Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Có hướng dẫn)
Bạn đang xem tài liệu "Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Có hướng dẫn)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
phuong_phap_giai_cac_chuyen_de_giai_tich_lop_12_chu_de_gia_t.doc
Huong dan giai 03.doc
Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Có hướng dẫn)
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D i) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên D nếu f(x) M x D , ta kí hiệu M maxf(x) . x0 D : f(x0 ) M x D ii) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên D nếu f(x) M x D , ta kí hiệu m minf(x) . x0 D : f(x0 ) m x D 2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x trên D ta tính y' , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: * Nếu hàm số y f x luôn tăng hoặc luôn giảm trên a; b thì maxf(x) max{f(a),f(b)}; minf(x) min{f(a),f(b)} . [a;b] [a;b] * Nếu hàm số y f x liên tục trên a; b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau B1: Tính y' và tìm các điểm x1 , x2 , ,xn mà tại đó y' triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm. B2: Tính các giá trị f(x1),f(x2 ), ,f(xn ),f(a),f(b) .Khi đó max f(x) max{f(x1), ,f(xn ),f(a),f(b)} x [a;b] min f(x) min{f(x1), ,f(xn ),f(a),f(b)} . x [a;b] * Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T. * Cho hàm số y f x xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t u(x) , ta tìm được t E với x D , ta có y g t thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E . 70
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp . Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. x D ,f(x) M M maxf(x) x D x1 D ,f(x1) M x D ,f(x) m m minf(x) . x D x2 D ,f(x2 ) m Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )thì giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm max f(x) , min f(x) ,ta có thể tiến hành một cách đơn giản hơn như sau: x [a,b] x [a,b] • Tính f’(x) và tìm các nghiệm x1 , x2 , ., xn thuộc (a;b) của phương trình f’(x) = 0. • Tính f(x1),f(x2 ), ,f(xn ),f(a),f(b) . • Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a,b]. Ví dụ 1.1.3 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1 1 1. y x3 x2 6x 3 , x [0; 4] 3 2 3 6 2 2. y x 4 1 x trên đoạn 1;1 x 1 9x2 3. y trên khoảng 0; 8x2 1 Lời giải. 1. D ¡ [0; 4] 71
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. y' 0 x 2,x 3 y' x2 x 6 x 3 x (0; 4) x (0; 4) 23 21 * y(0) 3 , y(4) , y(3) 3 2 * y liên tục trên [0; 4] và có đạo hàm trên (0; 4) . 21 Suy ra max y 3 khi x 0 , min y khi x 3 x [0;4] x [0;4] 2 2. D ¡ 1;1 2 Đặt t x ,x 1;1 t 0;1 3 3 Hàm số đã cho viết lại f t t 4 1 t ,t 0;1 2 Ta có f' t 3t2 12 1 t 3 3t2 8t 4 2 2 4 t ,f f' t 0 3 3 9 và f 0 4,f 1 1 t 2 4 2 Vậy, max y 4 khi x 0, min y khi x 1;1 1;1 9 3 3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng 0; x 9x2 1 9x2 1 x2 1 y 2 2 2 2 8x 1 8x 1 9x 1 x 9x 1 x Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0; khi hàm số f x 9x2 1 x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; . Ta có: 9x f' x 1 với mọi x 0; . 9x2 1 Ta tìm nghiệm của phương trình f' x trên khoảng 0; . x 0 x 0 1 f' x 0,x 0; x 2 2 9x 1 9x 72x 1 6 2 2 2 1 1 3 2 1 minf x khi x maxy khi x . x 0 3 6 2 x 0 2 2 4 6 2 3 Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi x 0 . 72
