Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Cực trị của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Cực trị của hàm số (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D  ¡ và x0 D x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b  D a; b chứa điểm x0 sao cho: f . f(x) f(x0 ) x a; b \ x0 Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b  D a; b chứa điểm x0 sao cho: . f(x) f(x0 ) x a; b \ x0 Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D y Điểm cực đại Điểm cực tiểu Điểm cực tiểu x O Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số. Chú ý. 36
2. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) của hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) của hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) chỉ là GTLN (GTNN) của hàm số f trên khoảng (a,b) D và (a;b) chứa x0 . b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D của hàm số f thì hàm số f không có cực trị . 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f' x0 0 . Chú ý : Đạo hàm f' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 . Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm . 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x0 ; b . Khi đó : f' x0 0,x a; x0 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . f' x0 0,x x0 ; b x a x0 b f'(x) 0 f(a) f(b) f(x) f(x0 ) f' x0 0,x a; x0 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . f' x0 0,x x0 ; b x a x0 b f'(x) 0 f(x0 ) f(x) f(a) f(b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f' x0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Nếu f'' x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 . 37
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Nếu f'' x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 . Chú ý : 1. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0 ;f(x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . f '(x0 ) 0 2. Trong trường hợp f '(x0 ) 0 không tồn tại hoặc thì định lý 3 f ''(x0 ) 0 không dùng được. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số. Phương pháp . Tìm tập xác định D của hàm số f. Tính f’(x). Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x0 D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x0) không tồn tại. Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3(tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị của hàm số. Chú ý: Cho hàm số y f(x) xác định trên D. Điểm x x0 D là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn: Tại x x0 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 . Ví dụ 1.1.2 Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 1. y x4 2x2 1 2. y x4 2x2 1 Lời giải. 1. TXĐ:D ¡ Ta có: y' 4x3 4x 4x(x2 1) y' 0 x 0 hoặc x 1. Cách 1 (dùng định lý 2, xét dấu y’) Giới hạn: lim y , lim y x x Bảng biến thiên: x 1 0 1 y' + 0 0 + 0 2 2 y 1 38
4. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số đạt cực đại tại các điểm x 1 với giá trị cực đại của hàm số là y( 1) 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 với giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) 1. Cách 2 (dùng định lý 3 ). y'' 12x2 4 4(3x2 1) y'' 1 8 0 suy ra x 1 là điểm cực đại của hàm số và yCĐ 2 y'' 0 4 0 suy ra x 0 là điểm cực đại của hàm số và yCT 1 2. TXĐ:D ¡ Ta có: y' 4x3 12x 8 4(x 1)2(x 2) y' 0 x 2,x 1 . Giới hạn: lim y , lim y x x Bảng biến thiên: x 2 1 y' + 0 0 25 y Hàm đạt cực đại tại x 2 với giá trị cực đại của hàm số là y( 2) 25 , hàm số không có cực tiểu. y'(1) 0 Nhận xét .Trong bài toán này, vì do đó định lý 3 không khẳng y''(1) 0 định được điểm x 2 có phải là điểm cực trị của hàm số hay không. Ví dụ 2.1.2 Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 3 1. y x3 x2 6x 1 2. y x x2 x 1 2 Lời giải. 1. TXĐ:D ¡ Ta có: y' 3x2 3x 6 3(x2 x 2) y' 0 x 2 , x 1 y'' 6x 3, y''( 2) 9 0 , y''(1) 9 0 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 2 ,yCT y 2 9 ; hàm số đạt cực đại tại 9 x 1, y y 1 . CĐ 2 2. Hàm số xác định x x2 x 1 0 x2 x 1 x x2 x 1 0 x 0 x R x 0    ¡ 2 2 x 0 x 0 x x 0 x x 1 ( x) x 0 x 1 Vậy tập xác định của hàm số : D ¡ 39
