Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 4: Giới hạn (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 4: Giới hạn (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un 0 .Hay là: lim un 0 khi và chỉ khi với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn x x 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: un , n n0 . lim un a lim un a 0 , tức là: Với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại x x số tự nhiên n0 sao cho un a , n n0 . Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 1.2. Một số giới hạn đặc biệt 1 lim 0 với k ¥ * nk Nếu q 1 thì lim qn 0 n Nếu un c (với c là hằng số) thì lim un lim c c n n Chú ý: Ta viết lim un a thay cho cách viết lim un a . n 2. Một số định lí về giới hạn Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn 0 thì lim un 0 . Định lí 2. Cho lim un a, lim vn b . Ta có: lim(un vn ) a b lim(un vn ) a b un a lim(un .vn ) a.b lim (b 0) vn b Nếu un 0 n thì lim un a 3. Tổng của CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q 1. Khi đó tổng S u1 u2 un gọi là tổng vô hạn của CSN và – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 139
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. u (1 qn ) u S lim S lim 1 1 . n 1 q 1 q 4. Giới hạn vô cực 4.1. Định nghĩa: lim un với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số n , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó . lim un lim un . n n 4.2. Một số kết quả đặc biệt lim nk với mọi k 0 lim qn với mọi q 1 . 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. Quy tắc 1: Nếu lim un , lim vn thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un lim vn lim(unvn ) Quy tắc 2: Nếu lim un , lim vn l thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un Dấu của l lim(unvn ) Quy tắc 3: Nếu lim un l , lim vn 0 và vn 0 hoặc vn 0 kể từ một số hạng u nào dó trở đi thì lim n được coi như sau; vn Dấu của l Dấu của v u n lim n vn 140
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un l) 0 . Để chứng minh lim un ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un M n nM . Để chứng minh lim un ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng: n 2 n2 1 1 1 2n 1. lim 1 2. lim 3. lim 2 2 n 1 2n 1 2 n2 1 Lời giải. 1 1. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1, ta có: a a n 2 1 1 1 a với n na n 1 n 1 na 1 n 2 n 2 Suy ra lim 1 0 lim 1 . n 1 n 1 3 2. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 , ta có: a a n2 1 1 3 3 a với n n 2 2 2 2 a 2n 1 n 1 na 1 n2 1 1 n2 1 1 Suy ra lim 0 lim . 2n2 1 2 2n2 1 2 9 3. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 , ta có: a2 1 2n 1 2n 2 n2 1 1 2n 2(n 1) 3 3 2 a với 2 2 2 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1 na 1 n na . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 141
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 2n 1 2n Suy ra lim 2 0 lim 2 . n2 1 n2 1 n Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un ( 1) không có giới hạn. Lời giải. Ta có: u2n 1 lim u2n 1; u2n 1 1 lim u2n 1 1 Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn. Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: n2 1 2 n 1. lim 2. lim n n Lời giải. 1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2 1 M M2 4 M n2 Mn 1 0 n n 2 M M2 4 n2 1 Ta chọn n thì ta có: M, n n 0 2 n 0 n2 1 Do đó: lim . n 2. Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta có: 2 n 2 M M2 8 M n M n 2 0 n 2 n 2 M M2 8 n 2 Ta chọn n thì ta có: M, n n 0 0 2 n 2 n Do đó: lim . n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng: 1 1 sin2 n 1. lim 0 2. lim 0 (k ¥ *) 3. lim 0 n 1 nk n 2 1 n2 4. lim(2n 1) 5. lim n Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau 142
