Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.TĨM TẮT GIÁO KHOA. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên * Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y’; + Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y’ bằng 0 hoặc khơng xác định ; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số * Tìm cực trị * Tìm các giới hạn tại vơ cực ,các giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu cĩ ) * Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên ) 3. Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm (bước này chỉ thực hiện với hàm bậc ba ) + Tính y’’ + Giải phương trình y’’=0 + Lập bảng xét dấu y’’ 4. Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ CHÚ Ý. 1. Nếu hàm số tuần hồn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì ,sau đĩ tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox 2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm ,đặc biệt là giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ 3. Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác HÀM SỐ BẬC BA : y ax3 bx2 cx d 1. Tập xác định: D ¡ 2. Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c , b2 3ac 0 : Hàm số cĩ 2 cực trị. 0 : Hàm số luơn tăng hoặc luơn giảm trên ¡ . b 3. Đạo hàm cấp 2: y'' 6ax 2b , y'' 0 x 3a b x là hồnh độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 3a 4. Giới hạn: Nếu a 0 thì: lim y ; lim y x x 124
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Nếu a 0 thì: lim y ; lim y x x 5. Bảng biến thiên và đồ thị: Trường hợp a 0 : * b2 3ac 0 : Hàm số cĩ 2 cực trị x x1 x2 y' 0 0 CĐ y CT * b2 3ac 0 y 0,x ¡ : Hàm số luơn tăng trên ¡ . x y' y Trường hợp a 0 : * b2 3ac 0 : Hàm số cĩ 2 cực trị. x x1 x2 y' 0 0 CĐ y CT * b2 3ac 0 y 0,x ¡ : Hàm số luơn giảm trên ¡ . x y' y Một số tính chất của hàm số bậc ba 125
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: b2 3ac 0 . a 0 ¡ 2. Hàm số luơn đồng biến trên 2 b 3ac 0 a 0 ¡ 3. Hàm số luơn nghịch biến trên 2 b 3ac 0 4. Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f (x) : f(x) f (x).g(x) rx q Nếu x1 ,x2 là hai nghiệm của f (x) thì: f(x1) rx1 q; f(x2 ) rx2 q Khi đĩ đường thẳng đi qua các điểm cực trị là y rx q . 5. Đồ thị luơn cĩ điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị. 6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt hàm số cĩ hai cực trị trái dấu nhau. 7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt đồ thị hàm số cĩ hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox. 8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm hoặc hàm số khơng cĩ cực trị hoặc hàm số cĩ hai cực trị cùng dấu. 9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho M (C) * Nếu M  I thì ta cĩ đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất ( nếu a 0 ), lớn nhất (nếu a 0 ). * Nếu M khác I thì cĩ đúng 2 tiếp tuyến đi qua M . HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG : y ax4 bx2 c 1. TXĐ: D ¡ b 2. Đạo hàm: y 4ax3 2bx 2x(2ax2 b) y 0 x 0 hoặc x2 . 2a * Nếu ab 0 thì y cĩ một cực trị x0 0 b * Nếu ab 0 thì y cĩ 3 cực trị x 0; x 0 1,2 2a b 3. Đạo hàm cấp 2: y 12ax2 2b, y 0 x2 6a * Nếu ab 0 thì đồ thị khơng cĩ điểm uốn. * Nếu ab 0 thì đồ thị cĩ 2 điểm uốn. 4. Bảng biến thiên và đồ thị: * a 0,b 0 : Hàm số cĩ 3 cực trị. x x1 0 x2 y' 0 0 0 CĐ y CT CT 126
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * a 0,b 0 : Hàm số cĩ 3 cực trị. x x1 0 x2 y' 0 0 0 CĐ CĐ y CT * a 0,b 0 : Hàm số cĩ 1 cực trị. x 0 y' 0 y CT * a 0,b 0 : Hàm số cĩ 1 cực trị. x 0 y' 0 CĐ y 127
