Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hệ phương trình mũ. Logarit (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Hệ phương trình mũ. Logarit (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Dạng 1. Phương pháp thế - biến đổi về hệ đại số Phương pháp: Để giải hệ phương trình mũ và logarit ta thường sử dụng các phép biến đổi mũ – logarit, chúng ta tìm cách làm giảm số ẩn của hệ và chuyển về phương trình một ẩn hoặc chuyện hệ đã cho về hệ phương trình đại số. Ví dụ 1.1.4 Giải các hệ phương trình: 2 2 2 x 4x y 2 0 log2(x y ) 1 log2(xy) 1. 2. 2log (x 2) log y 0 x2 xy y2 2 2 3 81 Lời giải. x 2 1. Điều kiện: y 0 x2 4x y 2 0 x2 4x y 2 0 Hệ đã cho log2(x 2) log2 y 0 x 2 y y x 2 x 3 2 (do điều kiện). x 3x 0 y 1 Vậy nghiệm của hệ là (x; y) (3;1) . 2. Điều kiện: xy 0 log (x2 y2 ) log (2xy) x2 y2 2xy Hệ đã cho 2 2 2 2 2 2 x xy y 4 x xy y 4 x y x y 2 2 . x 4 x y 2 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x; y) ( 2; 2), (2; 2) . Ví dụ 2.1.4 Giải các hệ phương trình: 2 logx xy logy x 2y 3 2x 3 2 1. 2. 2x y 2x y 2logy x log 2 2 2 4(2y 1)log 2 2 y 4y 3 3 3 9 Lời giải. 1. Điều kiện: 0 x,y 1. 64
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 1 logx y 2logy x log y log y 2 0 Hệ x x 2 2logy x logy (4y 3) x 4y 3 x y logx y 1 2 x y 2 7 2 x 4x 3 0 x 4y 3 x 2 1 x2 logx y 2 1 y y 2 x 4y 3 2 4 4y 3y 1 0 1 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x; y) 2 7; 2 7 , 2; . 4 3 x 2 2. Điều kiện: . 3 y 2 2x y 2x y 2y 1 Phương trình thứ hai của hệ 3log3 2 2 2 3log3 2 22x y 22x y 2 2.22y 22x y 22y 1 2 22y 1 0 22y 1 22x y 2 0 22x y 2 y 2x 1 thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: 4x 1 2x 3 2 4x 1 2 2x 3 4x 1 4 4 2x 3 2x 3 3 x x 2 y 3 x 2 2x 3 2 2 x 6 y 11 x 8x 12 0 Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) (2; 3), (6;11) . Ví dụ 3.1.4 Giải các hệ phương trình: 2x 2 2y 2 3 2 17 2x 4y 32 1. 2. x 1 y 2.3 3.2 8 xy 8 Lời giải. u 3x 1. Đặt , điều kiện u 0,v 0 . y v 2 9u2 4v2 17 Hệ phương trình đã cho biến đổi về dạng: 6u 3v 8 65
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2 8 6u 2 1 9u 4 17 9u 6u 1 0 1 3x 3 u x 1 8 6u 3 3 v y y 1 8 6u v 2 2 2 v 3 3 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm 1;1 2. Cách 1: Dễ thấy, x 4; y 2 thỏa hệ phương trình. Nếu x 0 thì y 0 và 2x 4x 1 1 32 . Do đó chỉ xét x 0 . 16 8 Thay y vào phương trình đầu ta được: 2x 2 x 32 . x 16 Xét hàm số f x 2x 2 x với x 0 . 