 xn (xn 1 1) x 1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? xn 1 2 Lời giải. 2 3 x(x 1) x 1 2 4 Với n 1 ta cần chứng minh: 8x(x 1) (x 1) x 1 2 Tức là: x4 4x3 6x2 4x 1 0 (x 1)4 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi x 1. 2k 1 xk (xk 1 1) x 1 Giả sử , ta chứng minh xk 1 2 2k 3 xk 1(xk 2 1) x 1 (*) xk 1 1 2 Thật vậy, ta có: 2k 3 2 2k 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 xk (xk 1 1) 2 2 2 2 xk 1 Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh 110 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 x 1 xk (xk 1 1) xk 1(xk 2 1) 2 xk 1 xk 1 1 2 x 1 k 1 2 k 2 k Hay (x 1) x(x 1)(x 1) ( ) 2 Khai triển ( ) , biến đổi và rút gọn ta thu được x2k 2(x 1)2 2xk 1(x 1)2 (x 1)2 0 (x 1)2(xk 1 1)2 0 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có x 1 . Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với n 1 và n 2k Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n k 1, ta chứng minh P(n) đúng với n k . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta luôn có n(n 1)(2n 1) 1. 12 22 (n 1)2 n2 6 1 2 n 3 2n 3 2. 3 32 3n 4 4.3n Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau n n 1 n 2 1. 1.2 2.3 n(n 1) với n 1 3 1 1 1 1 n 2. 1.5 5.9 9.13 4n 3 4n 1 4n 1 2 n n 1 3. 13 23 33 n3 2 4 4 4 4 1 2n 4. 1 1 1 1 1 9 25 2 1 2n 2n 1 1 1 1 n 5. 1.2 2.3 n(n 1) n 1 n(n2 1)(3n 2) 6. 1.22 2.32 3.42 (n 1).n2 , n 2 12 111
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2n(n 1)(2n 1) 7. 22 42 (2n)2 3 n(n 1)(n 2)(n 3) 8. 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4 Với mọi n ¥ * . n(n2 1)(3n 2) 9. 1.22 2.32 3.42 (n 1).n2 12 với n 2 . 1 1 1 n(n 3) 10. 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Với mọi n ¥ * . Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 ta có: 2 2 2 2 2 2cos (n dấu căn) 2n 1 nx (n 1)x sin sin 2. Chứng minh các đẳng thức sin x sin 2x sin nx 2 2 với x sin 2 x k2 với n 1 . Bài 4 Chứng minh rằng với mọi n 1 ta có bất đẳng thức: sin nx n sin x x ¡ Bài 5 n 1 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta có : 1 3 n 2. 3n 3n 1 với mọi số tự nhiên n 2 ; 2.4.6.2n 3. 2n 1 với mọi số tự nhiên n 1 ; 1.3.5 2n 1 Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi x ¡ và thoả mãn điều kiện : f(x y) f(x).f(y), x,y ¡ (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi 2n x số tự nhiên n ta có : f x f 2n Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau 1 1 1 1 1. 1 2 n 2 4 9 n2 n 112 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 1 1 2. n 1 2 n 2 3 n 3. tan n n tan với 0 4 n 1 4. 2n 2n 1 n 3 5. 2n 2 2n 5, (n ¥ * ) 6. 3n 1 n(n 2); (n ¥ * ,n 4) 7. 2n 3 3n 1; (n ¥ * ,n 8) 8. (n 1)cos ncos 1 với n 1 n 1 n 1 3 5 2n 1 1 9. . . 2 4 6 2n 2 3n 4 1 1 1 10. 1 n ;(n ¥ * ,n 2) . 2 3 2n 1 1 1 1 1 Bài 8 Cho tổng: S n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 1. Tính S1;S2 ;S3 ;S4 2. Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp qui nạp. Bài 9 Cho hàm số f : ¡ ¡ , n 2 là số nguyên . Chứng minh rằng nếu f(x) f(x) x y f x,y 0 (1) thì ta có 2 2 f(x1) f(x2 ) f(xn ) x1 x2 xn f xi 0 , i 1,n (2). n n Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học Các ví dụ Ví dụ 1. n Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an 16 – 15n – 1M225 Lời giải. Với n 1 ta có: a1 0 a1M225 . k Giả sử ak 16 15k 1M225 , ta chứng minh k 1 ak 1 16 15(k 1) 1M225 113
