Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Phương trình logarit. Bất phương trình logarit (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Phương trình logarit. Bất phương trình logarit (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. f x g x log f x log g x a a f x 0 g x 0 b loga f x b f x a loga f x loga g x f x g x Nếu a 1 thì g x 0 f x g x Nếu 0 a 1 thì f x 0 f x 0 Chú ý: loga f x có nghĩa . 0 a 1 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp: 0 a 1 loga f x loga g x f x g x 0 Phương trình mũ cơ bản: loga x b , 0 a 1 b loga x b x a , 0 a 1 lg x b x 10b , ln x b x eb Ví dụ 1.1.3 Giải các phương trình: 2 1. log25 4x 5 log5 x log3 27 2. log2 x log3 x log4 x log20 x Lời giải. 1. Điều kiện: x 0 Phương trình cho trở thành: log5 4x 5 log5 x 3 đưa phương trình này về 25 phương trình dạng 4x2 5x 125 0 x 5 hoặc x . 4 46
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 25 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 5 hoặc x . 4 logb x 2. Điều kiện: x 0 . Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số loga x logb a log2 x log2 x log2 x Phương trình cho log2 x log2 3 log2 4 log2 20 1 1 1 log2 x 1 0 log2 x 0 x 1 log2 3 log2 4 log2 20 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 ln x Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức log x sẽ giải a lna quyết nhanh gọn và đẹp hơn . 2 x Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình: log3 x 2 log 0 3 x2 3x 3 Lời giải. Điều kiện: 0 x 2 2 2 x Cách 1: Phương trình cho viết lại: log3 x 2 log3 0 x2 3x 3 2 2 2 x 2 x Hay log3 x 2 . 0 tức x 2 . 1 , giải x2 3x 3 x2 3x 3 3 phương trình này ta được x 1, x , x 3 . 2 x Cách 2: Phương trình cho viết lại: log3 x 2 log3 0 x2 3x 3 x x Hay log3 x 2 . 0 tức x 2 . 1 x2 3x 3 x2 3x 3 Nếu 0 x 2 thì x 2 x 2 2 x . Khi đó phương trình viết lại: 3 x2 2x x2 3x 3 x 1 hoặc x . 2 Nếu x 2 thì x 2 x 2 . Khi đó phương trình viết lại: x2 2x x2 3x 3 x 3 . 3 Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm x 1, x , x 3 . 2 47
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình: log2 8 x log 1 1 x 1 x 2 0 2 Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 Lời giải. 2 log2 8 x log2 1 x 1 x 2 . Với x 1;1 phương trình 2 viết lại log2 8 x 2 log2 1 x 1 x 8 x2 4 1 x 1 x 2 Đặt t 1 x 1 x , phương trình trở thành t 2 t2 4t 8 0 , phương trình này có nghiệm t 2 hay 1 x 1 x 2 . Bình phương 2 vế và rút gọn ta được x 0 . Chú ý: Từ 4 1 1 x 4 1 1 x x2 x 0 4x 4x 2 x 4 4 x 0 1 1 x 1 1 x x 1 1 x 1 1 x Ví dụ 4.1.3 Giải phương trình: lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x2 Lời giải. 1 x 0 Điều kiện: 1 x 0 1 x 1 2 1 x 0 Để ý : lg 1 x2 lg 1 x 1 x lg 1 x lg 1 x Phương trình cho lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x lg 1 x lg 1 x 1 1 x 10 1 x 100 x 99 Từ , suy ra phương trình vô nghiệm. Ví dụ 5.1.3 2 2 1 6 3 2 Giải phương trình: log 3x 4 .log x 8 log x log 3x 4 3 2 2 2 2 Lời giải. 48