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x 1 2 x x x 1 ' 1 2 2 x2 x 1 2x 1 y' 2 x x 1 2 x x2 x 1 2 x x2 x 1 2 x2 x 1. x x2 x 1 1 1 2x 0 x 2 y' 0 2 x x 1 1 2x 2 2 2 4(x x 1) (1 2x) 4 1 Vậy phương trình y' 0 vô nghiệm, lại có y' luôn tồn tại ,suy ra hàm số không có điểm cực trị . Ví dụ 3.1.2 Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 4 x 1 1. y 2. y x 3 4 x x 1 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ 4 x 8 Nếu x [0; ) thì y y' 0 , x [0; ) 4 x (4 x)2 4 x 8 Nếu x ( ;0] thì y y' 0 , x ( ;0] 4 x (4 x)2 1 1 Tại x = 0 thì y'(0 ) , y'(0 ) Vì y'(0 ) y'(0 ) nên y'(0) không tồn tại 2 2 Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0, yCĐ 1 1 x 3 khi x 3 1 x 1 2. y x 3 x 1 1 (x 3) khi x 3 x 1 TXĐ: D ¡ \ 1 1 1 (x 1)2 1 Nếu x 3 thì y x 3 , ta có: y' 1 x 1 (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 1 x 1 1 x 0 Và y' 0 x 3 x 3 x 2 1 3 1 5 Tại x 3 , ta có: y'( 3 ) 1 ,y'( 3 ) 1 ( 3 1)2 4 ( 3 1)2 4 Vì y'( 3 ) y'( 3 ) nên y'( 3) không tồn tại 1 1 Nếu x 3 thì y (x 3) , ta có: y' 1 0 , x 3 x 1 (x 1)2 40
6. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bảng biến thiên: x - -3 -2 -1 0 + y' - + 0 - - 0 + CÑ y 0 4 CT CT 1 Suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x 3 , y và x 0, y 4 ; điểm CT 2 CT cực đại của hàm số là x 2, yCĐ 0. Ví dụ 4.1.2 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số : y 3 2cosx cos2x Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có: y' 2sin x 2cosx 1 và y'' 2cosx 4cos2x sin x 0 x k y' 0 1 2 cosx x k2 2 3 y'' k 2cos k 2cos2 k y'' k 6 0 nếu k chẵn, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2n ,n ¢ và y 2n 0 y'' k 2 0 nếu k lẻ, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2n 1 ,n ¢ và y 2n 1 4 . 2 2 y'' k2 0 suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x k2 và 3 3 2 9 y k2 3 2 Ví dụ 5.1.2 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , biết rằng hàm số f x xác định bởi: 3 1 xsin2 x 1 , x 0 f x x 0 , x 0 Lời giải. 41
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. f x f 0 3 1 xsin2 x 1 f' 0 lim lim x 0 x x 0 x2 xsin2 x f' 0 lim x 0 2 x2 3 1 xsin2 x 3 1 xsin2 x 1 sin x 1 f' 0 lim sin x. . 0 x 0 x 2 3 1 xsin2 x 3 1 xsin2 x 1 Mặt khác x 0 , ta có : sin2 x f x f x 0 f 0 . 2 3 1 xsin2 x 3 1 xsin2 x 1 Vì hàm số f x liên tục trên ¡ nên hàm số f x đạt cực tiểu tại x 0 . 1 x2 sin , x 0 Ví dụ 6.1.2 Cho hàm số f x x . Chứng minh rằng f' x 0 0 , x 0 nhưng hàm số f x không đạt cực trị tại điểm 0 . Lời giải. f x f 0 1 Ta có xsin với mọi x 0 . x x 1 f x f 0 Với mọi x 0 : xsin x và lim x 0 nên lim 0 . Do đó hàm số x x 0 x 0 x f x có đạo hàm tại x 0 và f' 0 0 . 1 1 Lấy một dãy x , khi đó f x sin 2n 0,n ¡ . n n 2 2n 2n Giả sử a; b là một khoảng bất kỳ chứa điểm 0 . Vì lim xn 0 nên với n đủ lớn xn a; b và do f xn 0 f 0 ,n ¡ , theo x 0 định nghĩa cực trị của hàm số , x 0 không phải là một điểm cực trị của f x . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 1. y x3 3x2 3x 5 2. y 0,25.x4 x3 4x 1 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 42
8. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2 x 1 x 2 1. y 2. y x 1 x2 4x 6 Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 1. y x x 3 2. y x 3 3 2x x2 3. y 1 x 1 4. y x2 x 1 x2 x 1 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 1. y x 4 x2 2. y 2x x2 3 2 3 2 x 20 3. y x x 4x 3 4. y 2 x 1 Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 1. y 3 2cosx cos2x 2. y 2sin 2x 3 x x 3. y sin6 cos6 4 4 Vấn đề 2. Định tham số để hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 cho trước. Phương pháp . Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước. Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0 ) 0 , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số . Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không? 1 Ví dụ 1.2.2 Cho hàm số: y x3 mx2 m2 m 1 x 1 . Với giá trị nào của 3 m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2mx m2 m 1 , y'' 2x 2m Điều kiện cần: y' 1 0 m2 3m 2 0 m 1 hoặc m 2 Điều kiện đủ: Với m 1 thì y'' 1 0 hàm số không thể có cực trị. Với m 2 thì y'' 1 2 0 hàm số có cực đại tại x 1 . 43
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vậy, m 2 là giá trị cần tìm. Chú ý: Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f' x0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Nếu f'' x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 . Nếu f'' x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 . f '(x0 ) 0 Trong trường hợp f '(x0 ) 0 không tồn tại hoặc thì định lý 3 f ''(x0 ) 0 không dùng được. Nhận xét: Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại tại y'(1) 0 x 1 thì lời giải chưa chính xác y''(1) 0 Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi y''(x0 ) 0 . Các bạn sẽ thấy điều đó rõ hơn bằng cách giải bài toán sau: 1. Tìm m để hàm số y x4 3mx2 m2 m đạt cực tiểu tại x 0 2. Tìm m đề hàm số y x3 3(m 2)x2 (m 4)x 2m 1 đạt cực đại tại x 1. Nếu ta khẳng định được y''(x0 ) 0 thì ta sử dụng được. Ví dụ 2.2.2 Tìm m để hàm số: y mx3 3mx2 (m 1)x 1 có cực trị. Lời giải. TXĐ: D ¡ 2 Ta có: y' 3mx 6mx m 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x0 là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0. Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó. * Nếu m 0 y' 1 0 x ¡ hàm số không có cự trị * Nếu m 0 . Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm y' 0 có hai nghiệm phân biệt hay 1 ' 12m2 3m 0 m 0 hoặc m . 4 1 Vậy, với m 0 hoặc m là những giá trị cần tìm. 4 44
10. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 3.2.2 Tìm m ¡ để hàm số: y mx4 m 1 x2 1 2m chỉ có một điểm cực trị. Lời giải. TXĐ: D ¡ x 0 3 Ta có y' 4mx 2 m 1 x và y' 0 2 2mx m 1 0 * Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' 0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó .Khi đó phương trình 2mx2 m 1 0 * vô nghiệm hay có nghiệm kép x 0 m 0 m 0 m 0 m 0 m 0  m 1 m 1 ' 2m m 1 0 1 Ví dụ 4.2.2 Tìm m để hàm số: y x3 mx2 5m 4 x 2 có cực đại , cực 3 tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d : 8x 3y 9 0 Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2mx 5m 4 . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y' triệt tiêu và đổi dấu hai lần qua nghiệm x , khi đó phương trình x2 2mx 5m 4 0 có hai nghiệm phân biệt 2 x1 ,x2 m 5m 5 0 m 1 hoặc m 4 . Đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là t : 2 5 4 y m2 5m 4 x m2 m 2 . 3 3 3 2 2 8 m 5m 4 3 3 Theo bài toán d P t khi và chỉ khi: . 5 4 m2 m 2 3 3 3 Vậy: m 0 hoặc m 5 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5.2.2 Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 3m(m 2)x m3 3m2 m . Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi. Lời giải. 45