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 2.1.3 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 2 2 1. y (x 3) x 2x 3 2. y 45 20x 2x 3 Lời giải. 1. Hàm số xác định x2 2x 3 0 3 x 1 Vậy, hàm số xác định trên D [ 3;1] x 1 x2 2x 3 (x2 4x 3) y' x2 2x 3 (x 3) x2 2x 3 x2 2x 3 2x2 6x x ( 3;1) x ( 3;1) y' y' 0 x 0 2 2 x 2x 3 2x 6x 0 x 0,x 3 * y 3 0 , y 1 0 , y 0 3 3 . * f liên tục trên [ 3;1] và có đạo hàm trên ( 3;1) Suy ra max y 3 3 khi x 0 min y 0 khi x 3 hoặc x 1 x D x D 2. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: BCS 45 20x2 5(9 4x2 ) (22 12 )[32 (2x)2 ] 2.3 1.2x 6 2x Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: BCS 45 20x2 5(9 4x2 ) (22 12 )[32 (2x)2 ] 2.3 1.2x 6 2x Suy ra y 6 2x 2x 3 Áp dụng bất đẳng thức a b a b ,ta có 6 2x 2x 3 6 2x 3 2x 6 2x 3 2x 9 suy ra y 9 (6 2x)(3 2x) 0 3 y 9 2x 3 x 4 1 2 3 Vậy miny 9 khi x 4 x 0, y 1 Ví dụ 3.1.3 Cho hai số thực x, y thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất, x y 3 giá trị lớn nhất của biểu thức: P x3 2y2 3x2 4xy 5x . Lời giải. Ta có y 3 x 1 x 2 x 0; 2 Khi đó: P x3 2(3 x)2 3x2 4x(3 x) 5x x3 x2 5x 18 73
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 2 Xét hàm số f(x) x x 5x 18 trên 0; 2 ta có: f'(x) 3x2 2x 5 f'(x) 0 x 1 Hơn nữa: f 0 18, f 1 15, f 2 20 Vậy, maxP max f(x) f(2) 20 khi x 2 , x [0;2] minP min f(x) f(1) 15 khi x 1. x [0;2] Ví dụ 4.1.3 Cho hai số thực a,b 0 . Chứng minh : a4 b4 a3b b3a (1) Lời giải. * Nếu một trong hai số a,b bằng 0 thì (1) luôn đúng. * Với a 0 , đặt b ta . Khi đó (1) trở thành a4(1 t4 ) a4(t t3 ) t4 t3 t 1 0 . Xét hàm số f(t) t4 t3 t 1, có : f'(t) 4t3 3t2 1 (t 1)(4t2 t 1) f'(t) 0 t 1 Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra f(t) f(0) 0 đpcm. Ví dụ 5.1.3 Cho các số thực dương x,y . 4xy2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . 3 2 2 x x 4y Lời giải. 4t Đặt x ty ta có P . 3 2 t t 4 4t Xét f t , t 0 3 2 t t 4 2 4 t 4 3t 1 Ta có: f' t và f' t 0 t2 4 3t t . 3 2 2 2 t 4 t t 4 1 1 Lập bảng biến thiên ta được max f t f . (0; ) 2 8 74
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 a Ví dụ 6.1.3 Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: a và 1 2 b 2a3 1 sao cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b a b Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra a 0 và b(a b) 0 . a2 2a3 1 Ta có : 0 b(a b) và 2a3 1 0 nên P f(a) . 4 a2 1 2a3 2 Xét hàm số f(a), a có f'(a) f(a) 0 a 1 2 a3 Bảng biến thiên : a 1 0 1 2 f' a 0 f a 3 3 1 1 Từ bảng biến thiên f(a) 3 a P 2 2 1 a a 1 2 Đẳng thức xảy ra hoặc 1 . 1 b b 2 4 1 1 1 Vậy minP 3 khi a; b ; , 1; 2 4 2 Ví dụ 7.1.3 x 1 2 3 x 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau y trên 1; 3 . 2 x 1 3 x 1 Lời giải. 2 2 4t Vì x 1 3 x 4 tồn tại số thực t 0;1 sao cho x 1 , 1 t2 2(1 t2 ) 3 x . 1 t2 75