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 cosn sin n n 1 1. lim 0 2. lim 0 3. lim 0 n 1 n2 1 n 2 3n3 n 2 n 4. lim 5. lim . n2 n 1 Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau : 2n 1 2n 3 n2 1 1. A lim 2. B lim 3. C lim . n 2 n2 1 n 1 Bài 4 Tìm các giới hạn sau n 2 n nsin n 3n2 1. A lim 2. B lim 2n n2 1 4n 1 3. C lim 4. D lim . 2 n 2 n 7 n2 3n 2 n Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (un ) : un ( 1) n không có giới hạn. Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau: an 1. lim 0 2. lim n a 1 với a 0 n! Bài 7 1. Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình x x x 1 2 n cũng có giới hạn là a . n 2. Dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện 1 x1 2 và 1 x 1 x x2 ,n ¥ * . Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm n 1 n 2 n lim xn . Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f(n) Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn g(n) nhất của tử và mẫu. k m Khi tìm lim f(n) g(n) trong đó lim f(n) limg(n) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 143
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : n 1 3 5 (2n 1) 1 2 n n 1. A lim 2. B lim 2 2n 1 3 12 22 n2 2n Lời giải. 1. Ta có: 1 3 5 2n 1 n2 n2 1 1 Suy ra A lim lim . 2 1 2 2n 1 2 n2 n(n 1) 2. Ta có: 1 2 n ; 2 n(n 1)(2n 1) 12 22 n2 6 2 1 n 1 n(n 1) n 1 n n 1 Suy ra : B lim 2 lim 2 2 . n(n 1)(2n 1) 3 1 1 1 3 2n n 1 2 3 2 6 3 n n 3 2n 6 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : 1 1 1 1. C lim 1 1 1 22 32 n2 1 1 1 1 2. D lim 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Lời giải. 1 (k 1)(k 1) 1. Ta có: 1 nên suy ra k2 k2 1 1 1 1.3 2.4 (n 1)(n 1) n 1 1 1 1 . 22 32 n2 22 32 n2 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2 1 1 1 2. Ta có nên suy ra k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 144
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 Vậy D lim 1 1. n 1 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 4n 1 5n 1 4.3n 2 2.7n 1 1. A lim 2. B lim 4n 5n 4n 7n 1 Lời giải. n 4 4 5 n 5 4 1. Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có: A lim 5 ( do lim 0 ). n 4 5 1 5 n 4 2 36 7 7 2 2. Ta có: B lim . n 4 49 7 7 1 1 1 Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C lim 1 1 1 22 32 n2 Lời giải. 1 (k 1)(k 1) Ta có: 1 nên suy ra k2 k2 1 1 1 1.3 2.4 (n 1)(n 1) n 1 1 1 1 . 22 32 n2 22 32 n2 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm các giới hạn sau : 2n2 3n 1 n2 2n 1. A lim 2. B lim 2 3n n 2 n 3n2 1 4 2 9 2 3 3 2n 1 n 2 n 1 3n 2 3. C lim 4. D lim 17 n 1 4 2n4 n 2 n Bài 2 Tìm các giới hạn sau : 2 3 3 2 1. A lim n 6n n 2. B lim n 9n n – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 145
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. n n 3.2 3 2 3 3 2 3. C lim 4. D lim n 2n n 2n . 2n 1 3n 1 Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 2 2 1. A lim n 2n 2 n 2. B lim 2n 1 n 4 3n3 1 n a nk a n a 3. C lim 4. D lim k 1 0 4 p 2n 3n 1 n bpn b1n b0 (Trong đó k,p là các số nguyên dương; akbp 0 ) . 2 5. A lim n3 2n 1 6. B lim n n 1 n k k 1 7. C lim akn ak 1n a0 với ak 0 3 3 8. D lim 2n n 1 3n3 n 1 (n 2)7 (2n 1)3 9. E lim 10. F lim (2n 1)(n 3)2 (n2 2)5 2 3 2 3 11. H lim n n 1 n 12. M lim 1 n 8n 2n 2 3 3 13. N lim 4n 1 8n n 3 3 2 2 14. K lim n n 1 3 4n n 1 5n . Bài 4. Tìm các giới hạn sau 2n 1 4n2 3n 1 1. A lim 2. B lim 1 3n (3n 1)2 n3 1 n3 3n2 2 3. C lim 4. D lim n(2n 1)2 n4 4n3 1 n3 2n 1 4 n4 2n 1 2n 5. E lim 6. F lim n 2 3 3n3 n n 2 3 3 2 7. M lim n 6n n 8. N lim n 3n 1 n n n 3 3 2 3.2 3 9. H lim n 8n n 4n 3 10. K lim . 2n 1 3n 1 Bài 5 Tìm các giới hạn sau 146
