Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 5: Đạo hàm (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chủ đề 5: Đạo hàm (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số y f(x) liên tục trên (a; b) , được gọi là có đạo hàm tại x0 (a; b) nếu f(x) f(x ) giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): lim 0 và giá trị của giới hạn đó gọi x x0 x x0 là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu f'(x0 ) . f(x) f(x0 ) Vậy f'(x0 ) lim x x0 x x0 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f(x) f(x ) f(x) f(x ) f'(x ) lim 0 . f'(x ) lim 0 . 0 x x 0 x x x x0 0 x x0 0 Hệ quả : Hàm f(x) có đạo hàm tại x0  f(x0 ) và f'(x0 ) đồng thời f'(x0 ) f'(x0 ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn • Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) . • Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f'(b ) và đạo hàm phải f'(a ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn: Xét hàm f(x) x liên tục tại x 0 nhưng không liên tục tại điểm đó. f(x) f(0) f(x) f(0) Vì lim 1, còn lim 1. x 0 x x 0 x Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 179
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. f(x) f(x0 ) • f'(x0 ) lim x x0 x x0 f(x) f(x ) • f'(x ) lim 0 0 x x x x0 0 f(x) f(x ) • f'(x ) lim 0 0 x x x x0 0 • Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x x0 f'(x0 ) f'(x0 ) • Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: x3 x2 1 1 3 khi x 0 1. f(x) 2x 1 tại x 2 3. f(x) x tại x 0 0 khi x 0 2. f(x) x2 1 tại x 1 Lời giải. f(x) f(2) 2x3 16 1. Ta có lim lim lim 2(x2 2x 4) 24 f'(2) 24 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f(x) f(1) x2 1 2 2. Ta có : f'(1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) 1 lim . x 1 (x 1)( x2 1 2) 2 3. Ta có f(0) 0 , do đó: f(x) f(0) x3 x2 1 1 x 1 1 lim lim lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x3 x2 1 1 2 1 Vậy f'(0) . 2 2x2 x 1 Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x 1 nhưng x 1 không có đạo hàm tại điểm đó. Lời giải. Vì hàm f(x) xác định tại x 1 nên nó liên tục tại đó. 180
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt f(x) f( 1) 2x Ta có: f'( 1 ) lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f(x) f( 1) f'( 1 ) lim lim 2 2 x 1 x 1 x 1 f'( 1 ) f'( 1 ) f(x) không có đạo hàm tại x 1. x2 1 khi x 1 Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f x x 1 có đạo hàm tại x 1 a khi x 1 Lời giải. Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết f(x) phải liên tục tại x 1 x2 1 Hay lim f(x) lim 2 f(1) a . x 1 x 1 x 1 x2 1 2 f(x) f(1) Khi đó, ta có: lim lim x 1 1. x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy a 2 là giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra x 1 1. f(x) 2x 1 tại x 1 2. f(x) tại x 2 0 x 1 0 3. f(x) x2 x 1 tại điểm x 2 4. f(x) sin2 x tại x 0 2 3 2 x 2x x 1 1 khi x 1 5. f(x) x 1 tại điểm x0 1 . 0 khi x 1 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra 1. f(x) sin 2x tại x 2. f(x) tan x tại x 0 2 4 1 x2 sin khi x 0 3. f(x) x tại x 0 . 0 khi x 0 Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra 3 1. f(x) x tại x0 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 181
