Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là : Đồng biến trên K nếu với mọi x1 ,x2 K , x1 x2 f x1 f x2 Nghịch biến trên K nếu với x1 ,x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f' x 0 với mọi x I Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f' x 0 với mọi x I 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I Nếu f' x 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I Chú ý : Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f' x 0 trên khoảng a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f' x 0 trên khoảng a; b thì hàm số f nghịch biến trên a; b . Ta có thể mở rộng định lí trên như sau 3
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f'(x) 0 với x I ( hoặc f'(x) 0 với x I ) và f'(x) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình. P(x) *Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = (trong đó P(x) Q(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f'(x) 0 (f'(x) 0) . ax b *Nếu hàm số f là hàm nhất biến , f(x) với a,b,c,d là các số thực và ad – bc 0 cx d thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f'(x) 0(f'(x) 0). B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Xét tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp . B1.Tìm tập xác định của hàm số f B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm x0 sao cho f '(x0 ) = 0 hoặc f '(x0 ) không xác định . B3. Lập bảng xét dấu f '(x) ,dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số . Ví dụ 1.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 4 1. y x3 2x2 x 3 2. y x3 6x2 9x 3 3 Lời giải. 1. TXĐ: D = ¡ 2 Ta có: y' 4x2 4x 1 2x 1 . 1 1 x ¡ : y' 0 với x và y' 0 với mọi x . 2 2 Giới hạn: lim y và lim y . x x Bảng biến thiên: 4
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 1 2 y' 0 y 17 6 1 1 Vậy : hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; và ; . 2 2 Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên ¡ . 2. TXĐ: D = ¡ Ta có: y' 3x2 – 12x 9 x 1,y 1 1 x ¡ : y' 0 x 3,y 3 3 Giới hạn: lim y và lim y x x Bảng biến thiên: x – 1 3 + y’ + 0 – 0 + 1 + y – – 3 Vậy : hàm số y đồng biến trên các khoảng ;1 và 3; , nghịch biến trên khoảng 1;3 Ví dụ 2.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1 3 1 1. y x4 x2 1 2. y x4 x3 4x 1 4 2 4 Lời giải. 1. TXĐ: D = ¡ Ta có: y' x3 3x x(x2 3) y' 0 x 0 Bảng xét dấu: x 0 y' + 0 Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng ( ;0) , nghịch biến trên(0; ) . 2. TXĐ: D = ¡ 5
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ta có: y' x3 3x2 4 y' 0 x 1,x 2 Giới hạn: lim y và lim y x x Bảng biến thiên . x -1 2 y' + 0 0 1 y Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng ( ; 1) , nghịch biến trên khoảng ( 1; ) . Ví dụ 3.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: x 2 2x 1 1. y 2. y x 1 x 1 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ \ 1 1 Ta có: y' 0,x D , y' không xác định tại x 1 (x 1)2 Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ). 2. TXĐ: D ¡ \ 1 1 Ta có: y' 0,x D , y' không xác định tại x 1 (x 1)2 Vậy, hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ). Ví dụ 4.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: x2 4x 4 4x2 5x 5 1. y 2. y x 1 x 1 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ \ 1 x2 2x Ta có: y' y' 0 x 2,x 0 (x 1)2 Giới hạn: lim y và lim y , lim y và lim y x x x 1 x 1 6
