Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: a. Định nghĩa: Cho n là số nguyên dương và số thực a . Khi đó: an a.a a (tích n số a ). với mọi a 0 . a0 1 n 1 a với mọi a 0 . an Ghi chú: Với n 0 thì an có nghĩa a 0 1 Với a 0 thì an a n b. Các tính chất về đẳng thức: Với hai số thực a,b 0 và m,n là các số nguyên ta luôn có: m n m n n n 1. a a a m mn a an 3. a a 5. b 0 m n a m n b b 2. a n n n an 4. ab a b c. Các tính chất về bất đẳng thức Cho m,n là các số nguyên dương , ta có: Với a 1 thì am an m n Với 0 a 1 thì am an m n Nhận xét: Với a 0 thì am an m n Cho 0 a b và số nguyên m , ta có: 1. am bm m 0 2. am bm m 0 Nhận xét : Với 0 a b thì am bm m 0 . Nếu n là số tự nhiên lẻ thì an bn a b 2. Căn bậc n a. Định nghĩa: Với n là số nguyên dương, căn bậc n của a là số thực b thỏa mãn: bn a . 3
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. b. Tính chất: Cho a,b 0 , hai số nguyên dương m,n và hai số nguyên tùy ý p,q . Ta có: 1. n a.b n a.n b a n a 2. n b 0 p b n 3. n ap n a b p q n p n q n 5. Nếu thì a a a 0 4. m a mn a n m 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ m a. Định nghĩa: Cho số thực a 0 và số hữu tỉ r ( m,n là hai số nguyên n m n 0 ). Khi đó ar a n n am . Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương. b. Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. 4. Lũy thừa với số mũ thực a. Định nghĩa: Cho số thực dương a và là số vô tỉ. Khi đó tồn tại dãy số rn hữu tỉ rn có giới hạn và a lim a . n b. Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. Lưu ý : Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương. 5. Logarit. a) Định nghĩa: Cho a 0,a 1,b 0 thì loga b a b . Đặc biệt: loga b a b lg b 10 b ln b e b b) Tính chất: log loga 1 0 loga a 1 a a loga a log b log b a a loga x1x2 loga x1 loga x2 1 x log b loga b 1 a loga loga x1 loga x2 x2 Đặc biệt: 1 1 log b log log b log b log n b log b log b c a b 1 a a n a a log a a c a 1 loga b loga c b c 0 0 a 1 loga b loga c 0 b c . 4
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 6 . Hàm số mũ a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng y ax , trong đó a 0 gọi là cơ số. b. Tính chất: * Tập xác định: ¡ * Giới hạn – đạo hàm 1 ex 1 Giới hạn: lim(1 )x e và lim 1 . x 0 x x 0 x Đạo hàm: ax ' ax lna . Từ đó suy ra: au ' u'au lna Đặc biệt: ex ' ex và eu ' u'.eu . * Tính đơn điệu: a 1 thì hàm đồng biến, nếu 0 a 1 hàm nghịch biến. 7. Hàm số lũy thừa a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y x , ¡ b. Tính chất: * Tập xác định: Nếu là số nguyên dương thì tập xác định là ¡ Nếu nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là ¡ \{0} Nếu không là số nguyên thì tập xác định là (0; ) 1 1 * Đạo hàm : x ' .x từ đó suy ra: u(x) ' u'(x). u(x) 1 u'(x) Đặc biệt: n x ' và n u(x) ' . n.n xn 1 n.n un 1(x) * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến trên (0; ) nếu 0 và nghịch biến trên (0; ) nếu 0 . 