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x 3 khi x 1 3 2 2. f(x) x 2x 7x 4 tại x0 1 . khi x 1 x 1 sin2 x khi x 0 3. f(x) x tại x0 0 2 x x khi x 0 x2 x 1 4. f(x) tại x 1 . x 0 Bài 4 x2 x khi x 1 1. Tìm a,b để hàm số f(x) có đạo hàm tại x 1. ax b khi x 1 x2 1 khi x 0 2. Tìm a,b để hàm số f(x) có đạo hàm trên ¡ . 2 2x ax b khi x 0 x2 1 khi x 0 3. Tìm a,b để hàm số f(x) x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 . CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Quy tắc tính đạo hàm 1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số ' ' ' • (u1 u2 un )' u1 u2 un • (k.u(x))' k.u'(x) • (uvw)' u'vw uv'w uvw' • (un (x))' nun 1(x).u'(x) ' u(x) u'(x)v(x) v'(x)u(x) c c.u'(x) • • ' . v(x) v2(x) u(x) u2(x) 1.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f(u(x)) f(u) với u u(x) . Khi đó y'x y'u .u'x . 2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm Hàm hợp (c)' 0 (x)' 1 (x )' x 1 u ' u 1.u' 182
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 u' x ' u ' 2 x 2 u 1 u' n x ' n u ' nn xn 1 nn un 1 (sin x)' cosx (sin u)' u'.cosu (cosx)' sin x (cosu)' u'sin u 1 u' (tan x)' tan u ' cos2 x cos2 u 1 u' (cot x)' cot u ' sin2 x sin2 u Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y x3 3x2 2x 1 2. y x3 3x 1 x4 3 3. y x2 1 4. y 2x4 x2 1 4 2 2x 1 x2 2x 2 5. y 6. y x 3 x 1 Lời giải. ' 1. Ta có: y' x3 3x 1 3x2 6x 2 ' 2. Ta có: y' x3 3x 1 3x2 3 ' x4 3. Ta có: y' x2 1 x3 2x 4 ' 4 3 2 3 4. Ta có: y' 2x x 1 8x 3x 2 (2x 1)'(x 3) (x 3)'(2x 1) 7 5. Ta có: y' (x 3)2 (x 3)2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 183
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. (x2 2x 2)'(x 1) (x2 2x 2)(x 1)' 6. Ta có: y' (x 1)2 (2x 2)(x 1) (x2 2x 2) x2 2x 4 . 2 2 (x 1) x 1 ax b ad bc Nhận xét: Với hàm số y ta có: y' . cx d (cx d)2 Ví dụ 2. Giải bất phương trình f'(x) 0 biết: 1. f(x) x 4 x2 2. f(x) x 2 x2 12 3. f(x) x2 x 1 x2 x 1 4. f(x) 4 x2 1 x Lời giải. 1. TXĐ: D 2; 2 x2 4 2x2 Ta có: f'(x) 4 x2 4 x2 4 x2 Do đó: f'(x) 0 4 2x2 0 2 x 2 . 2. TXĐ: D ¡ 2x x2 12 2x Ta có: f'(x) 1 x2 12 x2 12 Suy ra: f'(x) 0 x2 12 2x (1) • Với x 0 thì (1) luôn đúng x 0 • Với x 0 thì (1) 2 2 0 x 2 x 12 4x Vậy bất phương trình f'(x) 0 có nghiệm x 2 . 3. TXĐ: D ¡ 2x 1 2x 1 Ta có: f'(x) 2 x2 x 1 2 x2 x 1 Suy ra f'(x) 0 1 2x x2 x 1 1 2x x2 x 1 (1 2x)(1 2x) 0 2 2 2 1 3 2 1 3 (1 2x) x 1 2x x 2 4 2 4 184
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 1 x 2 2 x 0 . 2 2 (1 2x) (1 2x) 4. TXĐ: D 0; x 1 Ta có: f'(x) . 24 (x2 1)3 2 x f'(x) 0 x x 4 (x2 1)3 x6 (x2 1)3 x2 x2 1 bất phương trình này vô nghiệm Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau: 5 1. y 2x2 3x 1 2. y 2x2 1 3x 2 3. y 2sin2(2x 1) cos x 4. y tan(sin2 3x) cot2(1 2x3 ) 3 5. y 3 sin(tan x) cos(cot x) Lời giải. (2x2 3x 1)' 4x 3 1. Ta có: y' . 2 2x2 3x 1 2 2x2 3x 1 1 2. Ta có y' ( 2x2 1 3x 2)' 5.5 ( 2x2 1 3x 2)4 1 2x ( 3) . 2 5.5 ( 2x2 1 3x 2)4 2x 1 1 2sin(4x 2) sin x (2sin2(2x 1) cos x)' 3. Ta có: y' 2 x 2 2sin2(2x 1) cos x 2 2sin2(2x 1) cos x 4 x sin(4x 2) sin x . 4 2xsin2(2x 1) xcos x [cot2(1 2x3 ) 3]' 4. Ta có: y' [1 tan2(sin2 3x)](sin2 3x)' 2 cot2(1 2x3 ) 3 6x2[1 cot2(1 2x3 )]cot(1 2x3 ) 3[1 tan2(sin2 3x)]sin6x . cot2(1 2x3 ) 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 185
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. [sin(tan x) cos(cot x)]' 5. Ta có: y' 3 [sin(tan x) cos(cot x)]2 (1 tan2 x)cos(tan x) (1 cot2 x)sin(cot x) . 3 [sin(tan x) cos(cot x)]2 Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau : 1 x2 3x 1 khi x 1 x2 cos khi x 0 1. f(x) 2. f(x) 2x 2x 2 khi x 1 0 khi x 0 Lời giải. 1. Với x 1 f(x) x2 3x 1 f'(x) 2x 3 Với x 1 f(x) 2x 2 f'(x) 2 Với x 1 ta có: lim f(x) lim x2 3x 1 1 f(1) hàm số không liên tục x 1 x 1 tại x 1, suy ra hàm số không có đạo hàm tại x 1 2x 3 khi x 1 Vậy f'(x) . 2 khi x 1 1 1 1 1 2. Với x 0 f(x) x2 cos f'(x) 2xcos cos 2x 2x 2 2x f(x) f(0) 1 Với x 0 ta có: lim lim xcos 0 f'(0) 0 x 0 x x 0 2x 1 1 2x cos khi x 0 Vậy f'(x) 2 2x . 0 khi x 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau x3 1. y x4 3x2 2x 1 2. y 2x2 x 1 3 2x 1 x2 x 1 3. y 4. y x 2 x 1 ax b ax2 bx c 5. y , ac 0 6. y , aa' 0 . cx d a'x b' Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau 3 2 2x x2 1. y x x2 1 2. y 3. y (2x 5)2 x2 1 186