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 6 3x 4 0 2 3x 4 0 3x 4 0 4 Điều kiện: 0 x x 0 3 x3 0 x 0 2 2 6 1 Phương trình cho log2 3x 4 .3log2 x 8 log2 x 2log2 3x 4 3 2 2 2 6log2 3x 4 .log2 x 2 log2 x 4 log2 3x 4 2 2 log2 x log2 3x 4 .log2 x 2 log2 3x 4 2log2 3x 4 .log2 x 0 log2 x log2 x log2 3x 4 2log2 3x 4 log2 3x 4 log2 x 0 log2 x log2 3x 4 log2 x 2log2 3x 4 0 log x log 3x 4 0 log2 x log2 3x 4 2 2 log x 2log 3x 4 0 2 2 2 log2 x 2log2 3x 4 log2 3x 4 x 0 x 0 x 1 x 3x 4 x 3x 4 x 2 2 x 3x 4 16 x 3x 4 2 x 9x 25x 16 0 9 16 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 1, x 2 , x 9 Lời bình : Khác với bài trên , bài toán này lắm sai lầm mà người giải vấp phải 6 2 log2 3x 4 6log2 3x 4 ,log2 3x 4 2log2 3x 4 là các phép biến 2 1 đổi không tương đương , đôi chút log x log2 x log2 x!!! là không 2 2 2 2 thể . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: 1. log2 x log4 x log8 x 11 2. log3 2x 1 2log 2x 1 3 1 2 3. log x2 2log 3x 4 4. log x 1 log 2x 1 2 2 2 3 3 x 2 5. log log x log log x 2 6. log x 2 x 3 log 2 4 2 2 4 4 4 x 3 49
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 7. log3(x 1) log3(x 2) log3 6 8. ( 1 x 1 x 2)log2(x x) 0 9. log5 x log3 x log5 3.log9 225 Bài 2: Giải các phương trình: 2 1. log2 x log2 x log2 9x 2. log16 x log4 x log2 x log2 108 x x 3. log5 x log25 x log0,2 3 4. lg 6.5 25.20 lg 25 x x 1 x 5. (x 1)log5 3 log5(3 3) log5(11.3 9) 6. lg x2 7x 6 lg x 1 1 2 7. log x 1 log 2x 1 2 8. log 2x2 5x 4 2 3 3 x lg x2 9. log x 3 log x 7 2 10. 1 4 2 lg 6x 5 1 1 8 11. log x 3 log x 1 log 4x 2 2 4 4 2 2 2 12. log2(x 3x 2) log2(x 7x 12) 3 log2 3 Bài 3: Giải các phương trình: x x 1 3 2 1. log2 2 1 .log2 2 2 2 2. ln x 3ln x 4ln x 12 0 3. 1 logx 2 5 log5 x 2 3 2 3 3 4. log x 2 3 log 4 x log x 6 2 1 1 1 4 4 4 Bài 5: Giải các phương trình: x 5 x 1 1 2 1. log log x2 25 0 2. 1 log log x 1 2 x 5 2 6 x 7 2 6 2 2 lg x x 10 1 lg 4 3. 2log3 x 2 log3 x 4 0 4. lg 2 log2 3x 2 2 log2 5 Bài 6: Giải các phương trình: 1. log 1 x 1 log 1 x 1 log 1 7 x 1 2 2 2 x 5 2. log log x2 25 0 2 x 5 2 2 3. log 1 5 2x log2 5 2x .log2x 1 5 2x 2 2 log 2x 5 log 2x 1 .log 5 2x 2 2 2 50