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Tính chất: * Đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c (a 0) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: aX2 bX c 0 cĩ 2 nghiệm dương phân biệt thỏa X1 9X2 . * Nếu đồ thị hàm số cĩ ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân cĩ đỉnh nằm trên Oy. * Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị. ax b HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y , ac 0 . cx d d 1. TXĐ: D ¡ \  c  ad bc 2. Đạo hàm: y . Đặt m ad bc , ta cĩ: (cx d)2 * Nếu m 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định. * Nếu m 0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định. d a 3. Các đường tiệm cận : x là tiệm cận đứng và y là tiệm cận ngang. c c 4. Bảng biến thiên và đồ thị : * m 0 x d c y' || a y c a c * m 0 : x d c y' || a y c a c 5. Đồ thị của hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuơng gĩc cĩ tâm đối xứng 128
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt d a I ; , là giao điểm của 2 đường tiệm cận. c c ax2 bx c HÀM SỐ PHÂN THỨC y , a. 0 x  C Thực hiện phép chia đa thức ta được: y Ax B (a. .C 0) . x    1. TXĐ: D ¡ \   C A( x )2 C C 2. Đạo hàm: y A y 0 ( x )2 ( x )2 ( x )2 A C * Nếu 0 thì hàm số khơng cĩ cực trị, hàm số tăng hoặc giảm trên từng A khoảng xác định. C * Nếu 0 thì hàm số cĩ 2 cực trị. A  3. Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: x và Tiệm cận xiên: y Ax B . 4. Bảng biến thiên * A 0, AC 0 : Hàm số cĩ 2 cực trị x  x x 1 2 y' 0 0 CĐ y CT * A 0, C 0 : Hàm số khơng cĩ cực trị x  y' y * A 0, C 0 : Hàm số cĩ 2 cực trị. x  x x 1 2 y' 0 0 CĐ y CT 129
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. * A 0, AC 0 : Hàm số khơng cĩ cực trị. x  y' || y Một số tính chất của hàm số hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1. g(x) Giả sử y với g(x) là một tam thức bậc 2 cĩ biệt số . ( x )2  1. Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu g(x) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 0  g 0 2ax b 2ax b 2. Các cực trị là: y 1 ; y 2 với x ,x là 2 nghiệm của y' 0 . 1 2 1 2 1 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị cĩ phương trình : y (2ax b)  3. Điều kiện để 2 cực trị trái dấu là : g(x) 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác và ax2 bx c 0 vơ nghiệm. 4. Giả sử M là điểm thuộc đồ thị hàm số. Nếu tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B thì ta cĩ : * M là trung điểm của AB và S IAB khơng đổi ( I là giao điểm 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thị). * Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là 1 hằng số. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN. Vấn đề 1 Hàm số bậc ba và vấn đề liên quan. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.1.6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số: 1 1. y x3 3x2 4. 2. y x3 3x2 3. y x3 2x2 4x 3 Lời giải. 1. Tập xác định : D ¡ ▪ Chiều biến thiên : 130
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt o Ta cĩ : y 3x2 6x 3x x 2 ; y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 0 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 4 o Giới hạn của hàm số tại vơ cực : lim y ; lim y x x ▪ Bảng biến thiên : x 0 2 + y' 0 + 0 y + 0 4 ▪ Đồ thị : o Cho x 1 y 0; x 3 y 4 2. Tập xác định : D ¡ ▪ Chiều biến thiên: o Ta cĩ : y 3x2 6x 3x x 2 ; y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 4 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 0 . o Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y ; lim y x x 131