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4. y 3x 2 tan x 5. y sin2(3x 1) 6. y (x 1) x2 x 1 . Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 2x 1. y x7 x 2. y x2 1 5 3x2 3. y x2 1 3 2 5 3 2 4. y x 2x 1 5x 3 5. y 4x 6. y (x 2) (x 3) x2 x 7. y x3 3x2 2 8. y x2 x x 1 9. y a2 x2 1 1 x 10. y 11. y 12. y sin2 3x x x 1 x 13. y 3tan2 x cot 2x 14. y 3 x3 cos4(2x ) 3 x 15. y 2sin x2 2 16. y cos2 sin3 x 17. y sin x 1 cosx 4 x3 sin khi x 0 18. y cot x 19. f(x) x 3sin3 x 3 0 khi x 0 f' 1 x Bài 4. Tính . Biết rằng : f(x) x2 và (x) 4x sin . ' 0 2 Bài 5. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x. 1. y sin6 x cos6 x 3sin2 xcos2 x 2 2 2 2 2 2 2 y cos x cos x cos x cos x 2sin x 2. 3 3 3 3 Bài 6. Tìm m để các hàm số 1. y (m 1)x3 3(m 2)x2 6(m 2)x 1 có y' 0, x ¡ mx3 2. y mx2 (3m 1)x 1 có y' 0, x ¡ . 3 Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau 1 x2 sin khi x 0 1. f(x) x 0 khi x 0 x2 x 1 khi x 1 2. f(x) x 1 3 khi x 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 187
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 8. Tìm a,b để các hàm số sau có đạo hàm trên ¡ x2 x 1 khi x 1 1. f(x) 2 x ax b khi x 1 x2 x 1 khi x 0 2. f(x) x 1 . 2 x ax b khi x 0 Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau 1. y (x3 2x)3 2. y (x2 1)(3x3 2x) 2 2 3 2 3. y x 4. y 2sin 2x tan 3x xcos4x 3x2 sin 2x x 5. y 6. y xsin 2x x3 x2 1 x cos3x 7. y 2sin2 x x3 1 8. y x2 1 2x 1 x 1 3 9. y xtan 2x 10. y sin 2x 1 cot x 3 Bài 10. Giải bất phương trình : 1. f'(x) 0 với f(x) 2x3 3x2 1 2. f'(x) 0 với f(x) 2x4 4x2 1 3. 2xf'(x) f(x) 0 với f(x) x x2 1 4. f'(x) 0 với f(x) x 4 x2 . Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn f(x) f(x0 ) Từ định nghĩa đạo hàm f'(x0 ) lim ,ta thấy có thể sử dụng đạo x x0 x x0 hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể g(x) • Để tính A lim , biết g(x0 ) 0 . x x0 x x0 Ta viết g(x) f(x) f(x0 ) . Khi đó nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì : f(x) f(x0 ) A lim f'(x0 ) . x x0 x x0 F(x) • Để tính: B lim , biết F(x0 ) G(x0 ) 0 . x x0 G(x) 188
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta viết F(x) f(x) f(x0 ) và G(x) g(x) g(x0 ) . Nếu hai hàm số f(x),g(x) có đạo hàm tại x x0 và g'(x0 ) 0 thì: f(x) f(x0 ) x x f'(x ) B lim 0 0 . x x0 g(x) g(x0 ) g'(x0 ) x x0 Các ví dụ Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau : 3 1 x 1 3 2x 1 3x 2 1. A lim 2. B lim x 0 x x 1 x2 1 3 n 1 3x 1 1 x2 4 1 2x 3. C lim 4. D lim x 0 x x 0 x x2 Lời giải. 1 1. Đặt f(x) 3 1 x f'(x) và f(0) 1 33 (1 x)2 f(x) f(0) 1 A lim f'(0) . x 0 x 0 3 2. Đặt f(x) 3 2x 1 3x 2 2 3 f'(x) và f(1) 0 . 3.3 (2x 1)2 2 3x 2 1 f(x) f(0) 1 f(x) f(0) 1 2 3 5 B lim . lim .lim .f'(1) . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 2 9 f(x) f(0) 3 3. Đặt f(x) n 1 3x C lim f'(0) . x 0 x n 3 2x 1 4. Đặt f(x) 1 x2 4 1 2x f'(x) 3.3 (1 x2 )2 2.4 (1 2x)3 1 f(x) f(0) 1 D lim .lim f'(0) . x 0 x 1 x 0 x 2 1 2x2 3 1 3x2 Ví dụ 2. Tính giới hạn sau : A lim x 0 1 cosx Lời giải. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 189