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 1 1 2 4. 1 log log x 1 6 x 7 2 6 3 2 3 3 5. log x 2 3 log 4 x log x 6 2 1 1 1 4 4 4 Dạng 2. Đặt ẩn phụ Phương pháp: t log g x a f loga g x 0 0 a 1 f t 0 Công thức đổi cơ số: loga x 1 logb x loga b a,b,x 0;a,b 1. loga b logb a Ví dụ 1.2.3 Giải các phương trình: 1. log2 x 10log2 x 6 9 2. log9 x 1 log3 x 3 5 2 3. 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x Lời giải. 1. Đặt t log2 x với x 0 và 10log2 x 6 0 9 t 0 Phương trình đã cho đưa về dạng: 10t 6 9 t 2 từ đây 10t 6 9 t ta tìm được t 3 tức x 8 . Vậy, phương trình cho có nghiệm x 8 2. Đặt t log3 x với x 0 và log3 x 3 0, log9 x 1 0 1 Phương trình đã cho về dạng t 1 t 3 5 1 2 Với điều kiện t 2 , bình phương hai vế của 1 và rút gọn ta được 1 5 3 2 t 14 2 t t 3 21 t 2 t 6 tức x 64 2 2 2 t 292t 1716 0 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 64 3. Phương trình cho 41 log2 x 6log2 x 2.32 2log2 x log2 x log2 x log x log x log x 2 2 4.4 2 6 2 18.9 2 0 4. 18 0 3 3 log2 x 2 2 9 Đặt t , t 0 , ta có: 4t t 18 0 t 3 4 51
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. log x 2 2 2 9 2 1 log2 x 2 x . 3 4 3 4 1 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 4 2 2 Ví dụ 2.2.3 Giải phương trình: log2 x x 1 log2 x.log2 x x 2 0 Lời giải. Với x 1. Biến đổi phương trình về dạng: 2 x2 x log log x.log x2 x 2 0 2 x 2 2 2 2 2log2 x x log2 x.log2 x x 2 0 2 Đặt u log2 x x và v log2 x . Đưa phương trình về phương trình: u 1 v 2 0 u 1 hoặc v 2 . 2 2 Với u 1 thì log2 x x 1 x x 2 x 2 thỏa x 1 Với v 2 thì log2 x 2 x 4 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2,x 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình: 10 2 2 1. 1 log xlog27 x log x 2. lg4 x 1 lg2 x 1 25 27 3 27 3 3. lg4 x 1 2lg2 x 1 40 2 2 4. log3 2x 2x 9x 9 log3 x 4x 12x 9 4 0 Bài 2: Giải các phương trình: 1. 1 log x 1 log 4 5 2 x 1 4. log log2 x 1 5x x 5 2. 2. log x log 16x 7 0 2 2 5. log 16 log 64 3 x2 2x 3. 1 log2 x 1 logx 1 4 2 2 6. log3 x log3 x 1 5 0 Bài 3: Giải các phương trình: 2 lg 100x lg 10x lg x 1. 4 6 2.3 52
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2. log 4x 1 4 .log 4x 1 log 2 2 1 8 2 2 2 3. log2x 1 2x x 1 logx 1 2x 1 4 log2 x log2 x 2 4. 2 2 x 2 2 1 x2 5. 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x 4 log2 9 2 log2x log2 3 6. 2 log3 x log9x 3 1 7. x x .3 x 1 log3 x 2 8. log 2 2log 4 log 8 9. 4log2 2x xlog2 6 2.3log2 4x x 2x 2x 2 3 10. log x x 14log16x x 40log4x x 0 2 2 11. x 2 log3 x 1 4 x 1 log3 x 1 16 0 log6 x log3(x 1) 12. log2(x 3 ) log6 x 13. 2 x 14. log (x2 2x 3) log (x2 2x 4) 15. log (1 x) log x 5 2 2 3 x x 16. log 3 3 1 log 3 1 5 4 Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích Phương pháp: f x .g x 0 f x 0 hoặc g x 0 Ví dụ 1.4.3 Giải phương trình: log3 x log4 x log5 x Lời giải. Dễ thấy, log4 x log4 3.log3 x;log5 x log5 3.log3 x Với x 0 . Phương trình được viết dưới dạng: log3 x log4 3.log3 x log5 3.log3 x log3 x 0 x 1 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 Ví dụ 2.4.3 Giải các phương trình: 5 1. log log2 x 1 2. log 16 log 64 3 5x x 5 x2 2x Lời giải. 1 1. Điều kiện: 0 x . 5 53