8. Hàm số logarit a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y loga x , trong đó 0 a 1 . b. Tính chất: * Tập xác định là tập (0; ) * Giới hạn – Đạo hàm: ln(1 x) Giới hạn: lim 1 x 0 x 1 u' Đạo hàm: log x ' . Từ đó, suy ra: log u ' a xlna a ulna 1 u' Đặc biệt: ln x ' và ln u ' . x u * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến khi a 1 và nghịch biến khi 0 a 1. 5
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Tính giá trị biểu thức – Rút gọn Ví dụ 1.1.1 Rút gọn các biểu thức 1 1 0,25 ( 3 2)4 ( 3 2)4 1 5 32 0,2 1 8 3 2 25 2 2 A (32) B 64 27 5 4 3 a b a 4 ab a b 2 C D 3 ab : 3 a 3 b 4 a 4 b 4 a 4 b 3 a 3 b Lời giải. 1 1 1 3 3. 5 6 2 3 1 2 7 1 Ta có: A 2 5 2 4 2 2 . 3 2 3 6 2 2 1 5 ( 3 2)| 3 2| 2( 1 ) 25 2 2 5 2 2 2 2 2 4 B . 5 2 3 5 5 3 9 4 4 4 4 a b a b 4 a 4 a 4 b C 4 a 4 b 4 a 4 b. 4 a 4 b 4 a 4 b 2 3 2 3 2 D a 3 ab b 3 ab : 3 a 3 b 2 2 2 3 2 3 2 D a 23 ab b : 3 a 3 b 3 a 3 b : 3 a 3 b 1. Ví dụ 2.1.1 Rút gọn các biểu thức 4 1 2 3 3 3 a a a 1 2 E x y 4 xy F 1 3 1 a 4 a 4 a 4 Lời giải. 2 E x2 y2 2x y 4x y x2 y2 2x y x y x y 6
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4 1 4 2 a 3 .a 3 a 3 .a 3 a 1 a2 1 a3 1 a a2 1 F 1 a 1 3 1 1 a 1 a 1 a a a a 4 .a 4 a 4 .a 4 Ví dụ 3.1.1 Rút gọn các biểu thức log 135 log 5 1 5 A 3 3 B log log 8.log 3 log 10 log log 3 log 5 1 3 2 25 2 1 2 15 405 9 5 Lời giải. log3 135 log3 5 A log3 135.log3 15 log3 5.log5 405 log15 3 log405 5 A log3 5.27 .log3 15 log3 5.log3 27.15 log3 5 3 log3 15 log3 5 3 log3 15 15 A 3 log 15 log 5 3.log 3 3 3 3 5 1 5 B log 3log 2.log 3 log 10 log 3 2 3 2 52 2 5 1 2 1 1 5 1 1 3 log3 3 log5 10 log5 log5 25 . 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 4.1.1 Rút gọn các biểu thức 20 20 lg 5 2 6 lg 49 20 6 log 2.log 7 log 3.log 11 C D 7 6 11 6 3 5 4ln e 5ln e . e log2 3.log9 8 Lời giải. 2 Ta có: 49 20 6 5 2 6 5 2 6 20 20 20 lg 5 2 6 lg 5 2 6 lg (5 2 6)(5 2 6) C 0 1 1 3 2 8 4lne2 5lne 5 log 2 log 3 7 11 log 6 log 6 2 log 2 log 3 2log 6 2 D 7 11 6 6 6 3 3 3 3 log 3.log 2 2 2 3 Ví dụ 5.1.1 Rút gọn các biểu thức sau với điều kiện các biểu thức đó tồn tại: 3 2 A logb a 2logb a logb a loga b logab b logb a 7