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Bảng biến thiên: ▪ Đồ thị : Cho x 1 y 4; x 3 y 0. 3. Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên: o Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y ; lim y x x 2 o Ta cĩ: y' x2 4x 4 x 2 0 ,x ¡ Hàm số đồng biến trên khoảng ; , hàm số khơng cĩ cực trị . ▪ Bảng biến thiên: ▪ Đồ thị : Cho x 0 y 0 132
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 2.1.6 Cho hàm số y x3 3x2 1 cĩ đồ thị ( C ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số; 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A 3;1 . Lời giải. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: ▪ Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên : Ta cĩ : y' 3x2 6x 3x x 2 y' 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 y 0 x 0 ; 2 ; y 0 x ; 0  2 ; . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2 ; , đồng biến trên khoảng 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 5 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 1. o Giới hạn của hàm số tại vơ cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên: x 0 2 + y' 0 + 0 y + 5 1 o Đồ thị : Cho x = 1 y = 5; x = 3 y = 1. 2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A 3 ; 1 cĩ dạng : y 1 y 3 . x 3 y 9 x 3 1 y 9x 28 Ví dụ 3.1.6 Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đĩ m là tham số 133
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m 0 ; 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 . Lời giải. 1. Khi m 0 thì hàm số là : y x3 3x2 4 . ▪ Tập xác định: D ¡ ▪ Chiều biến thiên: o Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y ; lim y x x o Bảng biến thiên: + Ta cĩ: y 3x2 6x 3x x 2 y 0 3x x 2 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0 ; , nghịch biến trên khoảng 2 ; 0 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y 2 0 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 0 4 o Giới hạn của hàm số tại vơ cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên: x 2 0 + y' + 0 0 y 0 + 4 ▪ Đồ thị : Cho x 3 y 4 ; x 1 y 0 134
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Hàm số y x3 3x2 mx 4 đồng biến trên khoảng ;0 y 3x2 6x m 0 , x ;0 . Xét: g x 3x2 6x m , x ;0 g x 6x 6 g x 0 x 1 Bảng biến thiên : x 1 0 g'(x) 0 + g(x) + m 3 – m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: y' g x 3x2 6x m 0 , x ;0 3 m 0 m 3 Vậy khi m 3 thì yêu cầu của bài tốn được thỏa mãn . Ví dụ 4.1.6 Cho hàm số y 2x3 9x2 12x 4 cĩ đồ thị C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; 3 2. Tìm m để phương trình sau cĩ 6 nghiệm phân biệt: 2 x 9x2 12 x m Lời giải. + Bảng biến thiên: x 1 2 + y' + 0 0 + y 1 + 0 + Đồ thị : 3 3 2. Ta cĩ: 2 x 9x2 12 x m 2 x 9x2 12 x 4 m 4 135
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 3 Gọi C : y 2x3 9x2 12x 4 và C' : y 2 x 9x2 12 x 4 Ta thấy khi x 0 thì: C : y 2x3 9x2 12x 4 Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được C1 o Lấy đối xứng qua trục Oy phần C1 , ta được C2 o C C1  C2 Số nghiệm của phương trình: 3 2 x 9x2 12 x m 3 2 x 9x2 12 x 4 m 4 là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng d : y m 4 . Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài tốn 0 m 4 1 4 m 5 . CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP 1 Bài 1: Cho hàm số : y f x x3 3x2 9x 5 cĩ đồ thị là C . 8 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết tiếp tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất. Bài 2: Cho hàm số y f(x) x3 x 2 , cĩ đồ thị là C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ C . 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 x 2 m (1) Bài 3: Cho hàm số y x3 3x2 2 cĩ đồ thị là C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C 2. Tìm m để phương trình x3 3x2 m (1) cĩ ba nghiệm phân biệt. 3 3. Từ đồ thị C hãy suy ra đồ thị C' : y g(x) x 3x2 2 . 3 4. Biện luận số nghiệm của phương trình : x 3x2 m 0 (2) . Bài 4: Cho hàm số y 2x3 3x2 1 cĩ đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 136