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2t2 4t 6 2t2 4t 6 Khi đó: y f(t) , xét f(t) với t 0;1 t2 8t 3 t2 8t 3 12t2 36 Ta có: f'(t) 0 t 0;1 nên f(t) nghịch biến trên đoạn 0;1 (t2 8t 3)2 4 Hơn nữa: f(0) 2 , f(1) 5 4 Vậy min y min f(t) f(0) 2 khi x 0 , max y max f(t) f(1) khi x 1. t 0;1 t 0;1 5 Ví dụ 8.1.3 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa : 21ab 2bc 8ca 12 . Tìm 1 2 3 GTNN của biểu thức: P a b c Lời giải. 1 2 3 Đặt: x ,y ,z x,y,z 0 . a b c 2 2 3 1 2 3 Khi đó: 21ab 2bc 8ca 12 4. 7. 2. . . 2x 4y 7z 2xyz a b c a b c Và P x y z . 2x 4y Từ: 2x 4y 7z 2xyz z 2xy 7 2x 4y z 2xy 7 2 14 2x 2xy 7 2x 4y 2xy 7 7 x y z x y x x x 2xy 7 2x 2x 2xy 7 2 14 14 2x 2xy 7 2x 2xy 7 7 11 2xy 7 x x x x x 2x 2x 2xy 7 2x 2x 2xy 7 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 14 14 2x 2x 2xy 7 2xy 7 7 x 2 . x 2 1 2x 2xy 7 2x 2xy 7 x2 11 7 Do đó : P x 2 1 f x . 2x x2 11 14 Ta có: f' x 1 . 2x2 7 x3 1 x2 15 Ta thấy f' x tăng khi x 0 và f' 3 0 x y z f 3 . 2 76
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 3 1 a 14 x 3 3 2x 2xy 7 5 4 Đẳng thức xảy ra khi: x y b . 2x 2xy 7 2 5 2x 4y z 2 3 c z 2 2xy 7 15 Vậy minP . 2 Ví dụ 9.1.3 1. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn: 2 a2 b2 ab a b ab 2 . a3 b3 a2 b2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 4 9 3 3 2 2 b a b a Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 2. Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4 và x y, x z . Tìm giá trị nhỏ x y z nhất của biểu thức: P 2x 3y y z z x Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Lời giải. 1. Theo giả thiết ta có 2 a2 b2 ab a b ab 2 . Từ đây suy ra a b 1 1 a b 2 2 2 1 ab 2 hay 2 1 a b b a a b b a b a 2 2 a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : a b 2 2 b a b a a b 5 Đặt t , ta suy ra : 2t 1 2 2 t 2 4t2 4t 15 0 t b a 2 a3 b3 a2 b2 Mặt khác: P 4 9 4 t3 3t 9 t2 2 3 3 2 2 b a b a 3 2 5 Xét hàm số f t 4t 9t 12t 18 trên nửa khoảng ; 2 2 5 f' t 12t 18t 12 6 t 2t 5 2 t 1 0,t ; 2 5 Vậy f t luôn đồng biến trên nửa khoảng ; , suy ra 2 77
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 5 23 5 P f t f và đẳng thức xảy ra khi t tức là a 1 và b 2 . 2 4 2 23 Vậy minP khi a 1 và b 2 hoặc ngược lại. 4 Để ý : Theo bất đẳng thức TBC – TBN, ta có : ab 2 2 2ab . Khi đó 2 a2 b2 ab a b ab 2 2 2ab a b Bình phương 2 vế ta được 2 2 a2 b2 ab 8ab a b tức là 2 a b a b a b 2 1 8 2 Đặt t 2 . b a b a b a 2 5 Khi đó trở thành 2t 1 8 t 2 , từ đây ta tìm được t . 2 2. Cách 1 : x y z Đặt a ,b ,c abc 1 , a 1; 4 y z x 1 1 2 Ta cần chứng minh : với a và b dương, ab 1. Đẳng 1 a 1 b 1 ab thức xảy ra khi a b hoặc ab 1. a 1 1 a 2 Khi đó P hay 2a 3 1 ac 1 ab 2a 3 1 a.abc a 2 P do abc 1. 2a 3 1 a a 2 Xét f a , a 1; 4 . Đặt t a t 1; 2 . 2a 3 1 a Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của P khi tồn tại giá trị nhỏ nhất của f t trên đoạn t2 2 1; 2 với f t 2t2 3 t 1 3t 1 Ta có f' t 2 0,t 1; 2 f t nghịch biến trên đoạn 2 2 2t2 3 t 1 34 1; 2 . Suy ra P f t f 2 . Đẳng thức xảy ra khi x 4,y 1,z 2 . 33 34 Vậy minP , khi x 4,y 1,z 2 33 78