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 5 log5 x 2 1 log5 x 2 Phương trình cho log5 x 1 log5 x 1 log5 5x 1 log5 x 2 log5 x(log5 x log5 x 2) 0 log5 x log5 x 1 log5 x 2 0 log5 x 0 x 1 log5 x 1 x 5 2 log5 x 2 x 5 1 Vậy phương trình có ba nghiệm: x 1; x 5; x . 25 1 2. Điều kiện: 0 x 1,x . 2 log 16 log 64 2 6 Phương trình cho 2 2 3 3 2 log 2x log x 1 log x log2 x 2 2 2 2 3log2 x 5log2 x 2 0 log2 x 2 3log2 x 1 0 log2 x 2 x 4 1 1 log x x 2 3 3 2 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 4; x . 3 2 Ví dụ 3.4.3 Giải các phương trình: 2 x x 1. 2 log9 x log3 x.log3 2x 1 1 2. log2 5 1 .log4 2.5 2 1 Lời giải. 1. Với x 0 . 2 1 Phương trình được viết lại: 2 log3 x log3 x.log3 2x 1 1 2 log x 2log 2x 1 1 log x 0 3 3 3 log3 x 2log3 2x 1 1 0 hoặc log3 x 0 Với log3 x 0 x 1 2 Với log3 x 2log3 2x 1 1 0 log3 x log3 2x 1 1 với x 0 2 Tức là x 2x 1 1 với x 0 x2 4x 0 với x 0 x 4 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1hoặc x 4 54
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2. log 5x 1 .log 2 5x 1 1 log 5x 1 . 1 log 5x 1 2 2 2 2 2 2 5 Hay log 5x 1 1 log 5x 1 2 0 x log 3 hoặc x log 2 2 5 5 4 5 Vậy, phương trình cho có nghiệm x log 3 hoặc x log 5 5 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2 Bài 1: Giải các phương trình: lg x lg x.log2 4x 2log2 x 0 2 3 Bài 2: Giải các phương trình: log3 x log2 8x.log3 x log2 x 0 x x 1 Bài 3: Giải các phương trình: log3 3 1 log3 3 3 6 2 Bài 4: Giải các phương trình: 2 log 1 2x 17 2x 1 2log16 x 4 Dạng 4. Phương pháp đồ thị Phương pháp: Giải phương trình: loga x f x 0 a 1 là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y loga x 0 a 1 và y f x . Khi đó ta thực hiện 2 bước: Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: y loga x 0 a 1 và y f x . Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị. 3 2 Ví dụ 1.5.3 Giải phương trình: log x 1 3 x 1 3x 4 2log x 1 3 2 Lời giải. Điều kiện x 1 3 Phương trình cho tương đương log3 x 2 2log2 x 1 hay 3log3 x 2 2log2 x 1 x 2 32t Đặt 3log x 2 2log x 1 6t suy ra 9t 8t 1 3 2 3t x 1 2 t t 1 8 tức : 1 9 9 55
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. t t 1 8 Xét hàm f t , ta thấy hàm f t nghịch biến , lại có f 1 1 nên 9 9 t 1 là nghiệm duy nhất của Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 7. log6 x Ví dụ 2.5.3 Giải phương trình: log2 x 3 log6 x Lời giải. t t t t Đặt t log6 x x 6 . Phương trình đã cho trở thành : 6 3 2 , chia cả 2 vế cho 2t . t t 3 3 Xét hàm số f t 3 1 , vì 3 1 nên f t tăng và f 1 0 , do đó 2 2 1 f t 0 xảy ra khi t 1 tức x . 