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 36x 1 . 3 3 3. Tìm m để phương trình sau cĩ bốn nghiệm phân biệt : x x2 m 0 . 2 m 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2x2 x 1 . x 1 3 2 Bài 5: Cho hàm số y x 3mx (Cm ) , với tham số thực m . Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m 1 2. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (Cm ) . 3. Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y x 1. Khi đĩ viết phương trình tiếp tuyến của (Cm ) tại A . Bài 6: Cho hàm số y x3 – 3x2 4 cĩ đồ thị là (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ x = 3. 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất. x3 Bài 7: Cho hàm số y 2(m 1)x2 3(m 1)x 1 (1) ( m là tham số ). 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1) khi m = 0. 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên ¡ . 3. Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N ( M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 8: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 , trong đĩ m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m 0 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 3. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng. Bài 9: Cho hàm số y = 2x3 (m 1)x2 (m 2)x 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x – 3. 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cĩ điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu cĩ hồnh độ lớn hơn . 6 137
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 10: Cho hàm số y x3 3x2 9x 1 cĩ đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc lớn nhất. 3. Tìm m để đường thẳng dm : y (2m 1)x 1 cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 1),B,C sao cho BC 82 . 4. Tìm những điểm nằm trên (C) mà qua đĩ vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C). Vấn đề 2 Hàm số bậc trùng phương và vấn đề liên quan. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.2.6 Cho hàm số y x4 2x2 1 cĩ đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 2x2 1 m * Lời giải. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : Ta cĩ : y' 4x3 4x 4x x2 1 ; y' 0 4x x2 1 0 x 0 hoặc x 1 y 0 x 1 ; 0  1 ; ; y 0 x ; 1  0 ; 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0 ; 1 , đồng biến trên các khoảng 1 ; 0 và 1 ; . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 1 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 1 2 o Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên : 138
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt o Đồ thị : Cho y 1 x 0 ; x 2 . 2 . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và d : y m . Dựa vào đồ thị, ta thấy : + Khi m 2 thì (*) vơ nghiệm. m 2 + Khi thì (*) cĩ 2 nghiệm. m 1 + Khi 2 m 1 thì (*) cĩ 4 nghiệm. + Khi m 1 thì (*) cĩ 3 nghiệm. 1 3 Ví dụ 2.2.6 Cho hàm số y x4 mx2 cĩ đồ thị ( C ). 2 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m 3 2. Xác định m để đồ thị của hàm số cĩ cực tiểu mà khơng cĩ cực đại. Lời giải. 1 3 1. Khi m 3 thì hàm số là : y x4 3x2 . 2 2 ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : o Bảng biến thiên : + Ta cĩ : y' 2x3 6x 2x x2 3 x 0 y' 0 2x x2 3 0 x 3 Hàm số đồng biến trên các khoảng 3 ; 0 và 3 ; , nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 0 ; 3 . 3 Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 . 2 Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 3 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 3 3 . o Giới hạn của hàm số tại vơ cực : lim y ; lim y . x x + Bảng biến thiên: 139
