Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Đối xứng của hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Đối xứng của hàm số (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ. A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG. 1. Định nghĩa . Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f x trên a; b và f có đạo hàm cấp hai trên a; b . Ta nói : C lồi trên a; b nếu tại mọi điểm của C , tiếp tuyến luôn ở phía trên C . C lõm trên a; b nếu tại mọi điểm của C , tiếp tuyến luôn ở phía dưới C . Điểm I thuộc C ngăn cách giữa phần lồi , phần lõm của C gọi là điểm uốn của C . 2. Định lí . Cho hàm số y f x có đạo hàm câp hai trên a; b và gọi C là đồ thị của hàm số . a) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc a; b thi C là đồ thị lồi trên khoảng đó . b) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc a; b thì C là đồ thị lõm trên khoảng đó. c) Nếu f''(x) đổi dâu khi x đi qua x0 thuộc a; b thì điểm I x0 ;f x0 là điểm uốn của C . II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. y Y Giả sử I x0 ;f x0 là một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Phép tịnh tiến y M uur Y theo vectơ OI biến hệ tọa độ Oxy thành y0 I X hệ tọa độ IXY. X Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng . O x0 x x * (x;y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ Oxy. * (X;Y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ IXY. x X x Ta có công thức chuyển hệ tọa độ : 0 . y Y y0 III. ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ Lập phương trình của ảnh của một đường. 88
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có công thức tọa độ là x h(x') (nghĩa là F biến M(x; y) thành M'(x'; y') khi và chỉ khi x,y,x',y' y g(y') thỏa hệ này). Gọi (C') là ảnh của (C) : y f(x) qua phép biến hình F. Hãy lập phương trình của (C) . 2. Cho phép biến hình F và hai đường (C1),(C2 ) . Dựng các điểm M,N lần lượt thuộc (C1),(C2 ) sao cho N là ảnh của M qua phép biến hình F. Cách giải: 1. Vì (C') là ảnh của (C) : y f(x) qua phép biến hình F. nên với M'(x'; y') tùy ý thuộc (C') tồn tại M(x; y) thuộc (C) sao cho F(M) M' . Do đó, ta có x h(x') y g(y') Vì M(x; y) (C) nên y f(x) . Vì vậy ta được g(y') f(h(x')) . Vậy, phương trình của (C') là g(y) f(h(x)) . / 2. Gọi (C1) là ảnh của (C1) qua phép biến hình F. Ta có / / N F(M) F((C1)) (C1) nên N là giao điểm của (C2 ) và (C1) . Dựa vào tính chất của F ta tìm được M. Chú ý 1: Cho hàm số y f x , có đồ thị C . 1.Nếu f x là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - có nghĩa là , trục Oy là trục đối xứng của nó . 2. Nếu f x là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Cho hai điểm A x1; y1 ,B x2 ; y2 và đường thẳng d : mx ny p 0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : kAB.kd 1 , trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d , trong đó y2 y1 kAB x2 x1 4. Cho điểm I x0 ; y0 , nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ x x X OI thì công thức chuyển trục là : 0 y y0 y Khi đó phương trình của đồ thị C trong hệ mới : Y F X; y0 ; x0 Chú ý 2 : - Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng 89