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bảng biến thiên . x 2 1 0 y' + 0 0 + 0 y 4 Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2) và (0; ) , nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1) và( 1;0) . 2. TXĐ: D ¡ \ 1 4x2 8x Ta có: y' y' 0 4x2 8x 0 x 0,x 2 . (x 1)2 Giới hạn: lim y và lim y , lim y và lim y x x x 1 x 1 Bảng biến thiên: x 2 1 0 y' + 0 0 + 11 y 5 Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2) và (0; ) , nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1) và( 1;0) . Ví dụ 5.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y x2 2x 3 2. y x2 4x 3 2x 3 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ 2(x 1)(x2 2x 3) Ta có: y (x2 2x 3)2 y' . (x2 2x 3)2 y' 0 x 1, hàm số không có đạo hàm tại x 1,x 3 ( Bạn đọc xem tác giả giải thích ở ý 2 ) Bảng xét dấu: x 1 1 3 y' || + 0 || + Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1) và (3; ) , nghịch biến trên ( ; 1) và (1; 3) . 7
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Nhận xét: Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức ( y' ). Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức y f2(x) , khi đó tại những điểm mà f(x) 0 thì hàm số không có đạo hàm. 2. TXĐ: D ¡ x2 4x 3 4x 3 x2 6 khi x 1 x 3 Ta có: y 2 2 x 4x 3 4x 3 x 8x khi 1 x 3 Khi x ( ;1)U (3; ) thì : y' 2x y' 0 x 0 ( ;1)U (3; ) Khi x (1; 3) thì : y' 2x 8 y' 0 x 4 (1; 3) f'(1 ) 6 Tại x = 1 ,ta có: .Vì f'(1 ) f'(1 ) nên f’(1) không tồn tại. f'(1 ) 2 f'(3 ) 6 Tại x = 3 ,ta có : f'(3) không tồn tại. f'(3 ) 2 Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (0; ) và nghịch biến trên khoảng ( ;0) . Ví dụ 6.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 4x 5 12x 1 3x2 x 1 1. y 2. y 3. y 4x2 4 12x2 2 x2 x 1 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ \ 1;1 16x2 40x 16 1 Ta có: y' y' 0 x 2 hoặc x 2 2 4x2 4 1 Vậy, hàm số y đồng biến trên các khoảng 2; 1 , 1; và nghịch biến 2 1 trên các khoảng ; 2 , ;1 , 1; . 2 2. TXĐ: D ¡ 36x2 6x 6 1 1 Ta có: y' . Với x ¡ : y' 0 x hoặc x . 2 2 3 6x2 1 8
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bảng xét dấu: x 1 1 2 3 y' 0 0 1 1 1 1 Trên khoảng ; : y' 0 y đồng biến trên khoảng ; ; 2 3 2 3 1 1 Trên khoảng ; và ; : y' 0 y nghịch biến trên các khoảng 2 3 1 1 ; và ; . 2 3 3. TXĐ: D ¡ 2x2 4x Ta có: y' . Với x ¡ : y' 0 x 0 hoặc x 2 . 2 x2 x 1 Trên khoảng 0; 2 : y' 0 y đồng biến trên khoảng 0; 2 ; Trên khoảng ;0 và 2; : y' 0 y nghịch biến trên các khoảng ;0 và 2; . Ví dụ 7.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 2 2 2 1. y x 2x x 2. y 2x 1 9 x 3. y x x 20 Lời giải. 1. TXĐ: D 0; 2 . 1 x 2x x2 1 x Ta có: y' 1 2x x2 2x x2 x 1 x 1 2 2 y' 0 2x x x 1 2 2 2 x 1 2x x (x 1) 2x 4x 1 0 2 2 2 Vậy, hàm số y đồng biến trên 0;1 và nghịch biến trên 1 ; 2 . 2 2 2. TXĐ: D 3; 3 . x 2x 1 4x2 x 18 Ta có: y' 2 9 x2 9 x2 9 x2 Hàm số đã cho không có đạo hàm tại x 3 và x 3 . 9
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 9 Với x 3; 3 : y' 0 x hoặc x 2 4 Bảng biến thiên: x 9 3 2 3 4 y' 0 0 y 9 Vậy, hàm số y giảm trên các khoảng 3; , 2; 3 và tăng trên khoảng 4 9 ; 2 . 4 3. TXĐ: D ( ; 4]U [5; ) 1 2x 1 2x 1 0 x Ta có: y' y' 0 2 2 x 4  x 5 2 x x 20 x 4  x 5 Nên phương trình y' 0 vô nghiệm. Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (5; ) và nghịch biến trên ( ; 4) . Ví dụ 8.1.1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y 2sin x cos2x với x 0; 2. y sin 2x 2cosx 2x với x ; 2 2 Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; Ta có: y' 2cosx 1 2sin x . Ta cần tìm nghiệm của phương trình y' 0 trên cosx 0 5 khoảng 0; y' 0 x 0; : 1 x ,x ,x . sin x 2 6 6 2 Bảng biến thiên: x 5 0 6 2 6 y' 0 0 0 y 10