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. log log 2a 1 2log 2a2 2 2 2 .log a log2 a4 2 B 2 2 4 log2 2a 1 1 1 C log2 n! log3 n! logn n! Lời giải. 2 1. Ta có: A logb a 2logb a 1 1 logb a.logab b logb a 2 1 logb a 1 1 logb a loga ab 2 1 logb a 1 1 logb a 1 loga b 2 log a b logb a 1 . 1 logb a logb a 1 logb a 1 logb a 1 2 4log a 2(1 log a).log a 4log2 a 2 2. . Ta có: B 2 2 2 2 log2 2a 2 6log2 a 6log2 a 6log2 a . log2 a 1 2. . Ta có: C logn! 2 logn! 3 logn! n logn!(2.3 n) 1. Ví dụ 6.1.1 1. Tính log36 24 , biết log12 27 a . 2. Tính log24 15 theo a,b , biết log2 5 a, log5 3 b . 3. Tính log25 24 theo a,b , biết log6 15 a, log12 18 b . 4. Tính log126 150 theo a,b,c , biết log2 3 a, log3 5 b, log5 7 c. Lời giải. 3 3 3 1. a log 27 3log 3 12 12 log 12 2 2log 2 1 3 log3 2 .3 3 3 a 2a Suy ra log 2 và log 3 3 2a 2 3 a 3 Ta có: log36 24 log36 2 .3 3log36 2 log36 3 1 1 1 3 a Hơn nữa log36 2 và log2 36 2log2 6 2 1 log2 3 6 2a 1 1 1 2a log36 3 log3 36 2log3 6 2 1 log3 2 6 2a 8
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 9 a Vậy, log 24 3log 2 log 3 36 36 36 6 2a 1 1 2. log24 15 log24 3 log24 5 log3 24 log5 24 1 1 . 3log3 2 1 3log5 2 log5 3 1 1 1 Hơn nữa log3 2 log3 5.log5 2 . log5 3 log2 5 ab a 1 b Vậy, log 15 . 24 3 ab 1 1 3. log 24 3log 2 log 3 3x y với x log 2, y log 3 25 2 5 5 2 5 5 1 1 y 1 a log 15 log 3 log 5 6 6 6 log 2 log 2 log 3 x y 1 5 5 5 log 3 5 1 1 x 2y b log 18 log 2 2log 3 12 12 12 log 3 log 2 2x y 2 5 1 2 5 log5 2 log5 3 b 2 1 2b Suy ra x , y 2b a ab 1 2b a ab 1 b 5 Vậy, log 24 . 25 4b 2a 2ab 2 4. log126 150 log126 2 log126 3 log126 5 1 1 1 1 log2 126 log3 126 log5 126 log2 2 2log2 3 log2 7 1 1 log3 2 2log3 3 log3 7 log5 2 2log5 3 log5 7 1 1 Từ giả thiết suy ra: log3 2 , log2 7 log2 3.log3 5.log5 7 abc . log2 3 a 1 1 1 log3 7 log3 5.log5 7 bc , log5 3 , log5 2 log5 3.log3 2 . log3 5 b ab 1 a 2ab Vậy, log 150 . 126 1 2a abc CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: 9
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 20 log7 9 20 A 7 log9 270 log9 10 lg 5 2 6 lg 49 20 6 D 1 log5 3 3 5 1 lg 3 1 4ln e 5ln e . e B log 0,2 10 3 5 5 1 128 2 E log 5 2log 2 a a 3 27 27 8 3 2 C a lga a loga 10 lga loga 10 log 2.log 7 log 3.log 11 F 7 6 11 6 log2 3.log9 8 Bài 2: 1. Tính log30 1350 theo a,b . Biết log30 3 a,log30 5 b . 4 2 2. Tính log5 theo a,b . Biết log5 2 a,log5 3 b . 15 3. Biết log6 15 a; log12 18 b . Tính log25 24 theo a,b 4. Biết a log2 3; b log3 7 . Tính log24 14 theo a,b . Bài 3: Tìm m,n để các biểu thức sau không phụ thuộc vào a,b 0 1 10 5 5 3 a a A 3m log a b 4nlog log 5 25 6 5 b5 b b2 B m log 49a6.5 b 3nlog log ab 7 7 7 6 7 343a Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau với điều kiện các biểu thức luôn tồn tại. loga b loga x 2 n n n 1 1. logax bx 2. logx a logx a logx a 1 loga x 2logx a Bài 5: Với giá trị nào của x,y thì các biểu thức sau không đổi với mọi a,b 0 . 3 4 5 5 2 3 2 a b A 2xlog2 ab . a b 3ylog32 log2 a 4 a5b3 3 2 7 2 B ylog a b 4xlog (81. ab ) 6log ab 3 3 27 3 Dạng 2. Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức Ví dụ 1.2.1 So sánh: 1 2 1. log3 và log2 . 2. log2 3 và log3 4 2 3 Lời giải. 10