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau: uur Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy Hệ trục IXY Viết phương trình của C đối với hệ trục IXY , giả sử phương trình đó là Y F X . Chứng minh Y F X là hàm số lẻ. Kết luận I là tâm đối xứng của C . Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi SI là phép đối xứng tâm I. Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi x' 2a x x 2a x' y' 2b y y 2b y' Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI là (C) : 2b y f(2a x) y f(2a x) 2b Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Cách 1. - Giả sử đồ thị C có tâm đối xứng là I x0 ; y0 uur OI x x X - Chuyển : Oxy  IXY 0 y y0 Y - Viết phương trình C trong hệ tọa độ mới : Y F X; y0 ; x0 - Buộc cho là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả . Cách 2. Nếu đồ thị C nhận điểm I làm tâm đối xứng thì : f(x0 x) f(x0 x) 2y0 với mọi x Ví dụ 1.1.4 x 3 Chứng minh rằng đồ thị (C) : y có tâm đối xứng là điểm I( 2;1) . x 2 Lời giải. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm SI thì (C') có phương trình là 90
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt [2 ( 2) x] 3 x 3 2 1 y y . [2 ( 2) x] 2 x 2 Do (C') trùng với (C) nên (C) có tâm đối xứng là I( 2;1) . Chú ý: Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ x X x IXY theo công thức I y Y yI Viết phương trình của (C) trong hệ trục tọa độ IXY rồi chứng minh hàm số thu được là hàm số lẻ. x Ví dụ 2.1.4 Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị y x 1 Lời giải. 1 Hàm số viết lại : y 1 x 1 Giả sử C có tâm đối xứng là I x0 ; y0 uur OI x x X Chuyển : Oxy  IXY 0 y y0 Y Phương trình C trong hệ mới là : 1 1 Y y0 1 Y y0 1 x0 X 1 X x0 1 1 y 0 x 1 Để hàm số là lẻ : 0 0 I 1;1 x0 1 0 y0 1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau 1. y x3 3x2 4 2. y x4 6x2 2 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 2: 1. Chứng minh điểm I 1; 2 là tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số y x3 3x2 4. 3x 1 2. Chứng minh rằng đồ thị C của hàm số y nhận điểm I 1; 3 là x 1 tâm đối xứng . x2 Bài 3: Chứng minh y có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng x 1 91
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vấn đề 2: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng Phương pháp . 1. Nếu f x; m là hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J a; b a x - Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0 m b y0 2. Nếu f x; m là hàm số bậc ba . y''(x; m) 0 x a - Tìm tọa độ điểm uốn : J a; b y f(x; m) y b - Tương tự , để I là tâm đối xứng , ta cho J trùng với I ta suy ra hệ : a x 0 m b y0 Ví dụ 1.2.4 Tìm m để hàm số y x3 3x2 3mx 3m 4 có tâm đối xứng I 1; 2 Lời giải. Ta có : y' 3x2 6x 3m, y'' 6x 6 và y'' 0 6x 6 0 x 1 I 1;6m 2 1 1 Để đồ thị có tâm đối xứng I thì : m 0 6m 2 2 Vậy với m 0 , đồ thị có tâm đối xứng I Ví dụ 2.2.4 2x2 m 4 x 2m 1 Tìm m để hàm số y có tâm đối xứng I 2;1 x 2 Lời giải. Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J 2; m 4 Để đồ thị có tâm đối xứng I thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 2 2 m 3 m 4 1 Vậy với m 3 , đồ thị có tâm đối xứng I CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: 92
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x3 Tìm m để đồ thị hàm số y 3mx2 2 m 0 có tâm đối xứng I 1;0 m 3 2 Bài 2: Cho hàm số y x (3m 1)x 2mx m 1 có đồ thị là (Cm ) . 1. Tìm trên đồ thị (C2 ) những cặp điểm đối xứng qua O 2. Tìm m để trên (Cm ) tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua Oy Vấn đề 3: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Phương pháp . Công thức tọa độ của phép tịnh tiến. r r Trong mặt phẳng Oxy , cho véc tơ v (a; b) . Gọi Tv là phép tịnh tiến theo véc r r tơ v . Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép tịnh tiến Tv khi và chỉ khi x' x a x x' a y' y b y y' b r Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến Tv là (C') : y b f(x a) y f(x a) b . Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Cách 1 - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x0 . Gọi điểm I x0 ;0 uur OI x x X - Chuyển Oxy  IXY 0 y Y - Viết phương trình đường cong C trong tọa độ mới : Y F X; y0 ; x0 - Buộc cho là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng O ) - Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm . Cách 2. Nếu với x x0 là trục đối xứng thì : f( x x0 ) f x0 x đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả . uuuur Ví dụ 1.3.4 Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN (3;0) . Phân tích hướng giải. Giả thiết bài toán cho ta thấy ngay rằng N là ảnh của M qua phép tịnh tiến r r Tv , với v (3;0) . Theo hướng giải của bài toán dựng điểm bằng phép biến hình, ta nghĩ ngay r đến việc tìm ảnh (C') của (C) qua phép tịnh tiến Tv . Khi đó ta "dựng" được N là giao điểm của (C') và (C) . Lời giải. r Gọi (C') Tv (C) thì (C') có phương trình là 93
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. y 0 (x 3)3 3(x 3) 3 y x3 9x2 24x 15 . r r Vì M (C) nên N Tv (M) Tv (C) (C') . Do đó, N là giao điểm của (C) và (C') . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C') là x3 3x 3 x3 9x2 24x 15 . Phương trình này có hai nghiệm là x 1 hoặc x 2 . uuuur * Khi x 1 ta được N(1;1) . Vì MN (3;0) nên M( 2;1) . uuuur * Khi x 2 ta được N(2; 5) . Vì MN (3;0) nên M( 1; 5) . Ví dụ 2.3.4 Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN song song với trục hoành và MN 3 . Phân tích hướng giải. Giả thiết bài toán cho biết phương của đường thẳng (MN) và độ dài của MN uuuur là không đổi. Vì vậy véc tơ MN là được xác định, sai khác nhau về hướng. Lời giải. uuuur r r Vì MN song song với trục hoành nên MN k.i , với i (1;0) là véctơ đơn vị của trục hoành. uuuur r uuuur r Do MN 3 nên k 3 k 3 . Nếu k 3 thì MN 3v NM 3v . Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N nên ta chỉ cần xét trường uuuur r hợp MN 3.i (3;0) . Theo bài toán ta được hai cặp điểm là M( 2;1) và N(1;1) hoặc M( 1; 5) và N(2; 5) . 2x 3 Ví dụ 3.3.4 Tìm điểm M thuộc C : y sao cho khoảng cách từ M đến x 2 d : y x 4 bé nhất. Phân tích hướng giải. Nhưng nếu gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì uuuur r r HM k.n (k; k) , với n (1;1) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) . Với mỗi k cố định ta cần dựng điểm H (d) , điểm M (C) sao cho M là ảnh của r H qua phép tịnh tiến theo véc tơ v(k; k) . Lời giải. uuuur r Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì HM k.n (k; k) , với r n (1;1) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) . 94
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt r r Gọi (d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến Tv với v (k; k) . Ta có phương trình của (d') là: y k (x k) 4 y x 2k 4 r r Vì M Tv (H) Tv (d) (d') và M thuộc (C) nên hoành độ của M là nghiệm 2x 3 của phương trình: x 2k 4 x2 2(k 2)x 4k 5 0 . x 2 Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ' k2 1 0 k 1 . Suy ra khoảng cách từ M đến (d) là HM k 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xM 1 (ứng với k 1 ) hoặc xM 3 (ứng với k 1 ) Vậy, M(1;1) hoặc M(3; 3) là tọa độ cần tìm. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC 4 Bài 1: Tìm m để (C) : y x3 3x 3 và d : y x m cắt nhau tại ba điểm m 3 mà trong đó có hai điểm M,N sao cho MN 5 . Bài 2: Tìm trên (C) : y x3 3x 3 hai điểm M,N sao cho MN song song với trục hoành và MN lớn nhất. Bài 3: Cho hàm số y x4 4x3 7x2 6x 4, có đồ thị C . Chứng minh rằng đường thẳng x 1 là trục đối xứng của đồ thị C . ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? ) Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x4 4x3 mx2 , có đồ thị là Cm , có trục đối xứng song song với trục Oy . Vấn đề 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một đường thẳng. Phương trình của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi SI là phép đối xứng tâm I. Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi: x' 2a x x 2a x' y' 2b y y 2b y' r Đường (C) : y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến theo véc tơ v là (C') : 2b y f(2a x) y 2b f(2a x) . Phương trình của phép đối xứng qua đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( ) : Ax By C 0, A2 B2 0. Gọi S là phép đối xứng qua đường thẳng ( ) . 95
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua S khi và chỉ khi (Ax By C) (Ax' By' C) x' x 2A x x' 2A A2 B2 A2 B2 (Ax By C) (Ax' By' C) y' y 2B y y' 2B A2 B2 A2 B2 Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một đường thẳng. Cho đường cong C có phương trình y f x và một điểm M x0 ; y0 (cho sẵn) 1.Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua điểm M . 2. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với đường cong C qua đừng thẳng d : y kx m . Cách giải: 1. Gọi N x; y thuộc C : y f x là một điểm bất kỳ . - Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì : x' 2x0 x 1 N' x'; y' C' y' 2y0 y 2 x 2x x' - Từ 1 và 2 ta có : 0 , Thay x,y tìm được vào : y f x ,ta suy y 2y0 y' ra y' g x'; x0 ; y0 . Đó chính là phương trình của đường cong C' . 2. Gọi A x; y C y f(x); B x'; y' C' - Nếu C và C' đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d : y' y k 1 1 k .k 1 x' x AB d I d y' y x x' k b 2 2 2 Ở 1 và 2 thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong 1 và 2 để được một phương trình có dạng y' g x' . Đó chính là phương trình của C' cần tìm . Chú ý: Xét phép biến hình g : M x,y M’ x’; y’ . 96
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Để tìm phương trình C' ,ảnh của C qua phép biến hình g , ta tính x và y theo x’ và y’ sau đó thay x, y vào phương trình của C sẽ suy ra được phương trình của C' . Đặc biệt. Cho C : y = f(x) * Nếu C' đối xứng với C qua gốc tọa độ O thì phương trình C' là y = - f( - x). * Nếu C' đối xứng với C qua trục hoành độ thì phương trình C' là y = - f(x). * Nếu C' đối xứng với C qua trục tung độ thì phương trình C' là y = f( - x). * Nếu C' đối xứng với C qua đường thẳng y = x thì phương trình C' : x = f(y). 3x 1 Ví dụ 1.4.4 Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y x 3 qua đường thẳng d : x y 3 0. Lời giải. Gọi A x; y thuộc C và B x'; y' thuộc C' x x' x I 2 y y' Gọi I là trung điểm của AB nên có: và k , k 1 y y' AB x x' d y I 2 Nếu C' đối xứng với C qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d y y' . 1 1 kAB.kd 1 x x' y y' x x' y x y' x' ; I d x x' y y' x y x' y' 6 y x y' x' 6 3 0 2 2 y x' 3 10 10 x' 3 3 y' x y' 3 y' 3 3 x' 10 Vậy, phương trình hàm số C' đối xứng với C là y x Ví dụ 2.4.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 4) và cắt (C) : y x3 3x 2 tại ba điểm mà có hai trong ba điểm đó đối xứng nhau qua A . 97