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0; và 6 5 5 ; , nghịch biến trên các khoảng ; và ; . 2 6 6 2 6 2. Hàm số đã cho xác định trên khoảng ; . 2 2 Ta có: y' 2cos2x 2sin x 2 2 1 2sin2 x 2sin x 2 y' 2sin x 2sin x 1 x 0 x ; Trên khoảng ; : y' 0 2 2 2 2 x 2sin x 2sin x 1 0 6 Bảng biến thiên: x 0 2 6 2 y' 0 0 y Hàm số giảm trên các khoảng ;0 , ; và tăng trên khoảng 0; . 2 6 2 6 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y x3 3x2 2 x3 3x2 3. y 2x3 3x2 1 2. y 2x 4 3 2 Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y 2x4 4x2 2. y x4 6x2 8x 1 3. y x4 6x2 8x 1 Bài 3 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 2x 1 3x 1 x2 x 1 1. y 2. y 3. y x 1 2 4x x 1 Bài 4 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y x 1 2. y x2 2x 3 3. y x2 2x 3 11
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 5 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y x2 2x 2. y x3 2x 3. y 3x2 x3 4. y x 1 x2 5. y x 1 2 x2 3x 3 Bài 6 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: x x 3 1. y 2. y x2 1 x2 1 Bài 7 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: 1. y 2sin x cos2x với x 0; 2. y sin 2x 2cosx 2x với x ; 2 2 Bài 8 1. Chứng minh rằng hàm số y sin 2x 2x 1 luôn nghịch biến trên ¡ . 2. Chứng minh rằng hàm số y 3 sin x cosx 2x 1 luôn đồng biến trên ¡ . 3. Tìm m để hàm số y 2x m sin x 1 đồng biến trên ¡ . 4. Tìm m để hàm số y 2cos2x mx 3 đồng biến trên ¡ . Bài 9 2 Chứng minh hàm số sau đồng biến trên ¡ : y x9 x6 2x3 3x2 6x 1 . 3 Vấn đề 2. Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên một khoảng. Phương pháp . B.1. Xác định tham số để hàm số f xác định trên khoảng đã cho. B.2. Tính f’(x) ,vận dụng định lí 1 vào các hàm số thường gặp trong chương trình (xem phần tóm tắt giáo khoa. Chú ý. Để giải bài toán dạng này ,ta thường sử dụng các tính chất sau. 1. Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a 0) thế thì . 0 * x ¡ (hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) 0 . a 0 0 * x ¡ (hay ¡ bớt đi một số hữu hạn điểm), f(x) 0 a 0 12
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 2. Phương trình f x ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 0 x2 P 0 . x1 0 x2 P 0 . 0 0 x1 x2 P 0 S 0 0 x1 x2 0 P 0 S 0 0 x x 0 1 2 x1 x2 0 P 0 b c Trong đó : S x x , P x .x . 1 2 a 1 2 a 3. Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì: x D,f(x) 0 minf(x) 0 . x D 4. Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì x D,f(x) 0 maxf(x) 0 . x D 1 Ví dụ 1.2.1 Tìm a để hàm số y x3 ax2 4x 3 đồng biến trên ¡ . 3 Lời giải. TXĐ: D ¡ Ta có y' x2 2ax 4 và có ' a2 4 Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ y' 0 , x ¡ nghĩa là ta luôn có: ' a2 4 0 2 a 2 Cách 2 : Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải Bảng xét dấu ' a 2 2 ' 0 0 Nếu 2 a 2 thì y' 0 với mọi x ¡ . Hàm số y đồng biến trên ¡ . 2 Nếu a 2 thì y' x 2 , ta có : y' 0 x 2,y' 0,x 2 . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 2 và 2; nên hàm số y đồng biến trên ¡ . Tương tự nếu a 2 . Hàm số y đồng biến trên ¡ . 13