6 1 Vậy, phương trình cho có nghiệm x 6 2 Ví dụ 3.5.3 Giải phương trình: 4x 5 log2 x 16x 7 log2 x 12 0 Lời giải. Đặt t log2 x , phương trình cho đưa về: t 2 t x 3 0 Với t 2 thì x 0,25 Với t 3 x , ta xét f x log2 x , g x 3 x . Dễ thấy f x luôn là hàm số đồng biến và g x là hàm số nghịch biến. Dựa vào đồ thị ta thấy f x và g x cắt nhau 1 giao điểm có hoành độ x 2 . Phương trình cho có nghiệm x 0,25 , x 2 . 2 Ví dụ 4.5.3 Giải phương trình: 3x 5 log3 x 9x 19 log3 x 12 0 Lời giải. Điều kiện: x 0 2 Đặt t log3 x, phương trình trở thành: 3x 5 t 9x 19 t 12 0 5 Khi x : phương trình vô nghiệm. 3 5 2 Khi x , ta có: 9x 11 , khi đó phương trình có 2 nghiệm t 3 hoặc 3 4 t . 3x 5 56
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 Với t 3 tức log x 3 x 3 3 3 27 4 4 Với t tức log x 3x 5 3 3x 5 4 5 Cách 1: Xét hàm số f x log x với 0 x 3 3x 5 3 1 12 5 Ta có: f' x 0 , với mọi 0 x 2 xln 3 3x 5 3 lim f x , lim f x , lim f x x 5 5 x x 3 3 Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình f x 0 luôn có 2 nghiệm phân 1 biệt, hơn nữa f 3 f 0 nên phương trình f x 0 luôn có 2 nghiệm 3 1 x hoặc x 3 . 3 1 1  Vậy, phương trình có 3 nghiệm x ; ; 3 . 27 3  Cách 2: 5 5 1 TH1: Nếu 0 x : hàm số đồng biến trên khoảng 0; , hơn nữa f 0 3 3 3 1 nên phương trình cho có nghiệm x . 3 5 5 TH1: Nếu x : hàm số đồng biến trên khoảng ; , hơn nữa f 3 0 nên 3 3 phương trình cho có nghiệm x 3 . 1 1  Vậy, phương trình có 3 nghiệm x ; ; 3 . 27 3  Ví dụ 5.5.3 1 x 2 Giải phương trình: x.2 2.log2 1 x x.log2 1 x log2 x 1 Lời giải. Điều kiện: x 1 Phương trình cho viết lại: 1 x x.2 2.log2 1 x x.log2 1 x 2log2 1 x 0 x. 21 x log 1 x 0 x 0 hoặc 21 x log 1 x 0 2 2 57
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 x Xét hàm số: f x 2 log2 1 x với x 1 1 Ta có: f' x 21 x ln 2 0 , x 1 suy ra f x là hàm số nghịch x 1 ln 2 biến trên khoảng 1; , hơn nữa lim f x 0, lim f x 0 từ đó suy ra x 1 x đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ x 1. Do đó phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x 1. Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 0, x 1 Ví dụ 6.5.3 Giải phương trình: 3 2x 1 1. 7x 1 2log 6x 5 1 2. log 3x2 8x 5 7 3 2 x 1 Lời giải. 5 1. Điều kiện: x . 6 x 1 Phương trình đã cho viết lại: 7 6 x 1 6x 5 6log7 6x 5 . 6 Xét hàm số g t t 6log t có g' t 1 0, t 0 suy ra g t là hàm 7 t ln7 đồng biến, khi đó g 7x 1 g 6x 5 7x 1 6x 5 hay 7u 6u 1 với u x 1 . Tiếp tục xét hàm g u 7u 6u 1 có g' u 7u ln7 6 g' u 0 khi và chỉ khi u log7 6 log7 ln7 Bảng biến thiên: Vì hàm số g u đồng biến trên khoảng ; u và nghịch biến trên khoảng u; nên hàm g u 0 có không quá hai nghiệm. Mặt khác g 0 g 1 0 , cho nên u 0 hoặc u 1 là 2 nghiệm của phương trình g u 0 . Khi u 0 tức x 1 0 hay x 1 Khi u 1 tức x 1 1 hay x 2 Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm S 1; 2 Chú ý: Cần tìm , ¡ sao cho 1 x 1  6x 5 tương đương với 1 6 x 5 . Đồng nhất hai vế ta được 6 và  1 . 58