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. TXĐ: D ¡ Ta có: y' 3x2 6(m 1)x 3m(m 2) 3[x2 2(m 1)x m(m 2)] y' 0 x m hoặc x m 2 Vì phương trình y' 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt do đó hàm số có hai điểm cực trị với mọi m thuộc ¡ . y x3 3mx2 3m2x m3 3(x2 2mx m2 ) m (x m)3 3(x m)2 m Suy ra hai giá trị cực trị là y m m và y m 2 m 4 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm, thì A m; m , B m 2; m 4 , suy ra AB 4 16 2 5 = hằng số. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số: x3 1. y (2m 1)x2 (m 9)x 1 đạt cực tiểu tại x 2 . 3 2. y mx3 2(m 1)x2 (m 2)x m đạt cực tiểu tại x 1 . x2 mx 1 3. y đạt cực tiểu tại x 1. x m x2 (m 1)x 3 2m 4. y đạt cực đại tại x 1. x m Bài 2: Tìm m để hàm số sau có cực trị: 1. y x3 3(m 1)x2 3(2m 4)x m 2 2 2 x (2m 1)x m m 3 x (m 1)x 1 4. y 3. y mx 1 x m Bài 3: x2 m 1 x m 1 1. Gọi (C ) là đồ thị hàm số y , chứng minh rằng với m x 1 mọi m , đồ thị (Cm ) luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . 2. Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x 1 luôn có cực đại và cực tiểu đông thời khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi. Bài 4: Cho hàm số y x4 4mx3 3(m 1)x2 1. Tìm m để: 1. Hàm số có ba cực trị. 2. Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC 46
12. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 5: ax2 bx ab 1. Cho hàm số y ( a,b là hai tham số ,a 0 .Tìm các giá trị của ax b a,b sao cho hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 1 . 2. Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số y ax3 bx2 cx d sao cho các điểm A 0; 2 và B 2; 2 lần lượt là các điểm cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số . Vấn đề 3. Định tham số để hàm số f có cực trị và cực trị thỏa mãn một điều kiện cho trước. Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f. Bước 2. Tính f'(x) . Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và x0 (a; b) .Thế thì điểm x0 là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu khi x đi qua x0 ”. Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có). Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. * Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức y P x , giả sử y ax b P' x h x khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x0 h x0 và y h x gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số, vì P x là hàm đa thức nên P' x0 0 y x0 ax0 b P' x0 h x0 h x0 (đpcm) . u x Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y khi đó nếu x là điểm cực v x 0 u' x0 trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: y x0 . v' x0 u' x Và y là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. v' x u' x v x v' x u x Chứng minh: Ta có y' v2 x 47
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. y' 0 u' x v x v' x u x 0 . Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm u' x0 u x0 số thì x0 là nghiệm của phương trình y x0 . v' x0 v x0 3 2 Ví dụ 1.3.2 Tìm các giá trị của m để hàm số y m 2 x 3x mx 5 có cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương. Lời giải. Hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương khi 2 và chỉ khi phương trình : y' 3 m 2 x 6x m = 0 có 2 nghiệm dương a m 2 0 ' 9 3m m 2 0 3 m 1 m phân biệt, nghĩa là ta luôn có: P 0 m 0 3 m 2 m 2 3 S 0 m 2 3 m 2 Vậy, 3 m 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. Ví dụ 2.3.2 Tìm các giá trị của m để hàm số: 1 m 3 3 y m 1 x3 x2 3 m x m có cực trị và số 2 nằm giữa hai 3 2 2 điểm cực trị của hàm số. Lời giải. Ta có : y' m 1 x2 m 3 x 3 m Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình : 2 m 1 x m 3 x 3 m 0 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . Đặt t x 2 x t 2 . Phương trình 1 trở thành m 1 t2 3m 7 t m 7 0 2 Phương trình 1 có hai nghiệm x1 ,x2 sao cho x1 2 x2 khi và chỉ khi m 7 phương trình 2 có hai nghiệm t ,t thỏa t 0 t 0 1 2 1 2 m 1 1 m 7 . Ví dụ 3.3.2 Tìm các giá trị của m để hàm số: 48
14. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. y x3 3 m 1 x2 3m2 7m 1 x m2 1 có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 2. y mx3 (2m 1)x2 mx 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải. 1. Ta có y' 3x2 6 m 1 x 3m2 7m 1 . Hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 2 2 y' 3x 6 m 1 x 3m 7m 1 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thoả mãn điều kiện : x1 1 x2 1 hoặc x1 x2 1 2 x x 2 m 1 1 2 Theo định lý viet, ta có : 3m2 7m 1 x .x 1 2 3 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 0 x1.x2 x1 x2 1 0 3m2 7m 1 4 2 m 1 1 0 3m2 m 4 0 m 1 a 3 3 ' 0 4 x1 x2 1 2 x1 x2 2 m b 3 x1 1 x2 1 0 Từ a và b suy ra m 1 2. y' 3mx2 2(2m 1)x m Nếu m 0 thì y'= 2x , khi đó hàm số chỉ có một điểm cực trị . Vậy m 0 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Nếu m 0 thì phương trình y' 0 là phương trình bậc hai có a.c 3m. m 3m2 0 nên phương trình y' 0 luôn có hai nghiệm trái dấu ,suy ra hàm số luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu . 2m 1 7m2 4m 1 Khi đó hai nghiệm của phương trình y' 0 là x . 3m Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi m 0 m 0 2 2m 1 7m 4m 1 2 1 2m 1 7m 4m 1 3m 3m 49
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. m 0 m 0 2 2 2 7m 4m 1 1 m 7m 4m 1 1 m 2m (do m 0 1 m 0) m 0 m 0 2 m 1. 6m 6m 0 m 1 m 0 x3 Ví dụ 4.3.2 Cho hàm số y mx2 2(5m 8)x 1. Xác định tham số m để 3 hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ bé hơn 1. Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2mx 2(5m 8) Hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu Phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt ' m2 10m 16 0 m 2 hoặc m 8 1 Với m 2 hoặc m 8 hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ x1 ,x2 đồng thời x1 x2 2m , x1.x2 2(5m 8) . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ x1 ,x2 bé hơn 1 tức phải có: x 1 x x 2 x x 2 1 1 2 1 2 x2 1 (x1 1)(x2 1) 0 x1x2 (x1 x2 ) 1 0 2m 2 m 1 5 m 2 2(5m 8) 2m 1 0 12m 15 0 4 5 Từ 1 và 2 suy ra m 2 hoặc m 8 là giá trị cần tìm. 4 x2 m x 1 Ví dụ 5.3.2 Cho hàm số y có hai cực trị x1;x2 thỏa mãn x 2 1 1 x2 x2 6 . 1 2 x1 x2 Lời giải. TXĐ: D ¡ \ 2 x2 4x m Ta có y' ,x 2 2 x 2 50
16. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Để hàm số đạt cực đại , cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ,x2 thì phương trình g x x2 4x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 khi đó 4 m 0 2 m 4 . g 2 2 4. 2 m 0 x x 12 Theo định lý Vi-ét , ta có : 1 2 . x1.x2 m 1 1 2 x x x2 x2 6 x x 2.x .x 6 1 2 1 2 1 2 1 2 x .x x1 x2 1 2 24 m 2 16 2m m2 8m 12 0 m m 6 m 2 . 0 m 4 0 m 4 0 m 4 x2 m2x 2m2 5m 3 Ví dụ 6.3.2 Tìm tham số m để hàm số: y đạt cực x tiểu tại x 0; 2m , m 0 . Lời giải. x2 2m2 5m 3 g x Ta có : y' ,x 0 , g x x2 2m2 5m 3 x2 x2 Hàm số đạt cực tiểu tại x 0; 2m g x 0 có hai nghiệm phân biệt 1 3 x ,x x x thoả x 0 x 2m m 1 hoặc m 1 2 1 2 1 2 2 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : 2 1. y (x m)(x 3x m 1) có cực đại và cực tiểu thoả xCD.xCT 1 . mx3 2. y mx2 x 1 có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu. 3 3. y x3 6x2 3 m 2 x m 6 đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. Bài 2: Tìm m để hàm số : x3 1. y (m 1)x2 (6 2m)x m đạt cực trị tại hai điểm trái dấu. 3 2. y (m 1)x3 3(m 1)x2 2mx m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng d : x 1 . 51