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Nếu a 2 hoặc a 2 thì y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . Giả sử x1 x2 . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x1; x2 ,đồng biến trên mỗi khoảng ; x1 và x2 ; . Do đó a 2 hoặc a 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán . Vậy hàm số y đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 2 a 2 . Chú ý: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm liên tục trên D Hàm số đồng biến trên I  D f'(x) 0, x I và f'(x) 0 có hữu hạn nghiệm. Hàm số đồng biến trên I  D f'(x) 0, x I và f'(x) 0 có hữu hạn nghiệm. Ví dụ 2.2.1 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : 2x 1 1. y nghịch biến trên (2; ) x m 3 2 2. y x (m 2)x (3m 2)x 2 đồng biến trên đoạn 3; 4 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ \ m 2m 1 Ta có: y' (x m)2 Hàm số nghịch biến trên (2; ) hàm số xác định trên (2; ) và m 2 m (2; ) 1 x (2; ),y' 0 1 m 2 . 2m 1 0 m 2 2 Chú ý: Cho hàm số y f(x) liên tục trên D * f(x) k x D minf(x) k ( nếu tồn tại minf(x) ) D D * f(x) k x D maxf(x) k ( nếu tồn tại maxf(x) ). D D 2. TXĐ: D ¡ Ta có: y' 3x2 2(m 2)x 3m 2 Hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 3; 4 x [3; 4],y' 0 x [3; 4],3x2 2(m 2)x 3m 2 0 x [3; 4],3x2 4x 2 m(2x 3) 3x2 4x 2 x [3; 4], m 2x 3 3x2 4x 2 Lập bảng biến thiên của hàm số g x , x [3; 4] . 2x 3 14
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 6x2 18x 8 2[3x(x 3) 4] g'(x) 0 với mọi x thuộc đoạn 3; 4 (2x 3)2 (2x 3)2 17 g x đồng biến trên đoạn 3; 4 min g(x) g(3) x [3;4] 3 3x2 4x 2 17 Suy ra x [3; 4], m m . 2x 3 3 17 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 3; 4 m . 3 (m 1)x2 2mx 6m Ví dụ 3.2.1 Cho hàm số y . Tìm các giá trị của tham số x 1 m để hàm số: 1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2. Đồng biến trên khoảng 4; Lời giải. TXĐ: D ¡ \ 1 1. Xét hai trường hợp. 2x 6 4 TH1: Khi m 1 , ta có hàm số y và y' > 0 với mọi x D x 1 (x 1)2 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định . Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán. (m 1)x2 2(m 1)x 4m TH2: Khi m 1 , ta có y' (x 1)2 Đặt g(x) (m 1)x2 2(m 1)x 4m và ta có y' cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định x D,y' 0 x D ,g(x) 0 . ' (m 1)2 4m(m 1) 0 (m 1)(5m 1) 0 1 1 m . m 1 0 m 1 5 1 Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là 1; . 5 2. Theo câu trên m 1 thỏa mãn đề bài. Với m 1 Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng 4; 2x x2 x (4; ),g(x) 0 x (4; ), m x2 2x 4 (do x2 2x 4 0 x (4; )) 15
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x x2 Xét hàm h x , khi đó (1) x (4; ),h(x) m ta lập bảng x2 2x 4 biến thiên của h x trên (4; ) . 8x 8 h'(x) 0 x (4; ). (x2 2x 4)2 2 2 2 x 1 1 x lim h(x) lim lim x 1. x x 2 2 4 x 2 4 x 1 1 x x2 x x2 Dựa vào bảng biến thiên của h x suy ra x (4; ) , h(x) m 1 m . Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là [ 1; ) . Ví dụ 4.2.1 x3 1. Tìm m để hàm số y mx2 (1 2m)x 1 đồng biến trên 1; . 3 2. Tìm m để hàm số y x3 3x2 (m 1)x 2m 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 Lời giải. 1. TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2mx 1 2m Hàm số cho đồng biến trên 1; x (1; ),y' 0 x (1; ),x2 2mx 1 2m 0 x (1: ),x2 1 2m(x 1) x2 1 x (1; ), 2m (do x 1 0 khi x 1). x 1 x2 1 Xét hàm số f x , x (1; ) . x 1 x2 2x 1 f'(x) 0 với mọi x (1; ) . (x 1)2 Suy ra x (1; ),f(x) 2m min f(x) 2m f(1) 2m x [1; ) 1 1 2m m . 2 2. TXĐ: D ¡ Ta có: y' 3x2 6x m 1, ' 3m 6 16