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2n3 sin 2n 1 n n! 1. A lim 2. B lim 3 n 1 n3 2n 3.3n 4n n 1 3. C lim 4. D lim n 1 n 1 3 4 n2( 3n2 2 3n2 1) 5. E lim( n2 n 1 2n) 6. F lim n 1 n k 2 p 2 2 7. H lim( n 1 n 1) 8. K lim n n 1 n . Bài 6. Tìm giới hạn của các dãy số sau 1 1 1 1. un 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 (n 1) 13 23 n3 2. un 3n3 n 2 1 1 1 n(n 1) 3. un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn . T1 T2 Tn 2 23 1 33 1 n3 1 n 2k 1 4. u . 5. u n 3 3 3 n  k 2 1 3 1 n 1 k 1 2 n n 6. u q 2q2 nqn với q 1 7. u n n  2 k 1 n k Bài 7 Tìm các giới hạn sau: a .nk a nk 1 a n a 1. A lim k k 1 1 0 với a b 0 p p 1 k p bp.n bp 1n b1n b0 3 n6 n 1 4 n4 2n 1 2. B lim (2n 3)2 2 3. C lim 4n n 1 2n 2 3 3 2 4. D lim n n 1 2 n n 1 n Bài 8 1. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn 1 a a2 an I lim . 1 b b2 bn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 147
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 2. Cho dãy số (x ) xác định bởi x ,x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 Đặt Sn L . Tính lim Sn . x1 1 x2 1 xn 1 1 2 k 3. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm lim un với un x1 x2 x2011 . u0 2011 u3 4. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim n . n u u n 1 n 2 n un 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi : un n 2 2 n 1 n . Đặt Sn u1 u2 L un . Tìm lim Sn . u 1; 1 u 6. Cho dãy (u ) xác định như sau: 2 . Tìm lim n . n un  u u un 1 n 1 n 2010 4n 1 n 7. Cho dãy số (u ) với u . Dãy (s ) được cho bởi s u . Tìm n n n n n  i 2 i 1 lim sn . u 3 1 2 8. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u (u 1) 8 . u n n , (n 1,n N) n 1 5 n u 2 Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn tại: lim  i . n 2 i 1 ui 1 Bài 9 Cho dãy số un xác định như sau: u1 2 và u2 2010 u n u với n 1,2,3, n 1 2011 2011 n 1. Chứng minh un là dãy số tăng và không bị chặn trên. n u 2. Tính lim i .  n i 1 ui 1 1 Bài 10. 1. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau: x1 1,x2 2,xn 2 xn 1 xn ,n 1 . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. 148
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt n 1 2. Cho dãy số (un ) : un 1 . Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn n hữu hạn. u1 2 3. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: u2 u 3 n u n n , n 1,2, n 1 2 un un 1 Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 4. Cho dãy số (un ) thỏa: un un 1 2un 2 và dãy (un ) bị chặn. Chứng minh rằng dãy (un ) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó. u0 1,u1 5 2 5. Cho dãy (un ) được xác định bởi: u u 6 . Chứng minh rằng u n 1 n n 2 3 dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. u1 1 6. Cho dãy số (u ) thỏa mãn: u2 4u 1 . Chứng minh dãy n u n n ,n 1 n 1 2 un un 1 số (un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. x1 1;x2 2 7. Cho dãy số (xn ) sao cho . Chứng minh dãy số trên có xn 1 4xn 3xn 1 giới hạn và tìm giới hạn trên. Bài 11. Cho dãy số (xn ) xác định như sau: 2 x 2011, x ; n 0,1,2, 0 n 1 2 1 xn 1. Đặt un x2n ,n 1,2,3, Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn. 2. Chứng minh rằng dãy (xn ) cũng có giới hạn hữu hạn. Bài 12. Tìm lim un biết: n. 1 3 5 (2n 1) 1 2 n n 1. u 2. u lim n 2 n 2n 1 3 12 22 n2 2n 1 1 1 3. un 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 1 1 1 n(n 1) 4. un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn . T1 T2 Tn 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 149