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 2x2 3 1 3x2 2 f(x) Ta có: A lim x lim . x 0 x x 0 x 2sin2 2sin2 2 2 x2 x2 2 x x 2sin2 sin 1 1 Mà lim 2 lim 2 . x 0 2 2 x 0 x 2 x 2 1 2t 3 1 3t Đặt t x2 lim f(x) lim 0 . x 0 t 0 t Vậy A 0 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau (1 3x)3 (1 4x)4 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 1. A lim 2. B lim x 0 x x 0 x n 1 ax 1 2x 1 x 3. C lim (m,n ¥ ;a.b 0) 4. D lim x 0 m 1 bx 1 x 1 x2 1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau 3 3 2x 1 1 2x 1 x2 1 1. A lim 2. B lim x 1 1 2 x2 x 0 sin x 3 3 3 26x3 1 4 80x4 1 4 2x x2 4 2x x2 3. C lim 4. E lim x 1 x 1 x 0 2 x 2 x Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân Phương pháp: Vi phân của hàm số • Tích f'(x0 ). x được gọi là vi phân của hàm số y f(x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu là df(x0 ) f'(x0 ) x . • Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f'(x) x được gọi là vi phân hàm số y f(x) , kí hiệu là: df(x) f'(x) x . Đặc biệt: dx x' x x nên ta viết df(x) f'(x)dx . Đạo hàm cấp n 190
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f' . Nếu f' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f'' , tức là: f'' (f')' . • Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với n ¥ ,n 2 ) là f(n 1) . Nếu f(n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f(n) , tức là: f(n) (f(n 1) )' . Các ví dụ 3x 1 Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: y x 2 Lời giải. 7 7.2 7.2.3 Ta có: y' , y'' , y''' (x 2)2 (x 2)3 (x 2)4 ( 1)n .7.n! Bằng quy nạp ta chứng minh: y(n) (2) (x 2)n 1 • Với n 1 ta thấy (2) đúng ( 1)k .7.k! • Giả sử (2) đúng với n k , tức là: y(k) (x 2)k 1 ' ( 1)k .7.k! ( 1)k .7.k!.(k 1) Ta có: y(k 1) k 1 k 2 (x 2) (x 2) ( 1)k 1.7.(k 1)! (x 2)k 2 Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n . Ví dụ 2. Cho đa thức f(x) x3 5x2 1 . Viết f(x) dưới dạng lũy thừa của x 2 Lời giải. f(3)(2) f''(2) f'(2) Ta có: f(x) (x 2)3 (x 2)2 (x 2) f(2) 3! 2! 1! Mà f'(x) 3x2 10x,f''(x) 6x 10,f'''(x) 6 Nên f(x) (x 2)3 (x 2)2 8(x 2) 11 . Ví dụ 3. Tìm vi phân của của hàm số: 1. y x4 2x 1 2. y (x3 2)(x 1) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 191
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x2 6x 5 3. y 4. y sin 3xcos5x 2x 4 5. y 4x2 tan x Lời giải. 1. Ta có dy (x4 2x 1)'dx (4x3 2)dx 2. Ta có y x4 x3 2x 1 dy (4x3 3x2 2)dx (4x 6)(2x 4) 2(2x2 6x 5) 4x2 16x 34 3. Ta có y' (2x 4)2 (2x 4)2 4x2 16x 34 Suy ra dy dx . (2x 4)2 1 1 4. Ta có y sin8x sin 2x dy 4cos8x cos2x dx 2 2 8x 1 tan2 x 8x 1 tan2 x 5. Ta có: y' dy dx 2 4x2 tan x 2 4x2 tan x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y sin 2x 1. Tính y'' 2. Tính y'''( ) , y(4)( ) 3. Tính y(n) 3 4 Bài 2. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau 2x 1 1 2x 1 1. y 2. y ,a 0 3. y x 2 ax b x2 5x 6 2x 1 4. y cos2x 5. y 2x 1 6. y x2 3x 2 n n 1 Bài 3. Cho đa thức bậc n : f(x) anx an 1x a1x a0 1. Tính f(k)(x), 1 k n f(k)(0) 2. Chứng minh rằng a với k 0,n . k k! Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau 1. y x3 2x2 2. y 3x 2 3. y sin 2x sin3 x 4. y tan 2x 5. y 3 x 1 6. y (3x 1)10 Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau 1. y2.y'' xy' y 0 với y 1 x2 2. xy'' 2y' 4xy 2sin 2x 0 với y xsin 2x 192