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. Giả sử đường thẳng ( ) đi qua A và cắt (C) tại ba điểm mà trong đó có hai điểm M(x1; y1) , N(x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua A . Ta có M,N thuộc (C) và M,N đối xứng nhau qua A nên chúng là giao điểm của (C) và ảnh (C') của (C) qua phép đối xứng SA . Phương trình của (C') là 2 4 y (2 1 x)3 3(2 1 x) 2 y x3 6x2 9x 4 . Vì M,N là giao điểm của (C) và (C') nên x1 ,x2 là nghiệm của phương trình x3 3x 2 x3 6x2 9x 4 3x2 6x 1 0 . Thực hiện phép chia (x3 3x 2) cho (3x2 6x 1) ta được 3 2 1 2 4 8 x 3x 2 (3x 6x 1) x x . 3 3 3 3 2 Vì M,N thuộc (C) và x1 ,x2 là nghiệm của phương trình 3x 6x 1 0 nên 1 2 4 8 2 4 8 y1 (3x1 6x1 1) x1 x1 y x 3 3 3 3 1 3 1 3 4 8 2 1 2 4 8 y2 (3x2 6x2 1) x2 x2 y2 x2 . 3 3 3 3 3 3 4 8 Suy ra phương trình của đường thẳng ( )  (MN) là y x . 3 3 Kiểm tra lại, 4 8 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ( ) là x3 3x 2 x . 3 3 3 2 3 Phương trình này có ba nghiệm là x 2,x . 3 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: x2 x 3 1. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y qua x 2 điểm I 1;1 . x4 5 2. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y 3x2 qua 2 2 điểm I 0; 2 . Bài 2: 98
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2 x 3 1. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y qua x 2 đường thẳng d : x 2y 1 0 x2 x 2 2. Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y qua x 2 đường thẳng d : y 2 3. phương trình đường cong C' đối xứng với C : y 2x(4 x) qua Ox . Chứng minh rằng C cắt C' theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ? Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 3x 1 . Viết phương trình của (C’) với ur 1. (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ u (1; 2) . 2. (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(-1;1). 3. (C’) là ảnh của qua phép đối xứng trục (d) với (d) là đường thẳng phương trình x = 2. Vấn đề 5 Chứng minh Bất đẳng thức 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f(x) liên tục [a; b] và có đồ thị là (C). Khi đó ta có hai điểm A(a;f(a)), B(b;f(b)) nằm trên đồ thị (C). i) Đồ thị (C) gọi là lồi trên (a; b) nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía trên đồ thị (C). ii) Đồ thị (C) gọi là lõm trên (a; b) nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía dưới đồ thị (C). _y _y _a _b _x x_ _1 a b_ Đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm lõm 99
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Dấu hiệu đồ thị lồi Định lí 1: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên a; b * Nếu f''(x) 0 x a; b thì đồ thị hàm số lõm trên (a; b) * Nếu f''(x) 0 x a; b thì đồ thị hàm số lồi trên a; b 3. Ứng dụng Từ hình ảnh trực quan của định nghĩa cho ta một phương pháp giải các bài toán BĐT và cực trị sau : Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số y f(x) liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b] . i) Nếu f''(x) 0 x [a; b] thì f(x) f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) x0 [a; b] ii) Nếu f''(x) 0 x [a; b] thì f(x) f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) x0 [a; b] Đẳng thức trong hai Bất đẳng thức trên xảy ra x x0 . Ta có thể chứng minh định lí trên như sau i) Xét hàm số g(x) f(x) f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) , x [a; b] Ta có : g'(x) f'(x) f'(x0 ) g''(x) f''(x) 0 x [a; b] g'(x) 0 x x0 và g'(x) đổi dấu từ sang khi x qua x0 nên ta có : g(x) g(x0 ) 0 x [a; b]. ii) Chứng minh tương tự. Định lí 3: (Bất đẳng thức cát tuyến) Cho hàm số y f(x) liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b] . f(a) f(b) i) Nếu f''(x) 0 x [a; b] thì f(x) (x a) f(a) x [a; b] a b 0 f(a) f(b) ii) Nếu f''(x) 0 x [a; b] thì f(x) (x a) f(a) x [a; b]. a b 0 Đẳng thức trong các BĐT trên có khi và chỉ khi x a hoặc x b . Ví dụ 1.5.4 Cho các số thực dương a,b,c thỏa a b c 1 . Chứng minh rằng a b c 3 . a2 1 b2 1 c2 1 10 Lời giải. x Xét hàm số f(x) với x (0;1) . x2 1 1 3x Ta có: f'(x) f''(x) 0 x (0;1) (x2 1)3 (x2 1)5 1 1 1 Nên ta có: f(a) f' a f 3 3 3 100