16 16 Ta có: f' x 2x ln 2 2 x ln 2; x2 16 16 16 Với x 0 : f' x 0 x  2x  2 x ,x 0 x ,x 0 x 4 x x f 4 32 vì f' 4 0 nên x 4 là điểm cực tiểu của f x . Vì vậy với mọi x 0 và x 4 ta có cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán là: x; y 4; 2 . Để ý: Chứng minh f x 32 với x 0 một cách dễ dàng: 16 1 16 1 x 16 f x 2 2x  2 x 2 2 x , hơn nữa x 8 , từ đây ta có đpcm x Cách 2: Ta có x,y là 2 số dương, vì nếu x,y âm thì 2x 4y 2 32 Khi đó, 2x 4y 2 2x.4y 2 22 xy 32 Đẳng thức xảy ra khi x 2y suy ra x 4,y 2 . Ví dụ 4.1.4 Giải các hệ phương trình: 2x2 2 2x2 y y 3x 1 y 2 y 3x 4 2 4 1 2 2 3.2 1. 2. 2y 2 2x2 y 2 2 3.2 16 3x 1 xy x 1 Lời giải. 2 2 x 1 2 4 4.4x 1.2y 22y 1 1. Hệ đã cho viết lại: 2y x2 1 y 2 3.4 .2 4 66
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2 1 1 y Đặt u 4 u , v 2 v 0 4 2 2 u 4uv v 1 1 Khi đó hệ viết về dạng: 2 v 4uv 4 2 Cách 1: Từ phương trình 1 và 2 suy ra 4u2 13uv 3v2 0 u 3v 4u v 0 u 3v hoặc v 4u Thay u 3v vào phương trình 2 , ta thấy phương trình vô nghiệm. Thay v 4u vào phương trình 2 , ta được u 1 2 u 1 4x 1 1 x2 1 0 x 1 v 4 y y 2 y 2 2 4 Vậy, hệ phương trình có nghiệm 1; 2 , 1; 2 Cách 2: Vì v 0 không là nghiệm của hệ, từ phương trình 2 suy ra v2 4 u 3 . 3v Thay 3 vào 2 , ta được 2v4 31v2 16 0 v2 16 2v2 1 0 v2 16 v 4 2 u 1 4x 1 1 x2 1 0 x 1 Ta có: v 4 y y 2 y 2 2 4 Vậy, hệ phương trình có nghiệm 1; 2 , 1; 2 3x 1 y 2 y 3x 2 2 3.2 1 2. 2 3x 1 xy x 1 2 x+1 0 x 1 Phương trình 2 2 3x 1 xy x 1 x 3x y 1 0 x 1 x 0  y 1 3x Với x 0 thay vào phương trình 1 , ta được: 8 8 2 2y 2 3.2y 8 2y 12.2y 2y y log 11 2 11 67
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. x 1 Với thay vào phương trình 1 , ta được: y 1 3x 23x 1 2 3x 1 3.2 3 1 Đặt t 23x 1 , vì x 1 nên t 4 1 t 3 2 2 Phương tình 3 trở thành: t 6 t2 6t 1 0 t t 3 2 2 1 Đối chiếu điều kiện t ta chọn t 3 2 2 . 4 1 Ta có : 23x 1 3 2 2 x log 3 2 2 1 3 2 y 1 3x 2 log2 3 2 2 1 x 0 x log 3 2 2 1 2 Vậy, hệ cho có nghiệm : 8 , 3 y log2 y 2 log 3 2 2 11 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các hệ phương trình: 2 x y 2 2 12 logx xy logy x 1. 2. x y 5 2logy x y 4y 3 2 2 2 2 log2 x y 1 log2 xy lg x y 1 3lg 2 3. 4. x2 xy y2 lg x y lg x y lg 3 3 81 y 2x 2x y lg x lg y 1 2 3 2 5. 6. 3 7 6 0 2 2 3 2 x y 29 lg(3x y) lg(y x) 4lg 2 0 3x 1 y 2 y 3x 2 2 3.2 xlog8 y ylog8 x 4 7. 8. 2 3x 1 xy x 1 log4 x log4 y 1 Bài 2: Giải các hệ phương trình: 2 4 xy 2x 4 x 2x 3 log3 5 y 4 y 4x 2 5 3 5 1. 2. x 3 3 y 2 x y 2 2 4 y y 1 y 3 8 68
