Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Có hướng dẫn)

1. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F' x f x x K . 2. Các tính chất: Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F x C, C ¡ . Do vậy F x C gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu: f x dx F x C . Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu f,g là hai hàm liên tục trên K thì: f x g x dx f x dx g x dx . k.f x dx k f x dx với mọi số thực k 0 . Định lí 4. Nếu f x dx F x C thì f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C . 2. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm mở rộng x 1 dx 1 x dx C 1 ln ax b C 1 ax b a dx 1 ln x C sin ax b dx .cos ax b C x a x x 1 e dx e C cos ax b dx .sin ax b C a x x a dx 1 a dx C tan ax b C lna cos2 ax b a sin xdx cosx C dx 1 cot ax b C cosxdx sin x C sin2 ax b a dx dx 2 tan x C ax b C cos2 x ax b a dx 1 cot x C eax bdx eax b C sin2 x a 81
2. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ax b Chú ý: dx cx dx  1 1 Tách phân thức trong tích phân trở thành: p q cx dx  ax b Lấy nghiệm của cx thay vào ta được p dx  ax b Lấy nghiệm của dx  thay vào ta được q cx B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích Phương pháp: Để tìm nguyên hàm f(x)dx , ta phân tích f(x) k1.f1(x) k2.f2(x) kn .fn (x) Trong đó: f1(x), f2(x), ,fn (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm Khi đó: f(x)dx k1 f1(x)dx k2 f2(x)dx kn fn (x)dx . Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm: 3 2x2 x 1 x3 1 1 I dx J dx K x dx x 1 x 1 x Lời giải. 2x2 x 1 4 1. Ta có: 2x 3 x 1 x 1 4 Suy ra I (2x 3 )dx x2 3x 4ln x 1 C x 1 x3 1 x3 1 2 2 2. Ta có: x2 x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 2 2 x x Suy ra J x x 1 dx x 2ln x 1 C x 1 3 2 3 1 3 3 1 3. Ta có : x x 3x x x x3 4 2 3 3 1 x 3x 1 Suy ra K x 3x dx 3ln x C . x x3 4 2 2x2 82
3. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 2.1.5 Tìm nguyên hàm: dx x3 2x 1 2x2 1 I J dx K dx (x2 1)2 x2 2x 1 (x 1)5 Lời giải. 2 1 1 (x 1) (x 1) 1. Ta có: 2 2 4 2 (x 1) (x 1)(x 1) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 (x 1) (x 1)(x 1) (x 1) 4 (x 1) x 1 x 1 (x 1) 1 1 x 1 1 Suy ra I ln C . 4 x 1 x 1 x 1 2. Ta có: x3 2x 1 (x 1)3 3(x 1)2 5(x 1) 2 5 2 Suy ra I (x 2 )dx x 1 (x 1)2 x2 2 2x 5ln x 1 C . 2 x 1 3. Ta phân tích 2x2 1 2(x 1)2 4(x 1) 3 2 4 3 Suy ra: K dx 3 4 5 (x 1) (x 1) (x 1) 1 4 3 C . (x 1)2 3(x 1)3 4(x 1)4 3x 4.5x Ví dụ 3.1.5 Tìm nguyên hàm: I (ex 2e x )2 dx J dx 7x Lời giải. 1. Ta có: (ex 2e x )2 e2x 4 4.e 2x 1 Suy ra: I (e2x 4 4e 2x )dx e2x 4x 2e 2x C 2 x x x x 3 5 1 3 4 5 2. J 4. dx . . C 7 7 3 7 5 7 ln ln 7 7 sin4 x Ví dụ 4.1.5 Tìm nguyên hàm: I dx cos2 x 83
4. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Lời giải. 1 2 I cos x 2 dx cos2 x dx 1 3 1 I tan x 2x cos2xd 2x tan x x sin 2x C 2 4 2 4 Ví dụ 5.1.5 Tìm nguyên hàm: I cos4 2xdx J (cos3x.cos4x sin3 2x)dx Lời giải. 1 2 1 1. Ta có: cos4 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos2 4x 4 4 1 1 cos8x 1 1 2cos4x 3 4cos4x cos8x 4 2 8 1 1 1 I (3 4cos4x cos8x)dx 3x sin 4x sin8x C 8 8 8 1 2. Ta có : cos3x.cos4x cos7x cosx 2 3 1 sin3 2x sin 2x sin6x 4 4 1 1 3 1 Nên suy ra: J cos7x cosx sin 2x sin6x dx 2 2 4 4 1 1 3 1 sin7x sin x cos2x cos6x C . 14 2 8 24 1 1 xex 1 Ví dụ 6.1.5 Tìm nguyên hàm: I dx J dx ln2 x ln x (x ex )2 Lời giải. 1 1 1 ln x x(ln x)' (x)'ln x x 1. Ta có : ' ln2 x ln x ln2 x ln2 x ln x x x Vậy I 'dx C . ln x ln x xex 1 (x 1)'(x ex ) (x ex )'(x 1) x 1 2. Ta có : ' (x ex )2 (x ex )2 x ex ' x 1 x 1 Suy ra I dx C . x ex x ex 84
5. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2dx Ví dụ 7.1.5 Tìm nguyên hàm: I (xsin x cosx)2 Lời giải. x2 (sin x xcosx)'(xsin x cosx) (xsin x cosx)'(sin x xcosx) (xsin x cosx)2 (xsin x cosx)2 sinx xcosx sin x xcosx ' I C xsin x cosx xsin x cosx CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2 1. Tìm nguyên hàm của hàm số F x , biết f x sin 2x và F 8 16 2. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x sin2x.tan x thỏa mãn 3 F . Tính F . 3 4 4 3. Xác định a,b,c sao cho F x ax2 bx c 2x 4 là 1 nguyên hàm của 20x2 29x 7 hàm số f x trong 2; . 2x 4 Bài 2: Tìm nguyên hàm : 2 3 x3 1 x I x dx I dx I dx 1 2 3 5 x x 1 x 1 Bài 3: Tìm nguyên hàm : x3 1 2x 1 I1 dx I2 dx I3 dx x 1 1 ex x3 3x 2 Bài 4: Tìm nguyên hàm : ex e2x 22x.3x.5 x x 1 I1 3cosx 3 dx I2 dx I3 dx ex 1 e3x Bài 5: Tìm nguyên hàm : 4 I1 sin 3x 1 dx I2 sin3xcos5xdx I3 cos 2xdx Bài 6: Tìm nguyên hàm : 5 4 cos x sin x 2 1 I sin x dx I1 dx I2 dx 3 1 sin x cos2 x 1 cos2x Bài 7: Tìm nguyên hàm : 85
6. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x2 x 6 5x 1 x3 3x 2 I1 dx I2 dx I3 dx x3 5x2 6x x3 3x 2 x4 x3 x2 x Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp: “ Nếu f x dx F x C thì f u x .u' x dx F u x C ”. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích f x g u x u' x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t u x dt u' x dx . Khi đó: I g t dt G t C G u x C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x Ví dụ 1.2.5 Tìm nguyên hàm: xdx xdx I (x 1)3 3 2xdx J K 3 2x 2 x 3 5x 3 Lời giải. 3 t3 3 1. Đặt t 3 3 2x x dx t2dt 2 2 3 3 t3 3 I 1 t.t2dt (5t3 t6 )dt 2 2 4 3 5t4 t7 3 3 (3 2x)7 53 (3 2x)4 C C 4 4 7 4 7 4 t3 2 3 2. Đặt t 3 2x 2 x dx t2dt 2 2 t3 2 3 t2dt 3 3 t5 Suy ra J 2 2 (t4 2t)dt t2 C t 4 4 5 3 3 (2x 2)5 3 (2x 2)2 C . 4 5 x( 5x 3 x 3)dx 1 3. Ta có: I ( 5x 3 x 3)dx 5x 3 x 3 4 1 1 3 3 (5x 3) (x 3) C . 6 5 86
7. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt cosxdx Ví dụ 2.2.5 Tìm nguyên hàm: I sin3 x.cos5 xdx J (sin x 2cosx)3 Lời giải. 1. Đặt t cosx dt sin xdx Ta có: I (1 cos2 x)cos5 xsin xdx (1 t2 )t5dt t8 t6 sin8 x sin6 x (t7 t5 )dt C C . 8 6 8 6 cosxdx dx 2. I cos3 x(tan x 2)3 cos2 x(tan x 2)3 1 1 1 Đặt t tan x dt dx . Do đó: J C cos2 x 2 (tan x 2)2 Ví dụ 3.2.5 Tìm nguyên hàm: dx e2x ex 4 I J dx K dx x x x e 2e 3 1 ex 2 4e 1 Lời giải. exdx 1. Ta có: I . Đặt t ex dt exdx e2x 3ex 2 dt dt t 2 ex 2 Suy ra: I ln C ln C t2 3t 2 (t 1)(t 2) t 1 ex 1 2. Đặt t ex 2 ex t2 2 exdx 2tdt (t2 2)2tdt 1 t3 t2 J 2 t2 t 1 dt 2 t ln t 1 C 1 t t 1 3 2 x 3 x (e 2) e 2 x x 2 e 2 ln e 2 1 C 3 2 ex 4 t2 4 30t 3. Đặt t ex exdx dt 4ex 1 4t2 1 (4t2 1)2 30t dx dt (t2 4)(4t2 1) t2dt 1 4 1 t 2 2t 1 K 30 2 dt ln ln C , (t2 4)(4t2 1) t2 4 4t2 1 2 t 2 2t 1 87
8. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ex 4 với t . 4ex 1 Ví dụ 4.2.5 Tìm nguyên hàm: 3 ln2 x 1 ln x.dx ln x 2 ln2 x I dx J K dx x x(1 3ln x 2) x Lời giải. dx 1. Đặt t ln x dt x t3 ln3 x Suy ra I (t2 1)dt t C ln x C . 3 3 t2 2 dx 2 2. Đặt t 3ln x 2 ln x tdt 3 x 3 t2 2 2 . tdt 2 1 2 t3 t2 Suy ra J 3 3 t2 t 1 dt t ln(t 1) C 1 t 9 t 1 9 3 2 với t 3ln x 2 . 3 ln xdx 3 3. Đặt t ln2 x 2 ln2 x t3 2 t2dt x 2 3 3 3 Suy ra I t3dt t4 C .3 (3ln x 2)4 C 2 8 8 Ví dụ 5.2.5 Tìm nguyên hàm: dx dx I J 2sin2 x 3sin 2x 2 2cosx sin x 1 Lời giải. 1 dx 1 dx 1. Ta có: I 2 2sin2 x 3sin xcosx cos2 x 2 cos2 x(2 tan2 x 3tan x 1) dt Đặt t tan x dx 1 t2 1 dt 1 (2t 1) 2(t 1) Ta được: I dt 2 2t2 3t 1 2 (2t 1)(t 1) 1 1 2 1 t 1 1 tan x 1 dt ln C ln C 2 t 1 2t 1 2 2t 1 2 2 tan x 1 x 2dt 2t 1 t2 2. Đặt t tan dx và sin x ,cosx 2 1 t2 1 t2 1 t2 88
9. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt t2 2t 3 Suy ra : 2cosx sin x 1 1 t2 x tan 3 dt 1 (t 3) (t 1) 1 t 3 1 J 2 dt ln C ln 2 C 2 2 (t 1)(t 3) 2 t 1 2 x t 2t 3 tan 1 2 sin4 2x.cos3 x Ví dụ 6.2.5 Tìm nguyên hàm: I dx tan x tan x 4 4 Lời giải. tan x 1 tan x 1 Ta có: tan x tan x . 1 4 4 1 tan x 1 tan x Suy ra: I 16 sin4 x.cos6 xcosxdx Đặt t sin x dt sin xdx nên ta có: I 16 t4(1 t2 )3 dt 16 t4(t6 3t4 3t2 1)dt t11 t9 3t7 t5 sin11 x sin9 x 3sin7 x sin5 x 16 C 16 C 11 3 7 5 11 3 7 5 exdx (ln x 1)ln x Ví dụ 7.2.5 Tìm nguyên hàm: I J dx ex 4e x (ln x x 1)3 Lời giải. 1. Cách 1: với cách đặt t ex bạn đọc làm tương tự trên e xdx Cách 2: Xét J ex 4e x ex 4e x I 4J dx dx x C1 ex 4e x Ta xét hệ : ex 4e x x x I 4J dx ln e 4e C2 ex 4e x 1 1 2I x ln ex 4e x C C hay I x ln ex 4e x C 1 2 2 2 ln x 1 ln xdx 2. Ta có : J . 3 2 ln x 1 x x 1 x 89
10. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ln x 1 ln x Đặt t dt dx x x2 tdt 1 1 1 1 Suy ra J dt C 3 3 2 2 (t 1) (t 1) (t 1) 2(t 1) t 1 x2 x C 2(ln x 1 x)2 ln x x 1 x3 1 dx Ví dụ 8.2.5 Tìm nguyên hàm: I dx J x(x6 3x3 2) x(x6 1)2 Lời giải. 1 t 1 1 t 1 1. Đặt t x3 I dt dt 3 t(t2 3t 2) 3 t(t 1)(t 2) 3 1 t 1 t(t 1) (t 1)(t 2) 2t(t 2) 2 2 1 1 2 Suy ra I ln x3 2 ln x3 ln x3 1 C . 2 6 3 1 dt 1 1 1 1 2. Đặt t x6 I dt 2 2 6 t(t 1) 6 t t 1 (t 1) 1 x6 1 Suy ra I ln C . 6 x6 1 x6 1 tan xdx Ví dụ 9.2.5 Tìm nguyên hàm: I sin2 x 3 Lời giải. dt Đặt t cosx dt sin xdx . Suy ra I t 4 t2 dt 1 dy 2 t 0 I (với y ) 4 2 2 t t2 1 y 1 t2 1 1 2 4 I ln y y2 1 ln 1 C 2 2 cosx cos2 x dt 1 2 4 t 0 I ln 1 C . 4 2 cosx cos2 x t2 1 t2 90
11. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm nguyên hàm: 2010 x2dx x 1 I x x 1dx I I dx 1 2 10 3 2012 x 3 3x 1 Bài 2: Tìm nguyên hàm: x3 3x 2 1 x2 I dx I2 x 2x 4.dx I dx,x 0 1 3 3 4 2 2 x x 1 x 1 x3 2 J2 dx x 2 J dx J x x2 4dx x 3 3 1 x2 4 Bài 3: Tìm nguyên hàm: dx 2 2 I1 I2 x . x 9dx 1 x 3 1 x dx xdx I3 I4 . x x2 1 3 1 x2 1 x2 Bài 4: Tìm nguyên hàm: x dx x I dx I J dx 2 3 3 1 2x 1 x2 4 1 2x 1 dx xdx J 3 3x x3 dx J2 J 5 2 4 3 1 x x 1 x 1 x 1 x J6 dx 3x 9x2 1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: 1 1 2 I1 tan xdx I2 dx I3 dx cos4 x 1 sin x 5sin x 2sin 2x tan x 3 J1 tan xdx J2 dx J3 dx cos2x 6cosx 5 cos3 x Bài 6: Tìm nguyên hàm: I sin5 xcos3 xdx cosx tan4 x 1 I dx 2 3 I3 dx sin x 2cosx cos2x Bài 7: Tìm nguyên hàm: 1 cosx 2ln x 3 I1 dx I2 dx I3 dx cosxsin2 x sin2 x 5sin x 6 x Bài 8: Tìm nguyên hàm: 91
12. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. ln x 2 2 ln x ln ln x I1 dx I dx I dx x ln x 1 2 3 x 1 ln x 1 xln x ln ln x 1 Bài 9: Tìm nguyên hàm: sin 2xdx dx dx I J K 1 4sin x cos3 x sin x.sin x 3 Bài 10: Tìm nguyên hàm: 2 sin 2x 3cosx 3 3 4sin 3x sin 4x I dx sin x sin x K dx 3 J cot x.dx 1 1 2sin x sin3 x tan x cot 2x Bài 11: Tìm nguyên hàm: 2x 1 x 1 x 1 I dx J dx K dx 2 x 1 x2 2 x 2 Bài 12: Tìm nguyên hàm: 2009 dx (x 3) K I dx 2 (2x 1)2013 x 1 x 3x 2 Bài 13: Tìm nguyên hàm: x 1. I x3 x 1dx 2. I dx 4 x 1 (x 1)dx x5 x2 3. I 4. I dx 1 4x 1 x3 2 sin 2x cosx tan x.dx 5. I dx 6. I 3sin x 1 1 3 ln(cosx) 1 ln x 7. I dx 8. I e2x 4ex 5.exdx 1 ln x 2 x Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Phương pháp: Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b và có đạo hàm liên tục trên a; b . Khi đó : udv uv vdu b Để tính tích phân I f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u,v sao cho f x dx udv (chú ý: dv v' x dx ). Tính v dv và du u'.dx . 92
13. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bước 2: Thay vào công thức và tính vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x Dạng 1 : I P x dx , trong đó P x là đa thức cosx sin x Với dạng này, ta đặt u P x , dv dx . cosx Dạng 2 : I x eax bdx u P x Với dạng này, ta đặt , trong đó P x là đa thức ax b dv e dx Dạng 3 : I P x ln mx n dx u ln mx n Với dạng này, ta đặt . dv P x dx sin x x Dạng 4 : I e dx cosx sin x sin x u u Với dạng này, ta đặt cosx để tính vdu ta đặt cosx . x x dv e dx dv e dx x 1 Ví dụ 1.3.5 Tìm nguyên hàm: I sin x.ln(cosx)dx J xln dx x 1 Lời giải. sin x u ln(cosx) du dx 1. Đặt ta chọn cosx dv sin xdx v cosx Suy ra I cosxln(cosx) sin xdx cosxln(cosx) cosx C 2 x 1 du dx u ln (x 1)2 2. Đặt x 1 ta chọn 1 dv xdx v x2 2 93
14. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 x 1 x2 1 x 1 2 1 Suy ra I x2 ln dx x2 ln 1 dx 2 2 2 x 1 (x 1) 2 x 1 x 1 (x 1) 1 x 1 1 x2 ln x 2ln x 1 C 2 x 1 x 1 Ví dụ 2.3.5 Tìm nguyên hàm: I sin 2x.e3xdx Lời giải. Cách 1 : Dùng từng phần, bạn đọc làm tương tự trên. 1 2 Cách 2 : Ta có : sin 2x.e3x [sin 2x(e3x )' (sin 2x)'.e3x ] cos2xe3x 3 3 1 2 4 (sin 2x.e3x )' cos2x.(e3x )' (cos2x)'e3x sin 2x.e3x 3 9 9 13 3x 1 3x 2 3x 1 3x 2 3x sin 2x.e (sin 2x.e )' (cos2x.e )' sin 2x.e cos2xe ' 9 3 9 3 9 3x 3 3x 2 3x Suy ra : sin 2xe dx sin 2xe cos2xe ' 13 13 1 I e3x(3sin 2x 2cos2x) C . 13 Cách 3 : Ta giả sử : sin 2x.e3xdx a.sin 2x.e3x b.cos2x.e3x C Lấy đạo hàm hai vế ta có : sin 2x.e3x a(2cos2xe3x 3sin 2x.e3x ) b(3cos2x.e3x 2sin 2x.e3x ) 3a 2b 1 3 2 a ,b 2a 3b 0 13 13 1 Vậy I e3x(3sin 2x 2cos2x) C . 13 x4dx Ví dụ 3.3.5 Tìm nguyên hàm: I (x2 1)2 Lời giải. u x3 du 3x2dx Đặt xdx ta chọn 1 dv v 2 2 2 (x 1) 2(x 1) x3 3 1 x3 3 1 x 1 I 1 dx x ln C 2(x2 1) 2 x2 1 2(x2 1) 2 2 x 1 94
15. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm nguyên hàm: x I dx I cos2x.e3xdx I 2x 1 ln2 xdx 1 1 cos2x 2 3 Bài 2: Tìm nguyên hàm: 2 I1 2x 1 cosxdx I2 x 1 sin xdx xln x x 1 4 8 I dx. x x 3 I dx I dx x2 1 4 3 5 3 4 4 x 1 x 1 x x I6 e ln e 1 dx Bài 3: Tìm nguyên hàm: I xsin 2xdx 2 x 2 1 J1 x x 1 e dx K ln x x 1 dx 1 I 2x 1 e xdx 2 J2 2x 1 ln x 2 dx K2 2x 1 ln x 2 dx Bài 4: Tìm nguyên hàm: 2 x I (x 5)sin xdx I (3x 1).e dx xln(x x2 1) 1 3 I5 dx 2 ln xdx 2 I (x 2x 3)cosxdx x 1 I4 x cos 3 x 1 I6 dx 3 x 1 TÍCH PHÂN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x là một nguyên hàm của f x trên K . Hiệu số F b F a gọi là tích phân của của f x từ a đến b và được kí hiệu: b b f x dx F x a F b F a . a 2. Các tính chất của tích phân: a b b b f x dx 0 f x g x dx f x dx g x dx a a a a a b b c b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx b a a a c 95
16. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. b b b b k.f x dx k. f x dx Nếu f x g x x a; b thì f x dx g x dx . a a a a B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích Phương pháp: b Để tính tích phân I f(x)dx ta phân tích f(x) k1f1(x) kmfm (x) a Trong đó các hàm fi (x) (i 1,2,3, ,n) có trong bảng nguyên hàm. Ví dụ 1.1.6 Tính các tích phân sau: 1 7 xdx xdx I J 0 3x 1 2x 1 2 x 2 x 2 Lời giải. 1. Ta có: x (3x 1) (2x 1) ( 3x 1 2x 1)( 3x 1 2x 1) 1 1 2 3 1 3 17 9 3 Nên I ( 3x 1 2x 1)dx (3x 1) (2x 1) 9 3 9 0 0 1 2. Ta có x ( x 2 x 2)( x 2 x 2) 4 7 1 19 5 5 Nên J x 2 x 2 dx . 4 6 2 2 4 Ví dụ 2.1.6 Tính các tích phân sau: I sin 2x.sin 3x J cos4 2xdx 0 2 Lời giải. 2 1 1 1 2 4 1. Ta có: I (cosx cos5x)dx (sin x sin 5x) . 2 2 5 5 2 2 1 1 2. Ta có: cos4 2x (1 2cos4x cos2 4x) (3 4cos4x cos8x) 2 4 96
17. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 4 1 1 4 3 Nên I (3 4cos4x cos8x)dx 3x sin 4x sin8x 4 4 8 16 0 0 4 3 x2dx 2x 3 Ví dụ 3.1.6 Tính các tích phân sau: I J dx 2 3 3 x 3x 2 2 x 3x 2 Lời giải. x2 3 2x 3 5 1 1. Ta có: 1 x2 3x 2 2 x2 3x 2 2 x2 3x 2 3 2x 3 5 1 1 1 2 x2 3x 2 2 x 2 x 1 4 3 2 5 x 2 3 5 4 Suy ra I x ln x 3x 2 ln 1 ln 3 ln 2 2 x 1 2 2 3 3 2. Ta có: x3 3x 2 (x 1)2(x 2) 2x 3 a(x 1)2 b(x 2)(x 1) c(x 2) 2x 3 (a b)x2 (c 2a b)x a 2b 2c a b 0 1 1 5 2a b c 2 a ,b ,c . 9 9 3 a 2b 2c 3 3 3 1 1 1 1 5 1 1 x 1 5 1 8 5 J dx ln ln 9 x 2 9 x 1 3 2 9 x 2 3(x 1) 9 5 6 2 (x 1) 2 1 Ví dụ 4.1.6 Tính các tích phân sau: I x x a dx,a 0 0 Lời giải. Xét hai trường hợp 1 3a 2 a 1 I x(a x)dx 6 0 a 1 2a3 3a 2 0 a 1 I x(a x)dx x(x a)dx . 6 0 a CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 97
18. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Tìm các hằng số A và B để hàm số f x Asin x B thỏa mãn đồng thời 2 các điều kiện f' 1 2 và f x dx 4 0 2 5 5 2. Cho f x dx 4, f x dx 6, g x dx 8 . 1 1 1 5 5 Hãy tính : f x dx, 4f x g x dx 2 1 3 3 3. Cho f x dx 2 và g x dx 3 . 1 1 3 3 Hãy tính 3f x g x dx, 5 4f x dx . 1 1 Bài 2: Tính tích phân: 1 1 1 dx 5x 13 x2 x 2 A B dx C dx 2 2 2 0 x 3x 2 0 x 5x 6 0 x 4x 4 Bài 3: Tính tích phân: 1 3 5 2 dx 1 x I 2x 1 dx J J dx 1 1 4 1 x 0 0 25 3x 2 2 1 1 2 2x 1 2x I x x 1 dx J dx K dx 2 2 2 1 3 0 0 x x 1 0 x 1 1 3 1 1 2 2 1 I3 1 3x dx 5xdx K dx J 2 2 0 3 3 0 x 5x 6 0 2 7 1 x 5 3x 7 I4 x 3dx K dx 1 3 2 3 1 x J dx 4 x 5x 6 4 2 0 x 1 x 1 Bài 5: Tính tích phân: 1 1 4x 2 x2dx I dx J 2 6 0 x 1 x 2 0 x 9 Bài 6: Tính tích phân: 2 2 1 5 x 1 2x 1 5x2 3x 20 I dx I dx I dx 1 2 3 2 5 2 1 x x 6 1 x x 1 0 x 2x 3 98
19. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 4 1 dx dx dx I I I 2 2 4 2 6 2 7x 4x 3 x x 1 2 1 1 0 x 3x 2 Bài 7: Tính tích phân: 2 2 2 1 I cos xcos2xdx J sin x sin x 1 dx 1 sin x 0 0 Bài 8: Tính tích phân: 2 3 dx 2 I cot2xdx J K sin2 xdx 1 1 2 2 1 sin xcos x 0 4 6 2 3 2 4 3 cot x K2 sin2x.sin7xdx I dx J tan xdx 2 2 2 cos x 2 4 4 Bài 9: Tính tích phân: 2 2 2 2 x I1 x 3x 2 dx I2 x x 1 dx I3 min 3 , 4 xdx 0 1 0 Bài 10: Tính tích phân: 1 2 I x x a dx,a 0 I2 cosx sin xdx I3 1 sin xdx 0 0 0 Bài 11: x 2 1 1. Tìm x 0; thỏa mãn : 2sin t 1 dt . 2 4 0 6 t sin2 dt 2 2. Giải bất phương trình f' x 0 . ới f' x đạo hàm của hàm số x 2 1 f x ln 3 3 x x 3 cos2t 3. Tìm x ; thỏa dt cos2x 2 . 4 4 sin t cost 4 Bài 12: Tính tích phân: 99
20. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 0 2 dx 1 I J dx 1 2 1 1 x 4x 3 0,5 x x 1 1 2xdx 0,5 3 I x 1 2 0 2 J dx x 4 2 2 0 x 1 4 dx 1 3x 2 K1 2 K2 dx 3 x 3x 2 0 x2 5x 6 Bài 13: Tính tích phân: 1 2 1 1 x 1 dx dx dx L L . M 1 4 2 4 2 1 2 0 x 1 0 x 4x 3 0 x x 1 Bài 14: Tính tích phân: 2 2 2 2 I1 x 1 dx I2 1 x dx I3 x 1dx 2 0 0 4 5 1 2x x2 3 I x2 x 6 dx I dx I x3 2x2 xdx 4 5 1 x 6 0 1 0 Bài 15: Tính tích phân: 3 2 sin xcox 4 I dx, a 0,b 0 M sin 2xdx 2 2 2 2 0 a cos x b sin x 4 2 1 cos2x I cosx dx I 1 cos2xdx I dx 1 3 4 2 0 0 0 Bài 16: Tính tích phân: 3 1 x2 3x 5 1 I dx I dx 1 3 2 3 2 x 3x 2 0 1 x 1 3 x6 x5 x4 2 1 I dx I dx 3 6 4 6 2 0 x 1 1 x (1 x ) Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp: 1. Phương pháp đổi biến số loại 1 b Giả sử cần tính I f x dx ta thực hiện các bước sau a 100
21. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bước 1: Đặt x u t (với u t là hàm có đạo hàm liên tục trên ; , f u t xác định trên ; và u a, u  b ) và xác định , .    Bước 2: Thay vào ta có: I f u t .u' t dt g t dt G t G  G . Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2 b2x2 ta thường đặt x sin t b a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa b2x2 a2 ta thường đặt x bsin t a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2 b2x2 ta thường đặt x tan t b a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa x a bx ta thường đặt x sin2 t b 2. Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. b Để tính tích phân I f x dx , nếu f x g u x .u' x , ta có thể thực hiện a phép đổi biến như sau Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx . Đổi cận x a t u a , x b t u b u(b) b Bước 2: Thay vào ta có I g t dt G t a . u(a) 3 2 xdx x Ví dụ 1.2.6 Tính các tích phân sau: I J dx 3 1 2x 2 1 x 1 1 2 Lời giải. t3 2 3 1. Đặt t 3 2x 2 t3 2x 2 x dx t2dt 2 2 1 Đổi cận : x t 1 ; x 3 t 2 . 2 101
22. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 3 2 2 (t 2) 3 2 3 4 3 3 5 3 2 Ta có : I . t dt t t dt t t 2t 2 4 2 20 4 1 1 1 24 3 3 12 3 . 5 20 4 5 2. Đặt t 1 x 1 x 1 (t 1)2 dx 2(t 1)dt Đổi cận: x 1 t 1; x 2 t 2 2 2 (t2 2t 2)(t 1) 2 J 2 dt 2 (t2 3t 4 )dt t t 1 1 2 t3 3t2 11 2 4t 2ln t 4ln 2 . 3 2 3 1 2 2 2 3 1 x2 dx Ví dụ 2.2.6 Tính các tích phân sau: I dx J x 2 3 5 x x 4 Lời giải. 2 2 x2 1.xdx 1. I 2 3 x Đặt t 1 x2 x2 t2 1 xdx tdt Đổi cận: x 3 t 2; x 2 2 t 3 3 3 3 t.tdt 1 1 t 1 I (1 )dt t ln 2 (t 1)(t 1) 2 t 1 2 t 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 ln 2 ln 1 ln . 2 2 2 3 2 2 2 3 xdx 2. J 2 2 5 x x 4 Đặt t x2 4 x2 t2 4 xdx tdt Đổi cận: x 5 t 3; x 2 3 t 4 4 4 4 tdt dt 1 t 2 1 5 J ln ln 2 2 4 t 2 4 3 3 (t 4)t 3 t 4 3 ln 5 e2xdx Ví dụ 3.2.6 Tính các tích phân sau: I x ln 2 e 1 102
23. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Lời giải. ln 5 ex.exdx 1. I x ln 2 e 1 Đặt t ex 1 ex t2 1 exdx 2t.dt Đổi cận: x ln 2 t 1; x ln 5 t 2 2 2 2 (t2 1)tdt t3 20 I 2 2 (t2 1)dt 2 t . t 3 3 1 1 1 2 Ví dụ 4.2.6 Tính các tích phân sau: I sin5 xdx 0 Lời giải. 2 1. Ta có: I (1 cos2 x)2 sin xdx . 0 Đặt t sin x dt cosxdx Đổi cận : x 0 t 0; x t 1 2 1 1 8 I (1 t2 )2 dt (1 2t2 t4 )dt . 15 0 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tính tích phân: 1 2 10 xdx x dx I I dx I 1 2 2 3 0 x 1 1 1 x 1 5 x 2 x 1 3 6 1 1 dx x3dx I4 dx I5 I6 2 8 x 1 x 2 2x 1 4x 1 0 x x 1 4 4x 1 I7 dx Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 0 2x 1 2 Bài 2:Tính tích phân: 1 6 1 3 I 2x x 1 x dx I x3. x2 3dx 3 5 1 2 I3 x 1.x dx 0 0 0 1 1 1 I x5 1 x2 dx I x3 x4 1 dx 8 3 4 5 I6 x 1 x dx 0 0 0 103
24. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Bài 3: Tính tích phân: 2 4 2 x x 1 dx x 1 I1 dx I2 I3 dx x 5 2 1 1 x 1 x 1 x x 1 7 7 x3dx 7 x 2 3 I4 I dx x 1 3 2 5 3 I dx 0 1 x 0 x 1 6 3 0 3x 1 2 1 x x 1 4x 3 3 I7 dx I dx x 3 x 5 8 1 2 3x 1 I9 dx 0 3 x 1 x 3 6 1 dx 1 x 3 2 I10 I dx 4 x 11 3 2 2x 1 4x 1 I dx 0 x 1 12 x 1 Bài 4Tính tích phân: 3 2 5 3 x 3 xdx dx I1 dx I2 I3 2 2 3 0 3. x 1 x 3 2 x 1 x 5 1 x x 2 2 3 3 5 x x 2011x 2 x I4 dx I5 x 9 1 dx 4 2 1 x 3 x 9 Bài 5Tính tích phân: 1 4 2 x2 x 2x 1 dx x3dx I2 I3 I1 dx 2 3 2 1 2 x x 1 0 x x 1 1 x x 1 4 2 3 dx 4x 1 x x 1dx I5 dx I4 I6 3 0 2x 1 2 x 7 3 3 x 1 x 1 6 1 2 2 3 2 x2 1 2x 3x x I8 dx I7 dx 2x 1 4x 1 I9 dx 2 2 x 0 x x 1 1 1 1 e dx I x2 4 3x2 dx ln x 4ln x 5 I 11 I dx 10 2 0 12 x 0 1 3x2 1/e Bài 6 Tính tích phân: 3ln 2 2 3 dx dx I1 I2 2 2 0 3 x x x 4 e 2 5 104
25. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 e x3 x2 1 3ln x ln x 4 etan x 1 I dx I dx I dx 3 x 4 4 x 5 2 1 1 0 cos x Bài 7 Tính tích phân: 4 2 3 dx x3 2x2 4x 9 2 I2 I3 dx dx 2 2 I1 7 x x 9 0 x 4 2 0,5 x 1 x 4 6 x2dx x 2 0 I I dx dx 5 6 x 2 I 2 4 2 0 1 x x 1 x 2x 4 1 2 1 x 1 I dx J dx 2 2 3 3 3 0,5 x 3x 3x 1 1 x 1 x 1 Bài 8 Tính tích phân: ln 2 ln 5 ln 5 e3x dx ex ex 1 I dx I I dx 1 2x 2 x x 3 x 0 e 9 ln 3 e 2e 3 0 e 3 ln 2 ln 3 1 ex ex ln 2 ex 1 ex I4 dx I5 dx x 3 I6 dx 0 1 e 0 x 3 e 2 0 ex 1 e dx e I7 dx e 2 I 3 2ln x 1 x 1 ln x 8 2 I dx 1 x 1 ln x 9 ln12 1 x 1 2ln x x I e 3dx e 1 e 10 2x ln xdx ln 4 I11 e .ln x ln x dx I 1 x 11 1 x 2 ln x 2 ln x Bài 9 Tính tích phân: 2 sin 2x 2 sin 2x sin x I dx I dx 1 2 2 0 2 sin x 0 1 3cosx 3 dx 2 dx I3 I4 4 3 5 3cosx 4sin x 5 sin x.cos x 0 4 105
26. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 x cosx dx 4 xsin x x 1 cosx I J dx 2 2 4cos x 3sin x xsin x cosx 0 2 Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 10 Tính tích phân: 4 cos2x 2 cos3x 2 cosx I dx I dx I dx 1 1 2sin 2x 2 sin x 1 3 5 2sin x 0 0 0 2 sin x cosx 6 sin 3x sin3 3x 2 sin xdx I4 dx I5 dx I6 1 cos3x 2 2 x 1 sin 2x 0 0 sin x 2cosx.cos 4 2 3 cosx 2 I dx 2 sin x cosx cos2x 8 I7 dx 0 2 cos2x I9 dx 3 1 sin 2x 0 sin x cosx 3 4 2 sin 2x 2 I11 dx xsin x cosx 2 2 I12 dx I10 dx 0 cos x 4sin x 2 sin x 2cosx 0 4 sin x 0 Bài 11 Tính tích phân: 2 3 2 3 xsin2 xdx I sin 2x 1 sin2 x dx I sin xsin 2xdx I 1 2 3 2 0 0 0 sin 2xcos x 2 cosx sin xcosx 2 cosxdx 2 sin 2x I4 dx I5 I6 dx 2 sin x 4 2 2 0 0 sin x 1 0 cos x 4sin x 2 2 3 3 1 2 dx cot x. sin x sin xdx I dx I 7 I8 9 3 4sin x 3cosx 5 4 5sin x sin x 0 0 3 3 cotx 6 tan x cos2x 4 I12 dx I10 dx I11 dx cosx 3 sin x cos2x sinx.sin x 0 6 4 Bài 12 Tính tích phân: 106
27. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 sin3 x 4 cosx sin x 4 dx I1 dx I2 dx I3 cosx 2 3 sin2x 0 0 0 cosx.sin x 0 4 sin 2x J dx. 2 4 1 2 sin x J dx 3 2 sin x 2 4 4 dx sin x cos x J , ¡ 2 0 3 1 tan x 4 x 3 tan x 6 K dx K dx 1 x x 1 1 cos2x sin2x 2 tan x cot x 3xe e 2 0 K dx 3 x 6 0 xe 1 6 tan4 x L dx 6 sin x 1 cos2x sin x 6 4 0 L2 dx L3 dx 0 sin x 0 sin x 3 cosx 3 Bài 13 Giải phương trình: x x 1 ln t 1. sin 2t 1 cos2 tdt 0 x 0 2. dt 18 t 0 1 e Bài 14: Tính tích phân: 4 2 6 1 sin x I1 tan xdx I2 1 dx 1 cosx 2 0 0 1 cosx Bài 15: Tính tích phân: ln 2 2x 1 e 2 I1 dx J1 x 1 x dx x 0 e 1 0 1 1 x5 x2 I2 dx J2 dx 2 2 0 x 1 0 4 3x 4 1 dx x I3 J3 dx 2 2 7 x x 9 0 3 2x x Bài 16 Tính tích phân: 3 e2 2 2 2 x 1 I x.e x dx dx 1 J K4 1 xln x x 0 e 1 2 exdx e 4 ln x I2 J dx 2 ex 2 1 1 x 107