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. k k k Thậ vậy: ak 1 16.16 15k 16 16 15k 1 15 16 1 k ak 15 16 1 k k 1 k 2 M M Vì 16 1 15. 16 16 1 15 và ak 225 Nên ta suy ra ak 1M225 . Vậy bài toán được chứng minh Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì A(n) 7n 3n 1 luôn chia hết cho 9 Lời giải. * Với n 1 A(1) 71 3.1 1 9 A(1)M9 * Giả sử A(k)M9 k 1, ta chứng minh A(k 1)M9 Thật vậy: A(k 1) 7k 1 3(k 1) 1 7.7k 21k 7 18k 9 A(k 1) 7A(k) 9(2k 1) A(k)M9 Vì A(k 1)M9 9(2k 1)M9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n 1 . Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: n Bn n 1 n 2 n 3 . 3n M3 Lời giải. Với n 1 , ta có : B1 2.3M3 Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là : k Bk k 1 k 2 k 3  3k M3 M k 1 Ta chứng minh : Bk 1 k 2 k 3 k 4  3 k 1 3 Bk 1 3 k 1 k 2 k 3  3k 3k 1 3k 2 3Bk 3k 1 3k 2 k k 1 Mà Bk M3 nên suy ra Bk 1M3 . Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. 114 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lời giải. Giả sử mệnh đề đúng với n k 3 điểm. Ta chứng minh nó cũng đúng cho n k 1 điểm. Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm An và An 1 là AnAn 1 . Nếu những điểm A1 ,A2 , ,An nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n 1: Gồm n đường thẳng nối An 1 với các điểm A1 ,A2 , ,An và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A1 ,A2 , ,An không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối An 1 với các điểm A1 ,A2 , ,An . Vì đường thẳng AnAn 1 không chứa một điểm nào trong A1 ,A2 , ,An 1 , nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A1 ,A2 , ,An . Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n 1. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n 3) bằng (n 2)1800 . Lời giải. Với n 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 1800 Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k n , ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là k 1 1800 và n k 1 1800 . Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là k – 1 n k – 1 1800 n 2 1800 . Suy ra mệnh đề đúng với mọi n 3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng: 1. n(2n2 3n 1) chia hết cho 6. 2. 11n 1 122n 1 chia hết cho 133 3. n7 n chia hết cho 7 4. 13n 1chia hết cho 6 5. n5 n chia hết cho 5 với mọi n 1 6. 16n 15n 1 chia hết cho 225 với mọi n 1 7. 4.32n 1 32n 36 chia hết cho 64 với mọi n 1 . 115
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 2 1. Chứng minh rằng với n 2 , ta luôn có an n 1 n 2 n n chia hết cho 2n . 2. Cho a,b là nghiệm của phương trình x2 27x 14 0 Đặt S n an bn . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S(n) là một số nguyên không chia hết cho 715. 3. Cho hàm số f : ¥ ¥ thỏa f(1) 1,f(2) 2 và f(n 2) 2f(n 1) f(n) . Chứng minh rằng: f2(n 1) f(n 2)f(n) ( 1)n 2n 4. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 2 pn . 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n!. 2 Bài 3 Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình : x 6x 1 0 . Đặt n n an x1 x2 . Chứng minh rằng : 1. an 6an 1 an 2 n 2 . 2. an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n 1 . Bài 4 1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n 1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? 2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n n2 n 2 đường thẳng này chia mặt phẳng thành miền. 2 Bài 5 1. Cho a,b,c,d,m là các số tự nhiên sao cho a d , (b 1)c , ab a c chia hết n cho m . Chứng minh rằng xn a.b cn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . 2. Chứng minh rằng từ n 1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. DÃY SỐ 1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u : ¥ * ¡ , n u(n) Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n : u(1),u(2),u(3), ,u(n), 116 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số. Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1 ,u2 , ,un , hoặc dạng rút gọn (un ) . 