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 1 Vì thế 7 6log7 6x 5 6 x 1 6x 5 tức ta có phương trình x 1 7 6 x 1 6x 5 6log7 6x 5 . Để hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn đọc tìm đọc cuốn: “ Phương pháp giải toán chuyên đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương trình – Bất đẳng thức “ nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu. 2. Phương trình cho tương đương 2 2 log3 2x 1 2x 1 log3 3 x 1 3 x 1 . 1 Xét hàm số: f t log t t , t 0 và f' t 1 0 với t 0 nên hàm 3 t ln 3 f t đồng biến trên khoảng 0; 2 2 Phương trình có dạng f 2x 1 f 3 x 1 2x 1 3 x 1 , phương 2 trình này có nghiệm x hoặc x 2 . 3 2 Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x hoặc x 2 . 3 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình: 2 1. log5 x 2x 11 0 2. lg x x 6 x lg x 2 4 x 3. 3 1 x log3(1 2x) Bài 2: Giải các phương trình: log x 3 8 log 4 log x log 2 1. 2 5 x 2. x 3 x2.2 3 x 3 3 Bài 3: Giải các phương trình: 1. x xlog2 3 xlog2 7 2 2. log x2 2x 3 2log x2 2x 4 4 5 2 2 x 1 3. 8log x2 18x 31 1 2x 1 2 x x 1 x 1 5 4. 3 5 3x 10 0 3x 4x 12 Bài 4: Giải các phương trình: 1. log 2x 1 x 2 2 3 2. x 1 .log 1 x 2x 5 .log 1 x 6 0 2 2 Bài 5: Giải các phương trình: 59
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2x 1 1. log x log x 2 2. log 1 x 2x 7 3 2 x 2 3 x x 3 3. 7x 1 1 2log 6x 5 4. log x2 3x 2 7 3 2 2x 4x 5 4x2 2 x 9x 512 5. log x6 3x2 1 6. 2x(22 x 1) log x 2x 2012 6 2 2 x x 1 x Bài 6: 1. Tìm nghiệm dương của phương trình: 1 1 1 1 1 x 3 1 x2 xln 1 x ln 1 1 x x x2 x 2. Chứng minh rằng phương trình: xx 1 x 1 có một nghiệm dương duy nhất. 3. Chứng minh rằng phương trình 4x(4x2 1) 1 có đúng ba nghiệm phân biệt. Dạng 5. Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho trước log (x 1) log (x 1) log 4 (1) 3 3 3 Ví dụ Hệ phương trình 2 có hai log (x 2x 5) m log 2 5 (2) 2 x2 2x 5 nghiệm phân biệt. Lời giải. Điều kiện : x 1. x 1 x 1 (1) log log 2 2 1 x 3 (Do x 1). 3 x 1 3 x 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x thỏa mãn1 x 3 . 2 Đặt t log2(x 2x 5) 2 t 3 x (1; 3) và (2) trở thành m t 5 t2 5t m (3) t Từ cách đặt t ta có: (x 1)2 2t 4 Với mỗi giá trị t (2; 3) thì cho ta đúng một giá trị x (1; 3) . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x (1; 3) (3) có 2 nghiệm phân biệt t (2; 3) . 60
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Xét hàm số f(t) t2 5t với t (2; 3) 25 Lập bảng biến thiên f(t) ta tìm được: 6 m . 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để phương trình : 1. log mx 6x3 2log 14x2 29x 2 0 có 3 nghiệm p.biệt. 2 1 2 2. log2 x log2 x 1 2m 1 0 có nghiệm trên đoạn 1;3 3 3 3 2 2 2 1 3. m.92x x 2m 1 62x x m.42x x 0 nghiệm đúng x : x . 