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 23 1 33 1 n3 1 n 2k 1 5. u . 6. u n 3 3 3 n  k 2 1 3 1 n 1 k 1 2 n n 7. u q 2q2 nqn với q 1 8. u n n  2 k 1 n k n 1 9. un  10. un 2 2 2 . 2 144442 44443 k 1 n k n dau can 3 3 Bài 13. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn xn 2n a 8n 1n N , a là số thực cho trước. 1. Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn. 2. Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng. Bài 14. Cho số thực và xét dãy số (xn ) với x 1 ¥ * 2 ( n ). xn 1 xn 2xn 2 * 1. Với (1;2) . Chứng minh 1 xn 2 với mọi n ¥ và (xn ) là dãy số giảm. 2. Với [1; ). Tùy vào giá trị của , tìm giới hạn của (xn ) . Bài 15. 4 4 8 1. Gọi (u ) là dãy số xác định bởi u ; u 3u . Tìm lim u . n 1 9 n 1 9 9 n n 2. Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f 4x 4 4 12f 3x 9f 4x . 4 Chứng minh: f x u n ¥ ;x ¡ . Từ đó hãy suy ra f x . n 3 3. Cho các dãy số (xn ),(yn ),(zn ) được xác định như sau: x a;y b;z c 1 1 1 y z z x x y x n 1 n 1 ,y n 1 n 1 ,z n 1 n 1 n 2 n 2 n 2 a b c Chứng minh rằng các dãy trên cùng hội tụ về giá trị . 3 x a 1 5. Cho a 2 và dãy số x với . n 2 n 3 2x 3x n 1 n n * a) Chứng minh : xn 1 , với n ¥ b)Chứng minh dãy số xn có giới hạn và tìm giới hạn đó. 150
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 16. 3 a a 1 2 2 1. Dãy số (an ) được xác định bởi : . Chứng 2 an 1 , n 2,3,4 an an 1 minh rằng dãy số (an ) hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó. 2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau u1 1 . un 1 un (un 1)(un 2)(un 3) 1; n 1,2, n 1 Đặt vn  . Tìm lim vn . i 1 ui 2 1 x 1 2 3. Cho dãy (xn ) : . Chứng minh rằng 1 2 x x 4x x , n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 dãy (y ) xác định bởi y có giới hạn và tìm giới hạn đó. n n  2 i 1 xi å 4. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1; n ab 1,ab 2,  . Kí hiệu rn là số cặp số r 1 (u,v) ¥ å ¥ å sao cho n au bv . Chứng minh rằng lim n . n n ab Bài 17. 2 (2 cos2 )xn cos 1. Cho dãy (xn ) : x1 1; xn 1 trong đó là số (2 2cos2 )xn 2 cos2 n 1 thực. Đặt yn  n 1. Tìm để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn i 1 2xi 1 và tìm giới hạn đó. 2. Cho c là một số thực dương. Dãy (xn ) được xây dựng như sau: xn 1 c c xn , n 0,1,2 nếu các biểu thức dưới dấu căn không âm. Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x0 0;c , dãy (xn ) xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 151
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, xn K\{x0 } và xn x0 , ta có: f(xn ) L . Ta kí hiệu: lim f(x) L hay f(x) L khi x x0 . x x0 1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số y f(x) xác định trên(x0 ; b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn ) : x0 xn b mà x x thì ta có: f(x ) L . Kí hiệu: lim f(x) L . n 0 n x x0 * Cho hàm số y f(x) xác định trên(a; x0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn ) : a xn x0 mà x x thì ta có: f(x ) L . Kí hiệu: lim f(x) L . n 0 n x x0 Chú ý: lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L . x x0 x x x x 0 0 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số y f(x) xác định trên (a; ) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (xn ) : xn a và xn thì f(xn ) L . Kí hiệu: lim f(x) L . x * Ta nói hàm số y f(x) xác định trên ( ; b) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (xn ) : xn b và xn thì f(xn ) L . Kí hiệu: lim f(x) L . x 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số y f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn x0 thì f(xn ) . Kí hiệu: lim f(x) . x x0 * Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi hoặc . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L 0 ) khi x x0 (hay x ; x ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x x0 (hay x ; x ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) 152
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho ba hàm số f(x),g(x),h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0 ). Nếu g(x) f(x) h(x) x K và lim g(x) lim h(x) L thì lim f(x) L . x x0 x x0 x x0 3. Một số gới hạn đặc biệt * lim x2k ; lim x2k 1 ( ) x x (x ) (x ) k * lim f(x) ( ) lim 0 (k 0) . x x0 x x0 f(x) Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa : x3 1 1. A lim(3x2 x 1) 2. B lim x 1 x 1 x 1 x 2 2 3x 2 3. C lim 4. D lim x 2 x 2 x x 1 Lời giải. 1. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 1 ta có: 2 A lim 3xn xn 1 3 1 1 5 2. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 1 và xn 1 n ta có: (x 1)(x2 x 1) n n n 2 B lim lim xn xn 1 3 . xn 1 3. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 2 và xn 2 n ta có: x 2 2 (x 2) 1 1 B lim n lim n lim x 2 4 n (xn 2) xn 2 2 xn 2 2 4. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn ta có: 2 3 3x 2 x D lim n lim n 3 . x 1 1 n 1 xn Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 153
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1. f(x) sin khi x 0 2. f(x) cos5 2x khi x . x Lời giải. 1 1 1. Xét hai dãy (x ) : x ,(y ) : y n n 2 n n 2 (n ) n2 2 Ta có: lim xn lim yn 0 và lim f(xn ) 1; lim f(yn ) 0 . Nên hàm số không có giới hạn khi x 0 . 2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: x n ; y n n n 4 Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu lim f(x) 0 thì lim f(x) 0 . x x0 x x0 Lời giải. Với mọi dãy (xn ) : lim xn x0 ta có: lim f(xn ) 0 lim f(xn ) 0 lim f(x) 0 . x x0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa x 1 x 3 2 1. lim 2. lim x3 1 3. lim x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 2x2 x 1 3x 2 4. lim 5. lim . 6. lim x x 2 x x 2 x 1 2x 1 x 4 2 4x 3 3x 1 7. lim 8. lim 9. lim x 0 2x x 1 x 1 x 2 x 2 Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn : 1 1. f(x) sin khi x 0 2. f(x) cosx khi x x Bài 3 Bằng định nghĩa hãy tìm các giới hạn sau 2x2 x 3 x 1 3x2 1. lim 2. lim 3. lim 4 2 x 1 x 1 x 2 2 x x 2x 1 x2 4 x2 3x 2 4. lim x2 x 1 5. lim 6. lim . x x 2 x4 1 2 x x 1 x 1 Bài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn 1 1. f(x) cos khi x 0 2. f(x) sin 2x khi x x2 154
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số Bài toán 01: Tìm lim f(x) biết f(x) xác định tại x0 . x x0 Phương pháp: * Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f(x0 ) * Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: sin 2x 3cosx x x2 3 2x 1. lim 2. lim x 0 2x cos2 3x x 2 3 x 6 2x 1 Lời giải. sin 2x 3cosx x sin0 3cos0 0 1. Ta có: lim 3 x 0 2x cos2 3x 2.0 cos2 0 x2 3 2x 22 3 2.2 7 4 2. Ta có: lim . x 2 3 x 6 2x 1 3 2 6 2.2 1 5 Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? x2 3x 1 khi x 1 2 1. f(x) x 2 khi x 1 ; 3x 2 khi x 1 3 2x2 3x 1 khi x 0 2. f(x) khi x 0 2 x 3x 2 khi x 0 Lời giải. 3x 2 5 1. Ta có: lim f(x) lim . x 1 x 1 3 3 x2 3x 1 5 5 lim f(x) lim lim f(x) lim f(x) . 2 x 1 x 1 x 2 3 x 1 x 1 3 5 Vậy lim f(x) . x 1 3 2. Ta có: lim f(x) lim (2x2 3x 1) 1. x 0 x 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 155