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách: Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó Cho bằng công thức truy hồi, tức là: * Cho một vài số hạng đầu của dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un un 1 n ¥ * Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un un 1 n ¥ * 4. Dãy số bị chặn Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho un M n ¥ * . Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho un m n ¥ * . Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho un M n ¥ * . Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. Lời giải. 3 2 Xét dãy (un ) có dạng: un an bn cn d a b c d 1 8a 4b 2c d 3 Ta có hệ: 27a 9b 3c d 19 64a 16b 4c d 53 Giải hệ trên ta tìm được: a 1,b 0,c 3,d 1 3 un n 3n 1 là một quy luật . Số hạng thứ 10: u10 971. 117
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. n2 3n 7 Ví dụ 2. Cho dãy số (u ) được xác định bởi u n n n 1 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. Lời giải. 1. Ta có năm số hạng đầu của dãy 12 3.1 7 11 17 25 47 u , u ,u ,u 7,u 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 5 5 2. Ta có: u n 2 , do đó u nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n n 1 n n 1 n 1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n 1 5 n 4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 7 . u1 1 Ví dụ 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: . un 2un 1 3 n 2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; n 1 2. Chứng minh rằng un 2 3 ; 3. Số hạng thứ 20122012 của dãy số có chia hết cho 7 không? Lời giải. 1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 1; u2 2u1 3 5 ; u3 2u2 3 13; u4 2u3 3 29 u5 2u4 3 61 . 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp 1 1 * Với n 1 u1 2 3 1 bài toán đúng với N 1 k 1 k 2 * Giả sử uk 2 3 , ta chứng minh uk 1 2 3 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có: k 1 k 2 uk 1 2uk 3 2(2 3) 3 2 3 đpcm. 3. Ta xét phép chia của n cho 3 3k * n 3k un 2(2 1) 1 3k k Do 2 1 8 1 7.AM7 un không chia hết cho 7 3k * n 3k 1 un 4(2 1) 1 un không chia hết cho 7 3k * n 3k 2 un 8(2 1) 5 un không chia hết cho 7 Vậy số hạng thứ 20122012 của dãy số không chia hết cho 7. 118 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 4. Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1 3,v1 2 và u u2 2v2 n 1 n n với n 2 . vn 1 2un .vn 2n 2 2 1. Chứng minh : un 2vn 1 và un 2vn 2 1 với n 1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . Lời giải. 1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp 2 2 a) Chứng minh: un 2vn 1 (1) 2 2 2 2 Ta có u1 2v1 3 2.2 1 nên (1) đúng với n 1 2 2 Giả sử uk 2vk 1 , khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 uk 1 2vk 1 uk 2vk 2 2ukvk uk 2vk 1 Từ đó suy ra (1) đúng với n 1 . 2n b) Chứng minh un 2vn 2 1 (2) 2 2 2 Ta có: un 2vn un 1 2vn 1 2 2un 1vn 1 un 1 2vn 1 2 Ta có: u1 2v1 3 2 2 2 1 nên (2) đúng với n 1 2k Giả sử uk 2vk 2 1 , ta có: 2 2k 1 uk 1 2vk 1 uk 2vk 2 1 Vậy (2) đúng với n 1 . 2n 2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un 2vn 2 1 2n 2n 2un 2 1 2 1 Do đó ta suy ra 2n 2n 2 2v 2 1 2 1 n 119
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. n n 1 2 2 u 2 1 2 1 n 2 Hay . n n 1 2 2 v 2 1 2 1 n 2 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2n 1 Bài 1 Cho dãy số (u ) có số hạng tổng quát u . n n n 2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 167 3. Số có thuộc dãy số đã cho hay không 84 4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên. u1 1,u2 3 Bài 2 Cho dãy số (an ) xác định bởi: . un 1 5un 6un 1 n 2 1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy n 1 n 1 2. Chứng minh rằng: un 5.3 6.2 , n 1 . 