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 1 1 1 1 2 1 log3 log3 log3 3 2 3 2 3 2 1 2 1. log log 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 1 log2 log2 log2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 2. log 2.log 4 log 2 log 4 log 8 log 9 1 ( theo Cô Si) 3 3 2 3 3 2 3 2 3 1 log3 2.log3 4 1 log3 4 log2 3 log3 2 Ví dụ 2.2.1 Tìm a,b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2a 3b 21 và 2lg(a 3b) lg 4 lga log b Lời giải. Điều kiện: a 3b 0 Ta có: 2lg(a 3b) lg 4 lga log b lg(a 3b)2 lg(4ab) (a 3b)2 4ab 2a 3b 21 2a 3b 21 Do đó, ta có hệ : 2 2 a 10ab 9b 0 (a b)(a 9b) 0 2a 3b 21 a 9 . a 9b 0 b 1 Ví dụ 3.2.1 Chứng minh rằng: 1 1. Với x2 4y2 12xy ta luôn có : ln x 2y 2ln 2 ln x ln y . 2 1 1 7 2. Với mọi số thực x , ta có: log 1 x x2 8 2 2 2 Lời giải. 1. Điều kiện: x,y 0 Giả thiết có x2 4y2 12xy x2 4y2 4xy 16xy 2 2 x 2y 16xy ln x 2y ln 16xy 1 2ln x 2y 4ln 2 ln x ln y ln x 2y 2ln 2 ln x ln y . 2 2. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có: 11
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x x2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 . 2. x 2 x 2 2 2 2 2 x 2 2 x x x 2 2 x x2 2 2 2 1 1 1 x x 2 Như vậy, log 1 log 1 x x2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 7 7 Hay log 1 x . x x2 2 2 8 8 2 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi x . 2 Ví dụ 4.2.1 Chứng minh các bất đẳng thức sau: x y 2y 1. ln với x 0 và y 0 ; x 2x y b a a 1 b 1 2. 2 2 với a b 0 2a 2b Lời giải. x y 1. Đặt t 1 x x y t tx x y y x(t 1) . x 2y 2x(t 1) t 1 Do đó: 2 . 2x y 2x x(t 1) t 1 t 1 Bài toán trở thành chứng minh: ln t 2 với mọi t 1. t 1 2(t 1) Xét hàm số: f(t) ln t , t 1 t 1 1 4 (t 1)2 Ta có: f'(t) 0 t 1 t (t 1)2 t(t 1)2 t 1 f(t) f(1) 0 t 1 hay ln t 2 với t 1 đpcm. t 1 2. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b a b a a 1 b 1 a b 2 2 4 1 4 1 2a 2b 12
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ln 4a 1 ln 4b 1 bln 4a 1 a ln 4b 1 1 a b ln 4t 1 Xét hàm số : f t , t 0; t 4t ln 4t 4t 1 ln 4t 1 Ta có : f' t 0,t 0 nên hàm số nghịch biến trên t2 4t 1 0; ln 4a 1 ln 4b 1 Vậy : a b 0 f a f b . a b CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: So sánh các số sau 1 1 2. log 0.2 và log 0.3 1. log và log 0.3 0.2 2 3 1 2 3 4 3. log 16 và log 3 log 8 500 300 5 2 3 3 4. 300 và 500 1 1 1 log9 4 log7 9 log7 6 log 4 5. 814 2 25log125 8 .49log7 2 và 72 492 5 5 Bài 2: 1. Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, trong đó c b 1,a 1 . Chứng minh rằng: logc b a logc b a 2logc b a.logc b a . 2. Cho a,b 0 thỏa mãn a2 b2 7ab . Chứng minh rằng: a b 1 log log a log b . 2012 3 2 2012 2012 3. Tìm các số thực a,b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2a 3b 21 2a2 5ab 2b2 3 0 a. b. 2lg a 3b lg 4 lga lg b log3 a 2b 2log3 b 2a 5 4. Cho a,b,c 0 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng: 3log a 2log c log b3 . 2 3 4 2 5. Cho a,b,c,x 0; x 1 . Chứng minh rằng: logx a, logx b, logx c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a,b,c theo thứ tự là cấp số nhân. 13
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 6. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác ABC với 0 c b 1 và c b 1 . Chứng minh logc b a logc b a 2logc b a logc b a ABC vuông tại C . CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 3: 1. Cho logabc 2012 loga 2012 logb 2012 logc 2012 . Chứng minh rằng: trong bà số a,b,c luôn tồn tại một số nhỏ hơn 1 . 2. Cho a,b 0 thỏa mãn a2 b2 14ab . Chứng minh rằng: a b 1 log log a log b . 2012 4 2 2012 2012 Bài 4: Cho các số thực a,b 1 . Chứng minh rằng: a b logb c logc a loga b 3 1. lna ln b 2 ln 2. a b c 3 abc 2 Bài 5: Cho các số thực a,b,c 2 . Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 logb c a logc a b loga b c 3 Bài 6: 1. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8x 8y 7 2x 2y 2y 2x P 4x 2y 4y 2x 1 2. Cho a,b,c,d 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 1 1 1 F loga b logb c logc d logd a 4 4 4 4 a 2b 1 3. Cho a,b,x 0; b,x 1 thỏa mãn: log log a . Tính giá x 3 x 2 logb x 2a2 3ab b2 trị của biểu thức: P khi a b . 2 a 2b Bài 7: 2 2 1. Chứng minh rằng: 3sin x 3cos x 2 3 với x ¡ . 2. Cho logabc 2010 loga 2010 logb 2010 logc 2010 . Chứng minh rằng trong bà số a,b,c luôn tồn tại một số nhỏ hơn 1 . 3. Cho a,b 0 thỏa mãn a2 b2 14ab . Chứng minh rằng: a b 1 log log a log b . 3 4 2 3 3 Bài 8: Chứng minh rằng: 14
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 x2 2x3 1. ln(1 x) x x2 x 0 2. ln(1 x) x x 0 2 2 3 Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp: 0 a 1 Hàm số y loga f x xác định . f x 0 f x 0 Hàm số y logg x f x xác định . 0 g x 1 g(x) Hàm số y f x xác định f x 0 . Ví dụ 1.3.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau: 2 1 2 2 1. y 5x 2x 2 ln 2. y x 4x 3 log2(25 4x ) x2 1 2 3. y log (3x 1) 2log (2x 1) 4. y log 1 1 4x 2x 1 3x 1 3x 2 Lời giải. 1 2 x 2 2x 5x 2 0 2 1. Điều kiện 1 x 2 . 2 x 1 x 1 0 x 1 Vậy, D (1; 2] . x 3 2 x 4x 3 0 x 1 5 2. Điều kiện x 1. 25 4x2 0 5 5 2 x 2 2 5 Vậy, D ;1 . 2 1 0 2x 1 1 x 3. Điều kiện: 3 0 3x 1 1 x 0 1 Vậy, D ; \ 0 . 3 15