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 y log x 1 log y 2 x 2.2 3 1 9 3 3. 4. y 2 2 3x 4 25 2 log x 2y 10y 7 2 2 3x 1 xlog 3 log y y log log (y x) log 1 2 2 2 2 1 4 5. 6. y 2y 4 2 2 xlog3 12 log3 x y log3 3 x y 25 Bài 3: Giải các hệ phương trình: 3 2 x x logx x 2x 3x 5y 3 2 log y 2 log y 5 1. 2. 2 2 log y3 2y2 3y 5x 3 4x log2 y 5 y 2 2 2log3 x(6 3y xy 2x) log2 y (x 6x 9) 6 3. log3 x(5 y) log2 y (x 2) 1 23x 5y2 4y x 1 2 y 1 4. x x 1 5. 4 2 2 3 y 3.log9(9x ) log3 y 3 2x 2 4 y x4 (x y).3 1 log2 x 3 5 log3 y 5 6. 7. 4 x4 y 3 log x 1 log y 1 8(x y) 6 0 2 3 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: log x2 y2 log 2x 1 log x 3y 4 4 4 1. x 2 log4 xy 1 log4 4y 2y 2x 4 log4 1 y 2y 3 2x 3 2 2. 2x y 2x y log 2 2 2 4 2y 1 log 2 2 3 3 9 2x2y 1 x y 2 2log3x 1 2x 1 1 log3x 1 3. 6x2 5x 1 y 5 2x 1 2 2 16 0 x2 y2 x y 2 .4 32 4. 2 x2 y2 4 x3 y3 4 x2 y2 13 2x2y2 69
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 5: Giải các hệ phương trình: ì x y ï + log 3x 1 log y 3 ï y x 2 4 1. í 4 = 32 2. ï 2 ï 2 x 4y 3log9 4 10 îï log3(x- y)= 1- log3(x + y) 4log3 xy 2 2log3 xy 3. 2 2 1 log 4x 4y log x log x 3y 4 2 4 4 x- 4y ïì æ ö x- y ï ç1÷ ï ç ÷ = ( 5) 4. í èç5ø÷ ï ï îï log2 (x + y)+ log2 (x- y)= 5 Bài 6: Giải các hệ phương trình: log x y 3log x y 2 ïì log 6x + 4y = 2 1 2 8 ï x ( ) ( ) 1. 2. í 2 2 2 2 ï log (6y + 4x)= 2(2) x y 1 x y 3 îï y log xy 3log xlog y 3 4 x 8 8 8 x 1 3y 1 3. x 3 4. x log2 logy x y 4 y log3 x 1 2 Bài 7: Giải các hệ phương trình: 2 2log1 x xy 2x y 2 log2 y x 2x 1 6 1. log1 x y 5 log2 y x 4 = 1 6x2 y2 5xy 7x 3y 2 0 1 2. x y x 2 ln 2 3 y 2 2x3 y3 2y2 x2 2y x 1 3. 1 log2 x logxy 16 4 2 logy 2 Dạng 2. Phương pháp hàm số Phương pháp: 70
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dấu hiệu giúp chúng ta nhận diện phương pháp hàm số là trong hệ có một phương trình có dạng f x f y hoặc khi cộng hay trừ hai phương trình của hệ ta được phương trình có dạng đó. Khi đó, dựa vào tính đơn điệu của hàm số y f t ta tìm được mối quan hệ giữa x và y . Ví dụ 1.2.4 Giải các hệ phương trình: 2(x y)2 (2x 1)2 3y(x 1) x (1) ln 1 x ln 1 y x y 1. 2. 2 2 x y x 12xy 20y 1 ln(x 2) ln(y 2) (2) 3 Lời giải. 1. Điều kiện: x,y 1 . Từ phương trình thứ 2 xy 0 Ta có: Phương trình thứ nhất ln(1 x) x ln(1 y) y f(x) f(y) Trong đó, f(t) ln(1 t) t , t 1 1 t có f'(t) 1 f'(t) 0 t 0 . 1 t 1 t Ta có bảng biến thiên: t 1 0 f'(t) 0 f(t) Dựa vào bảng biến thiên và kết hợp với nhận xét x.y 0 , ta có: 1 f(x) f(y) x y (1) x y thay vào phương trình thứ hai x y 3 1 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: x y . 3 2. Ta có: (1) 6x2 (5 7y)x 2y2 3y 1 0 y 2x 1 (2x y 1)(3x 2y 1) 0 3x 1 . y 2 Từ đây, ta thấy x,y cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 (*). (2) 3ln(x 2) x 3ln(y 2) y f(x) f(y) 3 1 t Trong đó, hàm f(t) 3ln(t 2) t có f'(t) 1 t 2 t 2 71