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. y x3 (2m 1)x2 3mx m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau. 4. y 2x3 mx2 12x 13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. mx2 3mx 2m 1 5. y có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về x 1 hai phía với trục Ox . 6. y x3 3mx 3m 1 (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng có phương trình x y 0 7. y x3 3mx2 3(m2 1)x 6m 2 có hai cực trị trái dấu. x3 8. y (m 1)x2 4mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho trung 3 điểm của đoạn thẳng nối hai điểm này thuộc đường thẳng d : 2x – 3y 0 Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x3 3(m 1)x2 6m(1 2m)x 1. Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y 4x . 2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y x 1. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: 2x2 3x m 1. y có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x m x1 ,x2 thỏa mãn y(x1) y(x2 ) 8 . 2. y x3 3 m 1 x2 3m2 7m 1 x m2 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. mx2 x m 3. y có cực đại và cực tiểu và y y 4 x m CD CT 2x2 3x m 2 4. y có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x 2 x1 ,x2 thỏa mãn y x2 y x1 8 . Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: 1. y x3 – 3x2 6m 3 x – 3m đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ lớn hơn 2 . 52
18. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 2 2. y x 6x 3mx 2 m số có điểm cực đại M( x1; y1) và điểm cực tiểu y1 y2 M2(x2 ; y2 ) thỏa mãn điều kiện 0 (x1 x2 )(x1x2 2) mx2 4x m 3 Bài 6: Cho hàm số: y 1 x 2 1.Với giá trị nào của m thì hàm số 1 có hai cực trị cùng dấu; 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y 3 x 10 cắt đồ thị hàm số 1 tại hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 ; y2 . Trong trường hợp này, tìm một hệ thức giữa y1 và y2 độc lập đối với m . Vấn đề 4. Liên quan tam giác, khoảng cách, điểm đối xứng Ví dụ 1.4.2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 1. y x3 3mx2 3(m2 1)x m3 4 có hai điểm cực trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 ( O là gốc tọa độ ). x2 2mx 2 2. y có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm x 1 đó đến đường thẳng : x y 2 0 bằng nhau. Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ Ta có: y' 3(x m)2 3 và y' 0 (x m)2 1 x m 1,x m 1 Vì phương trình y' 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên hàm số số luôn có hai điểm cực trị với mọi m . Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số A m – 1; 3m 6 , B m 1; 3m 2 . AB (m 1 m 1)2 ( 3m 6 3m 2)2 2 5 Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B là : x x y y x m 1 y 2 3m B A 2x y m 4 0. xA xB yA yB 2 4 m 4 d(O,d) . 5 53
19. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1 m 4 Diện tích tam giác OAB : SOAB AB.d(O,d) . 20 m 4 . 2 2 5 m 4 4 SOAB 4 m 4 4 m 0,m 8 m 4 4 2. TXĐ: D ¡ \ 1 x2 2x 2m 2 Ta có y' ,x 1 2 x 1 3 Với m thì A x ; y 2x 2m ,B x ; y 2x 2m là các điểm cực trị 2 1 1 1 2 2 2 của đồ thị hàm số thì x1 ,x2 là nghiệm của phương trình g x 0,x 1 . Theo định lý Vi ét x1 x2 2, x1.x2 2m . x y 2 x y 2 Theo yêu cầu bài toán d A, d B, 1 1 2 2 2 2 1 x x 3 x x 4m 4 0 m 1 2 1 2 2 x2 2mx m Ví dụ 2.4.2 Cho hàm số: y 1 . Tìm tham số m để đồ thị hàm x m số 1 có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu đồng thời: 1. Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 ; 2. Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O . Lời giải. TXĐ: D ¡ \ m Hàm số có có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi phương trình 1 x2 2mx 2m2 m 0 có hai nghiệm phân biệt khác m tức m hoặc 3 m 0 . 1. Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là : y 2x m , theo bài toán ta có: 1 A m;0 và B 0; 2m . S .OA.OB m 1 . AOB 2 1 2. m hoặc m 0 thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại 3 C x1; y1 và cực tiểu D x2 ; y2 : y 2x m , khi đó C x1; 2x1 m và 54
20. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt uuur uuur D x2 ; 2x2 m . Tam giác OCD vuông tại O khi và chỉ khi OC.OD 0 tức 2 5x1x2 2m x1 x2 m 0 . 2 Áp dụng định lý vi – ét x1 x2 2m; x1x2 2m m , khi đó trở thành 5m m 1 0 m 1 hoặc m 0 . Đối chiếu điều kiện, ta thấy m 1 thỏa. Ví dụ 3.4.2 Với giá trị nào của m ¡ thì đồ thị của hàm số y x4 4mx2 4m có 3 cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểm 31 H 0; làm trực tâm. 4 Lời giải. TXĐ: D ¡ y' 4x x2 2m m 0 y' 0 có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực trị. m 0 y' 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó, nên hàm số có 3 cực trị A 0; 2m , B 2m; 4m2 4m , C 2m; 4m2 4m Vì tam giác ABC cân tại A và B,C đối xứng nhau qua Oy AH  BC uuur uuur H là trực tâm tam giác ABC khi BH.AC 0 . BH  AC uuur uuur 2 31 2 Ta có: BH 2m; 4m 4m , AC 2m; 4m . 4 2 2 31 3 2 31 Khi đó 2m 4m 4m 4m 0 hay 8m 8m m 1 0 , 4 2 phương trình có nghiệm m 2 thỏa m 0 4 2 2 Ví dụ 4.4.2 Giả sử đồ thị y = x - 2(m + 1)x + 3 có 3 cực trị A, B, C . Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1. Lời giải. TXĐ: D ¡ 2 2 Ta có: y'= 4x(x - m - 1). 55
21. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 Dễ thấy, " m Î ¡ thì y'= 0 có 3 nghiệm x = 0 hoặc x = - m + 1 hoặc 2 x = m + 1 nên đồ thị hàm số có 3 cực trị. æ 2ö æ 2ö ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ Giả sử A(0;3), Bç- m + 1;3- m + 1 ÷, Cç m + 1;3- m + 1 ÷ èç ( ) ø÷ èç ( ) ø÷ 4 2 2 2 Ta có: AB= AC = (m + 1) + m + 1 , BC = 2 m + 1 , I là trung điểm 2 2 BC Þ AI= (m + 1) . 1 1 Diện tích tam giác ABC : .BC.AI= (AB+ AC+ BC)r với r là bán kính 2 2 đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 2 (m2 + 1) m2 + 1 r = 1 Û = 1 hay 4 (m2 + 1) + m2 + 1 + m2 + 1 2 3 2 2 2 (m + 1) = 1+ (m + 1) + 1 (*). Đặt t = m + 1 . ì 2 ï t - 1³ 0 2 3 ï Phương trình (*) viết lại: t = 1+ 1+ t Û í 2 Þ t = 2 ï t2 - 1 = 1+ t3 îï ( ) 2 Với t = 2 tức m + 1= 2 Û m = ± 1 . 3 2 Ví dụ 5.4.2 Giả sử đồ thị y = mx - 3mx + (2m + 1)x + 3- m , có đồ thị 1 Cm có 2 cực trị . Tìm m để khoảng cách từ I ;4 đến đường thẳng đi 2 qua 2 cực trị của Cm là lớn nhất. Lời giải. TXĐ: D ¡ 2 Ta có: y' 3mx 6mx 2m 1 56
22. – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Để Cm có 2 cực trị khi và chỉ khi y' 0 có 2 nghiệm phân biệt đồng thời m 0 2 đổi dấu lần qua mỗi nghiệm đó , tức là ta luôn có: 2 3m 3m 0 m 0 hoặc m 1 Với m 0 hoặc m 1 thì Cm luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị 2 thỏa mãn phương trình 3mx 6mx 2m 1 0 . 1 2 1 Và y x 1 3mx 6mx 2m 1 2 2m x 10 m , suy ra 3 3 1 y 2 2m x 10 m do là đường thẳng đi qua 2 cực trị. 3 1 Đặt : y 2 2m x 10 m : 2 2m x 3y 10 m 0 3 2m 1 1 Cách 1: d I; 2 18 6 2 2m 9 1 2 2m 1 2m 1 1 5 Hay d I; 2 , đẳng thức xảy ra khi m . 2 2 3 2 1 1 2m 1 2 2 5 Vậy, với m thì max d I; 2 . 2 1 Cách 2: Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định M ;3 với m ¡ . 2 Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên , khi đó d I; IN IM , do đó khoảng cách từ I đến bằng IM khi và chỉ khi IM  tức kIM.k 1 2 2m 5 .1 1 m . 3 2 Ví dụ 6.4.2 Tìm tham số thực m để hàm số: y 2x3 3 m 1 x2 6mx m3 có cực đại A và cực tiểu B sao cho: 1. Khoảng cách giữa A và B bằng 2 2. Hai điểm A và B tạo với điểm C 4;0 một tam giác vuông tại C. Lời giải. TXĐ: D ¡ 57