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 0 3x 2 1 x 3 4. Điều kiện: 2 1 1 1 4x 0 x ; x 0 3 2 1  Vậy, D ; \ ,0 . 3 3  Ví dụ 2.3.1 Tìm tập xác định các hàm số sau: 2 x 1 x 1 1. y log2 log 1 2. y 2 2 x 3 ln 2x x 3 ln 3 Lời giải. 1. Hàm số xác định khi và chỉ khi : 2 2 2 x 1 x 1 x 1 1 log2 log 1 0 log 1 1 0 x 1 2 2 2 2 2 x 3 2 x 3 x 3 Vậy: D 1;1 . 2. Hàm số xác định khi và chỉ khi : x 0 x 0 x 0 2 3 2x x 3 0 2 x x 3 0 1 x 2 ln 2x x 3 ln 3 0 2 1 2 x x 0 x 0, x 2 9 0 x 4 1 1 9 D 0;  ; . 1 4 4 4 x 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: 1 2 1 1. y ln 4. y 5x 2x 2 ln x 1 x2 1 2 2 2 2. y ln x x 4 5. y x 4x 3 log2 25 4x 6. y log 3x 1 2log 2x 1 3x 2 2x 1 3x 1 2 2 2 3. y x 1 2 ln x 1 7. y log 1 1 4x 3x 2 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC 16
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 2 x 1 2 2 1. y 4 x log 2. y x 4x 3 logx(x 4) 2 x 1 2 logx log2( x 2x 3) 2 x 2 2 3. y ln x 1 x log 4. y x 2 2 x 3 Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với x ¡ x2 mx 1 2 3 x2 mx 1 1. y ln 2 2 x x 1 3 2 x x 1 2 2. y log2(2x 3x 2m 1) x2 2mx m 2 3. y log3 x2 3 x2 mx 1 4. y log2 3x2 2mx 2m 1 Dạng 4. Tính giới hạn và đạo hàm Phương pháp: ln 1 x ex 1 Sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim 1 và lim 1 . x 0 x x 0 x u x e 1 ln 1 u x Hệ quả: lim u x 0 lim lim 1 . x x0 x x0 u x x x0 u x Sử dụng các công thức đạo hàm g(x) Lưu ý: Để tính đạo hàm hàm số y f x ta lấy loganepe hai về rồi lấy đạo y' hàm. Cụ thể: ln y g x .lnf x g x .lnf x ' . y eax ebx Ví dụ 1.4.1 Tìm các giới hạn sau : A lim x 0 x Lời giải. eax 1 ebx 1 Ta có: A a lim b lim a b . x 0 ax x 0 bx Ví dụ 2.4.1 Tìm các giới hạn sau : 3 3 e 2x 1 1 e 1 3x 1 ln 3x 1 1 ln x 1 1 A lim B lim x 0 x x 0 x 17
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 3 e 2x 1 1 1 2x 1 1 e 1 3x 1 1 3 1 3x 1 A lim .lim lim .lim x 0 2x 1 1 x 0 x x 0 3 1 3x 1 x 0 x 3 e 2x 1 1 1 e 1 3x 1 1 2x 1 1 Mà lim lim 1 ; lim 1 x 0 2x 1 1 x 0 3 1 3x 1 x 0 x 3 1 3x 1 Và lim 1. Nên A 1 1 2 . x 0 x ln 3 3x 1 1 ln x 1 1 B lim x 0 x ln 1 3 1 3x ln 2 ln 1 1 x ln 2 lim lim x 0 x x 0 x 1 3 1 ln 1 1 3x 1 ln 1 1 x 1 2 2 lim lim I J x 0 x x 0 x 1 3 ln 1 1 3x 1 3 1 2 1 3x 1 1 1 Mà I lim . .1.1 . 2 x 0 1 x 2 2 3 1 3x 1 2 1 ln 1 1 x 1 1 2 1 x 1 1 1 1 J lim . .1. . 2 x 0 1 x 2 2 4 1 x 1 2 1 1 1 Vậy B . 2 4 4 Ví dụ 3.4.1 Tính đạo hàm các hàm số sau: x 2 2 1 1. y ln x x 1 2. y 5x 3 2 x2 1 x 3x 1 3. y log3(3x 2x 1) 4. y e 3 Lời giải. 2 x x 1 ' 1 1. Ta có: y' x x2 1 x2 1 18