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. f'(t) 0 t 1 . Dựa vào bảng biến thiên và nhận xét (*) ta có: f(x) f(y) x y . Từ đây, ta có được x y 1 là nghiệm của hệ đã cho Ví dụ 2.2.4 Giải các hệ phương trình: x y sin x e 1. sin y với x,y 0; 2 2 4 3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y (1 42x y )51 2x y 1 22x y 1 (1) 2. 3 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0 (2) Lời giải. sin x ex ey 1. Ta có : ex y f(x) f(y) , sin y sin x sin y et Trong đó f(t) , t 0; . Hàm f t liên tục trên 0; và có sin t 4 4 et cost(tan t 1) f'(t) 0 t 0; f(t) là hàm nghịch biến trên sin2 t 4 0; f(x) f(y) x y thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 3 8x2 3 1 6 2x2 2x 1 8x 3( 8x2 3 2 2x2 2x 1) 8x 1 0 3(8x 1) 1 8x 1 0 x 0; . 8x2 3 2 2x2 2x 1 8 4 1 Vậy hệ có cặp nghiệm duy nhất: x y . 8 1 4 2. Đặt t 2x y . Khi đó (1) trở thành: 5[( )t ( )t ] 1 2.2t (*) 5 5 Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t 1 là một nghiệm của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t 1. Với t 1 ta có: 2x y 1 2x y 1 . Do đó: (2) y3 2y 3 ln(y2 y 1) 0 ( ) Xét hàm số f(y) y3 2y 3 ln(y2 y 1) , ta có: 72
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2y 1 2y2 4y 3 f'(y) 3y2 2 3y2 0 nên f(y) là hàm đồng biến. y2 y 1 y2 y 1 Mà f( 1) 0 nên ( ) có nghiệm duy nhất y 1 . x 0 Vậy nghiệm của hệ là: . y 1 Ví dụ 3.2.4 Giải các hệ phương trình: ïì 3 x 3 x y ï ex + x + ln - ey + y = 0 1 2 2 y x ï ( ) 1. 2. í y x2 3y 2y2 3x 2 0 ï ï + 8 - 4 - = îï x x 3y y 4(2) Lời giải. x y x y 2 2 y x 2 x 2 y 1. 2 2 2 2 x 3y 2y 3x 2 0 x 3y 2y 3x 2 0 Xét hàm f t 2t t f ' t 2t ln 2 1 0,t ¡ Vậy f t là hàm đơn điệu tăng trên ¡ , mà f x f y nên x y . Với x y , phương trình thứ 2 trở thành: x2 3x x2 3x 2 0 1 2 x 2 x x 3x 2 0 2 1 x2 3x 2 0 1 x  x 2  x 3 x  x 2 2 2 2 x 3x 0 x 0  x 3 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x hoặc x 2 hoặc x 3. 2 2. Điều kiện : x > 0,y > 0. x3+ x y3+ y Phương trình (1) tương đương với e + lnx = lny + e dạng f(x)= f(y). t3+ t Xét hàm số : f(t)= lnt + e với t > 0 . Ta có : f '(t)> 0 với " t > 0 , suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến trên khoảng (0;+ ¥ ) và f(x)= f(y)Û x = y . 73
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 8 4 4 Với x = y thay vào phương trình (2) ta được x + 3x = 4(3). Đặt u = x 2 với u ³ 0 , khi đó phương trình (3) trở thành u + 3u- 4 = 0, phương trình này có nghiệm u = 1 thỏa điều kiện u ³ 0 . 4 2 Với u = 1 tức x = 1 hay x = 1 suy ra x = ± 1. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là (1;1). Ví dụ 4.2.4 Giải các hệ phương trình: 1 x cos x cos y log (1 3cosx) log (sin y) 2 e 1. 2 3 2. 