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau x 1. y 2. y cos2x x2 5x 6 Bài 7. 1. Cho đa thức P(x) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1 ,x2 ,x3 . Chứng minh 1 1 1 rằng: 0 . P'(x1) P'(x2 ) P'(x3 ) 2 2.Cho hàm số f : ¡ ¡ thỏa : f(x) f(y) x y . Với x,y ¡ và f(1) 2011. Tính f(2011) ? . PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) là: y – y0 f (x0 ).(x – x0 ) y0 f(x0 ) • Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f(x) và C2 : y g(x) tiếp xúc nhau f(x0 ) g(x0 ) tại điểm có hoành độ x0 là hệ phương trình có nghiệm x0 f'(x0 ) g'(x0 ) Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2 • Nếu (C1) : y px q và C2 : y ax bx c thì 2 (C1) và C2 iếp xúc nhau phương trình ax bx c px q có nghiệm kép. Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; y0 , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A xA ; yA cho trước. - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Phương pháp: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 193
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x0 ; y0 là điểm trên C . Tiếp tuyến với đồ thị C tại M x0 ; y0 có: - Hệ số góc: k f' x0 - Phương trình: y y0 k x x0 , hay y y0 f' x0 x x0 Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0 chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 f x0 ) - Hệ số góc k f' x0 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm. Phương pháp: Bài toán 1 : Hai đường cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc nhau tại M x0 ; y0 .Khi điểm M C  C' và tiếp tuyến tại M của C trùng với tiếp f x0 g x0 tuyến tại M của C' chỉ khi hệ phương trình sau: có nghiệm f' x0 g' x0 x0 . Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: C : y f x tiếp xúc nhau f x ax b 0 có nghiệm kép . d : y ax b k 1 Hàm f x nhận x0 làm nghiệm bội k nếu f x0 f' x0 f x0 0 và k f x0 0 . Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Ví dụ 1. Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành tại 0 , tức là phương trình x 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị C : y x3 của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại x 0 nhưng phương trình x3 0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . 194
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 2. Đồ thị C : y sin x của hàm số tiếp xúc với đường thẳng d : y x tại x 0 nhưng phương trình sin x x 0 thì không thể có nghiệm kép. Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. Bài toán 2 : * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y f x khả vi tại x0 . Trong trường hợp C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f' x0 . * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x tại điểm M x0 ;f x0 có dạng : y f' x0 x x0 f x0 Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M(x0 ;f(x0 )) . Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại M(x0 ; y0 ) là: y f'(x0 )(x x0 ) y0 . Bài toán 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm x x0 . Giải: Tính y0 f(x0 ),y'(x0 ) phương trình tiếp tuyến: y f'(x0 )(x x0 ) y0 Bài toán 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Giải. Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm Giải phương trình f(x) y0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y'(x0 ) và thay vào phương trình (1). Các ví dụ Ví dụ 1 : Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm M 1; 3 ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; 5. Có hệ số góc là 9 ; 6. Song song với đường thẳng (d ): 27x 3y 5 0 ; – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 195