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. lim f(x) lim ( x2 3x 2) 2 lim f(x) lim f(x) . x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy hàm số f(x) không có giới hạn khi x 0 . Ví dụ 3. Tim m để các hàm số: x2 mx 2m 1 khi x 0 x 1 1. f(x) có giới hạn khi x 0 . 2x 3m 1 khi x 0 1 x 2 x2 x 2 mx 1 khi x 1 2. f(x) 1 x có giới hạn khi x 1 . 3mx 2m 1 khi x 1 Lời giải. x2 mx 2m 1 1. Ta có: lim f(x) lim 2m 1 x 0 x 0 x 1 2x 3m 1 3m 1 lim f(x) lim x 0 x 0 1 x 2 3 Hàm số có giới hạn khi x 0 khi và chỉ khi lim f(x) lim f(x) x 0 x 0 3m 1 4 2m 1 m . 3 3 2. Ta có: lim f(x) lim (3mx 2m 1) 5m 1 x 1 x 1 x2 x 2 lim f(x) lim mx 1 x 1 x 1 1 x lim (x 2) 1 x mx 1 m 1 x 1 Hàm số có giới hạn khi x 1 khi và chỉ khi lim f(x) lim f(x) x 1 x 1 1 5m 1 m 1 m . 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau: x2 x 1 2 tan x 1 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x sin x 1 6 3 x 2 x 1 3 7x 1 1 3. C lim 4. D lim . x 0 3x 1 x 1 x 2 156
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 2 Tìm các giới hạn sau: x 1 sin2 2x 3cosx 1. A lim 2. B lim x 2 2 x x 4 x tan x 6 2x2 x 1 3 2x 3 3x 1 2 3. C lim 4. D lim x 1 3x2 2 x 1 3 3x 1 2 Bài 3 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 3x3 5x2 4 khi x 1 1. f(x) khi x 1 3x 1 khi x 1 x3 8 khi x 2 2. f(x) x 2 tại x 2 . 2x 1 khi x 2 Bài 4 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 3x2 5x 1 khi x 1 1. f(x) tại x 1. 3x 2 khi x 1 x3 8 khi x 2 2. f(x) x 2 tại x 2 . 2x 1 khi x 2 Bài 5 1. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 x2 ax 1 khi x 2 f(x) . 2 2x x 1 khi x 2 2. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 f(x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 Bài 6 Tìm a để hàm số 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 1. f(x) có giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 x2 ax 1 khi x 1 2. f(x) có giới hạn khi x 1 . 2 2x x 3a khi x 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 157
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. f(x) Bài toán 02. Tìm A lim trong đó f(x0 ) g(x0 ) 0 . x x0 g(x) 0 Dạng này ta gọi là dạng vô định . 0 Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x x0 thì ta có : f(x) (x x0 )f1(x) . *Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) (x x0 )f1(x) và f1(x) 0 g(x) (x x0 )g1(x) . Khi đó A lim , nếu giới hạn này có dạng thì ta x x0 g1(x) 0 tiếp tục quá trình như trên. 2 Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1 ,x2 thì ta luôn có sự 2 phân tích ax bx c a(x x1)(x x2 ) . * Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. ( a b)( a b) a b 2. (3 a 3 b)(3 a2 m 3 ab 3 b2 ) a b 3. (n a n b)(n an 1 n an 2b n bn 1 ) a b * Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n u(x), m v(x) c thì ta phân tích: n u(x) m v(x) (n u(x) c) (m v(x) c) . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u(x) m v(x) (n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đó m(x) c . * Một đẳng thức cần lưu ý: an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 158