2 Bài 3 Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát: un 2n n 4 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính u20 ,u2010 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. u1 2 Bài 4 Cho dãy số (un ) xác định bởi: un 2un 1 3n 1, n 2 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy n 2. Chứng minh rằng un 5.2 3n 5 n 1,2,3, 3. Tìm số dư của u2010 khi chia cho 3 u1 2008; u2 2009 Bài 5 Cho dãy số (un ) : n 1 2un 1 un un 2 1. Chứng minh rằng dãy (vn ) : vn un un 1 là dãy không đổi 2. Biểu thị un qua un 1 và tìm CTTQ của dãy số (un ) u1 1; u2 2 Bài 6 Cho dãy số (u ) : 2 n 2 n un un 1 un 1 120 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt un 1. Chứng minh rằng dãy(vn ) : vn là dãy không đổi un 1 2. Tìm công thức tổng quát của dãy (un ) . u 1 2 Bài 7. Cho dãy số (un ) được xác định bởi . un 2un 1 3, n 2 1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy; n 1 2. Chứng minh rằng un 5.2 3 với n 2 ; 3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu? Bài 8. Cho dãy số (un ) có 4 số hạng đầu là : u1 1,u2 3, u3 6,u4 10 . 1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên; 2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên. Bài 9 1 1. Cho dãy (u ) : u (2 5)n (2 5)n .Chứng minh rằng u là số tự n n 2 2n nhiên chẵn và u2n 1 là số tự nhiên lẻ. n n 2. Cho dãy số (un ) : un (4 2 3) (4 2 3) . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên. u 1 1 3. Cho dãy số (un ) : 3 . Chứng minh rằng dãy (un ) có vô un 1 un ,n 1 2 hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ. 4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương (un ) thỏa: 2 u0 1,u1 2 và un 2.un un 1 1. Bài 10. (Dãy Fibonacci) Cho dãy số (Fn ) được xác định bởi F1 1,F2 1 và Fn Fn 1 Fn 2 Chứng minh rằng: n n 1 1 5 1 5 1. Fn 5 2 2 2 2 2. Fn Fn 1 F2n 1 và FnFn 1 Fn 1Fn 2 F2n 2 với mọi n 2 . k k 3. Fn M5 nM5 . 121
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của dãy số (un ) ta xét : kn un 1 un * Nếu kn 0 n ¥ * dãy (un ) tăng * Nếu kn 0 n ¥ * dãy (un ) giảm. un 1 Khi un 0 n ¥ * ta có thể xét tn un * Nếu tn 1 dãy (un ) tăng * Nếu tn 1 dãy (un ) giảm. Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp. Các ví dụ u 2 1 Ví dụ 1. Cho dãy số (un ) : u 1 . Chứng minh rằng dãy (un ) u n 1 n 2 n 2 là dãy giảm và bị chặn. Lời giải. 1 u Ta có: u u n 1 n n 1 2 Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un 1 n 1 Thật vậy: Với n 1 u1 2 1 u 1 1 1 Giả sử u 1 u k 1 k k 1 2 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có un 1 n 1 Suy ra un un 1 0 un un 1 n 2 hay dãy (un) giảm Theo chứng minh trên, ta có: 1 un u1 2 n 1 Vậy dãy (un) là dãy bị chặn. u1 1,u2 2 Ví dụ 2. Cho dãy số (un ) : . Chứng minh rằng dãy un 1 un un 1 n 2 (un ) là dãy tăng và bị chặn Lời giải. Ta chứng minh dãy (un ) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp * Dễ thấy: u1 u2 u3 . 122 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Giả sử uk 1 uk k 2 , ta chứng minh uk 1 uk . Thật vậy: uk 1 uk uk 1 uk 1 uk 2 uk Vậy (un ) là dãy tăng. Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un 4 n , hơn nữa un 0 Nên dãy (un ) là dãy bị chặn. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau 3n2 2n 1 1. u 2. u n n2 1 n n 1 n n 3n 1 n 1 3. un 4. un 2n n2 Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: 2n 13 n2 3n 1 1 1. un 2. un 3. un 3n 2 n 1 1 n n2 2n 1 1 1 4. un 5. un 1 . n! 22 32 n2 Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 2n 1 1. u 2. u ( 1)n 3. u 3n 1 n n 2 n n n2 n 1 n 1 4. u 4 3n n2 5. u 6. u n n 2 n n n 1 n2 1 Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1 1 1 1 1 1 1. u 2. u n 1.3 2.4 n.(n 2) n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 u 1 1 3. un 1 2 un , n 2 un 1 1 Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau u1 2 u1 1 1. 2. u2 1 3 3 n un 1 un 1, n 1 un 1 n 1 4 Bài 6 1. Chứng minh rằng dãy số (un ) xác định bởi 123