2 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m 0 phương trình sau luôn có nghiệm: x2 mx 2 log 2x x2 mx 2 1 2 2x 1 Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x k 2 4 log x2 2x 3 2 x 2x log 2 x k 2 0 2 1 2 Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của x để phương trình sau thỏa mãn m : log (m2x3 5m2x2 6 x) log (3 x 1) . 2 2 m2 Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của x để các phương trình log (m2x2 5mx 3 5 x) log (5 x 1) thỏa mãn m . 2 2 m2 Dạng 6. Giải bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình: 5 12x 1. log 3x 1 6 1 log 7 10 x 2. log log x 0 2 2 2 12x 8 1 2 Lời giải. 3x 1 0 1 1. Điều kiện: 10 x 0 x 10 . 3 7 10 x 0 3x 1 6 Bất phương trình tương đương với log log 7 10 x 2 2 2 61
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3x 1 6 2 7 10 x 3x 1 2 10 x 8 369 49x2 – 418x 369 0 1 x (thoả điều kiện). 49 369 Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 1 x 49 5 12x x 12x 8 2. Bất phương trình đã cho tương đương với: 5 12x 0 12x 8 5 1 x 12x2 4x 5 6 2 0 2 5 1 12x 8 x x . 5 12x 3 12 2 0 12x 8 5 2 x 12 3 5 1 Vậy, bất phương trình cho có nghiệm x 12 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình: 2 2 1. log log x 1 x log log x 1 x 1 5 3 1 3 5 1 3 2. log xlog x 3 log x log x 2 2 3 2 2 3 4 4 1 2 3. log2 4x 4x 1 2x 2 x 2 log 1 x 2 2 2 2 4. log3 x log3 x 1 5 0 2 2 5. log4(2x 3x 2) 1 2log2 2x 3x 2 Bài 2: Giải các bất phương trình: 2 2. log2x 64 log 2 16 3 1. logx 5x 8x 3 2 x 1 3 3. log 3x 1 log x2 1 4. log x log 1 x 1 x x 2 1 1 3 3 2 3 3 log2 x 1 log3 x 1 x 32 5. 0 6. log 4 x log2 9log 4log2 x x2 3x 4 2 1 8 2 2 1 2 x 2 Bài 3: Giải các bất phương trình: 62
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 2. log3 x log5 x log3 x.log5 x 1. logx 8 log4 x log2 2x 0 2 3. log 1 (x 3x 2) 1 4. 2log3(4x 3) log 1 (2x 3) 2 2 3 2 2 5. logx 2x 5x 4 2 6. 2 log 1 2x 17 2x 1 2log16 x 4 Bài 4: Giải các bất phương trình: 2 1. log0,2 x log0,2 x 6 0 2x 3 4. log3 1 x 2 1 x log sin 2 x 4 x x 2 2. 3 1 5. log5 4 144 4log5 2 log5 5 2 1 2 3. log 1 x 3x 2 1 6. 2log3 4x 3 log 1 2x 3 2 2 3 Bài 5: Giải các bất phương trình: 3x 2 4x 2 1 x2 x 1. log 1 2. log 3. log log 0 x 2 0,7 6 x 2 x x 2 2 x 4 Bài 6: Giải các bất phương trình: 2 3 1. lg x lg x 2 0 2 2 3. log4 2x 3x 2 1 2log2 2x 3x 2 lg x 7 2. x 4 10lg x 1 x3 32 4. log4 x log2 9log 4log2 x 2 1 8 2 2 1 2 x 2 Bài 7: Giải các bất phương trình: Bài 8: Giải các bất phương trình: x x 2 2 4 x 11 2 8 x 3 3. log 2 x x 2 1 log x x 7 2 1. 0 . 5 9 log2 x 2 4. log 3x2 4x 2 1 log 3x2 4x 2 2. x 3log2 x 2 9log2 x 2 9 3 1 1 5. 2 log 1 x 1 log 1 2x 3x 1 3 3 Bài 9: Tìm m để bất phương trình : 2 2 2 1. 2sin x 3cos x m.3sin x nghiệm đúng x ¡ . 2. lg2 x m lg x m 3 0 có nghiệm x 1. 3. ln(1 x) x mx2 nghiệm đúng x 0 . 63