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Nếu m 2 ' 0 y' 0 x ¡ hàm số nghịch biến trên ¡ nên hàm số không có khoảng đồng biến. * Nếu m 2 y' 0 có hai nghiệm x1 x2 và y' 0 x x1; x2 yêu cầu bài toán x1 x2 1 4(m 1) 5 (x x )2 4x x 1 4 1 m . 1 2 1 2 3 4 5 Vậy 2 m là những giá trị cần tìm. 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . mx 3 2m 2x2 m 2 x 3m 1 1. y 2. y x m x 1 Bài 2: Tìm m để hàm số: x3 1. y (m 2) (m 2)x2 (3m 1)x m2 đồng biến trên ¡ . 3 2. y (m 1)x3 3(m 1)x2 3(2m 3)x m nghịch biến trên ¡ . 1 3. y m2 1 x3 m 1 x2 3x luôn nghịch biến trên ¡ . 3 2 3 2 3 4. y mx x 2 x 4 đồng biến trên tập xác định của nó. 3 3 5. y x 1 m x2 1 đồng biến trên ¡ . mx 4 Bài 3: Tìm m để hàm số y nghịch biến trên khoảng ;1 . x m CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm m để hàm số: x2 5x m2 6 1. y đồng biến trên khoảng 1; . x 3 3 2 2 2. y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1) đồng biến trên 2; 1 3. y x3 2m 1 x2 mx 2 nghịch biến trên khoảng 0;1 . 3 1 4. y mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1 đồng biến trên (2; ) . 3 x3 5. y (m 1)x2 (2m 1)x m nghịch biến trên (0; 3) . 3 6. y x3 3x2 3(m2 1)x 1 đồng biến trên (1; 2) . 17
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 2 7. y x – 3x 2m 1 x – 4. biến trên [ 2; 1] 8. y x3 3x2 m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 . 9. y x3 3x2 mx 4 nghịch biến trên khoảng 0; . 10. y 2x3 2x2 mx 1 đồng biến trên khoảng 1; . 11. y mx3 x2 3x m 2 đồng biến trên khoảng 3;0 . Bài 5: Tìm m để hàm số: mx2 6x 2 1. y nghịch biến trên nửa khoảng 1; . x 2 1 2. y mx3 2 m 1 x2 m 1 x đồng biến trên khoảng 2; . 3 3 2 2 3. y x m 1 x 2m 3m 2 x m 2m 1 đồng biến trên nửa 2; Bài 6: Tìm m để hàm số: 1. y m 1 x3 3 m 1 x2 2mx 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 2. y x3 mx2 m 36 x 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 . 3. y x3 3x2 mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm . Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình ,bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình . Phương pháp . Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) , f(x) > g(m), Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán. Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy Nếu hàm số y f(x) liên tục và đồng biến trên D thì : f(x) f(y) x y và f(x) f(y) x y . Nếu hàm số y f(x) liên tục và nghịch biến trên D thì : f(x) f(y) x y và f(x) f(y) x y . Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất sau: 18
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tính chất 1: Nếu hàm số y f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình : f x k (trên (a; b) ) không nhiều hơn một và f u f v u v u,v (a; b) . Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a; b) Nếu u v f(u) f(v) Nếu u v f(u) f(v) Tính chất 2: Nếu hàm số y f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : f x g x không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và x0 D : f(x0 ) g(x0 ) . * Nếu x x0 f(x) f(x0 ) g(x0 ) g(x) PT:f(x) g(x) vô nghiệm * Nếu x x0 f(x) f(x0 ) g(x0 ) g(x) PT:f(x) g(x) vô nghiệm Vậy x x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) g(x) . Tính chất 3: Nếu hàm số y f x liên tục và luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì f(u) f(v) u v (u v) u,v D . Tính chất 4: Cho hàm số y f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục a; b . Nếu f(a) f(b) thì phương trình f'(x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b) . Chứng minh: Giả sử phương trình f'(x) 0 vô nghiệm trên (a; b) . Khi đó f'(x) 0 x (a; b) (hoặc f'(x) 0 x (a; b) ). Suy ra f(b) f(a) (hoặc f(b) f(a) ). Điều này trái với giả thiết f(a) f(b) . Vậy phương trình f'(x) 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b) . Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau: Hệ quả 1: Nếu phương trình f x 0 có m nghiệm thì phương trình f'(x) 0 có m 1 nghiệm. Hệ quả 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a; b) . Nếu phương trình f(k)(x) 0 có đúng m nghiệm thì phương trình f(k 1)(x) 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm. 19