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. un 2010 2010 2010 (n dấu căn) Là một dãy tăng. u1 1,u2 2 2. Cho dãy số (u ) : . Chứng minh rằng dãy (u ) n 3 3 n un un 1 un 2 ,n 3 tăng và bị chặn. an 2 3. Cho dãy số (u ) : u , n 1 n n 2n 1 a) Khi a 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. u1 2 4. Cho dãy số (un ) : un 3un 1 2, n 2,3 a) Viết 6 số hạng đầu của dãy n 1 b) Chứng minh un 3 1, n 1,2, n 1 n 5. Cho dãy số un 5.2 3 n 2 , n 1,2, a) Viết 5 số hạng đầu của dãy n 1 b) Chứng minh rằng: un 2un 1 3 n . Bài 7 n n 1. Cho dãy số (un ) : un (1 a) (1 a) ,trong đó a (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số b)Xét tính đơn điệu của dãy số u 1 1 2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 1 . un 3un 1 2, n 2 2un 1 a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un 0, n b) Chứng minh dãy (un ) là dãy tăng. u0 2011 3. Cho dãy số (u ) được xác định bởi : 2 n un un 1 , n 1,2, un 1 a) Chứng minh rằng dãy (un ) là dãy giảm b) Tìm phần nguyên của un với 0 n 1006 . u1 2,u2 6 4. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: un 2 un 2un 1 , n 1,2, 124 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x2 2x 1 0 . Chứng minh rằng: n n un a b 2 n 1 b) Chứng minh rằng: un 1 un 2un ( 1) .8 . Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau n 1 1. (u ) : u 2. (u ) : u n3 2n 1 n n n 2 n n u1 2 u1 2,u2 3 3. (u ) : u 1 4. . n n  un 1 , n 2 un 1 un un 1 , n 2 2 Bài 9 x0 1 1. Cho dãy số (x ) : 2n n 1 n x x , n 2,3, n 2  i (n 1) i 1 Xét dãy số yn xn 1 xn . Chứng minh rằng dãy (yn ) là một tăng và bị chặn. u0 1,u1 3 2 2. Cho dãy số nguyên dương (un ) thỏa : un 1 . un 2 1 , n 0 u n 2 n Chứng minh rằng: un 2un un 1 2 với mọi số tự nhiên n . u0 0 3. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: . n 2 un 1 5un 24un 1, n 0,1, Chứng minh rằng dãy số (un ) là dãy số nguyên. 1 4. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: u (2 5)n (2 5)n n n 2 Chứng minh rằng u2n là số tự nhiên chẵn và u2n 1 là số tự nhiên lẻ. 5. Cho hai dãy số (xn );(yn ) xác định : x x 1 x2 n n 1 n 1 x1 3 và yn 1 , n 2 . y 3 yn 1 2 1 1 yn 1 Chứng minh rằng 2 xnyn 3, n 2 . 125
19. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. u0 1 6. Cho dãy số số (u ) được xác định bởi: 1 1 . n un 1 un 2 3un 3 Chứng minh rằng: a là một số chính phương. n 2 3un 1 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1. Cấp số cộng u1 a * 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi , n N gọi là un 1 un d cấp số cộng; d gọi là công sai. 2.1. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un u1 (n 1)d . Ba số hạng uk ,uk 1 ,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ 1 khi u u u . k 1 2 k k 2 Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : n n S u u u u u 2u n 1 d . n 1 2 n 2 1 n 2 1 2. Cấp số nhân u1 a * 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi , n N gọi là cấp un 1 un .q số cộng; q gọi là công bội. 2.2. Các tính chất: n 1 Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un u1q . Ba số hạng uk ,uk 1 ,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ 2 khi uk 1 uk .uk 2 . Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : qn 1 S u u u u . n 1 2 n 1 q 1 Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Phương pháp: 126 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
20. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dãy số (un ) là một cấp số cộng un 1 un d không phụ thuộc vào n và d là công sai. un 1 Dãy số (un ) là một cấp số nhân q không phụ thuộc vào n và q là un công bội. Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a c 2b . Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac b2 . Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d . Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . Lời giải. Giả sử bốn số hạng đó là a 3x;a x;a x;a 3x với công sai là d 2x .Khi đó, ta có: a 3x a x a x a 3x 20 2 2 2 2 a 3x a x a x a 3x 120 4a 20 a 5 2 2 4a 20x 120 x 1 Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d x , là chẵn thì gọi công sai d 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. a1 a2 an p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: 2 2 2 2 thì: a1 a2 an s 2 2 1 n n 1 12 ns p a1 p .d và d . n 2 n2 n2 1 u2 u3 u5 10 Ví dụ 2. Cho CSC (un ) thỏa : u4 u6 26 127
21. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính S u1 u4 u7 u2011 . Lời giải. Gọi d là công sai của CSC, ta có: (u d) (u 2d) (u 4d) 10 u 3d 10 u 1 1 1 1 1 1 (u1 3d) (u1 5d) 26 u1 4d 13 d 3 1. Ta có công sai d 3 và số hạng tổng quát : un u1 (n 1)d 3n 2 . 2. Ta có các số hạng u1 ,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với 670 công sai d' 3d , nên ta có: S 2u 669d' 673015 2 1 u5 3u3 u2 21 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un ) thỏa: . 3u7 2u4 34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; 3. Tính S u4 u5 u30 . Lời giải. u 4d 3(u 2d) (u d) 21 Từ giả thiết bài toán, ta có: 1 1 1 3(u1 6d) 2(u1 3d) 34 u 3d 7 u 2 1 1 . u1 12d 34 d 3 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 u1 99d 295 15 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 2u1 14d 285 2 27 3. Ta có: S u4 u5 u30 2u4 26d 2 27 u1 16d 1242 . Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: 3 S S S 15 2u 29d 2u 2d 1242 . 30 3 1 2 1 u2 u3 u5 10 Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 u6 26 1. Xác định cấp số cộng 2. Tính tổng S u5 u7  u2011 Lời giải. 128 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word
22. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt u d (u 2d) u 4d 10 u 3d 10 1. Ta có: 1 1 1 1 u1 3d u1 5d 26 u1 4d 13 u1 1,d 3 ; u5 u1 4d 1 12 13 2. Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với công sai d 6 và có 1003 số hạng 1003 nên S 2u 1002.6 3028057 . 2 5 Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (un ) có u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 1 1 1 24850 . Tính S u u u u u1u2 2 3 49 50 Lời giải. Gọi d là công sai của cấp số đã cho 497 2u Ta có: S 50 2u 99d 24850 d 1 5 100 1 99 5 5 5 5S u1u2 u2u3 u49u50 u u u u u u 2 1 3 2 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1 u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245 u1 u50 u1 u1 49d 246 49 S . 246 Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết: u1 u2 u3 u4 u5 11 u1 u2 u3 u4 15 1. 2 2 2 2 2. 82 u u u u 85 u u 1 2 3 4 1 5 11 Lời giải. q4 1 2 3 u1 15 u1(1 q q q ) 15 q 1 1. Ta có: 2 2 4 6 8 u 1 q q q 85 q 1 1 u2 85 1 2 q 1 129
23. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 4 2 4 q 2 q 1 q 1 45 (q 1)(q 1) 45 1 q 1 q8 1 17 (q 1)(q4 1) 17 q 2 Từ đó ta tìm được u1 1,u1 8 . 2 3 4 2 39 u 1 q q q q 11 u q(1 q q ) 1 1 2. Ta có: 11 82 4 4 82 u1(1 q ) u (1 q ) 11 1 11 q4 1 82 1 q 3,q . q3 q2 q 39 3 2 u4 Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 27 . u3 243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 Lời giải. Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có: 2 3 2 3 u1q 1 u1q 27 q 27 3 2 7 5 1 u q 243.u q q u 2 1 1 243 1 1. Năm số hạng đầu của cấp số là: 2 2 2 2 u 2,u ,u ; u ,u . 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 10 1 10 1 10 q 1 3 1 59048 S u 2. 3 1 . 10 1 q 1 1 3 19683 1 3 2 2 n 1 8 3. Ta có: un un 3 6561 3 n 9 3n 1 6561 2 Vậy là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561 130 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word