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x y z Cách 2 : P 2x 3y y z z x Lấy đạo hàm theo z ta có : 2 y x x y z xy P' z 0 2 2 2 2 y z z x y z z x 6 * Nếu x y thì P 5 x 2 y * Ta xét x y thì P P xy 2x 3y y x Khảo sát hàm P theo z , ta có P nhỏ nhất khi z xy x t2 2 Đặt t P f t với t 1; 2 y 2t2 3 1 t 2 4t3 t 1 3 2t2 t 3 f' t 0,t 1; 2 f t nghịch biến 2 2 2t2 3 t 1 trên nửa khoảng 1; 2 34 Vậy P f t f 2 . Đẳng thức xảy ra khi x 4,y 1,z 2 . 33 34 Vậy minP , khi x 4,y 1,z 2 . 33 Cách 3 : y z x 1 1 1 Đặt a ,b ,c abc 1 . Khi đó: P x y z 2 3a 1 b 1 c x 1 1 2 Do bc 1 nên áp dụng bất đẳng thức y 1 b 1 c 1 bc x 1 t2 2 Đặt t bc 1 t 2 và a . Do đó: P y t2 2t2 3 1 t 34 Ta chứng minh: P , t 1; 2 . Thật vậy, với t 1; 2 ta có: 33 34 t2 2 34 P quy đồng và khai triển ta có được: 33 2t2 3 1 t 33 35t3 64t2 69t 162 0 t 2 35t2 6t 81 0 bất đẳng thức đúng. 79
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 x 4y x 4 34 a Vậy P . Đẳng thức xảy ra 4 z 2y y 1 33 b c 2 x 2z z 2 34 Vậy minP . 33 1 Cách 4 : Đặt y ax,z bx a,b ;1 . 4 1 a b Khi đó: P 2 3a a b b 1 1 a 3 b Xét hàm số f a , f' a 2 2 2 3a a b 2 3a a b 2 2 Xét b 2 3a 3 a b 9a2b 6ab 4b 3a2 3b2 15a2b 4b 3a2 3b2 3a2 5b 1 b 4 3b 0 1 1 4 1 Nên f a là hàm đồng biến trên ;1 f(a) f 4 4 11 1 4b 4 1 b Do đó: P g b 11 1 4b b 1 4 1 1 Ta có: g' b g' b 0 b 2 2 1 4b b 1 2 1 34 34 Từ đó suy ra: g b g hay P 2 33 33 1 a 4 x 4y x 4,y 1 Đẳng thức xảy ra khi , mà x,y,z 1; 4 1 x 2z z 2 b 2 34 Vậy minP . 33 Ví dụ 10.1.3 2 2 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn x – 4 y – 4 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 3 xy – 1 x y – 2 . Đề thi Đại học Khối D – năm 2012 2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x y z 0 và x2 y2 z2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x5 y5 z5 80
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đề thi Đại học Khối B – năm 2012 3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x y z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất x y y z z x của biểu thức P 3 3 3 6x2 6y2 6z2 Đề thi Đại học Khối A,A1 – năm 2012 Lời giải. 2 2 2 1. x 4 y 4 2xy 32 x y 8 x y 0 0 x y 8 2 3 2 4xy x y 6xy x y 2 3 A x3 y3 3 xy 1 x y 2 x y 6xy 3 x y 6 3 3 2 A x y x y 3 x y 6 . Đặt t x y , 0 t 8 2 3 Xét f t t3 t2 3t 6 với 0 t 8 2 1 5 Ta có: f' t 3t2 3t 3 và t 0;8 : f' t 0 t 2 1 5 17 5 5 f 0 6,f 8 398, f 2 4 17 5 5 1 5 Vậy, giá trị nhỏ nhất của f t là xảy ra khi t 4 2 17 5 5 1 5 A f t . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 4 4 2. Cách 1: Với x y z 0 Và x2 y 2 z 2 1, ta có: 2 0 x y z x2 y 2 z 2 2 x y z 2 yz 1 2 x2 2 yz, nên 1 yz x2 . 2 y2 z2 1 x2 1 1 x2 6 6 Mặt khác yz , suy ra x2 , do đó x 2 2 2 2 3 3 Khi đó: P x5 y2 z2 y3 z3 y2 z2 y z 2 5 2 2 2 2 1 x 1 x y z y z yz y z x x 2 2 5 2 2 2 1 2 1 5 3 x 1 x x 1 x x x x x 2x x . 2 2 4 81