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Thật vậy: Giả sử phương trình f(k 1)(x) 0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình f(k)(x) 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài toán. Từ hệ quả 2 nếu f'(x) 0 có một nghiệm thì f(x) 0 có nhiều nhất hai nghiệm. Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai hướng sau: Hướng 1: Đưa phương trình về dạng f(x) f(x0 ) , trong đó y f(t) là một hàm số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét. Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f. Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm. Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình f(x) 0 ta thực hiện như sau Bước 1: Nhập biểu thức f(x) (Dùng phím ALPHA+ X) Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X (nhập giá trị bất kì) =. Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý *Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến * Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến. * Nếu hàm số y f(x) đồng biến thì y n f(x) là hàm số đồng biến. 1 * Nếu hàm số y f(x) đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số y là f(x) một hàm nghịch biến. Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) f(v) , trong đó u,v là các hàm theo x. Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau. Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình: 3 1. 7x 7 7x 6 13 2. x 1 x 1. Lời giải. 6 1. Điều kiện: x . 7 6 Xét hàm số f(x) 7x 7 7x 6, x f(6) 13 7 Khi đó phương trình có dạng: f(x) f(6) 20
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 7 7 6 Mà f'(x) 0 x 2 7x 7 2 7x 6 7 Nên f(x) f(6) x 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 2. Điều kiện: x 0 . 3 Xét hàm số y x 1 x 1 xác định trên nửa khoảng 0; . 1 2 Ta có: y' 3 1 x 0, x 0 y đồng biến trên nửa khoảng 0; . 2 x Do đó, nếu phương trình y 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Dễ thấy y 1 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình: 1. 4x3 x x 1 2x 1 0 Đề thi Cao đẳng năm 2012 3 3 2. 3 x 2 3 x 1 2x2 1 2x2 Lời giải. 1 1. Điều kiện: x . 2 3 3 Phương trình đã cho tương đương với: 2x 2x 2x 1 2x 1 Xét hàm số: f t t3 t trên ¡ . Ta có: f' t 3t2 1 0, t ¡ , suy ra f t đồng biến trên ¡ x 0 1 5 Do đó 2x 2x 1 2 x 4x 2x 1 4 2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức 3 dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt u 3 x 1, v 2x2 thì phương trình đã cho trở thành: 3 u3 1 u 3 v3 1 v f(u) f(v) . t2 Trong đó f(t) 3 t3 1 t , có: f'(t) 1 0 nên f(t) là hàm đồng biến. 3 (t3 1)2 1 Do đó: f(u) f(v) u v 2x2 x 1 x 1,x 2 1 Vậy phương trình có hai nghiệm: x 1,x . 2 Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình: (x 1)3 (5x x2 )3 3 5x x2 3(x 1) Lời giải. 21
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Phương trình đã cho 3 5x x2 ( 5x x2 )3 3(x 1) (x 1)3 (1) Điều kiện : 5x x2 0 0 x 5 . Đặt u = 5x x2 , u 0 và v x 1 ,v 0 . Phương trình (1) trở thành : 3u u3 3v v3 (2) Xét hàm số f t 3t t3 , t (0; ) , khi đó phương trình (2) có dạng f u f v . Ta có f'(t) 3 3t2 0 với mọi t (0; ) nên f(t) đồng biến trên (0; ) Suy ra (2) u v. x 1 2 Do đó (1) 5x x x 1 2 2 5x x x 2x 1 x 1 1  2 x 1 x . 2x 3x 1 0 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;  . 2 x3 3x2 9x 22 y3 3y2 9y Ví dụ 4.3.1 Giải hệ phương trình: 1 x2 y2 x y 2 Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2012 Lời giải. Trước hết, đây là bài toán cơ bản và có nhiều cách giải ( 15 cách giải ). Trong khuôn khổ ứng dụng đạo hàm, tác giả giới thiệu đến bạn đọc 3 cách giải đơn giản nhất. x3 3x2 9x 22 y3 3y2 9y 2 2 Cách 1: Hệ phương trình cho viết lại: 1 1 . x y 1 2 2 1 1 Đặt u x ,v y 2 2 3 3 2 45 3 3 2 45 u u u v 1 v 1 v 1 Hệ đã cho thành 2 4 2 4 2 2 u v 1 3 45 Xét hàm f t t3 t2 t với t 1 2 4 45 Ta có f' t 3t2 3t 0 với mọi t 1;1 4 22