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. x 3 0 3 + y' 0 + 0 0 + y 3 + + 2 3 3 ▪ Đồ thị : 3 o Cho y 2 1 x 0 x4 3x2 0 2 x 6 o Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nĩ nhận trục tung làm trục đối xứng . o Đồ thị (hình vẽ): 2. Tập xác định: D ¡ Đạo hàm: y 2x3 2mx; y 0 x 0 hoặc x2 m * Hàm số cĩ cực tiểu mà khơng cĩ cực đại y’ = 0 cĩ một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đĩ Phương trình (*) vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép x 0 m 0 Vậy giá trị cần tìm là: m 0 . Ví dụ 3.2.6 Cho hàm số y x4 – 2 m 1 x2 m cĩ đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1; 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đĩ O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cịn lại. Lời giải. 1. y x4 – 4x2 1 Tập xác định D = ¡ Sự biến thiên : Chiều biến thiên : y’ = 4x3 – 8x ; y’ = 0 x = 0 hoặc x = 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 2 ) và (0; 2 ) ; đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ; yCT = 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1 140
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Giới hạn: lim y lim y x x Bảng biến thiên: x 2 0 2 + y' 0 + 0 0 + y + 1 + 3 3 y - Đồ thị: 1 - 2 2 -2 O 2 x -3 4 2 2. Xét y = x – 2(m + 1)x + m (Cm) y’ = 4x3 – 4(m + 1)x Đồ thị của hàm số (Cm) cĩ ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 cĩ ba nghiệm phân biệt. Ta cĩ: y’ = 0 4x[x2 – m – 1] = 0 x 0 hoặc x2 m 1 Vì thế để thỏa mãn điều kiện trên thì phương trình x2 = m + 1 Cần cĩ hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều đĩ xảy ra khi và chỉ khi : m + 1 > 0 m > 1 (1) Kết luận thỏa mãn (1), (Cm) cĩ ba cực trị tại các điểm A(0, m), B m 1; m2 m 1 , C m 1; m2 m 1 Lúc đĩ: OA = OB OA2 = BC2 (do OA > 0 ; BC > 0) m2 = 4(m + 1) m2 – 4m – 4 = 0 m = 2 2 2 Ví dụ 4.2.6 Cho hàm số y x4 mx2 m 1 1 cĩ đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8 ; 2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt. Lời giải. 1. Khi m 8 y x4 8x2 7. ▪ Tập xác định : D ¡ . ▪ Chiều biến thiên : 141
19. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. + Ta cĩ : y 4x3 16x 4x x2 4 ; y 0 4x x2 4 0 x 0 hoặc x 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng 2 ; 0 và 2 ; , nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 0 ; 2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y 0 7 . Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 2 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y 2 9. o Giới hạn của hàm số tại vơ cực : lim y ; lim y . x x o Bảng biến thiên : x 2 0 2 + y' 0 + 0 0 + y + 7 + 9 9 ▪ Đồ thị (hình vẽ): o Cho y 7 x4 8x2 0 x 0 x 2 2. o Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nĩ nhận trục tung làm trục đối xứng. 4 2 2. Gọi Cm : y x mx m 1. Phương trình hồnh độ giao điểm của Cm và trục Ox : x4 mx2 m 1 0 (1). Đặt t x2 , t 0 , suy ra 1 t2 mt m 1 0 (2). Yêu cầu bài tốn phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt m2 4m 4 0 m 1 S m 0 m 2. P m 1 0 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP 142
20. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4 2 Bài 1: Cho hàm số y x 3(m 1)x 3m 2 , cĩ đồ thị là Cm 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C1 khi m 1 2. Tìm các giá trị của m để Cm cĩ ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuơng. Bài 2: Cho hàm số y x4 2x2 2 cĩ đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng x 24y 1 0 . 3. Tìm a để Parabol (P): y 2x2 a tiếp xúc với (C). Bài 3: Cho hàm số y x4 6x2 5 cĩ đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn. 3. Tìm m để phương trình (x2 5) x2 1 m cĩ 6 nghiệm phân biệt. 4 2 Bài 4: Cho hàm số y x 2(m 1)x 2m 1 cĩ đồ thị là (Cm ) 1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (3) của hàm số khi 1. 2. Tìm giá trị của m để đồ thị (Cm ) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D sao cho AB BC CD . 3. Tìm m để (Cm) cĩ ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuơng. Bài 5: Cho hàm số y x4 2mx2 2m 5 (1) ( m là tham số ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị và ba đỉểm này là ba đỉnh của một tam giác cĩ diện tích bằng 32. CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 6: Cho hàm số y x4 2(m 1)x2 4m 4 (1) . 1. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số (1) luơn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào (các điểm này gọi là các điểm cố định của đồ thị hàm số (1). 2. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số chỉ cĩ điểm cực tiểu mà khơng cĩ điểm cực đại . 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0. 4. Cho hai điểm A 0; 16 và B 1; 8 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tam giác MAB cĩ diện tích nhỏ nhất. Vấn đề 3 Hàm số hữu tỷ và vấn đề liên quan. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 143
21. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. mx 4 Ví dụ 3.3.6 Cho hàm số y , trong đĩ m là tham số thực. x m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 Lời giải. x 4 1. Khi m 1thì hàm số là: y . x 1 ▪ Tập xác định: D ¡ \ 1. ▪ Chiều biến thiên: 3 + Ta cĩ : y 0 , x 1 2 x 1 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1 ; o Giới hạn vơ cực, giới hạn tại vơ cực và các đường tiệm cận: + Ta cĩ: lim y , lim y , do đĩ đường thẳng x 1 x 1 x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (khi x 1 và khi x 1 ). + Ta cĩ: lim y lim y 1, nên đường thẳng y 1 là tiệm cận x x ngang của đồ thị hàm số đã cho (khi x và khi x ) o Bảng biến thiên: x 1 + y' y 1 + 1 ▪ Đồ thị : (hình vẽ) o y 0 x 4 ; x 0 y 4 , tức là đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm 4; 0 , cắt trục tung tại 0; 4 o Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng . 144
22. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 Tập xác định: D ¡ \ m m2 4 y . 2 x m Yêu cầu bài tốn y' 0,x ; 1 m2 4 0 2 m 2 2 m 2 2 m 1. x m ;1 m 1 m 1 Vậy giá trị cần tìm là: 2 m 1 . 2x 1 Ví dụ 4.3.6 Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Lời giải. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ▪ Tập xác định: D ¡ \ 1. ▪ Sự biến thiên: 3 o Chiều biến thiên: y 0 , x D . 2 x 1 Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 và 1 ; . o Cực trị: Hàm số khơng cĩ cực trị. ▪ Giới hạn : lim y lim y 2 ; lim y và lim y . x x x 1 x 1 Suy ra đồ thị hàm số cĩ một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2. ▪ Bảng biến thiên: x 1 + y' y 2 + 2 ▪ Đồ thị : 145
23. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Đồ thị cắt trục tung tại A 0 ; 1 , cắt trục hồnh tại 1 B ; 0 2 Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I 1 ; 2 làm tâm đối xứng . 2. Đường thẳng d : y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt 2x 1 x m cĩ hai nghiệm phân biệt x 1 x2 m 2 x m 1 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 . 2 m 2 4 m 1 0 m2 8m 0 m 0 2 4 0 m 8 1 m 2 .1 m 1 0 Vậy, với m 0 hoặc m 8 thì đường thẳng (d) cắt đồ thì ( C ) tại hai điểm phẩn biệt. 2x 1 Ví dụ 5.3.6 Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hồnh bằng nhau. Lời giải. 2x 1 1. Xét hàm số y = (C) x 1 Tập xác định : D = ¡ \{ 1}. Sự biến thiên : 1 Chiều biến thiên : y 0, x D (x 1)2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và ( 1 ; + ) Giới hạn và tiệm cận: lim y lim y 2; tiệm cận ngang: y = 2. x x lim y , lim y ; tiệm cận đứng : x = 1 x ( 1) x ( 1) 146
24. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bảng biến thiên: x 1 + y' + y + 2 2 Đồ thị : y 2 1 1 O x 2. Gọi (d) là đường thẳng y = kx + 2k + 1. Khi đĩ hồnh độ giao điểm của (d) 2x 1 và (C) là nghiệm của phương trình : kx 2k 1 x 1 (x + 1)(kx + 2k +1 ) = 2x + 1 (do x = 1 khơng là nghiệm) kx2 + (3k 1)x + 2k = 0 (1) Để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) cần cĩ hai nghiệm phân biệt. Điều đĩ xảy ra khi và chỉ khi k 0 k 0 k 0 2 2 0 (3k 1) 8k 0 k (k 1) 0 k 0 k 3 2 2  k 3 2 2 Khi k thỏa mãn (2) ta cĩ: A x1; kx1 2k 1 và B x2 ; kx2 2k 1 , ở đây x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Ta cĩ : d(A, Ox) = d(B, Ox) kx1 2k 1 kx2 2k 1 kx1 2k 1 kx2 2k 1 k(x1 x2 ) 0 kx1 2k 1 kx2 2k 1 k(x1 x2 ) 4k 2 0 x1 x2 (do k 0) k x1 x2 4k 2 0 (do x1 x2 ) k(x1 x2 ) 4k 2 0 147
25. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 3k Theo định lí Viet, ta cĩ x +x , từ đĩ ta cĩ : 1 2 k 1 3k k 4k 2 0 k + 3 = 0 k = 3. k Rõ ràng k = 3 thỏa mãn (2), nên là giá trị duy nhất cần tìm của tham số k. x 1 Ví dụ 7.3.6 Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) 2x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải. x 1 1. Xét hàm số y = 2x 1 1 Tập xác định: D = ¡ \  2 Sự biến thiên: 1 Chiều biến thiên: y 0, x D 2 2x 1 1 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; và ; 2 2 1 1 Giới hạn và tiệm cận: lim y lim y ; tiệm cận ngang: y = . x x 2 2 1 lim y , lim y , tiệm cận đứng: x = 1 1 2 x x 2 2 Bảng biến thiên: x 1 + 2 y' y 1 + 1 2 2 Đồ thị: y (C) 1 x 148 O 2 1 1 - 2 -1
26. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Gọi d là đường thẳng y = x + m Hồnh độ giao điểm của d với (C) là nghiệm của phương trình x 1 x m (1) 2x 1 1 Vì x = khơng phải là nghiệm của x + 1, nên 2 (1) (x + m)(2x – 1) = x + 1 2x 2 + 2mx – m – 1 = 0 (2) Vì ’ = m2 + 2m + 2 = (m + 1)2 + 1 > 0 m, nên (d) và (C) luơn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm phân biệt của (2). Khi đĩ theo ý nghĩa hình học của 1 1 đạo hàm, ta cĩ: k k 1 2 2 2 2x1 1 2x2 1 2 2 4 x1 x2 8x1x2 4 x1 x2 2 = (3) 2 4x1x2 2 x1 x2 1 2m m 1 Theo định lí Viet, thì x x m ; x x (4) 1 2 2 1 2 2 Thay (4) vào (3) và cĩ: 2 4m 4 m 1 4m 2 2 k k 4m2 8m 6 4 m 1 2 (5) 1 2 2 2 m 1 2m 1 Từ (5) suy ra: k1 k2 lớn nhất m = 1. 2x Ví dụ 8.3.6 Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đĩ suy ra đồ thị của 2 x hàm số: y C x 1 1 2. Biện luận theo m số nghiệm x 1 ; 2 của phương trình: m 2 x m 0 149
27. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 1. + Bảng biến thiên : + Đồ thị (C) 2 x 2x * Ta cĩ : C : y khi x 0 . 1 x 1 x 1 2 x Mặt khác y là hàm số x 1 chẵn nên C1 nhận Oy làm trục đối xứng. Vậy đồ thị của hàm số 2 x y C gồm hai phần: x 1 1 + Phần 1: Phần của (C) khi x 0 . + Phần 2: Đối xứng của phần 1 qua Oy . 2 x 2. Ta cĩ : m 2 x m 0 m 1 . x 1 Số nghiệm x 1 ; 2 của (1) là số giao điểm của (C1) và d : y m trên đoạn 1; 2 . Nhìn vào đồ thị ta thấy: m 4 ▪ Khi thì phương trình (1) cĩ một m 0 nghiệm x 1 ; 2 . ▪ Khi m 0 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm x 1 ; 2 . Khi 0 m 4 thì phương trình (1) khơng cĩ nghiệm x2 x 1 Ví dụ 9.3.6 Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ; 150