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 6 6 Xét hàm f(x) 2x x trên ; 3 3 6 Ta có: f x 6x2 1 và f x 0 x 6 6 6 6 6 6 6 6 Ta có f f , f f Do đó f x 3 6 9 3 6 9 9 5 6 Suy ra P 36 5 6 6 6 Vậy, giá trị lớn nhất của P là khi x , y z 36 3 6 Cách 2: 2 1 Ta có z x y , s u y r a x2 y2 x y 1 x2 y2 xy 2 2 1 1 x y xy . Đặt t x y xy t2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 Vì x y 4xy t 4 t t t 2 3 3 3 5 P x5 y5 x y 5x4y 10x3y2 10x2y3 5xy4 5xy x3 2x2y 2xy2 y3 5xy x y x2 xy y2 5 2 1 5 3 5 2 2 H a y P t t t t với t 2 2 2 4 3 3 5 5 Dùng đạo hàm tìm GTLN của hàm số f t t3 t trên đoạn 2 4 2 2 5 6 ; , ta tìm được MaxP max f t k h i 3 3 2 2 36 t ; 3 3 6 6 x , y z 3 6 3. Cách 1: x y z 0 z x y và có 2 số không âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0, ta có : 82
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x y 2y x 2x y 2 2 x y 2y x 2x y 2 P 3 3 3 12 x y xy 3 3 3 12 x y xy 2y x 2x y 3 x y x y 2 x y 3 2.3 2 12 x y xy 3 2.3 2 2 3 x y Đặt t x y 0 3t Xét hàm số: f t 2. 3 2 3t 3t 3t Ta có: f' t 2.3 3 .ln 3 2 3 2 3 3. 3 ln 3 1 0 f đồng biến trên 0; f t f 0 2 x y Mà: 3 30 1 Vậy P 30 2 3 , dấu “ ” xảy ra x y z 0 . Vậy min P 3. Cách 2: Không mất tổng quát, giả sử x y z. Từ giả thiết suy ra z x y do đó, 2 2 P 3x y 3y z 3x z 12 x2 y2 x y 3x y 32y x 32x y 12 x2 y2 x y 2a b x a 2x y 3 Đặt: thì và a b 0 . b 2y x 2b a y 3 Thay vào P ta được : 2 2 a b a b 2 2 a b a b a b a b P 3 3 3 2 a ab b 3 3 3 2 3 2 2 a b u 2 v u v u v 2 2 Đặt: , thì u v 0 và ta có: P 9 3 3 2 u 3v a b v 2 Xét hàm: P f u 9v 3u v 3u v 2 u2 3v2 ,u v 0 2u f' u 3u v ln 3 3u v ln 3 2ln 3 2 0 u2 3v2 f u đồng biến trên v; kéo theo: 83
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. f u f v 9v 32v 1 2 4v2 2.9v 4v 1 1 Xét g v 2.9v 4v 1,v 0 g' v 2.9v ln9 4 4.9v ln 3 4 4ln 3 4 0 do v 0 Suy ra g v đồng biến trên 0; ), kéo theo g v g 0 3 2 Từ 1 và 2 , suy ra f u 3 hay P 3 Đẳng thức xảy ra khi u v 0 hay x y z 0 Vậy min P 3 . Cách 3: 2 2 2 6 x2 y2 z2 2 x y y z z x Đặt A y z ,B z x ,C x y P 3A 3B 3C 2 A2 B2 C2 2 Giả sử x y z, ta chứng minh 2 A2 B2 C2 A B C Thật vậy bất đẳng thức tương đương: 2 AB BC CA A2 B2 C2 2 2 2 2 x y y z 2 x z y z 2 x y x z x y y z z x 4 x y y z 0, đúng vì x y z Vậy, ta có P 3A 3B 3C A B C Xét hàm số f x 3x x với x 0 ta có ngay f x 1, x 0 . Do đó P 3 a x y Cách 4: không mất tính tổng quát x y z . Đặt , a,b 0 b y z 2 8 P 3a 3b 3a b 4a2 8a 4b2 2 3a b 3a b a b Q 3 3 8 Q 3t 2 3t t với t a b,t 0 3 8 Xét hàm số f t 3t 2 3t t với t 0 3 3t ln 3 8 8 8 Ta có: f' t 3t ln 3 2 3t ln 3 3t ln 3 2ln 3 0 2 3t 3 3 3 Do đó f t đồng biến với t 0 và f t f 0 3 84
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đẳng thức xảy ra khi t 0 a b 0 hay x y z 0 Cách 5: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 2 Ta có: x y y z z x 3 x2 y2 z2 2 xy y2 xz yz yz z2 xy xz xz x2 yz xy 6 x2 y2 z2 x y y z z x P 3 3 3 x y y z z x x Khảo sát hàm số: f x 3 x hàm số đồng biến trên 0; Cách 6: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số 1;1;1 và x; y; z 2 2 Ta có: 12 12 12 x2 y2 z2 1.x 1.y 1.z x y z 0 3 x2 y2 z2 0 6 x2 y2 z2 0 