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 v 0 v 1 f u f v 1 u v 1 v 1 v2 1 hay u 1 u 0 v 0 3 1 v 1 1 3 Với x; y ; Với x; y ; u 1 2 2 u 0 2 2 3 1 1 3 Hệ đã cho có nghiệm là x; y ; ; ; . 2 2 2 2 Cách 2: 3 3 Ta có: x3 3x2 9x 22 y3 3y2 9y x 1 12x 23 y 1 12y 3 3 x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x y x y 2 2 2 2 2 2 1 x 1 1 3 1 1 x 1 x 1 2 2 2 2 Từ 2 nhận thấy 2 1 1 3 1 1 y 1 y 1 y 1 2 2 2 2 Từ 1 , xét f t t3 12t với t 2; 2 f' t 3t2 12 0,t 2; 2 (vì x 1,y 1 2; 2 ) nên x y 2 Thay x y 2 vào 2 ta được: 2 1 y 2 y2 y 2 y 4 y2 8 y 3 0 2 3 1 1 3 y ; x hoặc y ; x 2 2 2 2 3 1 1 3 Hệ đã cho có nghiệm là x; y ; ; ; . 2 2 2 2 Cách 3: 3 3 x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 Ta có hệ đã cho tương đương với: 2 2 1 1 x y 1 2 2 a3 12a b3 12b 2 2 Đặt a x 1,b y 1 ta được hệ: 1 1 a b 1 2 2 23
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 3 1 2 9 2 2 1 a 1 a a 1 1 2 2 2 4 Từ a b 1 2 2 1 1 3 2 9 1 b 1 b b 2 2 2 4 Xét hàm số f t t3 12t , ta có f t là hàm liên tục trên ¡ và 9 f'(t) 3 t2 4 0, với t2 4 Nên từ a3 12a b3 12b ta có a b . a b 2 2 1 Do đó, hệ đã cho 1 1 a b . a a  2 2 2 3 1 1 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x; y ; , ; . 2 2 2 2 Ví dụ 5.3.1 Chứng minh rằng phương trình : x2 1 x4 2x2 1 x5 0 có đúng một nghiệm. Lời giải. Từ phương trình cho suy ra x5 x2 1 x4 2x2 1 x2 1 (x2 1)2 1 x 1 . Xét hàm số f x x2 1 x4 2x2 1 x5 , khi đó hàm số f liên tục trên [1; ) và phương trình (1) có dạng f(x) 0 . f(1) 2 1 0 Vì nên phương trình 5 1 1 1 2 1 lim f(x) lim x ( 1) x x x8 x10 x x3 x5 f x 0 có nghiệm thuộc (1; ). x 1 Lại có : f'(x) 4x3 2x 5x4 x( 2) x3(4 5x) 0 với x2 1 x2 1 mọi x [1; ) . Suy ra hàm số f x nghịch biến trên [1; ) . Vậy phương trình f x 0 có đúng một nghiệm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng phương trình: 1. x5 5x 5 0 có nghiệm duy nhất. 2. x5 x2 2x 1 0 có nghiệm duy nhất. 3. 2x2 x 2 11có nghiệm duy nhất. 24
23. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 4. x5 2012 0 có đúng hai nghiệm dương phân biệt. x2 2 Bài 2: Tìm m để phương trình (x2 2x)3 3(x2 2x)2 4 m 0 có nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình : 3 7 x 2 3y x x y 7 y 1. 2. 3 5 4 y 2 3x 4x 5y CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Giải phương trình : 3 3 1. x3 x2 10x 2 3 7x2 23x 12 2. 6x 1 8x 4x 1 1 1 3. 8 x2 x3 3x2 4x 2 0 4. 2 x 1 8x 15 2 x 3x 1 2x 2x 4 5. 8x2 6x 1 6. 2 tan2 x với x 0; 2 3x x x x2 1 2 6 4 16cos x 2cos x 2 2 7. sin x 8. 3x 2 9x 3 4x 2 1 1 x x 0 54 51cos2 x Bài 5: Giải bất phương trình: 2x 3 13 3 2 1. 3 2 3 x 2. 2x 3x 6x 16 2 3 4 x 3 x 3 x 1 4. 4 2x3 18x 19 4 2 0 3 3. x5 32 x3 1 4 62 65 x 6. (x 2)(2x 1) 3 x 6 4 (x 6)(2x 1) 3 x 2 Bài 6: 3 3 1. Giải phương trình: sin 3xsin x cos 3x cos x 0 4 4 2. Cho n 1 số thực a1 ,a2 , ,an ,a không đồng thời bằng không và n 1 số thực b1 ,b2 , ,bn ,b . Chứng minh rằng nếu phương trình f x 0 có nghiệm n k thì có nhiều nhất là hai nghiệm. Trong đó f(x)  aix bi (ax b) và k 2 i 1 là số tự nhiên chẵn. Bài 7: Giải hệ phương trình : 3 2x 1 2y 1 x y (1) 2(2x 1) 2x 1 (2y 3) y 2 1. 2. 2 2 x 12xy 9y 4 0 (2) 4x 2 2y 4 6 Bài 8: Giải hệ phương trình : 25