1 y log (1 3sin y) log (cosx) 2 2 3 2 y 2x x 1 Lời giải. cosx 0 1. Điều kiện: . sin y 0 log (1 3u) log (v) 2 Đặt u cosx; v sin y , ta có hệ: 2 3 log2(1 3v) log3(u) 2 trừ hai vế ta được: log3(1 3u) log3 u log3(1 3v) log3 v f(u) f(v) (*) Vì hàm số f(t) log3(1 3t) log3 t là hàm đồng biến nên(*) u v . Thay 1 3u 1 vào hệ ta có: log (1 3u) log u 2 9 u 3 3 u 6 1 sin y y k2 6 Vậy hệ đã cho y k2 , 1 cosx x  m2 6 1 (trong đó sin cos ). 6 1 x cos x cos z e (1) 2. Đặt z y , ta có hệ : 1 z . 2 z 1 2x x (2) z 1 2 (2) 1 z 2x x 2 2 x,z [0; 2] . (z 1) (x 1) 1 Vì hai vế của (1) dương, nên lấy logarit neper hai vế ta được : ln(1 x) cosx ln(1 z) cosz (1.1). Xét hàm số f(t) ln(1 t) cost, t 0; 2 74
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 f'(t) sin t 0 f(t) là hàm đồng biến (1.1) x z . 1 t 2 Thế vào (2) ta được x z 1 . 2 2 2 Vậy nghiệm của hệ :(x; y) 1 ; 1 . 2 2 Ví dụ 5.2.4 Giải các hệ phương trình: 3 2 2 x 3x 3 ln(x x 1) y x 2x 6 log3(6 y) x 3 2 2 1. y 3y 3 ln(y y 1) z 2. y 2y 6 log3(6 z) y 3 2 z 3z 3 ln(z z 1) x z2 2z 6 log (6 x) z 3 Lời giải. 1. Xét hàm số f(t) t3 3t 3 ln(t2 t 1) f(x) y Khi đó hệ có dạng : f(y) z . f(z) x 2t 1 Ta có: f'(t) 3t2 3 0 nên f(t) là hàm đồng biến 2 t2 t 1 Ta giả sử x,y,z là no của hệ và x max{x,y,z} khi đó, ta suy ra y f(x) f(y) z z f(y) f(z) x . Vậy x y z . Thay vào hệ ta được phương trình : x3 2x 3 ln(x2 x 1) 0 . Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x 1. Vậy hệ đã cho có nghiệm là x y z 1 . x log3(6 y) 2 x 2x 6 f(y) g(x) y 2. Hệ log3(6 z) f(z) g(y) 2 y 2y 6 f(x) g(z) z log3(6 x) z2 2z 6 t Trong đó f(t) log3(6 t) ; g(t) với t ( ;6) t2 2t 6 75
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 6 t Ta có f t là hàm nghịch biến và g t có g'(t) 0 t ( ;6) 3 t2 2t 6 g(t) là hàm đồng biến. Ta giả sử x,y,z là nghiệm của hệ và x Max{x,y,z} . Khi đó : g(x) g(y) f(y) f(z) y z g(y) g(z) f(z) f(x) z x g(z) g(x) f(x) f(y) x y Vậy x y z x x y z . x thay vào hệ ta có phương trình : log3(6 x) x2 2x 6 Phương trình này có nghiệm duy nhất x 3 . Vậy nghiệm của hệ đã cho là x y z 3 . Ví dụ 6.2.4 Tìm m để hệ sau có nghiệm : 72x x 1 72 x 1 2013x 2013 (1) 2 x (m 2)x 2m 3 0 (2) Lời giải. Ta có: (1) 72 x 1 (72(x 1) 1) 2013(1 x) (3) . • Nếu x 1 VT(3) 0 VP(3) (3) vô nghiệm. • Nếu x 1 VT(3) 0 VP(3) (3) đúng (3) có nghiệm 1 x 1 . Suy ra hệ có nghiệm (2) có nghiệm 1 x 1 . x2 2x 3 Ta có:(2) m f(x) . Xét hàm số f(x) với 1 x 1 , có: x 2 x2 4x 1 f'(x) f'(x) 0 x 2 3 . (x 2)2 Bảng biến thiên x 1 2 3 1 f'(x) + 0 – 2 2 3 f(x) 2 2 Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm 2 m 2 2 3 . 76