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 7. Vuông góc với đường thẳng (d’ ) : x 9y 2013 0 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x 1. Phương trình tiếp tuyến t tại M 1; 3 có phương trình : y y' 1 x 1 3 Ta có: y' 1 3 , khi đó phương trình t là: y 3x 6 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ;f x0 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0 ; y0 là: y f' x0 x x0 y0 2. Thay x 2 vào đồ thị của (C) ta được y 21 . Tương tự câu 1, phương trình t là: y 24x 27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm x x0 , y0 f x0 , y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f' x0 x x0 y0 3. Thay y 1 vào đồ thị của (C) ta được x2 x 3 0 x 0 hoặc x 3 . Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1 , y 9x 28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Giải phương trình f x y0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f' x0 x x0 y0 4. Trục tung Oy : x 0 y 1.Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1 5. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 2 2 Ta có : y' x0 3x0 6x0 , theo giả thiết y' x0 9 , tức là 3x0 6x0 9 x0 3 hoặc x0 1 . Tương tự câu 1 6. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 5 Theo bài toán: t P d : y 9x y' x 9 . Tương tự câu 1 3 0 7. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 196
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2013 Theo bài toán: t  d' : y x y' x 9 . Tương tự câu 1 9 9 0 Ví dụ 2 . 1. Cho hàm số: y x3 m 1 x2 3m 1 x m 2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1 . 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x3 (2m 1)x2 (m 3)x 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ 7 O đến (d) bằng . 17 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 m 1 x 3m 1 Với x 1 y 1 3m 1 y' 1 m 6 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x 1: y m 6 x 1 3m 1 Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1 nên có: 1 m 6 3m 1 m 2 Vậy, m 2 là giá trị cần tìm. 2. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 2m 1 x m 3. Phương trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x 2) y(2) y 11 – 7m x – 2 7 – 6m 11 – 7m x 8m – 15 (11 7m)x y 8m 15 0 8m 15 7 d(0,(d)) 17(8m 15)2 49[(11 7m)2 1] (11 7m)2 1 17 2153 1313m2 3466m 2153 0 m 1, m 1313 Ví dụ 3 : 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x4 x2 6 , biết tiếp tuyến 1 vuông góc với đường thẳng y x 1. 6 1 2 2. Cho hàm số y x3 x có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại 3 3 1 2 đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng y x . 3 3 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 197
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Gọi t là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số và t vuông góc với đường 1 thẳng y x 1, nên đường thẳng t có hệ số góc bằng 6 . 6 Cách 1: Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến t và đồ thị C của 3 hàm số . Khi đó, ta có phương trình: y' x0 6 4x0 2x0 6 2 2  ¡ x0 1 2x0 2x0 3 0 . Vì 2x0 2x0 3 0, x0 nên phương trình x0 1 y0 y 1 4 M 1; 4 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6 x 1 4 6x 10 . Cách 2: Phương trình t có dạng y 6x m t tiếp xúc C tại điểm M x0 ; y0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 4 2 x x 6 6x m x 1 0 0 0 có nghiệm x 0 3 0 m 10 4x0 2x0 6 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' x2 1 1 2 Gọi M(x ; y ) (C) y x3 x , 0 0 0 3 0 0 3 2 Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0 ) x0 1 1 2 1 Đường thẳng d: y x có hệ số góc k 3 3 2 3 4 2 1 2 x0 2 y0  d k1.k2 1 (x0 1) 1 x0 4 3 3 x0 2 y0 0 4 Vậy, có 2 điểm M 2;0 , 2; là tọa độ cần tìm. 3 Ví dụ 4 3 x 1. Cho hàm số y (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) x 2 cách đều hai điểm A 1; 2 và B 1;0 . 2. Cho hàm số y x3 6x2 9x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A 2;7 và B 2;7 . Lời giải. 1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng 198