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x x 2 1 1 1 ln 2 2. Ta có: y y' . 5 5 2 xln 5 xln 5(ln 2 ln 5) xln 5 (3x2 2x 1)' 6x 2 3. Ta có: y' . 3x2 2x 1 ln 3 3x2 2x 1 ln 3 3 ' x2 1 x 3 2 3x 1 4. Ta có: y' e x 1 x 3 (3x 1)'ln 3 ' 3 2 2x e x 1 x 1 33x ln 3 . 2 33 x2 1 Ví dụ 4.4.1 x x 1 e khi x 0 1.Tìm a để hàm số y có đạo hàm tại x 0 . 2 x ax 1 khi x 0 3 1 ax 3 cosx ,x 0 2. Tìm a,b để hàm số y có đạo hàm tại x 0 . ln 1 2x b 1,x 0 Lời giải. x y x y 0 x 1 e 1 e x 1 1. y' 0 lim lim lim e x 0 x 0 x x 0 x x 0 x y x y 0 x2 ax 1 1 y' 0 lim lim lim x a a x 0 x x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại x 0 y' 0 y' 0 a 0 . 2. Hàm số có đạo hàm tại x 0 khi nó liên tục tại x 0 .Khi đó lim y x lim y x y 0 b 1 x 0 x 0 3 1 a x 3 cos x a Mặt khác : y' 0 lim và x 0 x 3 ln 1 2 x y' 0 lim 2 x 0 x Hàm số có đạo hàm tại x 0 y' 0 y' 0 a 6 Vậy a 6,b 1 thoả yêu cầu bài toán. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 19
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 1: Tìm các giới hạn sau : x e 1 1 x 1 H lim J lim , 0 x 0 x 1 1 x 0 x 1 x a I lim 1 ln 1 tan2 x a x 2 K lim x 0 sin x x a x a Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 5 3 2 1. y 2x 1 5. y log3 3x 2x 1 2. y 3 ln x x2 2x 3 10 6. y 2ln 3. y sin 3x x2 2x 3 x 2 1 3 2 4. y 7. y e x 1 x 33x 1 5x Dạng 5. Ứng dụng – chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức Ví dụ 1.5.1 Chứng minh rằng: hàm số y f(x) 5x( x2 1 x) đồng biến trên ¡ . Lời giải. TXĐ: D ¡ x Ta có: f'(x) 5x ln 5 x2 1 x 5x 1 x2 1 1 5x( x2 1 x) ln 5 x2 1 x2 1 x x2 x 0 Ta có: 1 1 f'(x) 0 x ¡ ln 5 1 ln 5 0 x2 1 x2 1 Vậy hàm số đồng biến trên ¡ . Ví dụ 2.5.1 1 1. Phương trình ln x 1 ln x 2 0 không có nghiệm thực. x 2 2x x 2. Với mọi số thực x ta luôn có: ln 1 1 e e x . 20
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lời giải. 1 1. Xét hàm số : f x ln x 1 ln x 2 , xác định và liên tục trên x 2 khoảng 1; . 1 1 1 1 1 Ta có f' x 0,x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 f x liên tục và đồng biến trên khoảng 1; và lim f x , x 1 lim f x 0 suy ra f x 0,x 1 . x Vậy phương trình cho không có nghiệm thực 2. Đặt t ex bài toán trở thành “ Chứng minh rằng t 0 luôn có 2 1 ln 1 1 t ln t ”. t 2 1 Xét hàm số f t ln 1 1 t ln t với t 0 t 2t 1 1 1 t2 t Ta có f' t 0 , suy ra y f t 2 2 t 2 2 2 2 1 t 1 1 t t t 1 t đồng biến trên khoảng 1 1 t2 1 1 t2 Mặt khác lim 1 lim ln 0 t t t t 1 1 t2 1 Suy ra lim ln lim 0 điều này chứng tỏ hàm số y f t t t t t nhận Ox làm một tiệm cận ngang Ta thấy y f t đồng biến trên 0; và hàm số có tiệm cận ngang là y 0 khi t nên f t 0 t 0 ln x 1 Ví dụ 3.5.1 Cho 0 x 1 . Chứng minh rằng: x 1 x Lời giải. x 1 x 1, bất phương trình cho tương đương ln x . x x 1 Xét hàm số f x ln x với x 1. x 21