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 1 1 f(b) f' b f 3 3 3 1 1 1 f(c) f' c f 3 3 3 1 1 3 Suy ra : f(a) f(b) f(c) f' a b c 1 3f 3 3 10 1 Đẳng thức xảy ra a b c . 3 Ví dụ 2.5.4 Cho các số thực dương a,b,c thỏa : a2 b2 c2 3 . Chứng minh 1 1 1 1. 1 8a 1 8b 1 8b Lời giải. 1 Xét hàm số : f(x) , 0 a 3 . Ta có : 1 8a 4 48 1 f'(x) f "(x) 0 x ( ; 3] (1 8x)3 (1 8x)5 8 Nên ta có : f(a) f'(1)(a 1) f(1) f(b) f'(1)(b 1) f(1) f(c) f'(1)(c 1) f(1) f(a) f(b) f(c) f'(1)(a b c 3) 3f(1) (*) Mặt khác : (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) 9 4 3 a b c 3 a b c 3 0 và f'(1) 0 nên từ (*) 27 Ta suy ra : f(a) f(b) f(c) 3f(1) 1 . Nhận xét : Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là BĐT cần chứng minh có dạng f(a1) f(a2 ) f(an ) k hoặc f(a1) f(a2 ) f(an ) k , trong đó ai (i 1, ,n) là các số thực cho trước. Trong một số trường hợp BĐT chưa có dạng trên, ta phải thực hiện một số phép biến đổi mới đưa về dạng trên.Chúng ta cần chú ý một số dấu hiệu sau. Nếu BĐT có dạng f(a1).f(a2 ) f(an ) k thì ta lấy loganepe hai vế Nếu BĐT cần chứng minh đồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa. Tùy thuộc vào từng bài toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp. 101
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 3.5.4 Cho các số thực dương a,b,c thỏa : a b c 3 . Tìm GTLN của b c a 2 2 2 biểu thức : P a 1 a b 1 b c 1 c . Lời giải. 2 2 2 Ta có : lnP bln(a 1 a ) cln b 1 b a ln c 1 c 2 Xét hàm số : f(x) ln x 1 x , 0 x 1 . Ta có : 1 x f'(x) f''(x) 0 x (0;1) x2 1 (1 x2 )3 Suy ra : f(a) f'(1) a 1 f(1) f'(1)a f(1) f'(1) bf(a) f'(1)ab f(1) f'(1) b cf(b) f'(1)cb f(1) f'(1) c af(c) f'(1)ac f(1) f'(1) a . lnP f'(1) ab bc ca (a b c) f(1)(a b c) 3ln(1 2) (Do ab bc ca 3 a b c ) Nên lnP 3ln(1 2) P (1 2)3 . Đẳng thức xảy ra a b c 1 . Vậy GTLN của P (1 2)3 . Ví dụ 4.5.4 Cho x,y 0 thỏa x y z 1 . Tìm GTNN của biểu thức : P x y y z z x . Lời giải. 3 Áp dụng BĐT Cô si, ta có : P 3 xy .yz.zx Đặt A xy .yz.zx ln A yln x zln y xln z . Vì hàm số f(t) ln t có 1 f''(t) 0 t2 1 1 1 ln x f' x f( ) 3x 1 ln 3 3 3 3 ln A y(3x 1 ln 3) z(3y 1 ln 3) x(3z 1 ln 3) 3(xy yz zx) 1 3ln 3 (x y z)2 1 3ln 3 3ln 3 1 1 A P 33 3 . Đẳng thức xảy ra x y z . 3 3 Vậy GTNN của P 33 3 . 102
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 5.5.4 1 Cho a,b,c thỏa a b c 2 . Tìm GTNN của biểu thức : P aa bb cc . 2 Lời giải. 1 Xét hàm số f(t) tt , t 1. Ta có : lnf(t) t ln t lấy đạo hàm hai vế ta được 2 f'(t) (1 ln t)f(t) lnf'(t) lnf(t) ln ln t 1 f''(t) f'(t) 1 1 1 ln t f'(t) f(t) t(ln t 1) t(ln t 1) 1 1 f''(t) (1 ln t)f(t) 1 ln t 0 t [ ;1] t(1 ln t) 2 1 Vì a,b,c ;1 nên áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có : 2 2 2 2 f(a) f' a f 3 3 3 2 2 2 f(b) f' b f 3 3 3 2 2 2 f(c) f' c f 3 3 3 2 2 4 Cộng ba BĐT trên ta có : f(a) f(b) f(c) f' a b c 2 3f 33 . 3 3 9 4 2 Vậy GTNN của P 33 đạt được a b c . 9 3 Ví dụ 6.5.4 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng : 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 (a b c ) a b c a b c . 3 3 a b c (Trích đề thi Albania 2002) Lời giải. Vì BĐT đã cho thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bđt đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 1, khi đó bđt cần chứng minh trở thành: f(a) f(b) f(c) 1trong đó: 1 3 1 f(x) . x với 0 x 1 . Dễ thấy hàm số f có f''(x) 0 x (0;1) 3 3 x Nên theo BĐT tiếp tuyến ta có : 103