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 7.2.4 Xác định giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt : log (x 1) log (x 1) log 4 (1) 3 3 3 2 . log (x 2x 5) m log 2 5 (2) 2 x2 2x 5 Lời giải. Điều kiện : x 1. x 1 x 1 (1) log log 2 2 1 x 3 (Do x 1). 3 x 1 3 x 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x thỏa mãn1 x 3 . 2 Đặt t log2(x 2x 5) 2 t 3 x (1; 3) và (2) trở thành m t 5 t2 5t m (3) t Từ cách đặt t ta có: (x 1)2 2t 4 Với mỗi giá trị t (2; 3) thì cho ta đúng một giá trị x (1; 3) . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x (1; 3) (3) có 2 nghiệm phân biệt t (2; 3) . Xét hàm số f(t) t2 5t với t (2; 3) 5 f'(t) 2t 5 f'(t) 0 t 2 Bảng biến thiên 5 2 3 t 2 f'(t) 0 + 6 6 f(t) 25 4 25 (3) có 2 nghiệm phân biệt t (2; 3) m 6 4 25 6 m là những giá trị cần tìm. 4 x2 y3 29 Ví dụ 8.2.4 Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình sau: log3 x.log2 y 1 Lời giải. a b Đặt a log3 x x 3 ; b log2 y y 2 . 77
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 a b b 9 8 29 a Hệ đã cho trở thành: . a.b 1 1 a 9 8a 29 (*) Từ hệ a,b 0 . Số nghiệm (*) chính là số nghiệm của hệ. 1 1 1 Xét hàm số f(a) 9a 8a 29 , có f'(a) 9a ln9 8a ln8 a2 1 1 2 1 f "(a) 9a ln2 9 8a ln8 8a ln2 8 0 (do a 0 ) a a4 f'(a) có nhiều nhất một nghiệm f(a) có nhiều nhất hai nghiệm. 1 Mà f 38 0;f(1) 12 0;f(3) 702 0 2 1 Suy ra f(a) có hai nghiệm thuộc hai khoảng ;1 và (1; 3) hay phương trình 2 (*) có hai nghiệm phân biệt. Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các hệ phương trình: 2 1 2 8y x 1 2 2 4 3 2 y x 1. 2 3 7 2 x y x y 2 2 2y 4y2 3x2 x4 x2 3 2. 2012x 2y 2x 5 x 1 4024 ïì 2 x3 + 2x- y - 1 = x2 (y + 1) ï ( ) 3. í ï y3 + 4x + 1+ ln y2 + 2x = 0 îï ( ) ì x y ï x- y = e - e (1) ï 4. í log2 x + 3log y = 2 2 ï 2 1 ( ) îï 2 78
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt log2 x log x2 0 2 2 5. x3 3x2 5x 9 0 3 Bài 2: Giải các hệ phương trình: 3x 3y y x 1. 2 2 x xy y 12 3 x 3 x x log2 8y 2y 1 y 2. 1 y2 xy 0,x 0, y 0 4 ïì 2log (2x + 3y)= log (2+ 2x + 3y)(1) ï 7 3 3. í ï ln 4x2 + x + 1 + x3 + 21= 9y2 (2) îï ( ) Bài 3: Giải các hệ phương trình: 3 x 3 x x log2 8y 2y 1 1 y 1. 1 y2 xy 0 x 0, y 0 2 4 log2 xy log23 9 3 2 xy 1 2. 2 2 x 1 y 1 1 2 ïì 2 y- 1 ï x + x - 2x + 2 = 3 + 1 3. í ï 2 x- 1 îï y + y - 2y + 2 = 3 + 1 ïì 2xy 2 ï x + = x + y ï 3 2 ï x - 2x + 9 4. í ï 2xy 2 ï y + = y + x ï 3 2 îï y - 2y + 9 Bài 4: Giải các hệ phương trình: x y e e log2 y log2 x xy 1 1 1. 2 2 x y 1 2 79
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2 2 x y 2x 1 3y x 1 x 2. x y ln x 2 ln y 2 3 Bài 5: 2x x 1 2 x 1 7 7 2011x 2011 Tìm m để hệ có nghiệm 2 x m 2 x 2m 3 0 Bài 6: x y e 2013 y2 1 Chứng minh rằng hệ: có đúng hai nghiệm thỏa mãn x y e 2013 x2 1 x 1,y 1 80