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 x x 1 2 x 2 x Ta có: f' x 0 (do cô si) khi x 1. 2x x 2x x f x nghịch biến trên khoảng 1; , suy ra f x f 1 0 khi x 1, bất đẳng thức đã cho đúng. x 1 0 x 1 , bất phương trình cho tương đương ln x . x x 1 Xét hàm số f x ln x với 0 x 1 . Tương tự trên, hàm số f x nghịch x biến trên khoảng 0;1 , suy ra f x f 1 0 , bất đẳng thức đẳng thức đã cho đúng. Ví dụ 4.5.1 Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn z y z 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 1 1 1 4 2ln 1 x y 4 2ln 1 y z 4 2ln 1 z x Lời giải. Giả thiết 0 x,y,z 3 suy ra 4 2ln 1 x y 0, 4 2ln 1 y z 0 và 4 2ln 1 z x 0 . Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân , ta có: P 9 , biểu 4 2ln 1 x y 4 2ln 1 y z 4 2ln 1 z x thức có dạng: P 9 12 f x f y f z Xét hàm số f t 2ln 1 t t, t 0; 3 , có f t 1 t . 1 t Lập bảng biến thiên hàm f t , với t 0; 3 suy ra 0 f t 2ln 2 1 . Do đó P 9 3 . 12 f x f y f z 3 2ln 2 Vậy minP 3 , khi x y z 1 . 3 2ln 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng : 1. Nếu y esin x thì y'cosx y.sin x y" 0 . 2. Nếu y ln cosx thì y'tan x y" 1 0 . x 2 3. y ln thỏa mãn phương trình: y' 1 x .ey 1 , x 0;1 . 1 x 2 4. . y x 3cos ln x 4sin ln x thỏa mãn: x y'' xy' 2y 0 Bài 2: Chứng minh rằng: 22
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. ex 1 x, x ¡ x2 1 2 2. ex 1 x ,x 0 . 3. ln 1 x x x x 0 2 2 Bài 3: 1. y xlogx 2 x 0,x 1 . Giải bất phương trình: y' 0 . 2 2. y e x x .Giải phương trình: y'' y' 2y 0 . 2 3. y ln x x 1 . Giải phương trình: 2xy' 1 0 . Bài 4: Xét tính đơn điệu của hàm số : y ln x4 3x2 4 Bài 5: 1. Xác định a để hàm số y log 3 2 x đồng biến trên khoảng 0; . 2a 3a 2a 2 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 5 x 2 a. y 2x ln 1 x2 b. y 5 x 1 x 2 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 6: 9 5x 5 x 2 15 5x 1 1. Cho hàm số: y 6 . Tìm giá trị lớn nhất và x x x 4 5 5 2 2 5 1 nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 . 2x 2x x x 2. Cho hàm số: y 2 3 2 3 8 2 3 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài 7: Chứng minh rằng: b c d a d c b a 0 a b c d 1. a .b .c .d a .d .c .b với bc ad x y 2y 2. ln với x 0 và y 0 . x 2x y 3. a2 ln b b2 lna lna ln b với 0 a b 1 . b a a 1 b 1 4. 2 2 với a b 0 . 2a 2b Bài 8: 1. Cho 0 k 1 và a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng : 23
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 1 1 ak bk k bk ck k ck ak k a b c . 2 2 2 2. Cho hai số thực a,b 0 thỏa a b 1 và1 k 2 . Chứng minh rằng: 3 1 k akbk ak bk 2 . 2 1 3. Chứng minh rằng : ln 1 1 x ln x, x 0 x x 4. Chứng minh rằng : ln 1 x x, x 0 1 x x b b x a a 5. Cho x,a,b 0,a b . Chứng minh rằng: x b b y x 6. Chứng minh rằng : 2x 3x 2y 3y , x y 0 . x 1 x x 1 7. Chứng minh rằng: x với mọi x 1. 2 24