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1 f(a) f(b) f(c) f' (a b c 3) 3f . 3 3 1 f' 0 1 Do 3 f(a) f(b) f(c) 3f 1. 2 2 2 3 a b c 3(a b c ) 3 Ví dụ 7.5.4: Cho n số thực x ,x , ,x thuộc khoảng (0; ) thỏa : 1 2 n 2 1 tan x1 tan x2 tan xn n .Chứng minh : sin x1.sin x2 sin xn . 2n Lời giải. n Đặt ai tan xi (i 1,2, ,n) ai 0 i 1,2, ,n và ai n i 1 n a 1 Ta cần chứng minh :  i (1). 2 n i 1 1 ai 2 x 1 Xét hàm số f(x) , x 0 có f'(x) f''(x) 0 x 0 . 1 x2 (1 x2 )3 1 1 1 f(x) f'(1)(x 1) f(1) (x 1) (x 1) . 23 2 2 2 n n n n n (ai 1) n ai 1 1 i 1 2 1  f(ai ) (ai 1) 2 n n n n n i 1 1 a i 1 8 i 1 8 8 2 i Đẳng thức xảy ra a1 a2 an 1 tan x1 tan x2 tan xn 1 x x x . 1 2 n 4 Nhận xét : Qua các ví dụ trên, ta có được kết quả tổng quát sau Định lí 4 : Cho hàm số y f(x) có đạo hàm cấp hai trên a; b và n số n a1 ,a2 , ,an nằm trong đoạn a; b thỏa mãn : ai k, na k nb . i 1 n k Nếu f''(x) 0 x a; b thì ta có : f(ai ) nf( ) i 1 n 104
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt n 1 k Nếu f''(x) 0 x a; b thì ta có : f(ai ) f( ) . i 1 n n 2 Ví dụ 8.5.4:. Cho tam giác ABC có một góc không nhỏ hơn . Chứng minh 3 A B C rằng : tan tan tan 4 3 . 2 2 2 Lời giải. 2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử A B C C . 3 6 Hàm số f(x) tan x , x 0; có f''(x) 0 x 0; . Áp dụng BĐT tiếp 3 3 tuyến, ta có A A f( ) f'( )( ) f( ) 2 3 2 3 3 B B f( ) f'( )( ) f( ) 2 12 2 12 12 C C f( ) f'( )( ) f( ) . 2 12 2 12 12 A B C A 2 A B C f f f f'( ) f'( ) f'( ) 2 2 2 3 12 2 3 12 2 2 f 2f 3 12 A A B C Do f' f' 0; 0 và nên ta có : 3 12 2 3 2 2 A B C f f f f 2f 4 3 đpcm. 2 2 2 3 12 2 Đẳng thức xảy ra A ; B C và các hoán vị. 3 6 3 Ví dụ 9.5.4:. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa max{a,b,c} và 4 a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức : P 3 1 3a2 3 1 3b2 3 1 3c2 . Lời giải. 3 1 Không mất tính tổng quát, ta giả sử a max{a,b,c} a ,c . 4 8 2x Xét hàm số f(x) 3 1 3x2 , x 0;1 có f'(x) 3 (1 3x2 )2 105
19. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2x2 f''(x) 0 x (0;1) . Áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có : 3 (1 3x2 )5 3 3 3 1 1 1 1 1 1 f(a) f'( )(a ) f( ) ; f(b) f'( )(b ) f( ) ; f(c) f'( )(c ) f( ) 4 4 4 8 8 8 8 8 8 3 1 3 3 1 3 1 3 172 23 67 f(a) f(b) f(c) f'( ) f'( ) (a ) f( ) 2f( ) f( ) 2f( ) 4 8 4 4 8 4 8 4 3 1 Đẳng thức xảy ra a ; b c và các hoán vị. 4 8 3 172 23 67 Vậy minP . 4 Nhận xét : Trong một số trường hợp đồ thị hàm số y f(x) có khoảng lồi, lõm trên a; b nhưng ta vẫn có được đánh giá : f(x) f'(x0 )(x x0 ) f(x0 ) ,x0 (a; b) . Chẳng hạn các bạn xem đồ thị minh họa dưới đây. _y a _x x0 b O_ Ví dụ 10.5.4:: Cho a,b,c ¡ và a b c 6 . Chứng minh rằng : a4 b4 c4 2(a3 b3 c3 ) . Lời giải: BĐT đã cho (a4 2a3 ) (b4 2b3 ) (c4 2c3 ) 0 f(a) f(b) f(c) 0 Trong đó f(x) x4 2x3 . Ta thấy f''(x) 12x2 12x nên đồ thị hàm số f có khoảng lồi và khoảng lõm do đó ta không thể áp dụng BĐT tiếp tuyến được. 106
20. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tuy nhiên ta vẫn có thể đánh giá được f(x) qua tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ x 2 (vì đẳng thức xảy ra khi a b c 2 ) Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại y f(x) điểm có hoành độ x 2 là: y 8x 16 . f(x) (8x 16) x4 2x3 8x 16 (x 2)2(x2 2x 4) 0 x ¡ . f(a) f(b) f(c) 8(a b c) 48 0 (đpcm). Chú ý. Vì y 8x 16 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) x4 2x3 tại điểm có k hoành độ x 2 nên ta có sự phân tích: f x 8x 16 x 2 g x với k 2 và g(2) 0 . 3 Ví dụ 11.5.4:: Cho a,b,c và a b c 1 . Chứng minh rằng: 4 a b c 9 . ( Vô địch Toán Ba Lan 1996) a2 1 b2 1 c2 1 10 Lời giải. 1 Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c và Bđt đã cho có dạng: 3 9 x 3 5 f(a) f(b) f(c) trong đó f(x) với x [ ; ] . 10 x2 1 4 2 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại điểm có hoành độ x là : 3 36x 3 y . 50 36x 3 36x 3 x (3x 1)2(4x 3) 3 5 Ta có: f(x) 0 x [ ; ] 50 50 x2 1 50(x2 1) 4 2 a b c 36(a b c) 9 9 Vậy : đpcm. a2 1 b2 1 c2 1 50 10 Ví dụ 12.5.4:: Cho các số thực a,b,c 0 thoả mãn a b c 1 . Chứng minh : a b c 9 . 1 bc 1 ac 1 ab 10 Lời giải. Ta có : b c 1 a a c 1 b b a 1 c bc ( )2 ( )2; ca ( )2 ( )2 ; ab ( )2 ( )2 nên 2 2 2 2 2 2 107
21. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. a b c 4a 4b 4c f(a) f(b) f(c) . 1 bc 1 ac 1 ab a2 2a 5 b2 2b 5 c2 2c 5 1 (Nhận xét : Đẳng thức xảy ra khi a b c và tiếp tuyến của đồ thị hàm 3 4x 1 99x 3 số f(x) tại điểm có hoành độ x là : y ) x2 2x 5 3 100 4x 99x 3 (3x 1)2(15 11x) Mặt khác: 0 x (0;1) x2 2x 5 100 100(x2 2x 5) 4a 4b 4c 99(a b c) 9 9 đpcm. a2 2a 5 b2 2b 5 c2 2c 5 100 10 Ví dụ 13.5.4:. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 1 1 1 4 . a b c a b c a b b c c a Lời giải. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử a b c 1 , khi đó Bđt đã 5a 1 5a 1 5c 1 cho trở thành 9 . a a2 b b2 c c2 1 Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và a b c 1 suy ra a,b,c (0; ) . 2 5a 1 (3a 1)2(2a 1) 1 Ta có : (18a 3) 0 a (0; ) a a2 a a2 2 5a 1 1 18a 3 a (0; ) . a a2 2 Ta cũng có hai Bđt tương tự. Cộng các Bđt này lại với nhau ta có: 5a 1 5a 1 5c 1 18(a b c) 9 9 (đpcm). a a2 b b2 c c2 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 Ví dụ 14.5.4:. Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng : (b c a)2 (c a b)2 (a b c)2 3 . (b c)2 a2 (c a)2 b2 (a b)2 c2 5 (Olympic Toán Nhật Bản 1997) 108
22. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lời giải . Vì Bđt cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bđt đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 1 . Khi đó Bđt đã cho trở thành: (1 2a)2 (1 2b)2 (1 2c)2 3 (1 a)2 a2 (1 b)2 b2 (1 c)2 c2 5 4a2 4a 1 4b2 4b 1 4c2 4c 1 3 2a2 2a 1 2b2 2b 1 2c2 2c 1 5 1 1 1 27 2a2 2a 1 2b2 2b 1 2c2 2c 1 5 27 f(a) f(b) f(c) . 5 1 Trong đó f(x) với x (0;1) . 2x2 2x 1 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại điểm có hoành độ x là : 3 54x 27 y 25 54x 27 2(54x3 27x2 1) 2(3x 1)2(6x 1) Ta có: f(x) 0 x (0;1) 25 25(2x2 2x 1) 25(2x2 2x 1) 54(a b c) 81 27 f(a) f(b) f(c) đpcm. 25 5 Trong các ví dụ trên ta chỉ xét các BĐT đối xứng ba biến và đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau. Phần tiếp theo ta sẽ đi xét một số BĐT không đối xứng hoặc BĐT đối xứng nhưng đẳng thức xảy ra khi có ít nhất hai biến không bằng nhau. Ví dụ 15.5.4:: Cho a,b,c 0 và a b c 1 . Chứng minh rằng: 10(a3 b3 c3 ) 9(a5 b5 c5 ) 1 (Trung Quốc 2005). Lời giải: Giả sử a b c . Xét hàm số f(x) 10x3 9x4 , x (0;1) có f'(x) 30x2 45x4 f''(x) 60x 180x3 1 f''(x) 0 x x đồng thời f''(x) 0 x (0; x ) và 0 3 0 f''(x) 0 x (x0 ;1) . Nếu a x0 . Áp dụng BĐT tiếp tuyến ,ta có: 109