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt xn 1 x5 5x3 2x2 6x 4 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x 1 x3 x2 x 1 Lời giải. 1. Ta có: xn 1 (x 1)(xn 1 xn 2 x 1) xn 1 Suy ra: xn 1 xn 2 x 1 x 1 Do đó: A lim xn 1 xn 2 x 1 n . x 1 2. Ta có: x5 5x3 2x2 6x 4 (x 1)2(x 2)(x2 2) x3 x2 x 1 (x 1)2(x 1) (x 2)(x2 2) 3 Do đó: B lim . x 1 x 1 2 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: (1 mx)n (1 nx)m (1 2x)2(1 3x)3 1 1. C lim 2. D lim x 0 x2 x 0 x Lời giải. m2n(n 1)x2 1. Ta có: (1 mx)n 1 mnx m3x3.A 2 3 4 n 3 n Với A Cn mxCn mx Cn 2 2 m n m(m 1)x 1 nx 1 mnx n3x3B 2 3 4 m 3 m Với B Cm nxCm nx Cm m2n(n 1) n2m(m 1) Do đó: C lim x m3A n3B x 0 2 m2n(n 1) n2m(m 1) mn(n m) . 2 2 2 3 2 3 1 2x 1 3x 1 1 2x 1 3x 1 2. Ta có: x x 2 (1 2x) 1 2 1 2x 9 27x 27x2 (4 4x) x 2 2 Suy ra: D lim 1 2x 9 27x 27x (4 4x) 5 x 0 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 159
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x 1 x 3 3x 2 x 1. A lim 2. B lim x 1 x2 1 x 2 3x 2 2 Lời giải. 2x 1 x2 (x 1) 1. Ta có: A lim lim 0 x 1 (x 1)(x 1)( 2x 1 x) x 1 (x 1)( 2x 1 x) (3x 2 x3 )( 3x 2 2) 2. Ta có: B lim x 2 3(x 2)(3 (3x 2)2 23 3x 2 4) (x2 2x 1)( 3x 2 2) lim 1 . x 2 3(3 (3x 2)2 23 3x 2 4) Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 3 2x 1 1 2x 1.3 3x 2.4 4x 3 1 1. B lim 2. C lim x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải. 3 2t 1 1 2 1. Đặt t x 1 ta có: B lim t 0 t 3 2. Ta có: 2x 1.3 3x 2.4 4x 3 1 2x 1.3 3x 2 4 4x 3 1 2x 1 3 3x 2 1 2x 1 1 2x 1 1 3 3x 2 1 4 4x 3 1 Mà: lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Nên ta có: C 1 1 1 3 . Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: 3 7x 1 5x 1 x 2 3 x 20 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x 7 4 x 9 2 Lời giải. 3 7x 1 2 ( 5x 1 2) 1. Ta có: A lim x 1 x 1 3 7x 1 2 5x 1 2 lim lim I J x 1 x 1 x 1 x 1 7(x 1) I lim x 1 (x 1)(3 (7x 1)2 23 7x 1 4) 160
23. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 7 7 lim . x 1 3 (7x 1)2 23 7x 1 4 12 5(x 1) 5 5 J lim lim x 1 (x 1)( 5x 1 1) x 1 5x 1 1 3 2 Vậy A . 3 x 2 3 3 x 20 3 x 2 3 x 20 2. Ta có: B lim lim x 7 x 7 x 7 4 x 9 2 x 7 4 x 9 2 x 7 x 2 3 1 1 Mà: lim lim x 7 x 7 x 7 x 2 3 6 3 x 20 3 1 1 lim lim x 7 x 7 x 7 (3 x 20)2 33 x 20 9 27 4 x 9 2 1 1 lim lim . x 7 x 7 x 7 (4 x 9)3 2(4 x 9)2 44 x 9 8 32 1 1 112 Vậy B 6 27 . 1 27 32 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm các gới hạn sau : x3 3x2 2 x4 5x2 4 1. A lim 2. B lim x 1 x2 4x 3 x 2 x3 8 (1 3x)3 (1 4x)4 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 3. C lim 4. D lim . x 0 x x 0 x Bài 2 Tìm các gới hạn sau : xn 1 n 1 ax 1 1. A lim (m,n ¥ *) 2. B lim (n ¥ *,a 0) x 0 xm 1 x 0 x n 1 ax 1 1 x 3 1 x 4 1 x 1 3. A lim với ab 0 4. B lim với x 0 m 1 bx 1 x 0 x  0 . Bài 3 Tìm các gới hạn sau : – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 161
24. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x2 5x 2 x4 3x 2 1. A lim 2. B lim x 2 x3 3x 2 x 1 x3 2x 3 2x 3 x 3 x 1 1 3. C lim 4. D lim x 3 x2 4x 3 x 0 4 2x 1 1 3 4x 1 x 2 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 5. E lim 6. F lim x 7 4 2x 2 2 x 0 x 1 4x 3 1 6x m 1 ax n 1 bx 7. M lim 8. N lim x 0 x2 x 0 x n m m 1 ax n 1 bx 1 1 mx 1 nx 9. G lim 10. V lim x 0 x x 0 x2 1 x 1 3 x 1 n x 11. K lim n 1 x 1 1 x n n 2 2 1 x x 1 x x 12. L lim x 0 x Bài 4 Tìm các gới hạn sau : 2x2 5x 2 x4 3x2 2 1. A lim 2. B lim x 2 x3 8 x 1 x3 2x 3 2x 3 3 3 x 1 1 3. C lim 4. D lim x 3 x2 4x 3 x 0 2x 1 1 3 4x 1 x 2 n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 5. E lim 6. F lim x 7 4 2x 2 2 x 0 x 1 4x 3 1 6x m 1 ax n 1 bx 7. M lim 8. N lim x 0 1 cos3x x 0 1 x 1 n m 3 n 1 mx 1 nx 1 x 1 x 1 x 9. V lim 10. K lim . x 0 3 x 1 n 1 1 2x 1 3x 1 x2 Bài 5 Tìm các giới hạn sau 4x 1 3 2x 1 4x 5 3 1. A lim 2. B lim x 0 x x 1 3 5x 3 2 4 2x 3 3 2 3x x x 2 3. C lim 4. D lim . x 1 x 2 1 x 2 x 3 3x 2 Bài 6 Tìm các giới hạn sau 162