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt y f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 5 3 x 5 ( x2 6x 6) = (x x ) 0 x 0 0 2 0 x 2 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) (x0 2) 2 2 5x (x0 2) y x0 6x0 6 0 2 2 2 5 2(x0 2) x0 6x0 6 5 x0 6x0 6 d(A,(d)) d(B,(d)) 4 4 25 (x0 2) 25 (x0 2) x2 14x 19 x2 6x 1 x2 14x 19 x2 6x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 x0 14x0 19 x0 6x0 1 x0 1 2 x0 1. x0 4x0 9 0 Vậy phương trình d : y 5x – 1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB. * Trường hợp 1: (d) //AB. yA yB Hệ số góc của đường thẳng AB: kAB 1 . xA xB 5 (d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x 1 1 (*) . Phương trình 0 2 (x0 2) (*) vô nghiệm do đó trường hợp này không xảy ra. * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phương trình (d) có dạng y = kx – 1. 3 x0 kx0 1 (2) x0 2 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x có nghiệm x . 0 5 0 k (3) 2 (x0 2) 5 3 x 5 Thay k vào (2) ta đươc 0 1 2 x 2 2 (x0 2) 0 (x0 2) x0 2 x 2 0 x 1 2 0 (3 x0 )(x0 2) 5 (x0 2) x0 1 Thay x0 1 vào (2) ta được k 5 . Vậy phương trình d : y 5x – 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 199
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : 2 3 2 2 3 2 y (3x0 12x0 9)(x x0 ) x0 6x0 9x0 1 (3x0 12x0 9)x 2x0 6x0 1 2 3 2 (3x0 12x0 9)x y 2x0 6x0 1 0 (*) d(A,(D)) d(B,(D)) 2 3 2 2 3 2 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2(3x0 12x0 9) 7 2x0 6x0 1 2 2 2 2 (3x0 12x0 9) 1 (3x0 12x0 9) 1 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 2x3 12x2 24x 10 2x3 24x 26 (1) 0 0 0 0 0 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 (2) 2 12x0 48x0 36 0 x0 3  x0 1 3 2 x 1  x 2 4x0 12x0 16 0 0 0 Lần lượt thay x0 3  x0 1 x0 1  x0 2 vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến (D) là y 1 0, y 3 0, y 24x 7, y 3x 7. Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : 1. y x3 3x2 2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn: OB 9OA . 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. 1. Gọi M x0 ; y x0 là toạ độ tiếp điểm. Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A,B . Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox , do đó d có hệ số góc k tan OB Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan 9 OA Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là 9 , nghĩa là ta luôn có: y' x 9 3x2 6x 9 0 0 0 0 x2 2x 3 0 x 1 hoặc x 3 vì y' x 9 2 0 0 0 0 0 3x0 6x0 9 0 2 x0 2x0 3 0,x0 ¡ . Với x0 1 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 7 200
23. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Với x0 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 25 Vậy, có 2 tiếp tuyến y 9x 7 , y 9x 25 thỏa đề bài . 2. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1; 2 , B 3; 2 và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến 3 2 d cần tìm. Khi đó y0 x0 6x0 9x0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M; AB 0 0 5 1 Giả thiết S 6 .AB.d M; AB 6 2x y 4 6 MAB 2 0 0 2x0 y0 10 hoặc 2x0 y0 2 2x0 y0 2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 2 2x0 y 2 0 hay M 0; 2 x x2 6x 11 0 x 0 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x0 y0 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 10 2x0 y 2 0 hay M 4; 2 x 4 x2 6x 11 0 x 4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 x 1 Ví dụ 6 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . x 3 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của (C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải. 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 yM 5 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 201