x y y z z x Vậy P 3 0 3 Pmin 3 .Dấu “=” xảy ra khi x y z x y z 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1. y 3 x x2 4x 3 2. y 4 x2 x 1 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 1. y 3 x 5 x2 2. y x 4 x2 3. y x 2 2x x2 Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau x2 1 20x2 10x 3 1. y 2. y 2x2 x 2 3x2 2x 1 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 2 2 2 2 1. y x x 1 x x 1,x 2; 3 2. y x 4x 21 x 3x 10 Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau 6 6 2x 4x 1 sin x cos x 2. y sin cos 1 1. y 2 2 1 sin4 x cos4 x 1 x 1 x 85
- Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 6: 3 1. Cho a,b là các số dương thoả mãn a2 b2 c2 . Tìm GTNN của biểu 4 1 1 1 thức: P (a b)(b c)(c a) . a3 b2 c3 2. Cho hai số x,y 0 thay đổi thỏa mãn x y xy x2 y2 xy .Tìm giá trị lớn 1 1 nhất của biểu thức : A . x3 y3 Bài 7: Cho x,y,z 0 thỏa mãn x2 y2 z2 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức P 2xyz . x y z Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau g(x) f(sin2 x)f cos2 x trong đó hàm f thỏa mãn: f(cot x) sin 2x cos2x x [0; ]. Bài 9: Tuỳ theo giá trị của tham số m ,hãy tìm GTNN của biểu thức: 2 2 P (x my 2) 2x (m 2)y 1 . Vấn đề 2. Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện cho trước Phương pháp . B.1. Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số . B.2. Áp đặt các giá trị này thỏa điều kiện đã cho. Chú ý: Ta có thể khai thác tính chất sau để giải bài toán gọn hơn. “ Điều kiện cần để M max f(x) (min f (x) m) là f x M ( x D x D 0 f (x0 ) m ),trong đó x0 là một giá trị được chọn thuộc D hoặc là phương trình f x M ( f (x) m ) có nghiệm thuộc D.” 1 m Ví dụ Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số: y x2 x 1, 2 2 x 1;1 bằng 2 Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 . 86
- Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt m m Ta có: y' x và y' 0 x 2 2 m 1 hay m 2 . Khi đó y' 0 và hàm số nghịch biến trên đoạn 1;1 . 2 1 m Lúc này, max y y 1 , max y 2 m 3 . x 1;1 2 x 1;1 m 1 hay m 2 . Khi đó y' 0 và hàm số đồng biến trên đoạn 1;1 . Lúc 2 1 m này, max y y 1 , max y 2 m 3 . x 1;1 2 x 1;1 m 1 1 hay 2 m 2 . 2 1 m 1 m m m2 m2 y 1 , y 1 , y 1 . Suy ra max y 1 2 2 2 8 x 1;1 8 max y 2 m 2 2 ( không thỏa ). x 1;1 Vậy, max y 2 khi m 3 hoặc m 3 x 1;1 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: 1. Xác định tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4ax x2 4x 3 lớn hơn 2 m sin x 1 2. Tìm các giá trị của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số y nhỏ cos x 2 hơn 1. 3. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 y 4x – 4mx m 2m trên 2;0 bằng 2 . ax b 4. Tìm các giá trị của các tham số a,b sao cho hàm số y có giá trị lớn x2 1 nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng – 1. Bài 2: 1. Xác định tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 4 m trên đoạn 0; 4 là nhỏ nhất. 2. Xác định tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số x2 (m 1)x 2m 2 y trên 1;1 là nhỏ nhất. x 2 87